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函数的奇偶性的归纳总结

考纲要求：了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法。 教学目标：1、理解函数奇偶性的概念；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法；

3、掌握函数的奇偶性应用的类型和方法；

4、培养学生观察和归纳的能力，培养学生勇于探索创新的精神。

教学重点：1、理解奇偶函数的定义；

2、掌握判断函数的奇偶性的类型和方法，并探索其中简单的规律。

教学难点：1、对奇偶性定义的理解；

2、较复杂函数奇偶性的判断及函数奇偶性的某些应用。

教学过程：

一、知识要点：

1、函数奇偶性的概念

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。

一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。

理解：

(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；

(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

2、按奇偶性分类，函数可分为四类：

奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数. 3、奇偶函数的图象：

奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。 4、函数奇偶性的性质：

①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。

②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。

③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a

④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。 ⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。

复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”. 5、判断函数奇偶性的方法：

⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()

1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；

对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或

()()

1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；

判断函数奇偶性的步骤：

①、判断定义域是否关于原点对称； ②、比较)(x f -与)(x f 的关系。 ③、扣定义，下结论。

⑵、图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数；图象关于y 轴对称的函数是偶函数。，

⑶、运算法：几个与函数奇偶性相关的结论：

①奇函数+奇函数=奇函数；偶函数+偶函数=偶函数； ②奇函数×奇函数=偶函数；奇函数×偶函数=奇函数。 ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==。 二、典例分析

1、给出函数解析式判断其奇偶性：

分析：判断函数的奇偶性，先要求定义域，定义域不关于原点对称的是非奇非偶函数，若定义域关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系. 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1). 2

()21;f x x x =-+ (2) . 223(),0;3x x f x x x x ++⎧⎫

=

∈≥⎨⎬-⎩⎭

解：()f x 函数的定义域是()-∞+∞，， ∵ 2()21f x x x =-+，∴

2()()21f x x x -=---+221()x x f x =-+=，

∴ 2()21f x x x =-+为偶函数。

（法2—图象法）：画出函数2()21f x x x =-+的图象如下： 由函数2()21f x x x =-+的图象可知，

2()21f x x x =-+为偶函数。

说明：解答题要用定义法判断函数的奇偶性，选择题、填空题可用图象法判断函数的奇偶性。

(2) . 解：由 3

03

x x +≥-，得x ∈(－∞，－3］∪(3，+∞).

∵定义域不关于原点对称，故是非奇非偶函数. 【例2】 判断下列函数的奇偶性：

(1)

. ()f x =(2) . 3()3sin(2);2

f x x π

=- (3). 02

1()1x f x x -=-。 解： (1).由2

40

330

x x ⎧-≥⎪⎨+-≠⎪⎩，解得 2206x x x -≤≤⎧⎨≠≠-⎩且

∴定义域为－2≤x ＜0或0＜x ≤2

，则();f x ==.

∴()();f x f x -===-.

∴()33

f x x =+-为奇函数.

说明：对于给出函数解析式较复杂时，要在函数的定义域不变情况下，先将函数解析式变形化简，然后再进行判断。 (2) .函数3()3sin(

2)2

f x x π

=-定义域为R ， ∵3()3sin(

2)3cos 22

f x x x π

=-=-， ∴()3cos 2()3cos 2()f x x x f x -=--=-=，

∴ 函数3()3sin(2)2

f x x π

=-为偶函数。

(3). 由2010x x ≠⎧⎨-≠⎩，解得 01

x x ≠⎧⎨≠±⎩，∴ 函数定义域为{}0,1x R x x ∈≠≠±，

又∵02

2111

()011

x f x x x --===--，∴()0f x -=， ∴()()f x f x -=且()()f x f x -=-，

所以02

2111

()011

x f x x x --===-- 既是奇函数又是偶函数。 【例3】 判断下列函数的奇偶性：

(1). 0.5()log (f x x =；(2). (1),(0)()0,(0)(1),(0)x x x f x x x x x ->⎧⎪

==⎨⎪+<⎩

解：(1) . 定义域为R ，

∵0.50.5()()log (log (f x f x x x -+=-+++

20.50.5log ((1))log 10x x =+-==，∴ f (－x )=－f (x )，所以f (x )为奇函数。