高等数学练习题(含答案)
高等数学试题及答案完整版
高等数学试题一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）1．设f(x)=lnx ，且函数ϕ(x)的反函数1ϕ-2(x+1)(x)=x-1，则[]ϕ=f (x)（ ） ....A B C D x-2x+22-x x+2 ln ln ln ln x+2x-2x+22-x2．()002lim 1cos tt x x e e dt x -→+-=-⎰（ ）A ．0B ．1C ．-1D ．∞ 3．设00()()y f x x f x ∆=+∆-且函数()f x 在0x x =处可导，则必有（ ）.lim 0.0.0.x A y B y C dy D y dy ∆→∆=∆==∆= 4．设函数,131,1x x x ⎧≤⎨->⎩22x f(x)=，则f(x)在点x=1处（ ）A.不连续B.连续但左、右导数不存在C.连续但不可导D. 可导5．设C +⎰2-x xf(x)dx=e ，则f(x)=（ ）2222-x -x -x -x A.xe B.-xe C.2e D.-2e二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6.设函数f(x)在区间[0，1]上有定义，则函数f(x+14)+f(x-14)的定义域是__________. 7．()()2lim 1_________n n a aq aq aq q →∞++++<=8．arctan lim _________x x x→∞= 9.已知某产品产量为g 时，总成本是2g C(g)=9+800，则生产100件产品时的边际成本100__g ==MC 10.函数3()2f x x x =+在区间[0，1]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是_________.11.函数3229129y x x x =-+-的单调减少区间是___________.12.微分方程3'1xy y x -=+的通解是___________.13.设2ln 2,6a a π==⎰则___________.14.设2cos x z y =则dz= _______. 15.设{}2(,)01,01y D D x y x y xedxdy -=≤≤≤≤=⎰⎰，则_____________.三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分）16.设1x y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求dy.17.求极限0ln cot lim ln x x x+→18.求不定积分.19.计算定积分I=0.⎰ 20.设方程2z x 2e 1y xz -+=确定隐函数z=z(x,y)，求','x y z z 。
《高等数学》练习题库及答案
《高等数学》练习测试题库及答案一．选择题1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数2.设f(sin 2x )=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2 C 1＋x 2 D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ）A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999B ．23，32，45，54 C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n 1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件C.充要条件 D 既非充分也非必要5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim 21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/27．设=+∞→x x xk )1(lim e 6 则k=( ) A.1 B.2 C.6 D.1/68.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1)9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f（x）=（1-x）cotx要使f（x）在点：x=0连续，则应补充定义f（0）为（）A、B、e C、-e D、-e-112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（）A、 xarctan1/xB、arctan1/xC、tan1/xD、cos1/x13、设f(x)在点x0连续，g(x)在点x不连续，则下列结论成立是（）A、f(x)+g(x)在点x必不连续B、f(x)×g(x)在点x必不连续须有C、复合函数f[g(x)]在点x必不连续D、在点x0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b满足14、设f(x)=（）A、a＞0,b＞0B、a＞0,b＜0C、a＜0,b＞0D、a＜0,b＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x也连续的有（）A、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A 、-1B 、0C 、л/2D 、 232、圆x2cos θ,y=2sin θ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 233、函数f(x)在点x 0连续是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型37、极限 012)sin lim(→x x x x 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型 38、极限 x x x x sin 1sinlim 20→=（ ）A 、0B 、1C 、2D 、不存在39、x x 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较x x 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x2-4x+3的顶点处的曲率为（）A、2B、1/2C、1D、042、抛物线y=4x-x2在它的顶点处的曲率半径为（）A、0B、1/2C、1D、243、若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有（）A、一个B、两个C、无穷多个D、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（）A、2e x/2B、4 e x/2C、e x/2 +CD、e x/245、∫xe-x dx =（ D ）A、xe-x -e-x +CB、-xe-x+e-x +CC、xe-x +e-x +CD、-xe-x -e-x +C46、设P（X）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-n dx（）A、不含有对数函数B、含有反三角函数C、一定是初等函数D、一定是有理函数0|3x+1|dx=（）47、∫-1A、5/6B、1/2C、-1/2D、148、两椭圆曲线x2/4+y2=1及(x-1)2/9+y2/4=1之间所围的平面图形面积等于（）A、лB、2лC、4лD、6л49、曲线y=x2-2x与x轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（）A、лB、6л/15C、16л/15D、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（）A、 B、2 C、31/2 D、 21/251、设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（）A、Z=4B、Z=0C、Z=-2D、x=252、平面x=a截曲面x2/a2+y2/b2-z2/c2=1所得截线为（）A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、两相交直线53、方程=0所表示的图形为（）A 、原点（0，0，0）B 、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面，但不可能为平面54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面 56下列命题正确的是（ ）A 、发散数列必无界B 、两无界数列之和必无界C 、两发散数列之和必发散D 、两收敛数列之和必收敛57.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ）A 、.必要条件B 、充分条件C 、充分必要条件D 、无关条件58函数f(x)=tanx 能取最小最大值的区间是下列区间中的（ ）A 、[0,л]B 、（0,л）C 、[-л/4,л/4]D 、（-л/4,л/4）59下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（ ）A 、f(x)=x+1B 、f(x)=x-1C 、f(x)=x 2-1D 、f(x)=5x 4-4x+160设y=(cos)sinx ，则y’|x=0=（ ）A 、-1B 、0C 、1D 、 不存在二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ） 2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ） 3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ） 4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（ ） 5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （ ） 6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ）8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ）11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ）12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ）13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ）18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( )19、d/dx ∫a barctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x 在点x=0连续，则a=（ ）21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ）22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ）25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=（ ）26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( )27、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）28、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）29、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）30、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）46求极限lim [x/(x+1)]x=（）x→∞47函数y=x2-2x+3的极值是y(1)=（）9 x1/2(1+x1/2)dx=（）48∫449y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）50求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
高等数学试题及参考答案
高等数学试题及参考答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 以下哪个函数是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：B2. 计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}\) 的值。
A. 0B. 1C. 2D. \(\infty\)答案：B3. 以下哪个级数是收敛的？A. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}\)B. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}\)C. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n}\)D. \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}\)答案：A4. 函数 \(y = e^x\) 的导数是？A. \(e^x\)B. \(-e^x\)C. \(\ln(e)\)D. \(\frac{1}{e^x}\)答案：A5. 计算定积分 \(\int_0^1 x^2 dx\) 的值。
A. \(\frac{1}{3}\)B. \(\frac{1}{2}\)C. \(\frac{1}{4}\)D. \(\frac{1}{6}\)答案：A二、填空题（每题6分，共30分）1. 函数 \(y = \ln(x)\) 的反函数是 \(y = \boxed{e^x}\)。
2. 函数 \(y = x^2 + 2x + 1\) 的最小值是 \(\boxed{0}\)。
3. 函数 \(y = \sin(x)\) 的周期是 \(\boxed{2\pi}\)。
4. 函数 \(y = \frac{1}{x}\) 的不定积分是 \(\boxed{\ln|x| + C}\)。
5. 函数 \(y = \cos(x)\) 的导数是 \(\boxed{-\sin(x)}\)。
高等数学练习题及答案
一、单项选择题1.0lim()x x f x A →=，则必有（ ）.（A ）()f x 在0x 点的某个去心邻域内有界. (B) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内有界.(C)()f x 在0x 点的某个去心邻域内无界. (D) ()f x 在0x 点的任一去心邻域内无界.2.函数⎩⎨⎧≥+<=0)(x x a x e x f x ，要使()f x 在0x =处连续,则a =( ).(A) 2. (B) 1. (C) 0. (D) -1.3.若()()F x f x '=,则()dF x =⎰（ ）.（A ）()f x . (B) ()F x . (C) ()f x C +. (D) ()F x C +4.方程 410xx --=至少有一根的区间是（ ）.（A ） 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭. （B ）1,12⎛⎫⎪⎝⎭. （C ）(2,3). （D ）(1,2).二、填空题1. 设()f x 在0x x =处可导,则0lim x x y →∆= ．2． 某需求曲线为1002000Q P =-+，则当10P =时的弹性为 ．3． 曲线3267yx x =+-在0x =处的法线方程为 ．4．2sin 2x t d e dt dx⎰＝ . 三、求下列极限（1）2211lim 21x x x x →---.（2）1lim(1)2x x x→∞-.(3) 0sin 2lim ln(1)x xx →+. 四、求下列导数和微分（1）已知3cos x y x=， 求dy . (2)求由方程l n2xyy e =+所确定的函数()y f x =的导数dy dx .五、求下列积分（1）221(sec )1x dx x++⎰.（2）20⎰ . （3）sin ⎰. 六、求函数()x f x xe -=的单调区间和极值.七、求由直线2yx =和抛物线2y x =所围成的平面图形的面积．八、证明：当0x >时，(1)l n (1)x x x++>.九、某种商品的成本函数23()200030.010.0002c x x x x =+++（单位：元），求生产100件产品时的平均成本和边际成本.一、 A ． B ． D ． D ． 二、（1）0． （2）-1． （3）0x=． （4）] 2sin cos x e x ⋅．三、求极限（1）解：原式=11(1)(1)12limlim (21)(1)213x x x x x x x x →→-++==+-+ （2）解：原式= 111222220011lim[(1)][lim(1)]22x xx x e x x -----→→-=-= （3）解：这是未定型，由洛必达法则原式=00cos 22limlim2(1)cos 2211x x x x x x →→⋅=+=+四、求导数和微分（1）解：23l n3c os 3sin(c os )x xx xy x +'=,23ln3cos 3sin (cos )x x x x dy dx x += （2）解：方程两边对x 求导,()xyy e y xy ''=+, 1xyxyye y xe '=-五、积分1．原式=221sec xdx dx +⎰⎰=tan arctan x x c ++ 2.原式=220118(4)x --=-=⎰3．t =,2,2x t dx tdt ==原式=sin 22(cos )2cos 2cos t tdt td t t t tdt⋅=-=-+⎰⎰⎰2c o s 2s in 2int t t C C=-++=-六、解： 函数定义域为(),-∞+∞,()(1)x x x f x e xe e x ---'=-=- 1x =是驻点 可列表讨论：单调增区间(,1)-∞单调减区间(1,)+∞极大值1(1)f e=. 七、解：解方程组22y x y x =⎧⎨=⎩得交点坐标（0，0） （2，4） 23222004(2)33x A x x dx x ⎡⎤=-=-=⎢⎥⎣⎦⎰ 八、 证明：设 ()(1)ln(1)f x x x x =++- 当0>x 时，()l n (1)11l n (1)0f x x x '=++-=+>故原函数是增函数，0>x ,即()(0)0f x f >= 即(1)ln(1)0x x x ++-> 故 当0x >时，(1)l n (1)x x x++>.九、解：23200030.010.0002()x x x c x x+++=， 23200031000.011000.0002100(100)100c +⨯+⨯+⨯==262'()30.020.0006c x x x =++ 2'(100)30.021000.000610011c =+⨯+⨯=一、单项选择题1. 无穷小量是（ ）． （A ）比零稍大一点的一个数． （B ）一个很小很小的数．（C ）以零为极限的一个变量． （D ）数零．2.下列函数中当0x +→时为无穷大的函数是（ ）. (A) 21x--. (B) sin 1sec x x+. (C) xe -. (D) 1x e .3.()f x x =在点0x =处的导数（ ）． (A)1 ． (B) 0． (C) －1．. (D) 不存在．4. x 0为驻点是可导函数f x ()在x 0处取得极值的（ ）. (A) 充要条件. (B) 充分条件. (C) 必要条件. (D) 即非充分又非必要.二、填空题1.0x =是函数1,10(),01x x f x x ⎧--≤<⎪=≤<的第 类间断点．2．设某种商品的需求函数为220Q P =-，则5P =时的边际需求为 ． 3．已知曲线3223x y x =-+,则其上切线平行于x 轴的点的坐标为 .4．1-=⎰ ． 三、求下列极限1．1lim x →23321x x x +++． 2．23lim(1)x x x →∞-.3．00lim sin xtx e dt x -→⎰. 四、求下列导数和微分1．已知ta n c o s2y x x =⋅， 求dy .2．求由参数方程233cos 2sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩所确定的函数()y f x =的导数 dy dx .五、求下列积分1．32x x e dx ⎰. 2．3(dxx +⎰. 3．21ln x xdx ⎰． 六、求函数arctan yx =的凹凸区间和拐点.七、求由抛物线 2x y=与直线22y x =-所围成平面图形的面积.八、证明：当0x >时，2ln(1)2x x x -<+.九、某商品每月销售x 件的收入函数为100()1000,xR x xe-=问每月销售多少件商品时，可使收入最大？一、Ｃ． D ． D ． C ． 二、（1）一． （2）—10 ． （3）()0,2、22,3⎛⎫⎪⎝⎭．（4）0． 三、求极限 （1）解：因为函数()f x =23321x x x +++在点1x =处连续，故1lim x →2332132(1)3111x x f x ++++===++（2） 原式=(3)2663333lim[1()][lim(1)]xxx x e xx --⋅---→∞→∞+-=-= （3）解： 这是一个未定型，由洛必达法则原式=000lim lim 1cos limcos xxx x x e ex x--→→→== 四、求导数和微分（1）解：22seccos2tan (sin 2)2sec cos22tan sin 2y x x x x x x x x '=+-⋅=-2sec cos 22tan sin 2dy x x x x dx ⎡⎤=-⎣⎦（2）解：2236sin ,6cos dx dy t t t t dt dt=-=,233226cos cos 6sin sin dy t t t t dx t t t ==--五、积分1．原式=33311()33x x e d x e C =+⎰ 2.原式=1323ln 2arcsin dx x x C x +=++⎰3．原式=222222211111ln ln ()ln 222x x x x xdx xd x dx x ⎡⎤==-⋅⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰=22132ln 22ln 244x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦六、解：函数定义域为(,)-∞+∞,211y x '=+,222(1)xy x -''=+,令0y ''=得0x =,0x =把定义区间分成两部分(,0)(0,)-∞⋃+∞.可表示为：凹区间(,0)-∞，凸区间(0,)+∞,拐点(0,0).七、解：222y x y x⎧=⎪⎨=-⎪⎩交点()1,1-，()1,1 由定积分的几何意义可得1122210(2))4(1)A x x dx x dx -⎡⎤=--=-⎣⎦⎰⎰1308433x x ⎡⎤=-=⎢⎥⎣⎦八、证：设2()ln(1)2x f x x x =+-+当0x > 21()1011x f x x x x'=-+=>++ 故)(x f 在定义域内单增，即()(0)0f x f >=2ln(1)02x x x +-+>，即当0x >时,2ln(1)2x x x -<+ 九、解：1001001'()1000()100x xR x e xe --⎡⎤=+⋅-⎢⎥⎣⎦=1001000(1)100x x e --令'()0R x =，得驻点x=100 由于收入的最大值存在，而收入函数的驻点仅有一个，故函数在驻点x=100处取得最大值，最大值为：R(100)=1005100101000100e e-⨯⨯=36862≈ 即每月销售100件商品时，可使收入最大为36862．一、单项选择题 1.任意给定0M>,总存在着0X >,当x X<-时,()f x M<-,则（ ）.（A ）lim ()x f x →-∞=-∞ . （B ）lim ()x f x →∞=-∞.（C ）lim ()x f x →-∞=∞.（D ）lim ()x f x →+∞=∞.2.点1x =是函数31,1()1,13,1x x f x x x x ⎧-<⎪==⎨⎪->⎩ 的（ ）. (A) 连续点. (B) 第一类非可去间断点. (C) 可去间断点. (D) 第二类间断点. 3.设0()2f x '=,则000()()limh f x h f x h →--= （ ）.（A ）-2. （B ）4. （C ）2. （D ）12.4.罗尔定理中的条件:()f x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()()f a f b =,是()f x 在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得()0f ξ'=成立的( ).(A)必要条件. (B) 充分条件. (C)充要条件. (D)无关条件.二、填空题1.0x →时，2352x x -是x 的 阶无穷小． 2.设某种商品的成本函数C(x)= 210004x ++x=100件产品的边际成本是 ． 3.()f x dx '=⎰=． 4.2cos x d tdt dx =⎰.三、求下列极限1.sin lim n xx →∞. 2．[]lim ln(2)ln x x x x →∞+-. 3．201lim cos31x x e x →--. 四、求下列导数和微分（1）已知ln(y x =， 求dy .（2）求由方程cos sin y y x =+所确定的函数()y f x =的导数dydx. 五、求下列积分（1）()xxeex dx --⎰.（2）2. （3）1ln 1e x dx x +⎰. 六、求函数32231214y x x x =+-+的单调区间和极值.七、求由直线x y =和曲线y =所围成的平面图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积.八、证明:当1x>时，2(1)2x e e x >+.（7分）九、设某商品的需求函数为402Q p =-，其中p 为价格，试求：（1）需求量对价格的弹性；（2）价格p=15元时需求量对价格的弹性，此时是提价还是降价会使收入增加。
高等数学试题库及答案doc
高等数学试题库及答案doc一、选择题1. 下列函数中，哪一个是偶函数？A. f(x) = x^2B. f(x) = x^3C. f(x) = |x|D. f(x) = sin(x)答案：A2. 曲线 y = x^2 在点 (1,1) 处的切线斜率是多少？A. 0B. 1C. 2D. -2答案：C二、填空题1. 极限lim(x→0) (sin(x)/x) 的值是 __________。
答案：12. 函数 f(x) = x + 1 在 x = 2 处的导数是 __________。
答案：1三、计算题1. 求函数 f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x 的导数。
解：f'(x) = 3x^2 - 4x + 32. 计算定积分∫(0 到 1) x^2 dx。
解：∫(0 到 1) x^2 dx = [1/3 * x^3] (从0到1) = 1/3四、证明题1. 证明函数 f(x) = e^x 是严格单调递增的。
证明：设任意 x1 < x2，则 f(x1) - f(x2) = e^x1 - e^x2。
由于e^x 是严格单调递增的，所以当 x1 < x2 时，e^x1 < e^x2，从而f(x1) < f(x2)。
因此，函数 f(x) 是严格单调递增的。
五、应用题1. 一个物体从静止开始，以初速度为零的匀加速直线运动，其加速度为 2 m/s²。
求物体在前 3 秒内的位移。
解：根据匀加速直线运动的位移公式 s = 1/2 * a * t²，代入 a = 2 m/s²和 t = 3 s，得到 s = 1/2 * 2 * 3² = 9 m。
六、论述题1. 论述微积分在物理学中的应用。
答案：微积分在物理学中有广泛的应用，例如在力学中计算物体的运动轨迹、在电磁学中分析电场和磁场的变化、在热力学中研究温度分布等。
微积分的基本原理—极限和导数，为物理学家提供了一种强大的工具，用以描述和预测物理现象的变化趋势。
完整)高等数学练习题附答案
完整)高等数学练习题附答案第一章自测题一、填空题（每小题3分，共18分）1.lim (sinx-tanx)/(3xln(1+2x)) = 1/22.lim (2x^2+ax+b)/(x-1) =3.a = 5.b = 123.lim (sin2x+e^(2ax)-1)/(x+1) = 2a4.若f(x)在(-∞,+∞)上连续，则a=05.曲线f(x) = (x-1)/(2x-4x+3)的水平渐近线是y=1/2，铅直渐近线是x=3/26.曲线y=(2x-1)/(x+1)的斜渐近线方程为y=2x-3二、单项选择题（每小题3分，共18分）1.“对任意给定的ε∈(0,1)，总存在整数N，当n≥N时，恒有|x_n-a|≤2ε”是数列{x_n}收敛于a的充分条件但非必要条件2.设g(x)={x+2,x<1.2-x^2,1≤x<2.-x,x≥2}，f(x)={2-x,x<1.x^2,x≥1}，则g(f(x))=2-x^2，x≥13.下列各式中正确的是 lim (1-cosx)/x = 04.设x→0时，e^(tanx-x-1)与x^n是等价无穷小，则正整数n=35.曲线y=(1+e^(-x))/(1-e^(-x^2))没有渐近线6.下列函数在给定区间上无界的是 sin(1/x)，x∈(0,1]三、求下列极限（每小题5分，共35分）1.lim (x^2-x-2)/(4x+1-3) = 3/42.lim x+e^(-x)/(2x-x^2) = 03.lim (1+2+3+。
+n)/(n^2 ln n) = 04.lim x^2sin(1/x) = 01.设函数$f(x)=ax(a>0,a\neq1)$，求$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{\ln\left(\frac{f(1)f(2)\cdotsf(n)}{n^2}\right)}$。
2.求$\lim\limits_{4x\to1}\frac{x^2+e\sin x+6}{1+e^x-\cosx}$。
高等数学试题及答案解析
高等数学试题及答案解析一、选择题1. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3在区间[0, 5]上的最大值是：A. 3B. 5C. 7D. 9答案：D解析：首先求导f'(x) = 2x - 4，令f'(x) = 0得到x = 2，这是函数的极值点。
计算f(2) = 2^2 - 4*2 + 3 = -1。
接下来检查区间端点，f(0) = 3，f(5) = 5^2 - 4*5 + 3 = 9。
因此，最大值为f(5) = 9。
2. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) + cos(x)D. -sin(x) - cos(x)答案：A解析：根据导数的基本公式，sin(x)的导数是cos(x)，cos(x)的导数是-sin(x)。
因此，f'(x) = cos(x) - sin(x)。
二、填空题1. 求不定积分∫(2x + 1)dx = __________。
答案：x^2 + x + C解析：根据不定积分的基本公式，∫x^n dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中n ≠ -1。
将n = 1代入公式，得到∫(2x + 1)dx = ∫2x dx + ∫1 dx = x^2 + x + C。
2. 若y = ln(x)，则dy/dx = __________。
答案：1/x解析：对自然对数函数求导，根据对数函数的导数公式，ln(x)的导数是1/x。
三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 2的极值点。
答案：极值点为x = 3。
解析：首先求导f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 3。
计算二阶导数f''(x) = 6x - 12，代入x = 1得到f''(1) = -6 < 0，说明x = 1是极大值点；代入x = 3得到f''(3) = 18 > 0，说明x = 3是极小值点。
高等数学试题及答案大全
高等数学试题及答案大全一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）。
A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在区间[-5, 2]上的最大值是（）。
A. 0B. 3C. 4D. 5二、填空题1. 若函数f(x) = 2x - 3在x = 1处的导数为5，则原函数在x = 1处的值为______。
2. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在x = 2处的切线斜率为______。
三、解答题1. 求函数f(x) = ln(x) + 1的导数，并说明其在x = e处的导数值。
2. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其极值点。
四、证明题1. 证明函数f(x) = x^3在R上的单调性。
2. 证明等差数列的前n项和公式S_n = n(a_1 + a_n)/2。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 3x + 200，销售价格为P(x) = 50 - 0.05x，其中x表示产品数量。
求该工厂的盈利函数，并求出其盈利最大时的产品数量。
2. 一个圆的半径为r，求其面积与周长的比值。
答案：一、选择题1. C解析：函数y = e^x不是周期函数，其他选项都是周期函数。
2. D解析：函数f(x) = x^2 + 3x - 2的导数为f'(x) = 2x + 3，令其等于0，解得x = -3/2，但x = -3/2不在区间[-5, 2]内。
检查区间端点，f(-5) = -8，f(2) = 5，因此最大值为5。
二、填空题1. -1解析：由f'(x) = 2，且f'(1) = 5，可得f(1) = f'(1) * (1 - 0) + f(0) = 5 + f(0)，又因为f(0) = -3，所以f(1) = 5 - 3 = 2。
2. -4解析：由y' = 3x^2 - 4x + 1，代入x = 2，得y' = 3 * 2^2 - 4 * 2 + 1 = 12 - 8 + 1 = 5。
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1．求抛物线2x y =与直线02=--y x 之间的最短距离。
2．求点)8,2(到抛物线x y 42=的最短距离。
3．求过点)31,1,2(的平面，使它与三个坐标面在第一卦限内所围成的立体体积最小。
4．计算二重积分dxdy xy I D
⎰⎰=
2，其中D 是由直线2,==x x y 及双曲线1=xy 所围成的区域。
5．计算二重积分dxdy e I D y ⎰⎰-=2，其中区域D 由y 轴，直线x y y ==,1所围成。
6．求dxdy y xy I D
⎰⎰+=31，其中D 由2,1,0x y y x ===所围成。
7．求dy e dx x I x y ⎰⎰
-=
11
022。
8．求dxdy y x I D ⎰⎰+=)(，其中D 为224,x y x y ==及1=y 所围成的区域。
9．求σd y x I D
⎰⎰+=)|(|，其中D 为：1||||≤+y x 。
10．求dxdy y x I D ⎰⎰--=
221，其中D ：y y x ≤+22。
11．求dxdy y x x I D
⎰⎰--=)2(22，其中D ：1)1(22≤+-y x 。
12．设{}x y x y x D ≤+=22),(，求dxdy x D ⎰⎰。
13．计算二重积分dxdy y
x y x D ⎰⎰++--222211，其中D 是由圆周122=+y x 及坐标轴所围成的在第一卦限内的闭区域。
14．求ds y x c ⎰
+)(，其中c 是以)0,0(O ，)0,1(A ，)1,0(B 为顶点的三角形边界。
15．设L 是半圆周24y x -=上由点)2,0(A 到点)2,0(-B 之间的一段弧。
计算⎰++L
ds y x )1(。
16．计算ds y x L ⎰+22，其中L 为圆周222a y x =+（0>a ）。
17．计算曲线积分⎰+L ds y x 22，其中L 为圆周x y x =+22。
18．计算曲线积分：dy y x dx y x I L
)653()42(-++--=⎰，其中L 是从点)0,0(O 到点)2,3(A 再到点)0,4(B 的折线段。
19．计算：xdy dx y I L -=⎰2，其中L 是抛物线2x y =上从点)1,1(A 到点)1,1(-B 再沿直线
到点)2,0(C 所构成的曲线。
20．计算：zdz ydy xdx I L ++=
⎰：其中L 为从)1,1,1(到)4,3,2(的直线段。
21．计算：⎰+++-=L y
x dy y x dx y x I 22)()(，其中L 在222x y -=上从点)0,1(-到点)0,1(。
22．已知点)0,0(O 及点)1,1(A ，且曲线积分
⎰-=OA
dx x y y ax I )sin cos (2dy y x x by )sin cos (2-+ 与路径无关，试确定常数b a ,，并求I 。
23．计算⎰⎰∑+--=
dS z x x xy I )22(2，其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限内的部分。
24．计算⎰⎰∑++=dS zx yz xy I )(，
，其中∑为锥面22y x z +=被柱面ax y x 222=+所
截得的部分。
25．计算曲面积分：
⎰⎰∑++dS z y x )(，其中∑为球面1222=++z y x 上21≥z 的部分。
26．计算曲面积分：
⎰⎰∑+dS y x )(22，其中∑为抛物面)(222y x z +-=在xoy 面上方的部分。
27．计算⎰⎰∑=
dxdy z I 2，其中∑为平面1=++z y x 位于第一卦限部分的上侧。
28．计算⎰⎰∑-=
dxdy z I )1(，其中∑为球面1222=++z y x
在第一卦限内的部分，方向是球的内侧。
12π 28．计算⎰⎰∑+=
xydzdx
zdxdy I ，其中∑为抛物面22y x z +=的上侧，位于10,0,0≤≤≥≥z y x 内的部分。
29．计算⎰⎰∑++=
zdxdy ydzdx xdydz I ，其中∑为球面2222a z y x =++的外侧。
30．计算⎰⎰∑
-+-+-=dxdy z x dzdx z y dydz y x I )23()3()2(，其中∑是由0=x 0=y ，
0=z 及13
2=++z y x 在第一卦限所围成的立体Ω的外侧。
31．计算dxdy y x z dydz z y I 2223++=
⎰⎰，其中∑为221y x z ---=的上侧。
32．计算zdxdy dydz z x I ++=⎰⎰
)2(，其中∑为有向曲面)10(22≤≤+=z y x z ，其法向量与z 轴正向的夹角为锐角。
33．计算⎰⎰∑-+=dxdy z yzdzdx xzdydz I 22，其中∑是由曲面22y x z +=与
222y x z --=所围立体的外侧。
1、8
27；2、20；3、136=++z y x ；4、1019；5、)11(21e -；6、)12(31-；7、e 3161-；8、52；9、32；10、943-
π；11、2
π；12、158；13、)2(8-ππ；14、21+；15、82-π；16、22a π；17、2；18、16-；19、30113；20、13；21、π-；22、,2==b a I 1cos 2=；23、427-；24、415
264a ；25、43π；26、30149π；27、121；28、1528-π；29、34a π；30、2；31、8
2
π-；32、2π-；33、2π。