第4章 第55课时 角的概念及角度的换算
人教版七年级数学上册第四章4.3《角》例题与讲解
4.3 角1．角的定义及其表示方法(1)角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．角也可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当终边和始边成一条直线时，形成等角；当终边和始边重合时，形成周角．(2)角的表示方法：有四种表示角的方法：①用一个阿拉伯数字表示单独的一个角，在角内用一段弧标注； ②用一个大写英文字母表示单独的一个角，当角的顶点处有两个或两个以上的角时，不能用这种方法表示角；③用一个小写希腊字母表示单独的一个角；④用三个大写英文字母表示任意一个角，这时表示顶点的字母一定要写在中间． 破疑点 角的理解 (1)角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线张开的幅度大小有关，角可以度量，可以比较大小，可以进行运算；(2)如果没有特别说明，所说的角都是指小于平角的角．【例1－1】 下列说法正确的是( )．A ．平角是一条直线B ．一条射线是一个周角C ．两边成一条直线时组成的角是平角D ．一个角不是锐角就是钝角解析：要做对这类题目，一定要理解概念，严格按照概念进行判断，才能得出正确的结论．平角、周角都是特殊角，虽然它们与一般角形象不符，但是它们仍然是角，它们都具有一个顶点和两条边，只不过平角的两边成一条直线，周角的两边重合成一条射线罢了． 答案：C【例1－2】 如图，以点B 为顶点的角有几个？请分别把它们表示出来．分析：.射线BA 与BD ，BA 与BC ，BD 与BC 各组成一个角．表示顶点的字母必须写在中间．当一个顶点处有多个角时，不能用一个表示顶点的大写字母表示，所以不能把∠ABC 错写成“∠B ”．书写力求规范，如用数字或希腊字母表示角时要在靠近顶点处加弧线注上阿拉伯数字或小写的希腊字母．注意：角的符号一定要用“∠”，而不能用“＜”． 解：以B 为顶点的角有3个，分别是∠ABC ，∠ABD ，∠DBC .2.角的度量与换算(1)角度制：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制．(2)角度的换算：角的度量单位是度、分、秒，把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份就是1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份就是1秒的角，记作1″.谈重点 角度的换算 (1)度、分、秒的换算是60进制，与时间中的时、分、秒的换算相同；(2)角的度数的换算有两种方法：①由度化成度、分、秒的形式(即从高位向低位化)，用乘法，1°＝60′，1′＝60″；②由度、分、秒化成度的形式(即从低位向高位化),1″＝⎝⎛⎭⎫160′，1′＝⎝⎛⎭⎫160°，用除法．度及度、分、秒之间的转化必须逐级进行转化，“越级”转化容易出错．【例2】 (1)将70.23°用度、分、秒表示；(2)将26°48′36″用度表示．分析：(1)70.23°实际是70°＋0.23°，这里70°不要变，只要将0.23°化为分，然后再把所得的分中的小数部分化为秒．将0.23°化为分，只要用0.23乘以60′即可．(2)将26°48′36″用度表示，应先将36″化成分，然后再将分化成度就可以了．将36″化成分，可以用⎝⎛⎭⎫160′乘以36.解：(1)将0.23°化为分，可得0.23×60′＝13.8′，再把0.8′化为秒，得0.8×60″＝48″.所以70.23°＝70°13′48″.(2)把36″化成分，36″＝⎝⎛⎭⎫160′×36＝0.6′，48′＋0.6′＝48.6′，把48.6′化成度，48.6′＝⎝⎛⎭⎫160°×48.6＝0.81°. 所以26°48′36″＝26.81°.3．角的比较与运算(1)角的比较： ①度量法：用量角器量出角的度数，然后按照度数比较角的大小，度数大的角大，度数小的角小；反之，角大度数大，角小度数小． ②叠合法：把两个角的顶点和一边分别重合，另一边放在重合边的同旁，通过另一边的位置关系比较大小．解技巧 角的比较 ①在度量法中，注意三点：对中、重合、度数；②在叠合法中，要注意顶点重合，一边重合，另一边落在重合这边的同侧．(2)角的和差：角的和、差有两种意义，几何意义和代数意义．几何意义对于今后读图形语言有很大帮助，代数意义是今后角的运算的基础．①几何意义：如图所示，∠AOB 与∠BOC 的和是∠AOC ，表示为∠AOB ＋∠BOC ＝∠AOC ；∠AOC 与∠BOC 的差为∠AOB ，表示为∠AOC －∠BOC ＝∠AOB .②代数意义：如已知∠A ＝23°17′，∠B ＝40°50′，∠A ＋∠B 就可以像代数加减法一样计算，即∠A ＋∠B ＝23°17′＋40°50′＝64°7′，∠B －∠A ＝40°50′－23°17′＝17°33′.(3)角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，射线OC 是∠AOB 的平分线，则有∠1＝∠2＝12∠AOB 或∠AOB ＝2∠1＝2∠2.警误区 角的平分线的理解 角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线，它必须满足下面的条件：①是从角的顶点引出的射线，且在角的内部；②把已知角分成了两个角，且这两个角相等．【例3】 如图所示，OE 平分∠BOC ，OD 平分∠AOC ，∠BOE ＝20°，∠AOD ＝40°，求∠DOE 的度数．解：∵OE平分∠BOC，∴∠BOE＝∠COE.∵OD平分∠AOC，∴∠AOD＝∠COD.又∵∠BOE＝20°，∠AOD＝40°，∴∠COE＝20°，∠COD＝40°.∴∠DOE＝∠COE＋∠COD＝20°＋40°＝60°.4．余角和补角(1)余角和补角的概念：①余角：如果两个角的和等于90°(直角)，就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角；②补角：如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角．(2)性质：余角的性质：同角(等角)的余角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝90°，∠3＋∠4＝90°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.补角的性质：同角(等角)的补角相等．用数学式子表示为：∠1＋∠2＝180°，∠3＋∠4＝180°，又因为∠2＝∠4，所以∠1＝∠3.(3)方位角：在航海、航空、测绘中，经常会用到一种角，它是表示方向的角，叫做方位角．通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向．通常要先写北或南，再写偏东还是偏西．警误区余角和补角的理解余角和补角是成对出现的，它们之间互相依存，只能说∠1的余角是∠2，∠2的余角是∠1，或者说∠1与∠2互余，而不能说∠1是余角．【例4】如图所示，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOD＝90°，∠1＝40°，求∠2的度数．解：因为∠AOD＋∠AOC＝∠AOD＋∠BOD＝180°，所以∠AOD＝∠AOC＝∠BOD＝90°.又因为∠1＋∠FOC＝180°，∠DOF＋∠FOC＝180°，所以∠DOF＝∠1＝40°.所以∠2＝∠BOD－∠DOF＝90°－40°＝50°.5．运用整体思想解决角的计算问题整体思想就是根据问题的整体结构特征，不拘泥于部分而是从整体上去把握解决问题的一种重要的思想方法．整体思想突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理．整体思想方法在代数式的化简与求值、解方程、几何解证等方面都有广泛的应用，整体代入、整体运算、整体设元、整体处理、几何中的补形等都是整体思想方法在解数学问题中的具体运用．【例5】如图所示，∠AOB ＝90°，ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，求∠MON 的大小．分析：解决问题的关键是把∠AOC －∠BOC 视为一个整体，代入求值．解：因为ON 是∠AOC 的平分线，OM 是∠BOC 的平分线，所以∠NOC ＝12∠AOC ，∠MOC ＝12∠BOC ， 所以∠MON ＝∠NOC －∠MOC ＝12∠AOC －12∠BOC ＝12(∠AOC －∠BOC )＝12∠AOB ＝12×90°＝45°. 6.钟表问题对于钟表问题要掌握基本的数量关系，如走一大格为30度，一小格为6度，分针每分钟转6度，时针每分钟转0.5度，分针是时针转速的12倍等．若已知具体时间，求时针与分针的夹角，只需知道它们相距的格数，便可求得；若是已知时针与分针的夹角求相应的时间，则一般需要建立方程求解．【例6】上午9点时，时针与分针成直角，那么下一次时针与分针成直角是什么时候？解：设经过x 分钟，时针与分针再次成直角，则时针转过(0.5x )°，分针转过(6x )°，如图所示，可列方程360－6x －(90－0.5x )＝90，解得x ＝32811.即过32811分钟，时针与分针再一次成直角．7.角中的实验操作题实验操作题是近年来悄然兴起的一种新形式的考题，它集阅读、作图、实验于一体，要求在规定的条件下进行实验，在动手操作中找出答案．这类题目主要是能画出整个过程中的状态示意图，进而求出点的转动角度．【例7】如图，把作图用的三角尺(含30°，60°的那块)从较长的直角边水平状态下开始，在平面上转动一周，求B 点转动的角度(在点的位置没有发生变化的情况下，一律看作点没有转动)．解：如图，从位置①到位置②，B 点转过90°；从位置②到位置③，B 点转过120°；从位置③到位置④，由题意B点看作不动．于是在整个过程中B点转过的角度为90°＋120°＝210°.8.归纳猜想在角的问题中的运用归纳猜想，是一种很重要的数学思想方法，数学史上的许多重要发现：如哥德巴赫猜想、四色猜想、角谷猜想、费马定理等都是由数学家的探究、猜想、总结而得到的．学习数学必须不断地去探索、猜想，不断地总结规律，才会有新发现．运用n(n－1)2这个式子，能解决很多类似的问题，能达到一石数鸟，这都是大家善于借鉴的结果．在学习过程中，注意不断总结、归纳规律，积累经验，运用总结出来的方法、技巧解决问题．【例8】(1)若在n个人的聚会上，每个人都要与另外所有的人握一次手，问握手总次数是多少？(2)如图①中共有多少条线段？如图②中共有多少个角(指小于平角的角)?解：(1)每个人可与另外(n－1)个人握一次手，n个人就有(n－1)·n次握手，其中各重复一次，所以，握手总次数是n(n－1)÷2次．(2)图①中每两个点构成一条线段(类似于两个人握一次手)，所以共有n(n－1)÷2条线段．图②中每条射线都与另外(n－1)条射线构成一个角(类似于握手)，所以共有n(n－1)÷2个角．9.方位角的应用(1)如图，画两条互相垂直的直线AB和CD相交于点O，其中一条为水平线，则图中四条射线所指方向就是东西南北四大方向，具体是：向上的射线OA表示正北方向，向下的射线OB表示正南方向，向右的射线OD表示正东方向，向左的射线OC表示正西方向．这四大方向简称为上北下南左西右东．建立这四条方向线后，对于点P，如果点P在射线OA上，则称点P在正北方向；如果点P在射线OB上，则称点P在正南方向；如果点P在射线OC上，则称点P在正西方向；如果点P在射线OD上，则称点P在正东方向．(2)在图中，东西和南北方向线把平面分成四个直角，如果点P在正北方向线OA与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正北方向线OA的夹角是m°，则称点P在北偏东(或西)m°方向；如果点P在正南方向线OB与正东(或正西)方向线OD(或OC)的夹角内，且射线OP与正南方向线OB的夹角为m°，则称点P在南偏东(或西)m°方向．例如图中的射线OA，OB，OC，OD分别称为：北偏东40°、北偏西65°、南偏西45°、南偏东20°.对于偏向45°的方位角，有时也可以说成东南(北)方向或西南(北)方向．如图中的OC，除了说成南偏西45°外，还可以说是西南方向，但不要说成南西方向．【例9】如图，OA的方向是北偏东15°，OB的方向是西偏北50°.(1)若∠AOC＝∠AOB，则OC的方向是________；(2)OD是OB的反向延长线，OD的方向是____；(3)∠BOD可看作是OB绕点O逆时针方向至OD，作∠BOD的平分线OE，OE的方向是____；(4)在(1)、(2)、(3)的条件下，∠COE＝____.解析：(1)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝90°－50°＝40°，∴∠AOB＝40°＋15°＝55°∵∠AOC＝∠AOB，∴∠AOC＝55°，∴∠FOC＝∠AOF＋∠AOC＝15°＋55°＝70°，∴OC的方向是北偏东70°.(2)∵OB的方向是西偏北50°，∴∠1＝40°，∴∠DOH＝40°，∴OD的方向是南偏东40°.(3)∵OE是∠BOD的平分线，∴∠DOE＝90°.∵∠DOH＝40°，∴∠HOE＝50°，∴OE的方向是南偏西50°.(4)∵∠AOF＝15°，∠AOC＝55°，∴∠COG＝90°－∠AOF－∠AOC＝90°－15°－55°＝20°.∵∠EOH＝50°，∠HOG＝90°，∴∠COE＝∠EOH＋∠HOG＋∠COG＝50°＋90°＋20°＝160°.答案：(1)北偏东70°(2)南偏东40°(3)南偏西50°(4)160°。
七年级下册角的表示知识点
七年级下册角的表示知识点角是我们初中数学的重要内容之一，理解角的概念及表示方法是我们学好数学的基础。
在七年级数学下册中，角的表示是重要的知识点之一。
本文将从角度、角的表示方法、角的性质三个方面详细介绍七年级下册角的表示知识点。
一、角度什么是角度？角度是指由角平分线将一个平面分成两个不同射线组成的一对有序射线，两组射线的端点构成角的两个端点。
在角度表示中，角度用大写字母表示，比如A、B、C等，两条射线之间的角用小写字母表示，如∠ABC。
店名“∠”表示角。
二、角的表示方法1、度数制我们通常使用“度”来表示角的大小，一定角所对的圆心角是360度，也就是一个圆的周长。
因此，一个直角所对的圆心角是90度，一个钝角所对的圆心角是大于180度，一个锐角所对的圆心角是小于180度的。
通过度数表示角的大小比较直观，方便计算。
2、弧度制弧度制是角度制的另一种表示方法，我们通过将一个圆的弧长分成等于圆半径的长度(弧度)来表示角度大小。
一个完整的圆对应的弧度是2π，所以一个弧度对应的角度是180/π度，约等于57.3度。
弧度制的表示更加精确，常用于高等数学学科。
三、角的性质1、角的平分线性质一个角的平分线将这个角平分成两个相等的角，反之，如果一个角被平分成两个相等的角，那么这条平分线是这个角的平分线。
2、垂直角和邻角性质两个角互为垂直角当且仅当它们的度数之和为90度。
两个角互为邻角当且仅当它们有一个公共的端点和一个公共的边。
3、同位角性质如果两条平行线被一条横线所切，那么同旁两个内角、同旁两个外角和对顶角互相等价。
总结理解七年级下册角的表示知识点是我们学好数学的基础，需要我们掌握角度、角的表示方法、角的性质等关键概念，这不仅有助于我们对角的基本认识，更有助于我们理解相关问题的解法和公式的应用。
希望本文内容能够为各位同学带来帮助。
一、角的基本概念
tansin +sin . 4.化简: tan-sin - tan tansin
三角函数正值歌 正弦一、二全是正, 余弦偏在一、四中; 正切、余切却不然, 斜插一、三两象限. 或 一全二正弦, 三切四余弦. y P o
3.三角函数线 定义 与单位圆有 关的有向线段 MP、 OM、AT 分别叫做角 的正弦线、余弦线、 正切线.
T
P M o
y
M A x
A T
x
注: 已知角 所在象限, 应熟练地确定 2 所在的象限如下表: 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限
解: ∵0<2-5< 2 , ∴-5 是第一象限的角. 1993 ∵212≈1.68( , ),
3 2 1993 ∴- 3 是第二象限的角.
3 3.角 终边经过点 P(x, - 2 )(x0), 且 cos = 6 x, 求 sin+ cot 的值. 解: 设 |OP|=r, 则 r = x2+2 , 又 cos = 3 x, 则 6 x 3 = x, 解得 x= 10. 2 6 x +2 6 , cot=- 5 , 当 x= 10 时, sin=- 6 6 5 + 6 ∴ sin+cot=; 6 当 x=- 10 时, sin=- 6 , cot= 5 , 6 ∴ sin+cot= 6 5 - 6 . 6
角的概念与计算
角的差：两个角相减，得到一个新的角
角的倍数与分数
计算方法：利用角的倍数或分数关系，通过加减运算求得所需角度
角的倍数：将一个角按照一定比例放大或缩小，得到新的角
角的分数：将一个角分割成若干个小的角，每个小角称为原角的分数
应用场景：在几何图形中，常常需要计算特定角度的倍数或分数
工程学：在机械工程、航空航天工程等领域中，角的概念与计算是必不可少的，对于设计、制造和测试各种机械设备和飞行器至关重要。
计算机科学：角的概念与计算在计算机图形学、动画制作、游戏开发等领域中有着广泛的应用，对于实现各种视觉效果和交互功能具有重要意义。
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在日常生活中的应用
测量角度：在建筑、机械、航空等领域，需要精确测量角度，以确保安全和准确性。
定位与导航：在地图和GPS定位中，角度是一个重要的参数，用于确定位置和方向。
体育比赛：在射箭、射击、高尔夫等体育比赛中，角度的掌握对于提高成绩至关重要。
艺术创作：在绘画、摄影等领域，角度的选择可以影响作品的表现力和美感。
角的概念与计算对于几何学中的其他概念和定理的推导和应用具有基础性作用，促进了数学学科的发展。
角的概念与计算在数学教育和人才培养中具有重要作用，对于提高学生的数学素养和思维能力具有积极影响。
对日常生活的影响
角的概念与计算在几何学中有着重要的地位，是研究空间形状和大小的基础。
角的概念与计算在日常生活中有着广泛的应用，如建筑设计、机械制造、航空航天等领域。
在科学实验中的应用
物理实验中测量角度
地理学中测量地球自转角度
生物实验中观察细胞分裂的角度变化
化学实验中反应速率与角度的关系
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11.计算 （1） °= 45 ′= 2700 ″； （2）3.6°= 3 ° 36 ′； （3）24°24′= 24.4 °； （4）24°22′48″= 24.38 °； （5）48°48′-41°42′= 7°6′ .
12.（1）将31.24°化为用度、分、秒表示的形式；
解：（1）31.24°=31°+0.24°， 0.24°=0.24×60′=14.4′， 0.4′=0.4×60″=24″，∴31.24°=31°14′24″.
14.计算： （1）90°-36°12′15″； 解：（1）原式=89°59′60″-36°12′15″ =53°47′45″.
（2）32°17′53″+42°42′7″； （3）53°÷8. （2）原式=74°59′60″=75°. （3）原式=6°37′30″.
三级拓展延伸练
15.在北京时间下午2：47时，钟表上的时针和分针的夹角 度数是 161.5° .
7.下列各数中，正确的角度互化是（ D ） A. 63.5°=63°50′ B. 23°12′36″=23.48° C. 18°18′18″=18.33° D. 22.25°=22°15′
8. 下列角度换算错误的是（ A ） A. 10.6°=10°36″ B. 900″=0.25° C. 1.5°=90′ D. 54°16′12″=54.27°
•
7.文学本身就是将自己生命的感动凝 固成文 字，去 唤醒那 沉睡的 情感， 饥渴的 灵魂， 也许已 是跨越 千年， 但那人 间的真 情却亘 古不变 ，故事 仿佛就 在昨日 一般亲 切，光 芒没有 丝毫的 暗淡减 损。
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8.只要我们用心去聆听，用情去触摸 ，你终 会感受 到生命 的鲜活 ，人性 的光辉 ，智慧 的温暖 。
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二级能力提升练 14. 岛A和岛B处于东西方向的一条直线上，由岛A，岛B
分别测得船C位于北偏东40°和北偏西50°方向上， 下列符合条件的示意图是（ D ）
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知识点2 角的表示方法 6.（例2）如图，A ）
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7.如图，写出全部符合条件的角. （1）能用一个大写字母表示的角； （2）能用一个数字表示的角，并将这些角用字母表示
第四章 基本平面图形
第5课 角的概念
新课学习
1. 角的概念 （1）静态定义：两条具有公共端点的射线组成的图形叫
做角. （2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转而成的图
形叫作角.
2. 角的分类：锐角（0°<α<90°），直角（90°）， 钝角（90°<α<180°），平角（180°）， 周角（360°）.
16.α，β都是钝角，甲，乙，丙，丁四位同学计算 （α+
β）的结果依次为50°，26°，72°和90°，其中有
正确的结果，那么算得正确的是（ B ）
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
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17.由O点引出的7条射线如图，若OA⊥OE，OC⊥OG， ∠BOC>∠FOG，则图中以O为顶角的锐角共 有 15 个.
1.1.1角的概念
角的概念1.角是一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.按逆时针方向旋转形成的角叫正角.按顺时针方向旋转形成的角叫负角.如果一条射线没作任何旋转，我们称它形成了一个零角.其中正角、负角、零角统称为任意角.2.在直角坐标系中研究角时，如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.若角的终边落在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.3.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合，{β|β=α+k·360°,k ∈Z },即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.4.终边落在x 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=k·360°,k ∈Z }；终边落在y 轴非负半轴的角的集合为：{α|α=90°+k·360°,k ∈Z }；终边落在x 轴负半轴的角的集合为：{α|α=180°+k·360°,k ∈Z }；终边落在y 轴负半轴的角的集合为：{α|α=270°+k·360°,k ∈Z }；5.第一象限角的集合为：{α|k·360°＜α＜k·360°+90°,k ∈Z }；第二象限角的集合为：{α|k·360°+90°＜α＜k·360°+180°,k ∈Z }；第三象限角的集合为：{α|k·360°+180°＜α＜k·360°+270°,k ∈Z }；第四象限角的集合为：{α|k·360°+270°＜α＜k·360°+360°,k ∈Z }.一、角的概念的推广1.角：角可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，旋转开始时的射线叫做角α的始边，旋转终止时的射线叫做角α的终边，射线的端点叫做角α的顶点.2.角的分类：正角、零角、负角.3.象限角：如果把角放在直角坐标系内来讨论，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么角的终边落在第几象限，就说这个角是第几象限角.α是第一象限角可表示为{α|2kπ＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }； α是第二象限角可表示为{α|2kπ+2π＜α＜2kπ+π,k ∈Z }； α是第三象限角可表示为{α|2kπ+π＜α＜2kπ+23π,k ∈Z }； α是第四象限角可表示为{α|2kπ+23π＜α＜2kπ+2π,k ∈Z }.4.轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，如果角的终边落在坐标轴上，就称该角为轴线角.终边落在x 轴非负半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ,k ∈Z ；终边落在x 轴非正半轴上的角的集合可记作：α|α=2kπ+π,k ∈Z ;终边落在y 轴非负半轴上的角的集合可记作： {α|α=2kπ+2π,k ∈Z }; 终边落在y 轴非正半轴上的角的集合可记作：{α|α=2kπ+23π,k ∈Z }； 终边落在坐标轴上的角可表示为：{α|α=2πk ,k ∈Z }. 5.终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{β|β=α+2kπ,k ∈Z }.二、弧度制1.角度制:规定周角的1360为1度的角，这种计量角的度量方法称为角度制.2.弧度的定义：规定圆弧上弧长等于半径的弧所对的圆心角为1弧度的角，即1360周角=1°，12π周角=1 rad.3.弧度与角度的换算:360°=2π rad;180°=π rad;1°=180πrad≈0.017 45 rad ； 1 rad=（180π）°≈57.30°=57°18′.4.弧长公式： l=|α|·r （其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.5.扇形的面积公式：S 扇形=21l·r=21|α|r 2（其中r 为扇形的半径，α为扇形圆心角的弧度数）.知识导学要理解任意角概念，可通过创设情境：“转体720°，逆（顺）时针旋转”，从而知晓角有大于360°角、零角和旋转方向不同所形成的角等；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；再通过创设情境,引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式.以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.1.角的概念角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图1-1-1.图1-1-12.角的概念的推广按逆时针方向旋转形成的角叫做正角,按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有作任何旋转,我们称它形成一个零角.如图1-1-2中的角是一个正角,等于750°,图1-1-3中,正角α=210°,负角β=-150°,γ=-660°.图1-1-2 图1-1-33.在直角坐标系内讨论角象限角:当角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x轴正半轴重合,如果角的终边在第几象限,就把这个角叫做第几象限角.4.终边相同的角所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示为角α与整数个周角的和.5.几个重要的角的集合(1)象限角的集合第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜90°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,0°＜β＜90°,k∈Z}.第二象限角的集合为{α|k·360°+90°＜α＜180°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,90°＜β＜180°,k∈Z}.第三象限角的集合为{α|180°+k·360°＜α＜270°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,180°＜β＜270°,k∈Z}.第四象限角的集合为{α|270°+k·360°＜α＜360°+k·360°,k∈Z}={α|α=β+k·360°,270°＜β＜360°,k∈Z}.(2)几种特殊角的集合终边落在x轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°,k∈Z}.终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+180°,k∈Z}.终边落在x轴上的角的集合为{α|α=k·180°,k∈Z}.终边落在y轴正半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+90°,k∈Z}.终边落在y轴负半轴上的角的集合为{α|α=k·360°+270°,k∈Z}.终边落在y轴上的角的集合为{α|α=k·180°+90°,k∈Z}.终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α=k·90°,k∈Z}.终边落在y=x上的角的集合为{α|α=k·180°+45°,k∈Z}.终边落在y=-x上的角的集合为{α|α=k·180°+135°,k∈Z}.终边落在y=±x上的角的集合为{α|α=k·90°+45°,k∈Z}.题组一：基础概念．【题目】．在直角坐标系中，作出下列各角：（1）360°（2）－270°（3）390°（4）－540°【解】．【题目】．设集合M={θ|θ为小于90°的角}，N={θ|θ为第一象限的角}，则M∩N 等于( )A．{θ|θ为锐角} B．{θ|θ为小于90°的角}C．{θ|θ为第一象限角} D．以上均不对解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系. （2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意.．【题目】．下列各命题正确的是( )A．终边相同的角一定相等B．第一象限角都是锐角C．锐角都是第一象限角D．小于90°的角都是锐角解析：可根据各种角的定义,利用排除法予以解答.对于A,-60°和300°是终边相同的角,它们并不相等,应排除A.对于B,390°是第一象限角,可它不是锐角,应排除B.对于D,-60°是小于90°的角,但它不是锐角,∴应排除D.综上,应选C.答案：C．【题目】．下列命题中，正确的是（）A．终边相同的角一定相等B．锐角都是第一象限角C．第一象限的角都是锐角D．小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B.答案：B．【题目】．给出下列四个命题：（1）小于90°的角是锐角；（2）钝角是第二象限角；（3）第一象限角一定是负角；（4）第二象限角必大于第一象限角。
时：角的概念PPT教学课件
角的表示法(四种)
1、用三个字母表示 ∠AOB
表示顶点 的字母写 在中间
2、用顶点字母表示
∠O
顶点处只 有一个角
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3
3、用数字表示 ∠1
4、用希腊表示 ∠α
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要在图上 标注
4
角的终边和始边成一直线时的角叫做：
平角
角的终边和始边再次重合时的角叫做：
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一条射线
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画出表示下列方向的射线
1、南偏东250 2、北偏西600
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PPT教学课件
谢谢观看
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12ห้องสมุดไป่ตู้
课题：4.6.1 角 教学目标： 1、使学生认识到角的美感及角的有关知识；
3、掌握有关方向角的初步知识。 教学重点：
教学难点：角的定义的理解
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角的概念
• 角: • 1.角是由两条有公共
端点的射线组成的图 形. • 2.一条射线绕着它的 端点旋转而成的图形.
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2
角的分类
• 锐角:大于0度小于90度 • 直角:等于90度 • 钝角:大于90度小于180度
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例、把18015/化成用度表示的角
把93.20化成用度、分、秒表示的角
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西北 北 东北
西
东
西南 南 东南
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例、如图，OA是表示_北__偏_东__3_0_0方向的
周角
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计算：
(1)46°55′＋23°35′；
解：70.5°
(2)(180°－91°32′24″)÷2.
解：44°13′48″
一级
下列说法正确的是( C )
A．连接两点的线段，叫做两点间的距离 B．射线 OA 与射线 AO 表示的是同一条射线 C．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 D．从一点引出的两条直线所形成的图形叫做角
三级
(1)上午 8∶30，分针与时针的夹角为 7755 度； (2)计算 180°－123°25′＝ 5566°°3355′′ ．
将图中的角用不同方法表示出来，并填写下表：
∠ABE ∠ABC ∠ACB ∠ACF ∠BAF
∠α ∠1 ∠2 ∠3 ∠A
★四、思维拓展练
►答案见：D23
(1)你能用三角尺画 30°、45°、60°、90°这些特殊角吗？
第四章 几何图形初步
第55课时 角的概念及角度的换算
★一、新课学习
►答案见：D22
角的定义：有 公共顶点 的两条 射线 组成的图形叫做角；
角的表示：用 33 个大写字母(顶点在中间)，如∠ABC；用 11
个大写字母(单独一个角)，如∠A；用数字表示，如∠1；用希 腊字母表示，如∠β；
角的换算：1°＝ 6600 ′，1′＝ 6600 ″.
下列角中，∠1 和∠BOC 表示同一个角的是( B )
二级
(1)1.5°＝ 9900 ′； (2)0.75°＝ 4455 ′＝ 22770000 ″； (3) 36°45′＝ 3366..7755 °.
35°15′与 35.15°相等吗？为什么？
解：35°15′与 35.15°不相等 因为 35°15′＝35.25 °≠35.15°.
的图形
如图，下列说法错误的是( C )
A．∠B 也可以表示为∠ABC B．∠BAC 也可以表示为∠A C．∠1 也可以表示为∠C D．以 C 为顶点且小于 180°的角有 3 个
如图所示，能用∠AOB，∠O，∠1 三种方法表示同一个角的
图形是( D )
填空：
(1)周角＝ 336600°° ，平角＝ 18108°0° ，直角＝ 9900 度； (2)32平角＝ 112200 度，51周角＝ 7272 度； (3)3.32°＝ 33 ° 1199 ′ 1122 ″； (4)23°34′30″＝ 2233..575 °； (5)12°36′＝ 1122.6.6 °.
(2)根据(1)题猜想：在一个角内引(n－2)条射线可组成几个角？
解：在一个角内引(n－2)条射线可组成n（n2－1）个角．
谢谢您的观看与聆听
解：能；
(2)我们能不能用三角尺画出 15°的角呢？怎样画？
解：能；
(3)能用三角尺画 75°的角吗？
解：能；
(4)你还能用三角尺画哪些度数的角？试着画画看．
解：105°；135°；120°等，画图略
归纳与猜想：
(1)观察下图填空：图①中有 33 个角；图②中有 66 个角； 图③中有 1100 个角；
★二、例变稳中练
下列说法正确的是( D )
A．两条射线组成的图形叫角 B．小于平角的角分别为锐角和钝角 C．延长直线 AB D．延长线段 AB
►答案见：D23Βιβλιοθήκη 下列说法不正确的是( A )
A．由两条射线所组成的图形叫做角 B．∠AOB 的顶点是点 O C．∠AOB 和∠BOA 表示同一个角 D．角可以看作一条射线绕着端点旋转到另一个位置所形成