新苏科版数学九年级上册：一元二次方程的解法归纳
一元二次方程的解法(第3课时配方法)(课件)九年级数学上册精品课件(苏科版)
左、右两边同时加上一次项系 数一半的平方.
利用平方根的意义直接开平方.
移项，合并.
例题讲解
例1.用配方法解下列方程：
(2)2x2-2x+1=0
∴原方程无解.
＜0？
新知巩固
用配方法解下列方程：
(1)3x2-1＝6x；
(2) －5x2+2x－1＝0.
当堂检测
2.用配方法解下列方程，正确的是( D ) A. x2+4x-1=0化为(x+2)2 = -1+4
B. t2-2t-4 = 0化为(t-1)2 = 4
当堂检测
3.用配方法解下列方程，配方错误的是( C )
当堂检测
4.若方程4x2－(m＋2)x＋1＝0的左边可以写成一个完全平方
式，则m的值为( C ) A. 2或－2 B. 6或－6
变式：试判断代数式-x2+2x+3是存在最大值还是最小值？
课堂小结
二次项系数为1 (x+h)2=k(k≥0) 配方法解一 元二次方程
二次项系数不为1 ax2+bx+c=0 (a≠0）
特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程的二次项系数化为1.
当堂检测
1. 将方程2x2＋8x＋3＝0变形为(x＋h)2＝k的形式，正确的是 ( D ) A. （x＋2）2＝1
∴原方程无解.
例题讲解
例2. 求证：不论x取何值，代数式2x2-4x+3的值总大于零.
证明：2x2-4x+3=2(x2-2x+1)+1 =2(x-1)2+1
∵不论x取何值时，总有2(x-1)2≥0 ∴2(x-1)2+1＞0 ∴不论x取何值，代数式2x2-4x+3的值总大于零.
数学苏科版九年级上册1.2一元二次方程的解法
1.2一元二次方程的解法（1）教学目标【知识与能力】了解形如（x ＋m ）²＝n （n ≥0）的一元二次方程的解法——直接开平方法.【过程与方法】会用直接开平方法解形如b ax =2（a ≠0,a b ≥0）的方程.【情感态度价值观】会用直接开平方法解形如b k x a =-2)(（a ≠0,a b ≥0）的方程.教学重难点【教学重点】一元二次方程的概念和一般形式.【教学难点】正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”.课前准备无教学过程一、知识回顾：1、把下列方程化为一般形式，并说出各项及其系数。
（1）245x x -=（2）235x =（3）()()()22122-+=+-y y y y 2.我们曾学习过平方根的意义及其性质，现在来回忆一下：什么叫做平方根?平方根有哪些性质?平方根有下列性质：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根是互为相反数的；(2)零的平方根是零；(3)负数没有平方根。
3、填空：4 的平方根是 ，81的平方根是，100的算术平方根是 。
二、自学自悟思考：如何解方程2x =2呢？根据平方根的意义， 是 的平方根，所以， x=即此一元二次方程的两个根为结论：1、根据平方根的意义，x 就是2的平方根，∴x=2±这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。
2、形如方程02=-k x )0(≥k 可变形为)0(2≥=k k x 的形式，用直接开平方法求解。
三、例题学习例1：解下列方程（1）042=-x ；（2）0142=-x ；例2：解下列方程（1）（x ＋1）2－2＝0；（2）12（2－x ）2－9＝0.（这两题和上面两题有什么异同点？解法上有什么联系？小结：如果一个一元二次方程具有（x+h ）2=k （k ≥0）的形式，那么就可以用直接开平方法求解例3.解方程(2x －1)2=(x －2)2分析：如果把2x-1看成是（x-2）2的平方根，同样可以用直接开平方法求解练习：(2x-1)2 =(3-x)2四、知识梳理与小结1、1.用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤2、任意一个一元二次方程都可以用直接开平方法解吗？形如())0(2≥=+k k h x 的方程。
苏教版初中数学九年级上册一元二次方程知识点总结
苏教版初中数学九年级上册一元二次方程知识点总结
定义
方程是只含有一个未知数的整式方程，并且可以化成
ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。
2用配方法求解一元二次方程
思路：将方程转化为(x+m)2=n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边同时开平方，转化为一元一次方程，便可求出它的根。
我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。
3。
用公式法求解一元二次方程
对于一元二次方程，当b2-4ac≥0时，它的根是：
上面这个公式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。
对于ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)，当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根。
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
当b2-4ac<0时，方程没有实数根。
4、用因式分解法求解一元二次方程
当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以将方程分解成两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。
5、一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)有两个实数根x1，x2，那么
x1+x2=-b/a，x1x2=c/a
思维导图：。
苏教版九年级数学(上册)一元二次方程的解法公式法
Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0. 2.计算Δ ；
方程有两个不等的实数根
提示：方程必须
b b2 4ac x
2a
要转化成一般形 式才能确定系数
(4) 44 2 11, 3.代入 ； 21
即 x1 2 11, x2 2 11. 4.定根 ；
新课讲解
(2)方程化为5x2－4x－1＝0.
a＝5，b＝－4，c＝－1.
Δ ＝ b2 － 4ac ＝ ( － 4)2 － 4×5×( － 1) ＝
36>0.
方程b有两b个2 不4a等c 的实(数4根) 36 4 6
x
.
2a
25
10
1 即 x1 1, x2 5 .
新课讲解
(3)方程化为x2－8x＋17＝0. a＝1，b＝－8，c＝17. Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4<0. 方程无实数根．
所以x1 b
b2 2a
4ac
,
x2
b
b2 4ac . 2a
新课讲解
知识点1 公式法
由上可知，一元二次方程ax2 bx c 0 （a 0）
的根由方程的系数a，b， c 确定．因此，解一元二次方程时，
可以先将方程化为一般形式 ax2 bx c 0 ，b当2 4ac 0
时，将a，b，c代入x 式 子b b2 4ac
的根是( C )
当堂小练
2. 已知4个数据：－ 2 ，2 2 ，a，b，其中a， b是方程x2－2x－1＝0的两个根，则这4个数 据的中位数是( A )
A．1 C．2
B. 1
2
D. 1 2
苏教版九年级上册数学第一章【2】 一元二次方程的解法
当 b2 4ac 0 时，方程有实数根吗？
1.2 一元二次方程的解法（1）
1.2 一元二次方程的解法（1）
【问题情境】
如何解方程 x2＝2 呢？
根据平方根的意义，x是2的平方根，即 x＝ 2 .
此一元二次方程有两个根，它们分别为
x1＝ 2 ， x2= 2 .
1.2 一元二次方程的解法（1）
【概念】
解方程 x2＝2． 解：
x1 ＝ 2 ，x2= 2 .
把一个一元二次方程变形为（x＋h）2 ＝k (h、k 为常数)的形式，当k ≥0时，运用直接开平方法求出 方程的解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.
1.2 一元二次方程的解法（2）
【例题精讲】
解下列方程： （1）x2－4x＋3＝0；
（2）x2＋3x－1＝0．
1.2 一元二次方程的解法（2）
【数学实验室】
【问题情境】
用配方法解下列一元二次方程：
x2＋2x －3＝0．
你会解关于x的方程ax2＋bx＋c＝0 (a、b、c是 常数，a≠0)吗？
1.2 一元二次方程的解法（4）
【思考与探索】
ax2 bx c 0(a 0)．
解： 因为a≠0，所以方程两边都除以a，得
x2 b x c 0． aa
2
，
x
2 3
2
7 9
．
开方，得 x 2 7 ．
33
∴
x1
2 3
7 3
，x2
2 3
7 3
．
1.2 一元二次方程的解法（3）
【总结反思】
用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的 一般步骤：
（1）系数化为1． （2）移项． （3）配方． （4）开方． （5）求解． （6）定根．
一元二次方程的解法课件苏科版数学九年级上册
(2)确定公式中a，b，c 的值.
(3)求出b2－4ac 的值.
(4)若b2－4ac ≥ 0, 则把a，b 及b2－4ac 的值代入求根公式求
解；若b2－4ac ＜ 0，则方程没有实数根.
感悟新知
特别提醒
1. 公式法是解一元二次方程的通用解法
(也称万能解法)，它适用于所有的一元二次
方程，但不一定是最高效的解法.
方程的两个根.
感悟新知
知识储备
第一将方程化成左边是含有未知数的平方式，
右边是非负数的情势；其次化平方式的系数为1；
最后根据平方根的意义开平方求解.
感悟新知
例 1 用直接开平方法解下列方程：
(1)4x2－13＝12； (2)4(2x－1)2－36＝0.
解题秘方：紧扣用直接开平方法解一元二次方程的步骤
的情势，再用直接开平方法求出方程的解.
感悟新知
(1)x2－2x－5＝0；
解：移项，得x2－2x＝5.
配方，得x2－2x＋12＝5＋12，即(x－1)2＝6.
解这个方程，得x－1＝± .
所以x1＝1＋ ，x2＝1－ .
感悟新知
(2)2x2－4x＋1＝0.
2
解：两边都除以2，得x －2x＋ ＝0.
得5x2+4x－1＝0.
∵a＝5，b＝4，c＝－1，
∴ b2－4ac＝42－4×5×(－1)＝36＞0，
∴ x＝
－±
×
－± －±
＝
＝
. ∴ x1＝ ，x2＝－1.
2
移项，得x －2x＝－ .
2
即(x－1) ＝ .
所以x1＝1＋
苏科版九年级上册 1.2 一元二次方程的解法 讲义
一元二次方程的解法1、直接开方法：对于形如x ²=k(k ≥0)的方程，我们可以根据平方根的意义，其中x 表示k 的平方根，即x=±k ，所以对于一元二次方程x ²=k 有两个根，它们分别记为k x =1，k x -2=注意：这里有时候要将等号两边看作整体，常见形式：①ax ²=k ②(ax+h)²=k ③（ax+b)²=（cx+d)²例题解析：4x ²-1=0 (x+1)²=2解：412=x 解；将(x+1)看作一个整体21±=x ()21±=+x121-=x 1-2-2=x(3x+2)²=(x-2)²解：将(3x+2)和（x-2）分别看作一个整体 ()()223-±=+x x21-=x 02=x2、配方法：首先要将一个一元二次方程变形为(x+h)²=k,当k ≥0时，然后就可以直接用开平方法求出方程的解。
步骤：①移项：把常数项移到等号的右边；②二次项系数化为1：方程两边同时除以二次项的系数； ③配方：在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方； ④用直接开平方法求出变形后的方程；注意：配方法用到一个公式：完全平方公式逆运算：a ²±2ab+b ²=（a ±b ）² 配方法最关键的就是第二个步骤，一定要加上一次项系数一半的平方。
（这里可以不用考虑一次系数前面的正负号）例题分析：x ²+8x+ 4² =(x+ 4 )² x ²-62x+ ()223 =(x- ²加上一次项系数的一半的平方，不需要考虑正负号。
02522=+-x x 解：移项： 2522-=-x x二次项系数化为1：1252-=-x x加上一次项系数一半的平方：2224514525⎪⎭⎫⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x x配方：169)45(2=-x解得：4345±=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x21=x 212=x3、公式法：一元二次方程ax ²+bx+c=0(a ≠0)的根是由方程的各项系数决定的，它的实数根是：240)x b ac =-≥ 步骤：① 要将已知方程化为一般表达式，且注意二次项系数不为0；② 计算出△=b ²-4ac 的值，注意各项系数包括符号； ③ 若△=b ²-4ac ≥0，直接带入公式求解；注意：看清楚是指一元二次方程还是指一元一次方程，或只是说方程（两种情况都要考虑）。
一元二次方程的解法(第5课时一元二次方程根的判别式)(课件)九年级数学上册课件(苏科版)
是( C )
A. k≤－1
B. k≥－1
C. k＜－1
D. k＞－1
4. 若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有实数根，则m的取值范围是
(D ) A. m＜1
B. m＜1且m≠0 C. m≤1
D. m≤1且m≠0
当堂检测
5.在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中，若a与c异号，则方程( A )
第1章 · 一元二次方程
1.2 一元二次方程的解法
第5课时 一元二次方程根的判别式
学习目标
1．熟练运用公式法求解一元二次方程； 2．理解一元二次方程根的判别式的意义，能运用根的判别式 直接判断一元二次方程的根的情况.
复习回顾
一元二次方程的一般形式：
一元二次方程的求根公式：
复习回顾
用公式法解方程的一般步骤是什么？
(2)(x＋2)2＝2x＋4；
当堂检测
11.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式
的值为1，求m的值及该方程的根. 解：b2-4ac=[-(3m-1)]2-4m(2m-1)
=9m2-6m+1-8m2+4m =m2-2m+1 =(m-1)2 ∴ (m-1)2=1,即 m1＝2， m2＝0(舍去).
=-4<0， 方程没有实数根.
新知巩固
不解方程，判断下列方程的根的情况.
(1)9x2+12x+4=0；
(2) 5y2+1=8y.
解：b2-4ac
解：化简得 5y2-8y+1=0.
=122-4×9×4
b2－4ac
=0，
=52-4×(-8)×1
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第1章 一元二次方程
专题训练(一) 一元二次方程的解法归纳
一元二次方程的基本解法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法四种，在解方程时，要依据方程的特点进行合理选择．
► 解法一 缺少一次项或形如(ax ＋b )2＝c (c≥0)的一元二次方程选直接开平方法求解
1．用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为( )
A ．x 2－5＝5
B ．－3x 2＝0
C ．x 2＋4＝0
D ．(x ＋1)2＝0
2．解下列方程：
(1)t 2－45＝0; (2)(x －3)2－49＝0；
(3)(6x －1)2＝25; (4)12
(3y －1)2－8＝0；
(5)(x －3)2＝(5－2x )2.
► 解法二 方程一边化为0后，另一边能分解因式的一元二次方程用因式分解法求解
3．一元二次方程x (x －2)＝2－x 的解是( )
A ．x ＝－1
B ．x ＝0
C ．x 1＝1，x 2＝2
D ．x 1＝－1，x 2＝2
4．一元二次方程x 2－9＝3－x 的解是( )
A ．x ＝3
B ．x ＝－4
C ．x 1＝3，x 2＝－4
D ．x 1＝3，x 2＝4
5．解下列方程：
(1)x 2＝x ； (2)(x －1)(x ＋2)＝2(x ＋2)；
(3)4(x－3)2－25(x－2)2＝0；
(4)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＋4＝0；
(5)(x－2)(x－3)＝6.
►解法三当二次项系数为1，且一次项系数为偶数或遇到较大系数时选配方法求解6．解下列方程：
(1)x2－24x＝9856；(2)x2－6x－9991＝0.
7．有n个方程：x2＋2x－8＝0，x2＋2×2x－8×22＝0，…，x2＋2nx－8n2＝0.
小静同学解第一个方程x2＋2x－8＝0的步骤如下：①x2＋2x＝8；②x2＋2x＋1＝8＋1；
③(x＋1)2＝9；④x＋1＝±3；⑤x＝1±3；⑥x1＝4，x2＝－2.
(1)小静的解法是从步骤________开始出现错误的．
(2)用配方法解第n个方程x2＋2nx－8n2＝0.(用含有n的式子表示方程的根)
►解法四方程的系数没有特殊性，化为一般形式后用公式法求解
8．用公式法解方程2x2＋4 3x＝2 2时，其中求得的b2－4ac的值是________．
9．解下列方程：
(1)2x2－3x＋1＝0；(2)x(x＋2 2)＋1＝0；
(3)3(x2＋1)－7x＝0；(4)4x2－3x－5＝x－2.
►解法五运用换元法等数学思想方法解一元二次方程
10．解方程(x－1)2－5(x－1)＋4＝0时，我们可以将x－1看成一个整体，设x－1＝y，则原方程可化为y2－5y＋4＝0，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x－1＝1，解得x＝2；当y ＝4时，x－1＝4，解得x＝5.所以原方程的解为x1＝2，x2＝5.利用这种方法求得方程(2x＋5)2－4(2x＋5)＋3＝0的解为( )
A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝－2，x2＝3
C．x1＝－3，x2＝－1 D．x1＝－2，x2＝－1
11．若(a2＋b2)(a2＋b2－2)＝8，则a2＋b2的值为( ) A．4或－2 B．4 C．－2 D．－4
12．请阅读下面解方程(x2＋1)2－2(x2＋1)－3＝0的过程．解：设x2＋1＝y，则原方程可变形为y2－2y－3＝0.
解得y1＝3，y2＝－1.
当y＝3时，x2＋1＝3，∴x＝± 2.
当y＝－1时，x2＋1＝－1，x2＝－2.此方程无实数解．
∴原方程的解为x1＝2，x2＝－ 2.
我们将上述解方程的方法叫做换元法．
请用换元法解方程：
(
x
x－1
)2－2(
x
x－1
)－15＝0.
详解详析
1．C
2．解：(1)t 1＝3 5，t 2＝－3 5.
(2)x 1＝10，x 2＝－4.
(3)x 1＝1，x 2＝－23
. (4)移项，得12
(3y －1)2＝8，(3y －1)2＝16， 所以3y －1＝±4.
所以3y －1＝4或3y －1＝－4.
所以y 1＝53
，y 2＝－1. (5)方程两边开平方，得x －3＝±(5－2x )，
即x －3＝5－2x 或x －3＝－(5－2x )，
所以x 1＝83
，x 2＝2. 3．D 4.C
5．解：(1)x 1＝0，x 2＝1.(2)x 1＝3，x 2＝－2.
(3)原方程可变形为[2(x －3)]2－[5(x －2)]2＝0，
即(2x －6)2－(5x －10)2＝0，
∴(2x －6＋5x －10)(2x －6－5x ＋10)＝0，
即(7x －16)(－3x ＋4)＝0，
∴7x －16＝0或－3x ＋4＝0，
∴x 1＝167，x 2＝43
. (4)原方程可变形为(2x ＋1＋2)2
＝0，
即(2x ＋3)2＝0，∴2x ＋3＝0，
∴x 1＝x 2＝－32
. (5)整理，得x 2－5x ＝0，∴x (x －5)＝0，
∴x ＝0或x －5＝0，∴x 1＝0，x 2＝5.
6．(1)x 1＝112，x 2＝－88 (2)x 1＝103，x 2＝－97
7．解：(1)⑤
(2)x 2＋2nx －8n 2＝0，
x 2＋2nx ＝8n 2，
x 2＋2nx ＋n 2＝8n 2＋n 2，
(x ＋n )2＝9n 2，
x ＋n ＝±3n ，
x 1＝2n ，x 2＝－4n .
8．64 [解析] 要求b 2－4ac 的值，需将原方程先转化为ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的形式．原方程可化为2x 2＋4 3x －2 2＝0，b 2－4ac ＝(4 3)2－4×2×(－2 2)＝64.故填64.
9．解：(1)∵b 2－4ac ＝(－3)2－4×2×1＝1>0，
∴x ＝3±12×2＝3±14，
即x 1＝1，x 2＝12
. (2)原方程可化为x 2＋2 2x ＋1＝0.
∵a ＝1，b ＝2 2，c ＝1，
∴b 2－4ac ＝(2 2)2－4×1×1＝4，
∴x ＝－2 2±42
＝－2±1， ∴x 1＝－2＋1，x 2＝－2－1. (3)化简，得3x 2－7x ＋3＝0，
∴b 2－4ac ＝(－7)2－4×3×3＝13，
∴x ＝7±132×3＝7±136
， ∴x 1＝7＋136，x 2＝7－136. (4)化简，得4x 2－4x －3＝0，
∴b 2－4ac ＝(－4)2－4×4×(－3)＝64，
∴x ＝4±642×4＝1±22
， ∴x 1＝32，x 2＝－12
. 10．D [解析] 设y ＝2x ＋5，则原方程可化为y 2－4y ＋3＝0，解得y 1＝1，y 2＝3.当y ＝1时，2x ＋5＝1时，解得x ＝－2；当y ＝3时，2x ＋5＝3时，解得x ＝－1.所以原方程的解为x 1＝－2，x 2＝－1.故选D.
11．B [解析] 设a 2＋b 2＝x ，则原方程可化为x (x －2)＝8，解得x 1＝4，x 2＝－2.
因为a 2＋b 2的值为非负数，所以a 2＋b 2的值为4，故选B.
12．解：设x x －1
＝a ，则a 2－2a －15＝0， 解得a 1＝3，a 2＝5. 当a ＝－3时，x
x －1＝－3，解得x ＝34. 经检验，x ＝34
是该分式方程的解． 当a ＝5时，x
x －1＝5，解得x ＝54. 经检验，x ＝54
是该分式方程的解． ∴原方程的解是x 1＝34，x 2＝54
.。