微电子器件基础第一章补充

dQn 0 ，上式可再简化为 定态时， dt Qn In
n
（1-27）
空穴的电荷控制方程为
Ip
dQp dt

Qp
p
（1-28）
定态时，
Ip
Qp
p
（1-29）
方程 (1-26) ~ (1-29) 是电荷控制模型中的常用公式 ，只是具 体形式或符号视不同情况而可能有所不同。
1.1.1 泊松方程
d 2 q p n ND NA 2 dx s s
式中 为静电势，它与电场强度 E 之间有如下关系：
d E dx
所以泊松方程又可写成
dE q p n ND NA dx s
（1-9）
1.1.2 输运方程
Un
n
n
（1-18）
在 N 型区中，空穴的净复合率为
Up
p
p
（1-19）
例 1.4 将电子的扩散电流密度方程 (1-16)
dn J n qDn dx
代入电子的连续性方程 (1-12)
n 1 J n Un t q x
设 Dn为常数，再将 Un 的表达式代入，可得 电子的扩散方程，
dn J n qn nE qDn dx
当载流子浓度和电场很小而载流子浓度的梯度很大时，则
漂移电流密度远小于扩散电流密度，可以忽略漂移电流密度，
方程（1-10）简化为
dn J n qDn dx
（1-16）
反之，则可以忽略扩散电流密度，方程（1-10）简化为
J n qn nE
例 1.3 对于方程 ( 1-12 ) 、( 1-13 )
n 1 Jn Un t q x p 1 Jp Up t q x
其中的净复合率 U 可表为
np ni2 U n p 2ni
（1-17）
式中， 代表载流子寿命，n n0 n, p p0 p, n0 p0 ni2
在 P 型区和 N 型区中，净复合率 U 可分别作如下简化。 在 P 型区中，电子的净复合率为
例 1.1 对于方程 ( 1-9 )
dE q p n ND NA dx s
在耗尽区中，可假设 p = n = 0 ，又dx s
若在 P 型耗尽区中，则得
（1-14）
dE q NA dx s
例 1.2 对于方程（1-10），
D
N A dv
在 N 型耗尽区中可简化为

A
E dA
q
s

V
N D dv
（1-25）
例 1.6 电子的电荷控制方程为
dQn Qn In dt n
（1-26）
式中，Qn q ndv， Qn q ndv ，分别代表体积 V
V V


内的电子总电荷量和非平衡电子总电荷量。
输运方程又称为电流密度方程。 电子电流密度 Jn 和空穴电流密度 Jp 都是由漂移电流密度和 扩散电流密度两部分所构成，即
dn J n qn nE qDn dx dp J p qp pE qDp dx
（1-10） （1-11）
1.1.3 连续性方程
n 1 Jn Un t q x p 1 Jp Up t q x
n 2 n n Dn 2 t x n
同理可得 空穴的扩散方程，
（1-21）
p 2 p p Dp 2 t x p
（1-23）
也可对积分形式的基本方程进行简化。 例 1.5 对于泊松方程的积分形式 (1-6) ，

A
E dA
q
s
pn N
V
以上各方程均为微分形式。其中泊松方程和连续性方程可 根据场论中的积分变换公式而变为积分形式。 泊松方程
dE q p n ND NA dx s
的积分形式就是著名的 高斯定理，

A
E dA
q
s
pn N
V
D
N A dv
（1-6）
连续性方程的积分形式称为 电荷控制方程。
分析半导体器件时，应先将整个器件分为若干个区，然后
在各个区中视具体情况对基本方程做相应的简化后进行求解。
求解微分方程时还需要给出 边界条件。扩散方程的边界条件为
边界上的少子浓度与外加电压之间的关系。于是就可以将外加
电压作为已知量，求解出各个区中的少子浓度分布、少子浓度
梯度分布、电场分布、电势分布、电流密度分布等，最终求得
器件的各个端电流。
这些就是本课程的主要内容。
（1-12） （1-13）
式中的 Un 和 Up 分别代表电子和空穴的 净复合率。当 U > 0 时表示净复合，当 U < 0 时表示净产生。 所谓连续性是指载流子浓度在时空上的连续性，即：造成 某体积内载流子增加的原因，一定是载流子对该体积有净流入
和载流子在该体积内有净产生。
1.1.4 方程的积分形式
半导体器件基本方程
1.1 半导体器件基本方程的形式
半导体器件内的载流子在外电场作用下的运动规律可以用 一套 基本方程 来加以描述，这套基本方程是分析一切半导体 器件的基本数学工具。 半导体器件基本方程是由 麦克斯韦方程组 结合 半导体的 固体物理特性 推导出来的。
分析半导体器件的基本方程包含三组方程。
在用基本方程分析半导体器件时，有两条途径，一条是用 计算机求 数值解。这就是通常所说的半导体器件的数值模拟； 另一条是求基本方程的 解析解，得到解的封闭形式的表达式。 但求解析解是非常困难的。一般需先 对基本方程在一定的近似
条件下加以简化后再求解。本课程将讨论第二条途径。
1.2 基本方程的简化与应用举例