湖南省重点高中2019届高三11月大联考理科数学

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湖南省2019届高三六校联考试题数学（理科）含答案解析.docx

湖南省2019届高三六校联考试题数学（理科）含答案解析.docx湖南省 2019 届高三六校联考试题数学（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷( 选择题 ) 和第Ⅱ卷 ( 非选择题 ) 两部分。

时量120 分钟，满分 150 分。

答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2．作答选择题，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

作答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束时，监考员将题卷、答题卡一并收回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数 z 满足 (1 ＋ i)z ＝|－ 4i |，则 z＝A．2＋ 2i B．1＋2i C．1－2i D．2－2ix＋ 32．已知集合A＝ x| 1－x≥0，则 ?RA＝A．[ － 3， 1)B． ( －∞，－3) ∪[1 ，＋∞)C．( － 3， 1)D． ( －∞，－3] ∪(1 ，＋∞)3．对某两名高三学生在连续9 次数学测试中的成绩( 单位：分) 进行统计得到如下折线图，下面是关于这两位同学的数学成绩分析．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，故平均成绩为130 分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110 ， 120] 内；③乙同学的数学成绩与测试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学连续九次测验成绩每一次均有明显进步．其中正确的个数为A．1 B ． 2 C ． 3D．44．如图是一个几何体的三视图，且这个几何体的体积为 8，则俯视图中三角形的高x 等于A．2 B ． 3C．4D．15．已知 f(x)是奇函数，当 x>0 时， f(x)＝－x，则函数在 x＝－ 1 处的切线方程是x－ 2A．2x－ y－1＝ 0 B ． x－ 2y＋ 2＝ 0 C．2x－ y＋ 1＝ 0D． x ＋ 2y－ 2＝ 0π6．如图，在矩形OABC中的曲线分别是y＝ sin x， y＝ cos x 的一部分， A 2， 0， C(0， 1) ，在矩形 OABC内随机取一点，若此点取自阴影部分的概率为P1，取自非阴影部分的概率为P2，则A．P >P B． P <p< bdsfid="96" p=""></p<>1212C．P ＝ P D．大小关系不能确定12→→→λ7．已知△ ABC中， AB＝ 2， AC＝3，∠ A＝60°，AD⊥ BC于D，AD＝λ AB＋μ AC，则μ＝A．6 B ． 3 2C． 3D． 2 3x2y28．已知双曲线 C：a2－b2＝1(a>0 ， b>0) ，以点 P(b ， 0) 为圆心， a 为半径作圆 P，圆 P 与双曲线C 的一条渐近线交于 M， N两点，若∠ MPN＝90°，则 C的离心率为75B.2C.2D.39．若 m，n 均为非负整数，在做 m＋ n 的加法时各位均不进位( 例如： 2019＋ 100＝ 2119，则称 (m，n)为“简单的”有序对，而m＋ n 称为有序对 (m，n) 的值，那么值为 2019 的“简单的”有序对的个数是A．30B． 60C． 96D． 10010．若 x1是方程 xe x＝ 1 的解， x2是方程 xln x ＝1 的解，则x1x2等于A．e B． 1 C.1．－ 1De11 ．已知函数 f(x)＝sin( ω x ＋φ )π，π的部分图象如图所示，且f(x) 在ω >0，φ∈2[ 0，2π ] 上恰有一个最大和一个最小( 其中最大1，最小－ 1) ，ω 的取范是A.7 13B.7 13，12 12 ，12 1211 1717C. 12，12D.12，1212．已知函数 f(x) ＝ e x －ax － 1 在区 ( － 1，1) 内存在极点，且 f(x)<0 恰好有唯一整数解，a 的取范是 ( 其中 e 自然数的底数，e ＝2.71828 ?)e 2 －1 e 2－ 1e 2－ 1A.2e 2 ， eB.2e 2 ，1 ∪ e － 1，2e 2 －1 e － 1 e －1， eC.2，∪ (D． (e －1， e)2e)e第Ⅱ卷二、填空：本大共 4 小，每小 5 分，共 20 分。

全国名校2019年高三11月大联考-理科数学(考试版)

绝密★启用前全国名校2019年高三11月大联考理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合{|ln 1}A x x =<，{|}B x x a =≥，且{|0}A B x x =>，则实数a 的取值范围是 A ．{|0e}a a <≤B ．{|e}a a ≥C ．{|010}a a <≤D ．{|e}a a <2．在平行四边形ABCD 中，若AD =m AC +n AB ，则m +n = A ．1-B ．0C ．1D ．23．在等比数列{}n a 中，若2342,3,4a a a 成等差数列，则公比q 为 A ．1B ．2C ．1或12D ．124．设函数23()(1)f x ax a x =+-，若函数()f x 为偶函数，则曲线()()2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线方程为 A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =5．已知实数0,0x y >>，则“224x y +≤”是“1xy ≤”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数()sin cos f x x x x =⋅+在[,]-ππ上的大致图象是7．已知(,0)2απ∈-，1cos()63απ-=-，则tan()3απ+=A ．3-B ．3 C ．2 D ．2-8．已知函数21,0()ln ,0x x f x x x ⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩，则使得[()]1f f x =成立的x 的个数为A ．1B ．2C ．3D ．49．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若610=10=9S S ，，则16=S A ．4B ．4-C ．2D ．2-10．将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再将图象上所有点的横坐标压缩为原来的12（纵坐标不变），得到函数()sin()(0,0,||)2g x A x A ωϕωϕπ=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可以是A ．π()2sin()3f x x =-B ．()2sin f x x =C ．π()2sin()3f x x =+D ．π()2sin()6f x x =+11．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根分别为12,x x ，则方程可写成1()(a x x x --2)0x =，即21212()0ax a x x x ax x -++=，容易发现根与系数的关系：12b x x a+=-，12cx x a=．设一元三次方程320(0)ax bx cx d a +++=≠的三个非零实数根分别为123,,x x x ，以下命题中正确命题的序号是①123b x x x a ++=-；②122313c x x x x x x a ++=；③123111c x x x d ++=；④123dx x x a=-．A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④12．已知ABC △中，9AB =，点O 为其外接圆的圆心，且12AO CB ⋅=，则当B ∠取最大值时，ABC △的面积为A． BC． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量a 与向量(1,2)=b 方向相同，则向量a 的坐标是___________．14．已知ABC △中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，若60B =︒，2b ，则sin A 的值为___________．15．2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金（扣除专项、专项附加及依法确定的其他）所得不超过5000元（俗称“起征点”）的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如下：2019年1月1日后个人所得税税率表个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁（含）以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人为独生子，且仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2019年10月份应缴纳个人所得税款为390元，那么他当月的工资、薪金税后所得是___________元． 16．函数(15sin 7)cos y x x =+的最大值是___________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知等差数列{an }的前n 项和为S n ，公差d 为整数，S 5=35，且a 2，a 3+1，a 6成等比数列．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设数列{b n }满足b n =11n n a a +，求数列{b n }的前n 项和T n ． 18．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =．（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）若03()5f x =，0[,]63x ππ∈，求0cos2x 的值． 19．（本小题满分12分）已知ABC △的三个内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，tan 3tan A B =-，4c =．（1）求BA BC ⋅的值；（2）若2sin sin A B C ⋅=，求角C 的大小． 20．（本小题满分12分）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，43()n n a S n =+．（1）求证：数列{1}n a +是等比数列；（2）求证：123111149n a a a a ++++<． 21．（本小题满分12分）已知函数ln ()x f x x =，()()ag x x a x=+∈R ．（1）讨论方程()()f x g x =的实数根的个数；（2）令()()()h x f x g x =+，若函数()h x 在区间(1,)+∞上有极值，求实数a 的范围． 22．（本小题满分12分）已知函数()ln (1)f x x a x =--．（1）若函数()f x 的图象与x 轴相切，求实数a 的值；（2）讨论函数()f x 的零点个数．全国名校2019年高三11月大联考理科数学·答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． 14 15．12610 16．645三、解答题（本大题共6小题，共70分） 17．（本小题满分10分）【解析】（1）由S 5=5a 3=35，得a 3=7，由a 2，a 3+1，a 6成等比数列，得a 2a 6=(a 3+1)2=64，即(3a d -)(33a d +)=64，整理得2314d d -+15=0，又因为公差d 为整数，所以d =3，所以数列{a n }的通项公式为a n =32n -．（5分）（2）b n =11n n a a +=1(32)(31)n n -+=1311()3231n n --+，所以T n =b 1+b 2+b 3+…+b n =11111111[(1)()()()]34477103231n n ⨯-+-+-++--+ =11(1)331n ⨯-+ =31nn +．（10分） 18．（本小题满分12分）【解析】（1）2()sin cos f x x x x =+21sin 22sin )2x x =+- 1sin 22x x =sin(2)3x π=+，（4分）由正弦函数的性质，令222,232k x k k πππ-+π≤+≤+π∈Z ，解得5,1212k x k k ππ-+π≤≤+π∈Z ，所以函数()f x 的单调递区间为5[,]()1212k k k ππ-+π+π∈Z．（6分）（2）因为003()sin(2)35f x x π=+=，0[,]63x ππ∈，所以022[,]33x ππ+∈π，04cos(2)35x π+=-，（8分）所以0000cos2cos[(2)]cos(2)cos sin(2)sin 333333x x x x ππππππ=+-=+++（10分）413525=-⨯+=．（12分） 19．（本小题满分12分）【解析】（1）由tan 3tan A B =-，得sin sin 3cos cos A BA B=-⋅，则sin cos 3sin cos 0A BB A +=，3(sin cos sin cos )2sin cos A B B A A B +=，3sin()2sin cos A B A B +=，（3分）根据A B C ++=π，得sin()sin A B C +=，所以3sin 2sin cos C A B =，由正弦定理，得32cos c aB =，又4c =，所以cos 6a B =，所以cos 4624BA BC ca B ⋅==⨯=．（6分）（2）根据正弦定理及2sin sin A B C ⋅=，4c =，得ab =8分）根据余弦定理及cos 6a B =，得221668a b a a+-⨯=，即2232a b -=，解得4a b ==（负值舍去），所以cos C ==，又0C <<π，所以6C π=．（12分） 20．（本小题满分12分）【解析】（1）当1n =时，1143(1)a a =+，所以13a =，当2n ≥时，1143(1)n n a S n --=+-，结合43()n n a S n =+，得11443(1)n n n n a a S S ---=-+，又1n n n a S S -=-，所以1443(1)n n n a a a --=+，（4分） 143n n a a -=+，114(1)n n a a -+=+，1141n n a a -+=+，所以数列{1}n a +是以4为首项，4为公比的等比数列．（6分）（2）根据（1）得1144n n a -+=⨯，所以41n n a =-，（8分）由于141n -≥，即1144341n n --⨯-⨯≥，所以14134n n --≥⨯，即14134n n n a -=-≥⨯，11134n n a -≤⨯，所以1231111na a a a ++++21111()1()11111141444(1)(1)13344433949144n nn n ---≤⨯++++=⨯=⨯=⨯-<-．（12分）21．（本小题满分12分）【解析】（1）由()()f x g x =，得ln x ax x x=+，2ln a x x =-，（1分）令2()ln p x x x =-，则2112()2x p'x x x x-=-=，当2(0,)x ∈时，()0p'x >，当2(,)x ∈+∞时，()0p'x <，所以函数()p x 在2(0,)上单调递增，在2(,)+∞上单调递减，（3分） 2211()ln (ln 21)22p =-=-+，函数()p x 的大致图象如下：所以当1(ln 21)2a >-+时，方程无实数根；当1(ln 21)2a =-+时，方程有唯一的实数根；当1(ln 21)2a <-+时，方程有两个不同的实数根．（6分）（2）ln ()(1)x a h x x x x x =++>，22221ln ln 1()1x a x x a h'x x x x ---+=+-=，（7分）令2()ln 1F x x x a =--+，则2121()2x F'x x x x-=-=，当(1,)x ∈+∞时，()0F'x >，所以函数()F x 在(1,)+∞上单调递增，又(1)2F a =-，故①当2a ≤时，()0F x >，()0h'x >，()h x 在(1,)+∞上单调递增，无极值；（8分） ②当2a >时，(1)0F <，2()ln 1F a a a a =--+，令2()ln 1G x x x x =--+，则2121()21x x G'x x x x--=--=，当2x >时，()0G'x >，函数()G x 在(2,)+∞上单调递增，(2)3ln 20G =->，所以在(2,)+∞上，()0G x >恒成立，（10分）所以2()ln 10F a a a a =--+>，所以函数()F x 在(1,)a 上存在唯一零点0x x =，所以()h x 在0(1,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，此时函数()h x 存在极小值．综上，若函数()h x 在区间(1,)+∞上有极值，则2a >．（12分） 22．（本小题满分12分）【解析】（1）1()ax f 'x x -=，令()0f 'x =，则1x a =，因为函数()f x 的图象与x 轴相切，所以1()0f a =，（2分）即111()ln (1)1ln 0f a a a a a a =--=--=，令()1ln h x x x =--，则1()1h'x x=-，当01x <<时，()0h'x <，函数()h x 单调递减；当1x >时，()0h'x >，函数()h x 单调递增，所以min ()(1)0h x h ==，所以1ln 0a a --=有唯一解1a =，即实数a 的值为1．（4分）（2）1()axf 'x x-=， ①当0a ≤时，()0f 'x >，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，且(1)0f =，函数有唯一零点；（6分）②当0a >时，函数()f x 在1(0,)a 上单调递增，在1(,)a +∞上单调递减，max 1()()1ln f x f a a a==--，由（1）()1ln h x x x =--的单调性知：（Ⅰ）当1a =时，max ()0f x =，所以函数只有一个零点；（8分）（Ⅱ）当01a <<时，1()1ln 0f a a a =-->，(1)0f =，所以函数()f x 在1(0,)a上有一个零点， 211()2ln f a a a a=--，令1()2ln p x x x x =--，则22212(1)()10x p'x x x x -=+-=≥，所以函数()p x 在(0,)+∞上单调递增，又(1)0p =，故当01x <<时，()0p x <，所以211()2ln 0f a a a a=--<，所以函数()f x 在1(,)a+∞上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点；（10分）（Ⅲ）当1a >时，(1)0f =，1()1ln 0f a a a =-->，所以函数()f x 在1(,)a+∞上有一个零点，当10e ax <<时，ln x a <-，()ln (1)(1)0f x x a x a a x ax =--<---=-<，所以函数()f x 在1(0,)a上有一个零点，所以函数()f x 在(0,)+∞上有两个零点，综上，当0a ≤或1a =时，函数()f x 有唯一零点；当01a <<或1a >时，函数()f x 有两个零点．（12分）。

湖南三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考数学理科试题及解析

三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.已经集合{|40}A x x =-<，{}1x B x e =，则A B Ç=A.RB.(,4]-¥ C.(0,4)D.(4,)+¥2.复数31i z i-=+的共轭复数为A.22i+ B.22i- C.1i+ D.1i-3.下列有关命题的说法正确的是A.若""p q Ù为假命题，则,p q 均为假命题B."1"x =-是2"560"x x --=的必要不充分条件C.命题"若1,x >则11x<"的逆否命题为真命题D.命题0",x R $Î使得20010"x x ++<的否定是：",x R $Î均有210x x ++³"4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为A.20182019B.20162019C.20162017D.201920185.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A.81种B.256种C.24种D.36种6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg 0.43429e »，计算结果取整数）A.1089B.1086C.434D.1457.已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且132a =，则na n的最小值为（）A.821- B.525C.313D.108.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A.4643p -B.64－4πC.64－6πD.64－8π9.已知直线1:1l x =-，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为A.2B.2C.1D.2210.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y ì+-³ïï-+³íï--£ïî，若z mx y =+的取值集合为A ，且[1,8]A Í，则实数m 的取值范围是A.12[,]33B.[1,8]C.114[,]93-D.4[1,]311.已知函数22,0(),0x x x f x e x ì£ï=í>ïî，若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x 则12x x +的最大值是A.-1B.3ln 22- C.2ln 22- D.22ln 2-12.已知函数()3sin()(0,0)f x x w j w j p =+><<，()03f p -=，对任意的x R Î恒有()()3f x f p£，且在区间(0,)2p 上有且只有一个0x 使得0()3f x =，则w 的最大值为A.274B.8C.214D.154二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为a 的直线的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则sin()p a -=__________．14.在区间[0,1]内任取一个实数x ，在区间[0,3]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于曲线x y e =的图像上方的概率为__________．15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l ，2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，2.点M ，N分别在1l ，2l 上，5PM PN +=，则PM PN × 的最大值为__________．16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC =，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则PM PN +的最小值为__________．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos (2)cos 0,cos 5a Bbc A B +-==.（1）求cos C 的值；（2）若15,a D =为边AB 上的点，且2AD BD =，求CD 的长.18.如图，菱形ABCD 与正BCE D 所在平面互相垂直，FD ^平面ABCD ，2BC =，3FD =.（1）证明：EF 平面ABCD ；（2）若60CBA Ð=°，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当85k ³时，产品为一等品；当7585k £<时，产品为二等品；当7075k £<时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数1015253020（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：22,855,7585,7075t k y t k t k ì³ïï=£<íï£<ïî，其中105t <<，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由.20.已知椭圆2222:1(1)y x C a b a b +=>³的离心率为22，其上焦点到直线220bx ay +-=的距离为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(,0)3P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.21.已知函数2(ln )3ln 3()x x f x x++=.（1）求函数()f x 在区间1[,3]()a a a e+³上的最大值；（2）证明：(0,)x "Î+¥，22((ln )3ln 3)30x e x x x ++->.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为14232x ty t ì=+ïïíï=ïî（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2cos r q =.（1）写出曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；（2）若直线()6R pq r =Î与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值.23.已知函数()211f x x x =+--.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若不等式1()123m f x x x -³+-+-有解，求实数m 的取值范围.【解析卷】三湘名校教育联盟2019届高三第二次大联考理科数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.1.已经集合{|40}A x x =-<，{}1x B x e =，则A B Ç=A.RB.(,4]-¥ C.(0,4)D.(4,)+¥【答案】C 【解析】【分析】由题意，先求出集合{|4}A x x =<，{}0B x x =，再根据集合的交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合{|40}{|4}A x x x x =-<=<，{}{}10x B x e x x ==，则{|04}A B x x Ç=<<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的交集的运算问题，其中解答中正确求解集合,A B ，再根据集合的交集的运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.复数31i z i-=+的共轭复数为A.22i +B.22i- C.1i+ D.1i-【答案】C 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念得答案．【详解】∵31i z i-=+＝21i +=()21221(1)(1)2i i i i i --==-+-∴复数31i z i-=+的共轭复数z ＝1+i ．故选：C ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查共轭复数概念和复数模的求法．3.下列有关命题的说法正确的是A.若""p q Ù为假命题，则,p q 均为假命题B."1"x =-是2"560"x x --=的必要不充分条件C.命题"若1,x >则11x<"的逆否命题为真命题D.命题0",x R $Î使得20010"x x ++<的否定是：",x R $Î均有210x x ++³"【答案】C 【解析】【分析】对每一个命题逐一判断得解.【详解】A.若""p q Ù为假命题，则,p q 中至少有一个假命题，所以该选项是错误的；B."1"x =-是2"560"x x --=的充分不必要条件，因为由2"560"x x --=得到“x=-1或x=6”，所以该选项是错误的；C.命题"若1,x >则11x<"的逆否命题为真命题，因为原命题是真命题，而原命题的真假性和其逆否命题的真假是一致的，所以该选项是正确的；D.命题0",x R $Î使得20010"x x ++<的否定是：",x R Î均有210x x ++³"，所以该选项是错误的.故答案为：C【点睛】本题主要考查复合命题的真假和充要条件的判断，考查逆否命题及其真假，考查特称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，44a =，515S =，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为A.20182019B.20162019C.20162017D.20192018【答案】A 【解析】【分析】设等差数列{a n }的公差为d，由a 4=4，S 5=15，可得a 1=d=1，可得a n ，利用裂项相消法求解数列的和即可．【详解】设等差数列{a n }的公差为d,55a315 , a33, S ==\=又 a 4=4，∴d=1，a 4=a 1+3d=4，解得a 1=d=1，∴a n =1+（n-1）=n ．∴11n n a a +=()11111n n n n =-++，则数列11n n a a +禳镲睚镲铪的前2018项和为1111112018112232018201920192019-+-+鬃-=-=故答案为：20182019．【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、主要考查分式“裂项相消求和”方法，考查了推理能力与计算能力．5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A.81种 B.256种C.24种D.36种【答案】D 【解析】【分析】分配的方法分为两步求解，先将四位老师分为三组，再分到三个班，由乘法原理求解即可计算出答案.【详解】第一步，将4名老师分成三组，不同的分法种数是C 42=6种第二步，分到三个班的不同分法有A 33=6种故不同的分配方案为6×6=36种故选：D ．【点睛】排列组合的应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则．对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏．6.2018年9月24日，阿贝尔奖和菲尔兹奖双料得主、英国著名数学家阿蒂亚爵士宣布自己证明了黎曼猜想，这一事件引起了数学界的震动.在1859年，德国数学家黎曼向科学院提交了题目为《论小于某值的素数个数》的论文并提出了一个命题，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名数学家欧拉也曾研究过这个问题，并得到小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »的结论.若根据欧拉得出的结论，估计10000以内的素数的个数为（素数即质数，lg 0.43429e »，计算结果取整数）A.1089 B.1086C.434D.145【答案】B 【解析】【分析】由题意可知10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »，计算即可得到答案.【详解】由题可知小于数字x 的素数个数大约可以表示为()ln xx xp »，则10000以内的素数的个数为()1000010000ln10000p »=100004ln10=10000lg 4e=2500lg 0.4342925001086e 换，故选：B.【点睛】本题考查对数运算性质的简单应用，考查学生的审题能力.7.已知{}n a 满足12n n a a n +=+，且132a =，则na n的最小值为（）A.821-B.525C.313D.10【答案】C 【解析】{}n a 满足12n n a a n +=+，即12n n a a n +-=，∴()()()()()11221121222132n n n n n a a a a a a a a n n ---=-+-++-+=-+-+´+ ()()2111232322n n nn +--=´+=-+.则232n a n n =-+，32n 1n a n n=+-令()()321,1f x x x x=+- ,则()22232321x f x x x -=-=¢,在)1,32x éÎêë上单调递减;在()32,x Î+¥上单调递增.()()()32523231551,6555563f f f =+-==+=<.∴n=6时,f(x)取得最小值,因此n a n 的最小值为313.故选C.8.某几何体的三视图如图所示，其中，正视图中的曲线为圆弧，则该几何体的体积为A.4643p -B.64－4πC.64－6πD.64－8π【答案】B 【解析】【分析】首先确定空间几何体的结构特征，然后利用体积公式确定其体积即可.【详解】由题意可知，题中的结合体是一个正方体去掉四分之一圆柱所得的组合体，其中正方体的棱长为4，圆柱的底面半径为2，高为4，则组合体的体积：()3214246444V p p =-创-.本题选择B 选项.【点睛】(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．9.已知直线1:1l x =-，2:10l x y -+=，点P 为抛物线24y x =上的任一点，则P 到直线l 1，l 2的距离之和的最小值为 A.2B.2C.1D.22【答案】B 【解析】【分析】1l 是抛物线的准线，利用抛物线的定义可把P 到准线的距离转化为P 到焦点的距离，故可得P 到两条直线的距离之和的最小值就是焦点到直线2l 的距离.【详解】抛物线24y x =，其焦点坐标()1,0F ，准线为1x =-也就是直线1l ，故P 到直线1l 的距离就是P 到F 的距离.如图所示，设P 到直线2l 的距离为d ，则10122d PF -++³=，当且仅当,,P E F 三点共线时等号成立，故选B.【点睛】抛物线上的动点满足到焦点的距离等于它到准线的距离，我们常常利用这个性质实现两类距离的转换.10.已知x ，y 满足约束条件1010220x y x y x y ì+-³ïï-+³íï--£ïî，若z mx y =+的取值集合为A ，且[1,8]A Í，则实数m 的取值范围是A.12[,]33B.[1,8]C.114[,]93-D.4[1,]3【答案】D 【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，求出最优解，然后推出m 的范围．【详解】作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，其中()1,0A ，()0,1B ，()3,4C ，z mx y =+的最值一定在顶点处取到，所以181348m m ì＃ïí£+£ïî，解得：41,3m 轾Î犏犏臌【点睛】简单的线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题；（2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题．而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值．由于约束条件中存在参数，所以可行域无法确定，此时一般是依据所提供的可行域的面积或目标函数的最值，来确定含有参数的某不等式所表示的坐标系中的某区域，从而确定参数的值．11.已知函数22,0(),0x x x f x e x ì£ï=í>ïî，若方程2[()]f x a =恰有两个不同的实数根1x ，2x 则12x x +的最大值是A.-1B.3ln 22- C.2ln 22- D.22ln 2-【答案】B 【解析】【分析】作出()f x 图像,由已知得()f x a =，令t =a ,用t 表示出两个实数根1x ，2x ，然后令12x x +=g(t) ln 2tt =-，对函数g(t)求导即可得到所求最大值.【详解】作出()f x 的函数图像如图所示：由()2f x a 轾=臌可得()f x a =，∴1a >，即1a >.不防设12x x <，则2212x x e a ==，令(1)a t t =>，则12tx =，2ln x t =，∴12ln 2t x x t +=-，令()ln 2t g t t =-，则()424t g t t -¢=，∴当18t <<时，()0g t ¢>，当8t >时，()0g t ¢<，∴当8t =时，()g t 取得最大值()8ln823ln22g =-=-.【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了数形结合的思想方法应用，属于中档题．12.已知函数()3sin()(0,0)f x x w j w j p =+><<，()03f p -=，对任意的x R Î恒有()()3f x f p £，且在区间(0,)2p 上有且只有一个0x 使得0()3f x =，则w 的最大值为A.274B.8C.214D.154【答案】C 【解析】【分析】由()033f f x f pp骣骣琪琪-=£琪琪桫桫和知03p 骣琪-琪桫，为函数对称中心，x 3p=为函数对称轴，从而得到()321424k k w p p j ì+ï=ïí¢ï=+ïî，要使f（x）在区间0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求ω最大，则0,2p 骣琪琪桫区间包含的周期应该最多，所以22T p £，得到0＜ω≤8，从而可得k≤4，然后分别取k=4，k=3进行检验即可得ω最大值．【详解】由题意知12332k k p w j pp p w j p ì-+=ïïíï+=+ïî，1k ，2k Z Î，则()321424k k w p pj ì+ï=ïí¢ï=+ïî，k ，k Z ¢Î，其中21k k k =-，1212k k k k k =+=+¢，故k 与k ¢同为奇数或同为偶数.()f x 在0,2p 骣琪琪桫上有且只有一个最大值，且要求w 最大，则区间0,2p骣琪琪桫包含的周期应该最多，所以22T p£，得08w <£，即()32184k +£，所以4k £当4k =时，274w =，k ¢为偶数，4p j =，此时2729,4444x p p p 骣琪+Î琪桫，当1270.544x p p +=或2.5p 或6.5p 时，()03f x =都成立，舍去；当3k =时，244w =，k ¢为奇数，34p j =，此时213327,4448x p p p骣琪+Î琪桫，当且仅当213 2.544x p p +=时，()03f x =成立.【点睛】本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，考查逻辑思维能力与推理运算能力，考查分类讨论的数学思想方法．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知倾斜角为a 的直线的斜率等于双曲线2213y x -=的离心率，则sin()p a -=__________．【答案】255【解析】【分析】求出双曲线的离心率e ，由已知得tan e a =，再由诱导公式和同角三角函数关系式即可得到答案.【详解】由2213y x -=知双曲线的离心率e=2,即tan e a ==2，且倾斜角[)0,a p Î，所以25sin 5a =，则()sin p a -=25sin 5a =.故答案为：255.【点睛】本题考查诱导公式和同角三角函数关系式的应用，同时考查了双曲线离心率的求法，属于基础题.14.在区间[0,1]内任取一个实数x ，在区间[0,3]内任取一个实数y ，则点(,)x y 位于曲线x y e =的图像上方的概率为__________．【答案】43e-【解析】【分析】由已知点(),x y 满足的区域是一个长方形，利用定积分求出长方形内位于y=e x 上方的面积，根据几何概型的概率公式可求出答案.【详解】由题意在区间[0，1]内任取一个实数x，在区间[0，3]内任取一个实数y，则（x，y）满足的区域是一个长方形且面积为3，在此范围内位于y=e x上方部分的面积为110033|4x x e dx e e-=-=-ò，则所求概率为43e-．故答案为：43e-．【点睛】本题主要考查几何概型的概率计算，根据积分的知识求出对应的面积是解决本题的关键．15.如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l ，2l 同侧，且P 到1l ，2l 的距离分别为1，2.点M ，N分别在1l ，2l 上，5PM PN +=，则PM PN × 的最大值为__________．【答案】6【解析】【分析】建立适当的坐标系，利用坐标表示向量PM ，PN，根据5PM PN += 求出PM PN × 的解析式，再利用基本不等式即可求出最大值．【详解】解：过点P 作1l 的垂线为y 轴，以1l 为x 轴，建立平面直角坐标系，1:0l y =，2:1l y =，()0,1P -，设(),0M a ，(),1N b ，所以(),1PM a =，(),2PN b =，(),3PM PN a b +=+，由5PM PN +=，可知()2925a b++=，∴4a b +=或4a b +=-，()22264a b PM PN ab +×=+£+= 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积公式以及向量坐标形式的运算问题，同时考查了利用基本不等式求函数的最值.16.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱11A D 、11C D 的中点，N 是线段1BC 上的点，且114BN BC =，若P 、M 分别为线段1D B 、EF 上的动点，则PM PN +的最小值为__________．【答案】6【解析】【分析】连接B 1D 1交EF 于G ，通过证明EF ⊥平面B 1D 1DB 可知EF ⊥PG ，从而PM 的最小值为PG ，连接BD ，设其中点为H ，通过△D 1DB ≌△D 1C 1B ，得到PN=PH ，由GH 交BD 1于K ，则当P 为K 时，PM+PN 取得最小值，所求最小值为GH ，即可得出结论．【详解】解：首先PM 的最小值就是P 到EF 的距离.连接11B D 交EF 于G ，连接PG ，则EF ^平面11B D DB ，故EF PG ^，从而PM 的最小值PG ，可知G 为EF 的中点，1D G 为11D B 的四分之一.其次，连接BD ，在线段BD 上取点H ，使BH BN =，连接PH ，则111D DB D C B D @D ，从而PN PH =，最后，连接GH 交1BD 于K ，则当P 为K 时，PM PN +取得最小值，所求最小值为GH .∵正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，∴6GH =.【点睛】本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，考查学生分析解决问题的能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：60分17.在ABC D 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知3cos (2)cos 0,cos 5a Bbc A B +-==.（1）求cos C 的值；（2）若15,a D =为边AB 上的点，且2AD BD =，求CD 的长.【答案】(Ⅰ)2cos 10C =;(Ⅱ)CD =13．【解析】试题分析:（1）先根据正弦定理将边角关系化为角的关系，再根据三角形内角关系以及两角和正弦公式化简可得2cos 2A =，最后根据两角和余弦公式求cos C 的值；（2）先根据正弦定理求得BD ，再根据余弦定理求CD 的长.试题解析：(Ⅰ)解：由()cos 2cos 0a B b c A +-=得：()sin cos sin 2sin cos 0A B B C A +-=即()sin cos cos sin 2cos sin sin 2cos sin A B A B A C A B A C+=Þ+=sin 2cos sin C A CÞ=∵A 、B 、C 是△ABC 的内角，∴sin 0C ¹因此，2cos 2A =，又0A p <<，故4A p =由3cos 5B =得：234sin 155B 骣琪=-=琪桫∴()()2cos cos cos coscos sin sin 4410C A B A B B B p p p 轾=-+=-+=-+=臌(Ⅱ)解：由2cos 10C =得：2272sin 11010C 骣琪=-=琪桫由正弦定理得：152172sin410c c p =Þ=，∴2143BD c ==在△BCD 中，22231514215141695CD =+-创∴CD =13．18.如图，菱形ABCD 与正BCE D 所在平面互相垂直，FD ^平面ABCD ，2BC =，3FD =.（1）证明：EF 平面ABCD ；（2）若60CBA Ð=°，求直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值.【答案】(1)证明过程详见解析（2）4228【解析】【分析】（1）过点E 作EH BC ^于H ，由面面垂直的性质可知EH ^平面ABCD ，又FD ^平面ABCD ，可得//FD EH ，即四边形EHDF 为平行四边形，得到线线平行，从而得到线面平行；（2）分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系H xyz -，求出平面ABF 的法向量，利用线面角的向量公式进行计算即可得到答案.【详解】解：（1）如图，过点E 作EH BC ^于H ，连接EH，∴3EH =.∵平面ABCD ^平面BCE ，EH Í平面BCE ，平面ABCD Ç平面BCE 于BC ，∴EH ^平面ABCD .又∵FD ^平面ABCD ，3FD =.∴//FD EH ，∴四边形EHDF 为平行四边形.∴//EF HD ，∵EF Ë平面ABCD ，HD Í平面ABCD ，∴//EF 平面ABCD .（2）连接HA .由（1）得H 为BC 中点，又60CBA Ð=°，ABC D 为等边三角形，∴HA BC ^.分别以HB ，HA ，HE 为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系H xyz -.则()1,0,0B ，()2,3,3F -，()0,03E ，()0,3,0A .()3,3,3BF =-，()1,3,0BA =- ，=(2,3,0)EF -=(-2,3,0)EF，设平面ABF 的法向量为()2222,,n x y z =.由2200n BF n BA ì×=ïíï×=î ，得22222333030x y z x y ì-++=ïíï-+=î令21y =，得()23,1,2n =.42sin cos ,28EF n a ==，直线EF 与平面AFB 所成角的正弦值为4228.【点睛】本题考查线面平行的判定定理和利用空间向量求线面角，利用空间向量解题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.19.某种产品的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k ，当85k ³时，产品为一等品；当7585k £<时，产品为二等品；当7075k £<时，产品为三等品.现有甲、乙两条生产线，各生产了100件该产品，测量每件产品的质量指标值，得到下面的试验结果.（以下均视频率为概率）甲生产线生产的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数10304020乙生产线产生的产品的质量指标值的频数分布表：指标值分组[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)频数1015253020（1）若从乙生产线生产的产品中有放回地随机抽取3件，求至少抽到2件三等品的概率；（2）若该产品的利润率y 与质量指标值k 满足关系：22,855,7585,7075t k y t k t k ì³ïï=£<íï£<ïî，其中105t <<，从长期来看，哪条生产线生产的产品的平均利润率更高？请说明理由.【答案】（1）7250（2）甲【解析】【分析】（1）先求出随机抽取一次抽中三等品的概率，然后利用互斥事件的概率公式计算所求概率值；（2）分别计算甲、乙生产线生产产品的利润分布列，作差比较大小即可得到结论.【详解】解：（1）由题意知，从乙生产线生产的产品中随机抽取一次抽中三等品的概率为110，所以23231917101010250P C 骣骣琪琪=创+=琪琪桫桫.（2）甲生产线生产的产品的利润分布列为y t25t p0.60.4所以()E y 甲20.62t t =+，乙生产线生产的产品的利润分布列为y 1t 25t 2t p0.50.40.1所以()20.5 2.1E y t t =+乙，因为105t <<，所以()()()20.10.10.110E y E y t t t t -=-=-<乙甲所以从长期来看，甲生产线生产的产品平均利润率较大．【点睛】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法.20.已知椭圆2222:1(1)y x C a b a b +=>³的离心率为22，其上焦点到直线220bx ay +-=的距离为23.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1(,0)3P 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点.试探究以线段AB 为直径的圆是否过定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.【答案】（1）2212y x +=（2）详见解析【解析】【分析】（1）由椭圆离心率结合222a b c =+得到a,b,c 之间的关系，计算焦点到直线的距离得到a,b 的值，从而得到椭圆方程;（2）当直线l 斜率不存在时，得到AB 为直径的圆的方程，当直线l 斜率为0时，得到AB 为直径的圆的方程，从而得到两圆的交点Q，然后只需证明当直线l 的斜率存在且不为0时AB 以为直径的圆恒过点Q 即可.【详解】解：（1）由题意，22c e a ==，222212a b e a -==，所以2a b =，c b ＝.又2222234ac a b -=+，1a b >³，所以1b ＝，22a ＝，故椭圆C 的方程为2212y x +=（2）当AB x ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为2211639x y 骣琪-+=琪桫当AB y ^轴时，以AB 为直径的圆的方程为221x y ＋＝.可得两圆交点为()10Q -，．由此可知，若以AB 为直径的圆恒过定点，则该定点必为()10Q -，．下证()10Q -，符合题意．设直线l 的斜率存在，且不为0，则方程为13y k x 骣琪=-琪桫，代入2212y x +=并整理得()22222122039k x k x k +-+-=，设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2122232k x x k +＋＝，()21221892k x x k -+＝，所以()()121211QA QB x x y y ×+++＝1212x x x x +＝＋21211133k x x 骣骣琪琪++--琪琪桫桫()()22212121111139kx x k x x k骣琪=+-+琪桫＋＋＋()()22218192k kk -+＝＋2113k 骣琪+-琪桫()22232k k +21109k ++=故QA QB ^，即()10Q -，在以AB 为直径的圆上．综上，以AB 为直径的圆恒过定点()10-，．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程、直线与椭圆的位置关系以及曲线过定点问题，解决曲线过定点问题一般有两种方法：①探索曲线过定点时，可设出曲线方程，然后利用条件建立等量关系进行消元，借助于曲线系的思想找出定点，或者利用方程恒成立列方程组求出定点坐标.②从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.21.已知函数2(ln )3ln 3()x x f x x++=.（1）求函数()f x 在区间1[,3]()a a a e+³上的最大值；（2）证明：(0,)x "Î+¥，22((ln )3ln 3)30x e x x x ++->.【答案】（1）()2max13,1ln 3ln 3,1a e f xa a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）证明过程详见解析【解析】【分析】（1）对函数求导，判断单调性，由单调性即可得到函数的最值;（2）由题意可知只需证明()3x xf x e>，结合（1）的单调性和最值即可得到证明.【详解】解：（1）()2ln 3ln 3x x f x x ++=，()()2ln ln 1x x f x x ¢-+=，()101f x x e¢>Þ<<知：()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+¥上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，当11a e＃时，()()max 13f x f ==；当1a >时，()()2maxln 3ln 3a a f xf a a++==，故()2max13,1ln 3ln 3,1a e f x a a a a ì＃ïï=í++ï>ïî（2）由（1）知()f x 在10,e骣琪琪桫和()1,+¥上递减，在1,1e 骣琪琪桫上递增，①当()0,1x Î时，()1f x f e e 骣琪³=琪桫，而()'313x xx x e e 骣-琪=琪桫，故3x xe在()0,1上递增，∴33x x e e e <<，∴()3xx f x e>，即()22ln 3ln 330x e x x x ++->；②当[)1,x Î+¥时，2ln3ln 30033x x ++³++=，令()23x x g x e =，则()()232xx x g x e=¢-，故()g x 在[)1,2上递增，()2,+¥上递减，∴()()21223g x g e £=<∴223ln 3ln 3x x x x e++>，即()22ln 3ln 330X e x x x ++->，综上，0x ">，()22ln 3ln 330x e x x x ++->.【点睛】本题考查利用导数求函数的最值和证明不等式问题,考查学生的综合分析能力.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为14232x ty t ì=+ïïíï=ïî（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标，曲线C 的极坐标方程为2cos r q =.（1）写出曲线C 的直角坐标方程与直线l 的极坐标方程；（2）若直线()6R pq r =Î与曲线C 交于点A （不同于原点），与直线l 交于点B ，求AB 的值.【答案】（1）2220x y x +-=3cos sin 43r q r q -=；（2）33.【解析】【分析】(1)先根据极坐标与直角坐标的对应关系得出极坐标方程C ，将直线参数方程化为普通方程；(2)将6p q =分别代入直线l 和曲线C 的极坐标方程求出A，B 到原点的距离，作差得出|AB|．【详解】（1）∵2cos r q =，∴22cos r r q =，∴曲线C 的直角坐标方程为2220x y x +-=．∵直线l 的参数方程为14232x ty t ì=+ïïíï=ïî（t 为参数），∴343x y -=．∴直线l 的极坐标方程为3cos sin 43r q r q -=．（2）将π6q =代入曲线C 的极坐标方程2cos r q =得3r =，∴A 点的极坐标为π3,6骣琪琪桫．将π6q =代入直线l 的极坐标方程得314322r r -=，解得43r =．∴B 点的极坐标为π43,6骣琪琪桫，∴33AB =．【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，参数的几何意义，属于基础题．23.已知函数()211f x x x =+--.（1）求不等式()2f x <的解集；（2）若不等式1()123m f x x x -³+-+-有解，求实数m 的取值范围.【答案】（1）243x x 禳镲-<<睚镲铪；（2）3m £-或5m ³【解析】【分析】(1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2）()123=2123f x x x x x +-+-++-，根据绝对值三角不等式求得最值.【详解】（1）()211f x x x =+--12,21=3,122,1x x x x x x ì--<-ïïïï-＃íïï+>ïïî,1222x x ì<-ï\íï--<î或11232x x ì-＃ïíï<î或122x x ì>ïí+<ïî，解得：142x -<<-或1223x -£<或无解，综上，不等式()2f x <的解集是243x x 禳镲-<<睚镲铪（2）()123f x x x +-+-=211+1+23x x x x +----=2123x x ++-()21234x x ³+--=，当1322x -＃时等号成立，不等式()112-3m f x x x -³+-+有解，()min1123m f x x x 轾\-³+-+-臌14m \-³，14m \-£-或14m -³，即3m £-或5m ³，\实数m 的取值范围是3m £-或5m ³【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不等式的应用.。

全国名市名校湖南省重点高中2019届高三上学期11月大联考数学(文)答案(PDF版)

1 ；（8 分） e
f (1) a 0, f(e a) ln(e a)
a e ln(e a) 1 0 ， ea ea
由零点存在定理可知此时 f(x)只有一个零点，
1 a 的取值范围是(－∞，0] { } ．（12 分） e
ex（x2＋ax－a） 22．解析：(1)f′(x)＝， x2
－
两式相减得－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n 1)－(2n－1)•2n＝1＋2(2n－2)－(2n－1)•2n，
－
Tn＝(2n－3)•2n＋3．（12 分） 21.解析：(1) f (x) lnx f ′(x)＝
1 1 , f ′(1)=0，切线方程为 y=1.（4 分） x x2
∴整数 a 的最小值为 1.(12 分)
3
1 cos2θ－sin2θ 1 1－tan2θ 3 θ＝ × 2 ＝ × ＝－ . 2 sin θ＋cos2θ 2 1＋tan2θ 10
1
15.36
1 解析：由已知得球的半径 r＝1，∴堑堵的高为 2.设底面三角形的周长为 l，则 ×l×r＝6，l＝12， 2
∴表面积 S＝12×2＋6×2＝36. 16.2 2 解析：由已知及余弦定理得 absinC＝a2＋b2－2cosC
4 1 4 ＝2－sinC，两边平方得 4（1－sin2C）＝4－4sinC＋sin2C，解得 sinC＝，∴ ab· ＝4，ab＝10，∴c2＝a2 5 2 5 3 ＋b2－2ab· ≥2ab－12＝8，当且仅当 a＝b 时取等号，∴c 的最小值为 2 2. 5 17.解析：（1）由已知及正弦定理得 2cosC（sinAcosB＋sinBcosA）＋sinC＝0， ∴ 2cosCsinC＋sinC＝0，∴cosC＝－ 3π 2 .（4 分），∴C＝ 2 4

湖南省H11教育联盟·G10教育联盟2019届高三11月联考数学(理)试题参考答案与解析

(2)由数据可知，选篮球，排球，足球的 4 人，篮球排球网球的 2，篮球排球羽毛球 1 人，篮球排球乒乓球 1 人，由已知得的取值为1, 2 ．………………4 分
C4 C2 C2 C2 2 1 3 3 C2 C2 1 P 2 1 P 1 P 1 4 2 2 ， P 2 2 4 C8 4 C8 4
，则
，所以 g ln2018 5 g ln2018 2013 ，选 A。 13. [5,2] 【解析】不等式组对应的可行域是如图所示△ABC，
可得 A(1,2) , C (2,2) ，所以 zmax 2 4 2, zmin 1 4 5 ，即 z [5,2] 14 ． 48 【解析】先求出
2A

4

4
2k 或 2 A

4

3 2k ,又 A (0, ) , 4
∴ 2A

4

3 1 1 2 ，∴ A .∵ SABC bcsinA 3 2 3 ,∴ c 2 . 4 4 2 2 2
2 10 a 10 ， 2
5 r r r 1 2 展开式中 x 2 的系数， Tr 1 C5r x 2 2 2 C5r x 10 2 r ，令 2 x
5
，所以 T5 80 x 的常数项是 1 32 1 80 48 .
3
∴ f x max f x min 6m 2 12m 16 16m ，得 m 2 或 m 又 0 m 2 ，∴ mmin 16. 3
4 , 3
2n 3 【解析】由题意得， a1 0, a2 2, a3 6, a4 2, a5 0, a6 0 ， 2n

2019年高三11月期中联考(数学理)

2019年高三11月期中联考（数学理）本试卷共4页，分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题目）两部分，共150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准备考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂在其它答案标号。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合}3=n∈-<NnmZmBA，则<},2{|1=3∈-<|{≤A.{0，1}B.{-1，0，1}C.{0，1，2}D.{-1，0，1，2}2.下列命题中的假命题是A. B.C. D.3.已知条件，条件，则是成立的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件4.将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，所得函数图象对应的解析式为A. B.C. D.5.已知，若，则=A.1B.-2C.-2或4D.46.设等比数列中，前n项和为,已知，则A. B. C. D.7.设3.0log ,9.0,5.054121===c b a ，则的大小关系是A. B. C. D.8.函数的图象大致是9.在中，角A ，B ，C 所对边分别为a,b,c ，且，面积，则等于A. B.5 C. D.2510.若函数⎪⎩⎪⎨⎧<->=0),(log 0,log )(212x x x x x f ，若,则实数的取值范围是 A. B.C. D.11.已知是的一个零点，，则A. B.C. D.12.已知，把数列的各项排列成如下的三角形状，记表示第行的第个数，则=A. B. C. D.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13.不等式的解集是 .14.若实数满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-,0,0,01x y x y x ，则的值域是 .15.已知奇函数满足，且当时，，则的值为x -1 02 4 5 F(x) 1 2 1.5 21下列关于函数的命题；①函数的值域为［1，2］；②函数在［0，2］上是减函数；③如果当时，的最大值是2，那么t 的最大值为4；④当时，函数最多有4个零点.其中正确命题的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共74分。

湖南重点高中2019届高三11月大联考文科数学(精编含解析)

2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣3，﹣1，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}2．已知函数g（x）＝为奇函数，且f（﹣1）＝1，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．23．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．254．已知单位向量，满足|+|＝|﹣|，则|﹣|＝（）A．B．1C．D．25．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．6．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，命题p：若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，命题q：若a＞b，则cos A＜cos B．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）7．在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若＝λ+μ（x，μ∈R），则λ+μ＝（）A．B．C．D．8．正四面体SABC中，D是AB的中点，E是SB的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称10．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）＝，则函数g（x）＝f（x）﹣lg|x|的零点个数为（）A．9B．10C．18D．2012．若∀x＞0，（e x﹣ax）（lnx﹣ax）≤0恒成立，则a的取值范围是（）A．[，e]B．[]C．[1，e]D．[e，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为14．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝．15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，已知一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为16．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，ab sin C＝c2﹣（a﹣b）2，若△ABC的面积为4，则c的最小值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝3，a n﹣a n﹣3n＝0，n≥2．﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+，a∈R．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的取值范围．22．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值2018-2019学年湖南省重点高中高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，则A∩B＝（）A．{﹣1，1}B．{﹣3，﹣1，1}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1，2}【分析】化简集合B，根据交集的定义写出A∩B．【解答】解：集合A＝{x|x＝2k﹣1，k∈z}为奇数集，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，则A∩B＝{﹣1，1}．故选：A．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．2．已知函数g（x）＝为奇函数，且f（﹣1）＝1，则a＝（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【分析】根据题意，由函数的解析式可得g（﹣1）＝f（﹣1）＝1，又由函数为奇函数可得（﹣1）2﹣a（﹣1）＝﹣1，解可得a的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数g（x）＝，则g（﹣1）＝f（﹣1）＝1，又由函数g（x）＝为奇函数，则g（1）＝﹣g（﹣1）＝﹣1，即12﹣a＝﹣1，解可得a＝2；故选：D．【点评】本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题．3．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，公差d≠0，a1、a2、a5成等比数列，则S5＝（）A．15B．20C．21D．25【分析】利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵a1，a2，a5成等比数列，∴＝a1•a5，∴（1+d）2＝1•（1+4d），解得d＝2．∴S5＝5+＝25．故选：D．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知单位向量，满足|+|＝|﹣|，则|﹣|＝（）A．B．1C．D．2【分析】由已知，两边同时平方可求得＝，然后代入|﹣|＝＝可求．【解答】解：∵，且|+|＝|﹣|，∴，∴＝，∴＝，则|﹣|＝＝＝1，故选：B．【点评】本题主要考查了向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．1D．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，根据锥体体积公式，可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，其底面面积S＝（1+2）×1＝，高h＝1，故体积V＝Sh＝，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．6．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，命题p：若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，命题q：若a＞b，则cos A＜cos B．下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（￢q）C．（￢p）∧（￢q）D．（￢p）∨（￢q）【分析】推导出命题p是假命题，命题q是真命题，由此能求出结果．【解答】解：由a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，知：命题p：若a2+b2＞c2，则△ABC为锐角三角形，是假命题，比如a＝5，b＝4，c＝3，则a2+b2＞c2，则△ABC为直角角三角形，故命题p是假命题；命题q：若a＞b，则cos A＜cos B，是真命题．∴在A中，p∧q是假命题；在B中，p∨（￢q）是假命题；在C中，（￢p）∧（￢q）是假命题；在D中，（￢p）∨（￢q）是真命题．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查复合命题的真假判断等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．7．在△ABC中，D是AB的中点，H是CD的中点，若＝λ+μ（x，μ∈R），则λ+μ＝（）A．B．C．D．【分析】用，表示出，由平面向量基本定义可得出λ，μ的值即可得出答案．【解答】解：∵D为AB中点，H为CD中点，＝＝＝，∴，∴．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．8．正四面体SABC中，D是AB的中点，E是SB的中点，则异面直线AE与CD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】过点D作DF∥AE，交SB于点F，得出∠CDF是异面直线AE与CD所成的角；设正四面体SABC 的棱长AB＝a，利用三角形的边角关系求出cos∠CDF的值．【解答】解：如图所示，过点D作DF∥AE，交SB于点F，连接CF，则∠CDF是异面直线AE与CD所成的角；设正四面体SABC的棱长AB＝a，则AE＝CD＝a，DF＝AE＝a，BF＝a；△BCF中，CF2＝a2+a2﹣2•a•a•cos60°＝a2；△CDF中，cos∠CDF＝＝＝．故选：A．【点评】本题考查了异面直线所成的角的计算问题，也考查了空间想象能力，是基础题．9．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），则下列结论正确的是（）A．x＝﹣是f（x）图象的一条对称轴B．f（x）图象的对称中心为（2kπ+，0），k∈ZC．f（x）≥1的解集为[4kπ，4kπ+]，k∈ZD．将f（x）的图象向右平移个单位所得函数图象关于y轴对称【分析】由图象经过两点，解方程可得函数f（x）的解析式，由对称轴的特点可判断A；由对称中心解方程可判断B；运用正弦函数的图象解不等式可得解集，可判断C；运用图象平移规律和函数奇偶性的性质，可判断D．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（0＜ω＜1，|φ|＜）的图象经过点（0，1），（，﹣2），可得2sinφ＝1，由|φ|＜）即有φ＝，由2sin（ω+）＝﹣2，0＜ω＜1，即有ω+＝，可得ω＝，则f（x）＝2sin（x+），由f（﹣）＝2sin（﹣+）＝0不为最值，故A错；可令x+＝kπ，可得x＝2kπ﹣，k∈Z，即有对称中心为（2kπ﹣，0），故B错；由f（x）≥1即sin（x+）≥，可得+2kπ≤x+≤2kπ+，即4kπ≤x≤4kπ+，k∈Z，故C对；f（x）的图象向右平移个单位可得y＝2sin（x﹣+），即y＝2sin x，所得函数图象关于原点对称，故D错．故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，主要是函数解析式的求法和对称性、图象平移，考查化简运算能力，属于中档题．10．设函数f（x）＝x sin x+cos x﹣，则下列是函数f（x）极小值点的是（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，结合三角函数的性质求出极小值点即可．【解答】解：∵f′（x）＝sin x+x cos x﹣sin x﹣x＝x（cos x﹣），令f′（x）＝0，解得：x＝0或x＝2kπ±，令k＝1，则k＝1时，x＝或，显然x∈（0，）时，f′（x）＜0，f（x）递减，函数的极小值点是，故选：D．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及三角函数的性质，是一道常规题．11．定义在R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），且当x∈（﹣1，3]时，f（x）＝，则函数g（x）＝f（x）﹣lg|x|的零点个数为（）A．9B．10C．18D．20【分析】先根据函数的周期性画出函数y＝f（x）的图象，以及y＝1gx的图象，结合图象即可判定函数函数g（x）＝f（x）﹣1g|x|的零点个数．【解答】解：R上的偶函数f（x）满足f（4﹣x）＝f（x），∴函数f（x）为周期为4的周期函数，根据周期性画出函数y＝f（x）在（0，+∞）上的图象，根据y＝lgx在（0，+∞）上与函数y＝f（x）图象可知有9个交点，则函数g（x）＝f（x）﹣lg|x|的零点个数为2×9＝18，故选：C．【点评】本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数g（x）＝f （x）﹣1g|x|的零点个数的问题转化为两个函数交点个数问题．12．若∀x＞0，（e x﹣ax）（lnx﹣ax）≤0恒成立，则a的取值范围是（）A．[，e]B．[]C．[1，e]D．[e，+∞）【分析】由题意可得＜a＜，x＞0，分别构造函数设f（x）＝，g（x）＝，x＞0，利用导数求出函数的最值即可求出a的范围．【解答】解：∀x＞0，（e x﹣ax）（lnx﹣ax）≤0恒成立，∴（﹣a）（﹣a）≤0，∵e x﹣lnx＞0，∴＜∴＜a＜，x＞0，设f（x）＝，∴f′（x）＝，令f′（x）＝＝0，解得x＝e，当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减，∴f（x）max＝f（e）＝，再令g（x）＝，x＞0，g′（x）＝，令g′（x）＝0，解得x＝1，当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递增减，∴f（x）min＝f（1）＝e，∴≤a≤e故选：A．【点评】本题考查了函数恒成立的问题，以及导数和函数最值得关系，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图形可知A（2，2）当直线y＝﹣2x+z过A（2，2）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为：6．故答案为：6．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．已知向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则sin（θ+）cos（θ+）＝﹣．【分析】利用两个向量垂直的性质求得tanθ的值，再利用二倍角公式求得要求式子的值．【解答】解：向量＝（2，sinθ），＝（cosθ，﹣1），若⊥，则•＝2cosθ﹣sinθ＝0，故tanθ＝2．故sin（θ+）cos（θ+）＝sin（2θ+）＝cos2θ＝•＝•＝•＝﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查两个向量垂直的性质，二倍角公式的应用，属于基础题．15．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，书中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，已知一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，则该堑堵的表面积为36【分析】利用球体的体积公式可得内切接球的半径，得到三棱柱的高，求出三棱柱的底面三角形的边长，即可求解该堑堵的表面积．【解答】解：一个堑堵的底面积为6，体积为的球与其各面均相切，画出球在底面的俯视图，如图：球的半径为：r，，可得球的半径为：r＝1，棱柱的底面周长为：c，则＝6，解得c＝12，棱柱的侧面积为：12×2＝24，棱柱的表面积为：6+24+6＝36．故答案为：36．【点评】本题考查外接球的体积，弄清楚直三棱柱与外接球之间的一些数据关系，是解本题的关键，属于中等题．16．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，ab sin C＝c2﹣（a﹣b）2，若△ABC的面积为4，则c的最小值为2【分析】由三角形的面积公式，均值定理，余弦定理化简已知等式即可得解．【解答】解：∵△ABC的面积为4，即：ab sin C＝4，可得：ab sin C＝8，∴由ab sin C＝c2﹣（a﹣b）2，可得：8＝c2﹣a2﹣b2+2ab，可得：c2＝a2+b2﹣2ab+8，∴c2＝a2+b2﹣2ab+8≥2ab﹣2ab+8＝8，当且仅当a＝b时等号成立，∴c≥2，当且仅当a＝b时等号成立，即c的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了三角形的面积公式，均值定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，cos C（a cos B+b cos A）+c＝0．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若a＝，b＝2，求sin（B﹣C）的值．【分析】（1）利用正弦定理转化求解即可．（2）利用余弦定理以及正弦定理，以及两角和与差的三角函数求解即可．【解答】解：（1）由已知及正弦定理得，∴，∴；（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2ab cos C⇒c2＝2+4+4，∴，由，∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，考查转化思想以及计算能力．18．（12分）已知数列{a n}满足a1＝3，a n﹣a n﹣1﹣3n＝0，n≥2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）运用数列的恒等式：a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1），结合等差数列的求和公式，可得所求通项；（2）求得b n＝＝•＝（﹣），运用数列的求和方法：裂项相消求和，化简即可得到所求和．【解答】解：（1）数列{a n}满足a1＝3，a n﹣a n﹣1﹣3n＝0，n≥2，即a n﹣a n﹣1＝3n，可得a n＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣a n﹣1）＝3+6+9+…+3n＝n（3+3n）＝n2+n；（2）b n＝＝•＝（﹣），前n项和S n＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．【点评】本题考查数列的通项公式的求法，注意运用数列的恒等式，考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查化简整理的运算能力，属于中档题．19．（12分）已知函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）若f（x）在区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，求a的取值范围．【分析】（1）利用和与差公式打开，化简，即可求解单调递增区间；（2）根据区间[，a]上的值域为[﹣，﹣]，结合单调性即可求a的取值范围．【解答】解：函数f（x）＝cos（πx+）cos（πx﹣）．＝（cosπx cos﹣sinπx sin）（cosπx cos+sinπx sin）＝cos2πx sin2πx＝＝cos2πx令2kπ﹣π≤2πx≤2kπ，k∈Z得：k﹣≤x≤k∴f（x）的单调递增区间为[k﹣，k]，k∈Z．∵x∈[，a]上∴2πx∈[，2πa]上f（x）值域为[﹣，﹣]，≤cos2πx．结合余弦函数的性质：π≤2πa．解得：故得a的取值范围是[，]．【点评】本题考查三角函数的图象及性质的应用，考查转化思想以及计算能力．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n＝2n﹣1，数列{b n}满足b1＝1，（1+log2a n）b n+1＝n（b n+2）．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）求数列{a n b n}的前n项和T n．【分析】（1）分n＝1和n≥2两种情况，根据数列的通项公式的定义求得a n＝2n﹣1，然后代入已知条件推知{b n}的通项公式；（2）利用错位相减法求得T n．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝S1＝1．＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1当n＝1时也适合，故a n＝2n﹣1，所以1+log2a n＝n，故nb n+1＝n（b n+2）．b n﹣b n+1＝2，b n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．（2）a n b n＝（2n﹣1）•2n﹣1．T n＝1+3•2+5•22+…+（2n﹣1）•2n﹣1，①2T n＝2+3•22+5•23+…+（2n﹣1）•2n，②由①﹣②得：﹣T n＝1+2（2+22+…+2n﹣1）﹣（2n﹣1）•2n＝1+2（2n﹣2）﹣（2n﹣1）•2n，T n＝（2n﹣3）•2n+3．【点评】本题考查了数列的求和、“错位相减”法求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+，a∈R．（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（2）若函数f（x）有且只有一个零点，求a的取值范围．【分析】（1）求得a＝1时f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，可得切线方程；（2）由题意可得f（x）＝0有且只有一个正实数根，可得﹣a＝xlnx，设g（x）＝xlnx，求得导数和单调性、极值和最值，画出g（x）的图象，即可得到所求a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝lnx+的导数为f′（x）＝﹣，可得曲线f（x）在x＝1处的切线斜率为k＝1﹣1＝0，切点为（1，1），可得切线方程为y＝1；（2）函数f（x）有且只有一个零点，即f（x）＝0有且只有一个正实数根，可得﹣a＝xlnx，设g（x）＝xlnx，导数为g′（x）＝1+lnx，可得x＞时，g′（x）＞0，g（x）递增；0＜x＜时，g′（x）＜0，g（x）递减；即有x＝时g（x）取得最小值﹣，作出g（x）＝xlnx的图象，可得﹣a＝﹣或﹣a＞0，解得a＝或a＜0，则a的取值范围是{}∪（﹣∞，0）．【点评】本题考查导数的运用：求切线方程和单调性、极值和最值，考查分离参数和构造函数法，化简整理的运算能力，属于中档题．22．（12分）已知函数f（x）＝，a∈R．（1）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（2）若x＞0时，f（x）＞2，求整数a的最小值【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出a＞在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，根据函数的单调性求出a的最小值即可．【解答】解：（1）f′（x）＝，令y＝x2+ax﹣a，当△≤0即﹣4≤a≤0时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，△＞0，x2+ax﹣a＝0的两根为x1＝，x2＝，∵x2＜0＜x1，∴f（x）在（0，x1）递减，在（x1，+∞）递增，当a≤﹣4时，△＞0，0＜x2＜x1，故f（x）在（0，x2），（x1，+∞）递增，在（x2，x1）递减；（2）由已知得a＞在（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝，令h（x）＝2﹣e x﹣2x，h′（x）＝﹣e x﹣2＜0，故h（x）＜h（0）＝1，∵h（）＜0，∴h（x）在（0，）上存在零点，设为x0，则＝2﹣2x0，g（x）≤g（x0）＝，x0∈（0，），设m（x）＝，则m′（x）＝＞0，故m（x）在（0，）递增，故m（x）∈（0，），故整数a的最小值是1．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。