微积分基础ppt课件
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微积分基本公式PPT课件
xa a
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
x
( x a) f ( x) f (t)dt
证 F ( x)
a
(x a)2
x
只要证明 ( x a) f ( x) f (t)dt 0 即可. a
令 g( x) ( x a) f ( x)
x
f (t)dt ,
a
则 g( x) f ( x) ( x a) f ( x) f ( x)
原函数.
该定理告诉我们, 连续函数一定有原函数.
6
变限积分函数的求导：
d x f (t)dt f ( x) ，
dx a
d
b
f (t)dt
d
x f (t)dt f ( x) ，
dx x
dx b
设(x) 在[a, b]上可导,则
d
(x)
f (t)dt f [( x)]( x) .
dx a
证 设 Φ( x) x f (t)dt ，则 (x) f (t)dt Φ[( x)]，
a
a
所以
d
(x)
f (t)dt Φ[ ( x)] ( x) f [( x)]( x) .
dx a
7
更一般地，设 ( x) ， ( x) 在[a, b] 上可导,则
d (x)
f (t)dt
dx ( x)
§6.3 微积分基本定理
用定义求定积分实际上是行不通 的,下面介绍计算定积分的方法
原函数存在定理 牛顿-莱布尼茨公式
1
原函数存在定理
定理6.3 设函数f ( x)在[a, b]上连续, 则变上限积分
x
Φ( x) a f (t)dt
在[a, b]上可导, 且
Φ( x) d
x
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
《微积分的基本定理》课件
物理
在物理学科中，该定理可以用来 解决各种物理量如质量、速度、 力等的积分问题，例如计算物体 的动量、动能等。
工程
在工程领域，该定理可以用来解 决各种实际问题的积分计算，例 如计算电路中的电流、求解流体 动力学中的压力分布等。
02 定理的证明
定理证明的思路
明确问题
首先，我们需要明确微积分的基本定理是关于什 么的，以及它要解决的问题是什么。
难点2
如何利用积分运算法则简化每个小部分的积 分。
关键点1
理解定积分的定义和性质，以及它们在证明 定理中的作用。
关键点2
掌握导数的定义和性质，以及它们在推导原 函数值增量中的应用。
03 定理的推论和扩 展
推论一：积分中值定理
总结词
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它表明在闭区间上连续的函数一定存在至少一个点，使得该函数在此 点的值为该区间上函数积分的平均值。
详细描述
积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它表明如果一个函数在闭区间上连续，那么在这个区间内一定存在至 少一个点，使得该函数在这一点处的值等于该函数在整个区间上的平均值。这个定理在解决一些微积分问题时非 常有用，因为它可以帮助我们找到函数在某个点处的值，而不需要计算整个区间的积分。
推论二：洛必达法则
个定积分的值就是曲边梯形的面积。
应用实例二：求解不定积分
总结词
微积分的基本定理是求解不定积分的关 键工具。
VS
详细描述
不定积分是微分学的逆运算，其求解过程 需要用到微积分的基本定理。根据基本定 理，不定积分∫f(x)dx = F(x) + C，其中 F(x)是f(x)的一个原函数，C是常数。通过 基本定理，我们可以找到一个函数F(x)， 使得F'(x) = f(x)。这样，我们就可以求解 不定积分了。
微积分基本公式优秀课件
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 2 x 2 d x 和 2 t 2 d t
1
1
例:求 y2cosx在 x [ 0 , ] 的平均值. 2
例:连续可导函数 f (x) 有 f (a) = 3, f (b) = 5, 求
b f ( x)dx. a
积分上限函数的导数
利用牛顿—莱布尼茨公式反过来理解积分上限函数 (注:此为非正规方式)
x
(x)a f(t)dt
就是 f (x) 在 [a , b] 上的一个原函数.即:
(x)f(x) 或 (x) f(x)dx
例:函数 f (t ) = t 的积分上限函数 (x)
x
tdt
0
(x)f(x)x
原函数存在定理
x
(x )af(t)d t (x )f(x )
证:
xx
x
(xx)(x) f(t)dt f(t)dt
例:已知
f
(x)
x x2
0 x1 ,求 1 x2
2
f ( x)dx.
0
y
f (x)
O
1 2x
例:已知
x2 f (x) ex
1 x2
,求
0 x1
2
f ( x)dx.
0
牛顿－莱布尼茨公式
例:求 cos x dx 0
例:求 sin x dx
2
例:求 1 x dx 0
2
例:求 2x 1 dx 0
F(x)(x)C, x[a,b]
当 x = a 得 F(a) (a)C,
牛顿－莱布尼茨公式
a
(a )af(x )d x0 F (a )C
( x ) F ( x ) C F ( x ) F ( a )
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
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非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微积分讲解ppt课件
多元函数的表示 方法
多元函数可用记号 f(x1,x2,…,xn)或z=f(x,y) 表示。
多元函数的定义 域
使多元函数有意义的自 变量组合(x1,x2,…,xn) 的集合。
多元函数的值域
多元函数所有值的集合 。
偏导数与全微分
偏导数的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量Δx时，相应地函数有增量 f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)。如果Δz与Δx之比当Δx→0时的极限存在，那么此极限值称为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对 x的偏导数。
齐次方程法
通过变量替换，将齐次方程转化为可分离变 量的形式
一阶线性微分方程法
利用积分因子，将方程转化为可积分的形式
二阶常微分方程解法
可降阶的二阶微分方程
通过变量替换或分组，将方程降为一阶微分方 程求解
二阶线性微分方程法
利用特征根的性质，求解二阶线性常系数齐次 和非齐次微分方程
常系数线性微分方程组法
在经济学中的应用
边际分析
通过求导计算边际成本、边际收益等，为企业的决策 提供依据。
弹性分析
研究价格、需求等经济变量之间的相对变化关系，微 积分可用于计算弹性系数。
最优化问题
在资源有限的情况下，通过微积分求解最大化或最小 化某一经济指标的问题。
在工程学中的应用
结构力学
分析建筑、桥梁等结构的受力情况和稳定性，微积分可用 于求解复杂的力学方程。
通过消元法或特征根法，求解常系数线性微分方程组
05
多元函数微积分
多元函数的基本概念
多元函数的定义
设D为一个非空的n元有 序数组的集合，f为某一 确定的对应规则。若对 于每一个有序数组 (x1,x2,…,xn)∈D，通过 对应规则f，都有唯一确 定的实数y与之对应， 则称对应规则f为定义在 D上的n元函数。
《微积分学基本定理》课件
解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
微积分PPT课件
限也相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.
28
例9 计算定积分 2 cos5 xsinxdx. 0
解 令 tcox,sdtsinxdx,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .F (0 ) 10 ,
1
1
F(1)1 f(t)dt 0
0[1 f (t)]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在 (0,1) 内只有一个解.
11
定理 （原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
x
( x) a f (t)dt 就是 f ( x)在[a, b]上的一个原
函数. 定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
12
4.2.2 牛顿—莱布尼茨公式
定理 2（微积分基本定理）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上
dx a
db
dxx f(u)duf(x)
21
课堂练习题
一、 填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=____.
2、
xd (
f ( x))dx ____ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
dx x
4、
2
f
( x)dx
____，其中
f
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下 限分别代入(t )然后相减就行了.
28
例9 计算定积分 2 cos5 xsinxdx. 0
解 令 tcox,sdtsinxdx,
F ( x ) 在 [ 0 , 1 ] 上 为 单 调 增 加 函 数 .F (0 ) 10 ,
1
1
F(1)1 f(t)dt 0
0[1 f (t)]dt
0,
所以F ( x) 0即原方程在 (0,1) 内只有一个解.
11
定理 （原函数存在定理）
如果 f ( x)在[a, b]上连续，则积分上限函数
x
( x) a f (t)dt 就是 f ( x)在[a, b]上的一个原
函数. 定理的重要意义：
（1）肯定了连续函数的原函数是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之 间的联系.
12
4.2.2 牛顿—莱布尼茨公式
定理 2（微积分基本定理）
如果F ( x)是连续函数 f ( x)在区间[a,b]上
dx a
db
dxx f(u)duf(x)
21
课堂练习题
一、 填空题：
1、
d dx
b a
e
x2 2
dx
=____.
2、
xd (
f ( x))dx ____ .
a dx
3、 d 2 3 t ln(t 2 1)dt _______ .
dx x
4、
2
f
( x)dx
____，其中
f
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.
25
5. 求不定积分
e3x ex
1dx 1
.
解：
e3x ex
1 1
dx
(ex1)e(ex2 x1ex1)dx
(e2xex1)dx
1e2xexxC 2
.
26
小结
1）不定积分的定义与性质 2）熟记基本积分公式
(12)sexctaxndxs excC
(6) sinxdxcox sC
(13c) sxccoxtdxcsxcC
(7) cosxdxsixnC
.
16
例5.求 x(x2 5)dx
解
x(x2 5)dx
5
1
(x2 5x2)dx
5
1
x2dx 5x2dx
2
7
x2
10
3
x2
C
7
3
.
17
例6.求
taxn xC
.
19
练习一下
例9. 求 解: 原式 =
x4
1 x2
dx
.
(x141x)21dx
(x211)(xx221)1dx
(x21)dx1 dxx2
1x3xarcxt aC n 3
.
20
提高题目
例10.求
1 sin2 xco2sxdx
解
1
sin2
xcos2
dx x
sin2 xco2sx sin2 xco2sx dx
y x2 1 2
1
o1
x
.
12
二、不定积分的性质
.
13
[f(x)d]x f(x) df(x)dx f(x)dx
(1)、
F(x)d xF(x)C dF (x)F(x)C
求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.
(2) k(x f)d x k f(x )dx (k 0 )
(3) [f(x ) g (x )d ] x f(x ) d x g (x ) dx
提示: 已知 f(x)sixn
求 (? )f(x) 即 (? )sixn
或由题意 f(x ) cx o C 1 s,其原函数为
f (x)dx sx i n C 1 x C 2
.
24
4. 求积分:
dx
x2(1x2பைடு நூலகம்;
提示:
(1)
x2(11 x2)(1 x2(x12 )x2)x 2
1 x2
11x2
(x)F(x) (x)F (x)
f (x) f (x) 0
(x)F(x)C即 (x)F (x)C
.
7
2.不定积分的定义
定义2 函数 f ( x)的全体原函数, 称为 f ( x) 的不定积分.
记作: f (x)dx
积分号;
若 F(x)f(x)
f ( x) 被积函数;
f (x)dx 被积表达式;
x
13
x2
dx
解
x x213dx
x33x23x1dx x2
(x33x1x2)dx
x23x3lnx1C
2
x
.
18
例7. 求 2x exdx
解
2x exdx (2e)xdx
(2e)x C 2x ex C
ln(2e)
1 ln 2
例8 求 tan2 xdx
解
tan2 xdx (se2cx1)dx
y
o
x
.
11
例4.设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这
点横坐标的两倍,求此曲线的方程.
解 设所求曲线方程为：y f(x) ，由题意知 dy 2 x
即 f(x)2x
dx
y
f( x) 2xdx x2 C
又曲线通过点（1，2），
C1 f(x)x21 此曲线的方程为 y x2 1
1 cos2
dx x
1 sin2
dx x
sec2 xdx csc2 xdx
tan xcoxtC
.
21
疯狂操练
1. 若 ex是f(x)的原函 ,则数
x2f(lx)n dx
1 2
x2
C
提示: f(x)(ex)ex f (lnx) elnx 1 x
.
(P191题4)
22
2. 若 f (x) 是 e x 的原函数 , 则
f(xl x )n d x1xC0lnx C
提示: 已知 f(x)ex
f(x) e x C 0 f(lnx)1xC0 f(xlnx)x12Cx0
.
23
3. 若 f (x) 的导函数为 sinx, 则 f (x) 的一个原函数
是( B ).
(A ) 1sixn ; (B ) 1sixn ;
(C ) 1co x;s (D ) 1co x.s
1 dx x
lnxC
当 x0
时,
[ln(x)]
1 ( 1 ) x
1 x
1xdxln(x)C
总之, 1 xdxlnxC, x0
.
10
3.不定积分的几何意义
不定积分表示的是一族函数,从几何上看,代表一族曲线, 称为积分曲线族.
曲线: yF(x)C,(C为任意常数 )在(x0 ,y0 )的切线
的斜率为f(x0)
连续函数一定有原函数
(2)若函数f ( x) 在区间 I有一原函数 F ( x), 则 F(x)C 仍为
f ( x) 的原函数
.
6
(3)若函数f ( x) 在区间 I有一原函数 F ( x),
则 f ( x) 的 所有原函数可表示为:
F(x)C ( C为任意常数)
证 设 (x) 为 f ( x) 的任一原函数, 则
第五章 不定积分
１、不定积分的概念与性质 ２、换元积分法 ３、分部积分法 ４、有理函数的积分
.
1
§5.1 不定积分的概念与性质
1、不定积分的概念
2、不定积分的性质 3、基本积分表
.
2
一、概念
.
3
1、原函数
定义1
若在区间 I上，
F(x)f(x) dF (x)f(x)dx
则称 F(x) 为 f ( x) 在区间 I上的一个原函数.
例如
(six)n cox,s
sinx是 coxs的一个原函数.
(sixnc)cox,s
sin xc也是 coxs的原函数.
.
4
问题
(1)何种函数具有原函数? (2)函数若具有原函数,怎样写出原函数?
.
5
结论:
(1)若函数 f ( x) 在区间 I上连续, 则存在可导函数 F ( x)
使 F(x)f(x) (xI)
则 f ( x) 的不定积分为：
x 积分变量.
f(x)d xF(x)C
.
8
例1 求 x2dx
解:
1 (
x 3 )x2
3
x2dx
x3 3
C
例2.求
1
1 x
2
dx
解. (arctaxn ) 1 , 1x2
1
1 x2
dx
arcxtac.n
.
9
例3 求 1dx x
解 当 x0 时,
lnx 1
x
.
14
三、基本积分表
.
15
三、基本积分表
(1) kdxkxC
(2) xdx x1 C1 (8)se2cxdxtaxnC
1
1
(9)cs2cxdxcoxtC
( 3 ) dx lnxC
(4)
x
axdx
ax ln a
C
(5)exdx ex C
(10)
1
1 x2 dxarcxsiCn
1
(11) 1 x2dx arcxta Cn