24.4.3解直角三角形(坡度与坡比)
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》精品课件_1
1、如图，铁路的路基横断面是等腰梯 形，斜坡AB的坡度为 1 : 3 坡面AB的水 平宽度为 3 米，基面AD宽2米，求路 基高AE、坡角∠B和基底BC的宽
结合例题体会 如何把实际问题转化为数学问题？
注意解题格式。
小组内交流此题用到的重要知识 和数学思想。
2、如图所示，修建铁路要经过一座高山，需
（3）传送带和地面所成的斜坡的坡比为 1：2，把物体从地面送到离地面9米高的 地方，则物体通过的路程为 _______米。
（4）斜坡的坡度是1：3，斜坡长=100米， 则斜坡高为___米。
温馨提示： 坡度等于坡角的正切值. 坡度越大，坡角就越大，坡面就陡.
（1）坡度不是度数，是一个比值，也叫坡比。 （2）坡度通常写成1∶m的形式， 如i=1∶6. i= 1 : 3
2．小明沿着坡度为1:2的山坡行走了 1000m，则他升高了__________m。
3、一段河坝的断面为梯形ABCD，AB=5米， BC=4.5米,坡面CD 坡度为 i= 1: 3 求坝宽AD．
1、课本P116练习 P121,第12题；
2、复习本节知识。
l
2、坡度（或坡比）
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i, 即 i=—h— l
3、坡度与坡角的关系
i
h l
tan
坡度等于坡角的正切值.
坡度越大，坡角就越大，坡面就陡.
自学检测（看谁又对又快）
（1）斜坡的坡比是1:1 ， 则坡角α =__度，斜坡的 坡角600 ，则坡度i=___. （2）斜坡长是12米,坡高6米,则坡比是___.
解直角三角形的应用 ——坡度
自主学习：
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课课件_14
和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构造直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）。
2、解直角三角形的问题往往与其他知识联系，因此，我们要 善于要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问 题时合理运用。
一个公共房屋门前的台阶共高出地面1.2米.台阶被 拆除后，换成供轮椅行走的斜坡．根据这个城市的 规定，轮椅行走斜坡的倾斜角不得超过30°．从斜 坡的起点至楼门的最短的水平距离该是多少？（精 确到0.1米）
C
1.2
1.2
30°
A
B
收获经验
1、学以致用 我们学习数学的目的就是解决实际生活中存在的数学问题，
华东师大版9初中数学九年级上册 ——坡度、坡角
解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）；
Ｂ
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
(3)边角之间的关系: sinA＝ a c
cosA＝
b c
Ａ
tanA＝
a b
c a
bＣ
学习目标
1、理解坡度、坡角、铅垂高度、水平长度等 相关概念
1、课本P102,第12题； 2、复习本节知识。
2、会运用解直角三角形有关知识解决与坡度、 坡角有关的实际问题
自学指导一
认真看课本115页“读一读”： 理解坡度（坡比）、坡角、坡面的概念
及相互关系
1、坡角
i= h : l 坡面 h
α
_坡___面__与__水___平__面___的__夹__角____叫做坡角，记作α 。
24.4 第3课时 坡度问题 华师大版数学九年级上册课件
化整为零，积零为整，化曲为直，以直代曲的解决问题的策略
解直角三角形有广泛的应用，解决问题时，要根据实际情况灵活 运用相关知识。例如，当我们要测量如图 1 所示大坝的高度 h 时，只 要测出仰角 α 和大坝的坡面长度 l，就能算出 h = l sin α，但是，当我 们要测量如图 2 所示的山高 h 时，问题就不那么简单了，这是由于不 能很方便地得到仰角 α 和山坡长度 l.
斜坡 AB 的长度以及斜坡 CD 的坡角的问题实质上就是解 Rt△ABE 和 Rt△CDF.
解：(1)分别过点 B、C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为点 E、 F，
由题意可知 BE = CF = 23 m ，EF = BC = 6 m. 在 Rt△ABE 中
在 Rt△DCF 中，同理可得
= 69 + 6 + 57.5 = 132.5 m 在 Rt△ABE 中，由勾股定理可得
我们设法“化曲为直，以直代曲”． 我们可以把山坡
“化整为零”地划分为一些小段，如图表示其中一部分小段，
划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可
以量出这段坡长 l1，测出相应的仰角 α1，这样就可以算出这
段山坡的高度 h1 = l1 sin α1.
l1 α1
h1
方法归纳
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方 法分别算出各段山坡的高度 h1，h2，…，hn，然后我们再 “积零为整”，把 h1，h2，…，hn 相加，于是得到山高 h.
i h tan
l 即坡度等于坡角的正切值.
24.4 第3课时 坡度、坡角在解直角三角形中的应用
•
5．(4分)如图，某山坡的坡面AB＝200米，坡角∠BAC＝30°， 则该山坡的高BC的长为___1_0米0 ．
6．(10分)(2017·长春)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为 31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米， 参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)
解：过点 B 作 BE⊥AD 于点 E，过点 C 作 CF⊥AD 于点 F，
则 BE＝CF＝23(m)．在 Rt△ABE 中，tan α＝i＝ 13＝ 33. ∴α＝30°，∴AB＝2BE＝46(m)，∵i＝BE∶AE＝1∶ 3. 即 23∶AE＝1∶ 3，∴AE＝23 3(m)． 在 Rt△CFD 中，i′＝CF∶FD＝1∶1，∴FD＝CF＝23(m)， ∴AD＝AE＋EF＋FD＝23 3＋6＋23＝29＋23 3≈ 29＋23×1.73≈68.8(m)． 答：斜坡 AB 长 46 m，坡角α为 30°，坝底宽 AD 约为 68.8 m
A. 33∶1，60° B. 3∶1，30°
C. 3∶1，60° D. 33∶1，30°
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/62021/9/62021/9/69/6/2021 9:47:23 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/62021/9/62021/9/6Sep-216-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/62021/9/62021/9/6Monday, September 06, 2021
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》教学案例_1
解直角三角形的应用 ——坡角、坡度问题学习目标：1、理解坡角、坡度的概念及两者之间的关系2、能利用解直角三角形的知识解决与坡角、坡度有关的实际问题 重点：坡角、坡度在解直角三角形中的实际应用 难点：把实际问题转化为数学问题的能力提升 学习过程： 一、主动自学 1、概念理解坡度：坡面的铅垂高度（通常用i 表示，即i=坡角： 与 的夹角叫做坡角，记作α.二者关系：i =lh= .坡度越，坡角α ，坡面就 。
想一想：坡度是坡角的度数吗？ 2、自学检测（1）斜坡的高度为3米，水平距离为5米，则坡度i = 。
（2）斜坡长是10米，坡高为5米，则坡度i = 。
（3）斜坡的坡角α是45度，则坡角i = 。
（4）斜坡的坡度i =1∶2，已知坡高为3米，则斜坡的坡面长度为 米。
二、互动探究例：如图，一水库大坝的横断面为梯形ABCD ，坝顶BC 宽为6米，坝高为20米，斜坡AB 的坡度i =1∶2.5，斜坡CD 的坡角为30º，求坝底AD 的长度。
（精确到0.1米，参考数据：2=1.414，3=1.732）思路引导:12、求AD 如需要，应该怎样作辅助线？三、恒动提升 1、课堂达标训练（1）如图所示，某水坝的坡度为i =1∶3，坡长AB=20米，则坝的高度AD 为（ ）A 、 10米B 、20米C 、40米D 、203米（2）如图，在坡度为1∶2是4（3）如图所示，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为18㎝，深为30㎝，为方便伤残人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的终点为C（4底宽AD （结果保留根号）2、课堂小结说一说本节课你的体会和收获 （1）坡角、坡度的概念和关系。
（2）坡角、坡度在解直角三角形中的实际应用时，通常先要做垂线构建直角三角形，再合理的运用直角三角形的有关性质解决实际问题。
四、课后拓展1、小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米。
华东师大版九年级数学上册《24章 解直角三角形 24.4 解直角三角形 坡比、坡度问题》公开课教案_1
《解直角三角形的应用》(坡度、坡角等）教学设计《解直角三角形的应用（坡度、坡角等）》教学设计教学思路本节课研究的是坡度坡角问题，它实质是利用解直角三角形的知识来解决新问题，通过学生对正切知识的复习和对本节知识的预习，理解坡度和坡角的相关概念，并利用新知识解决学生生活中比较熟悉的问题，让学生体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求。
通过对综合性实际问题的解决，提高学生解决实际问题的能力，并获得解答应用题的一些经验，有效完成本节课的教学任务。
教学内容本节内容是华师大版九年级上册第二十四章24.4第三节知识。
教学目标一、知识与能力1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决；2、能应用解直角三角形的知识解答综合的实际问题；3、能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。
二、数学思考1、把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决；2、感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
三、情感态度和价值观通过本节课的学习，一方面增强学生对解直角三角形的应用意识，另一方面培养学生耐心、细致、认真的学习态度。
教学重点理解坡度和坡角的概念．教学难点利用坡度和坡角等条件，解决有关的实际问题．A┌ 教师准备幻灯片、三角板学生准备预习新课，完成导学案“温故互查”和“设问导读”教学过程一、导入新课在我们的生活中有很多的山坡，有的山坡很陡，有的山坡比较缓，那么我们如何从数量上来描述山坡的陡缓程度呢？这就是我们今天要学习的内容。
二、明确目标学生齐读学习目标学习目标：1.掌握坡度，坡角等概念，把坡度、坡角等实际问题转化为解直角三角形的问题来解决．2.能够借助辅助线解决实际问题，掌握数形结合，抽象归纳的思想方法。
3.感知本节知识与现实生活的联系，体会数学来源于生活，又服务于生活。
重点、难点1.利用坡度、坡角解直角三角形；2.解直角三角形在实际中的应用及辅助线的添加方法。
24.4.3坡度与解直角三角形的应用课件
解：过点 E 作 EF⊥BC 的延长线于点 F，EH⊥AB 于点 H，在 Rt△
CEF
中，∵i＝ECFF＝
1 ＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝CE 3
＝10 米，CF＝10 3米，∴BH＝EF＝10 米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25
＋10 3)米，在 Rt△AHE 中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋
减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，
地质人员勘测，当坡角不超过 45°时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡顶到地面的距离 BE 的长；
(2)如果改造时保持坡脚 A 不动，
坡顶 B 沿 BC 削进到 F 处，问 BF 至少是多少
米 解：？(1)∵i＝BAEE＝95，设 BE＝9k，AE＝5k(k 为正数)，则在 Rt△
（DE＋AF）DN
(2)∵S ＝ 梯 形 ADEF
2
＝ 50 3 － 30 ， ∴ (50 3 －
30)×600≈(30000 3－18000)立方米．答：完成这项工程需要
土石约(30000 3－18000)立方米
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
知识点 1：坡度和坡角 1．(2014·怀化)如图，小明爬一土坡，他从 A 处爬到 B 处所走的 直线距离 AB＝4 米，此时，他离地面高度为 h＝2 米，则这个土坡 的坡角∠A＝__3_0_°．
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案：24.4 第3课时 坡度问题【含答案】
华师大版2020-2021年九年级数学上册导学案第24章 解直角三角形24.4解直角三角形 第3课时 坡度问题学习目标：1.理解坡度、坡角的概念（重点）.2.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题（难点）.自主学习一、新知预习在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.如图，坡面的铅垂高度h 和水平长度l 的比叫做坡面的______（或坡比），记作i ，即i=l h.坡度通常写成1：m 的形式，如i=1:6.坡面与水平面的夹角叫做______，记作α，有i=lh=tan α.显然，坡度越大，坡角α就越____，坡面就越____. 合作探究一、探究过程探究点1：利用坡度、坡角解决实际问题 【典例精析】例 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6 m ，坝高23 m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i ’=1∶2.5 ， 则斜坡CD 的坡面角α，坝底宽AD 和斜坡AB 的长应设计为多少(参考数据：tan18.4°≈31)？【归纳总结】根据坡度的定义i ＝hl ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .【针对训练】1.（1）一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;（2）如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 （用计算器计算，结果精确到0.1°）; （3）等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ; （4）堤坝横断面是等腰梯形（如图所示）.若AB=10 m,CD=4 m,高h=4 m,则坡度i= ,AD= m.第1题图 第2题图2如图，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为( ) A ．5m B ．6m C ．7m D ．8m二、课堂小结坡度、坡比问题图解坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______.当堂检测1．如图是拦水坝的横断面，斜坡AB 的水平宽度AC 为6米，斜面坡度为1：3，则斜坡AB 的长为（ ） A ．210米B ．3米C ．6米D ．12米第1题图 第2题图2．如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m ，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（ ） A ．3m B ．3m C ．12m D ．6m3．小明沿着坡度为1：的斜坡向上行走了10米，则他的垂直高度上升了 米．4. 如图，给高为3米，坡度为1∶1.5的楼梯表面铺地毯．已知每级楼梯宽度为1.5米，地毯的价格为每平方米8元，则铺完整个楼梯共需______元.第4题图第5题图5．一座拦河大坝的横截面如图所示，已知AB＝20 m，斜坡AB的坡比是1∶2，斜坡DC的坡比是3∶4，则DC的长是米．6．如图，A，B两地被大山阻隔，由A地到B地需要先爬坡到山顶C地，再下坡到B地，已知坡面AC的坡度i＝1：，坡面BC的坡角∠CBA＝45°，BC＝4千米．若修建一条穿山隧道AB，则隧道打通后与打通前相比，从A地到B地的路程约缩短多少千米（结果精确到0.01千米.参考数据：≈1.414，≈1.732）？能力提升7．某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为26米，斜坡AB的坡度i＝12∶5，为了减缓坡面防山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过50°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶到地面的距离BE的长；（2）如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC向左移11米到F点处，问这样改造能确保安全吗（参考数据：tan48.8°≈1.14）？参考答案自主学习 一、新知预习坡度 坡角 大 陡 合作探究一、探究过程 【典例精析】例 解：如图，作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F.∵斜坡AB 的坡度i ＝1：3，∴tanA ＝，∴α≈18.4°.∴＝.∴AE ＝69m.∴AB ＝≈72.7（m ）.∵斜坡CD 的坡度i ′＝1∶2.5，∴tan ∠D ＝＝.∴＝.∴DF ＝57.5m.∴AD ＝AE +EF +DF ＝69+6+57.5＝132.5（m ）．故斜坡AB 的坡面角α约为18.4°，坝底宽AD 的长是132.5m ，斜坡AB 的长是72.7m ．【针对训练】1.（1）1∶3（2）21.8 （3）9 4∶3 （4）4∶3 52.A 二、课堂小结 h ∶l 当堂检测1. A2.B3.54.905.6. 解：作CD ⊥AB 于点D ，在Rt △BCD 中，∵∠CBA ＝45°，BC ＝4千米，∴CD ＝ BD ＝4千米．∵坡面AC 的坡度i ＝1：，∴31＝.∴AD ＝CD ＝4.∴AC ＝＝8千米.∵AB ＝AD +BD ，∴AB ＝（4+4）千米.又∵AC +CB ＝（8+4）千米，∴AC +CB ﹣AB ＝8+4﹣4﹣4≈2.73（千米）．答：隧道打通后与打通前相比，从A 地到B 地的路程约缩短2.73千米．7. 解：（1）设AE ＝5x ，∵斜坡AB 的坡比为i ＝12∶5，∴BE ＝12x ，由勾股定理，得AE 2+ BE 2＝AB 2，即（5x ）2+（12x ）2＝262，解得x ＝2，∴BE ＝12x ＝24米.（2）如图，作FH⊥AD于H，连接F A.由（1）知AE=10米.由题意，得AH＝11+10＝21（米）.在Rt△AFH中，tan∠F AH＝＝≈1.14，则∠F AH≈48.8°.∵48.8°＜50°，∴这样改造能确保安全．。
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24.4.3 .解直角三角形（坡度与坡角）
教学目标：回运用解直角三角形有关知识解决与坡度、坡角有关的实际问题。
重点：解决有关坡度的实际问题。
难点：理解坡度的有关术语。
教学过程
一、导入新课，出示目标
导语：复习回顾
板书课题：解直角三角形（坡度与坡角）
下面大家齐读一下这节课的学习目标：
二次备课
二、设置提纲，引导自学
自学指导
自学范围：课本第115,116页。
自学时间：3分钟
自学方法：独立看书，独立思考。
自学要求：1.知道坡比概念以及和坡角的关系。
2.完成例4。
3.记住读一读。
自学检测
问题一：
1、一斜坡的坡角为30度，则它的坡度为；
2、一物体沿坡度为1:8的山坡向上移动米，则物体升高了
_米．
3、河堤的横断面如图所示，堤高BC是5m，迎水坡AB的长是13m，那么斜坡AB
的坡度是（）．
A 1： 3
B 1： 2.6
C 1： 2.4
D 1：2
65
页眉内容
4
、如果坡角的余弦值为，那么坡度为（）．
A 1:
B 3:
C 1:3
D 3:1
三、合作探究一
1、什么叫坡度？
坡度是指斜坡上任意一点的高度与水平距离的比值。
2、什么叫坡角？
坡角是斜坡与水平线的夹角
3、坡角和坡度什么关系？
坡角与坡度之间的关系是：
i＝
h
l
=tan a
坡度i越大，坡角 就越大，坡面就越陡。
合作探究二
例4、如图,一段路基的横断面是梯形，高为4.2m，上底的宽是12.51m，路基的坡面与地面的倾角分别是30°和45°．求路基下底的宽.(精确到0.1m)
四、课堂练习
1.水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高
23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度
i=1∶2.5，求：
（1）坝底AD与斜坡AB的长度。
（精确到0.1m）
（2）斜坡CD的坡角α。
（精确到1°）
10
10
3
图24.4.5。