微积分在大学物理的一些应
谈大学物理微积分思想和方法

谈大学物理微积分思想和方法作者:王娜来源:《江西教育C》2015年第05期大学物理是高等学校面向广大理工科生开设的一门公共基础课程,区别于高中物理,它要求学生更多地运用微积分思想和方法处理物理问题,从而体会物理思想以提高解决物理问题的能力。
对于中学阶段主要应用代数运算的大一学生而言,微积分思想和方法是他们在大学物理学习中面对的最困难的问题。
纵观整个教学内容,微积分思想和方法在力学、电磁学和热学部分都有应用,但是总结起来可以分为两类,一类是速度为代表的微分思想,另一类是功为代表的积分思想。
力学部分是学生接触微积分思想和方法的第一站,也是最具有代表性的部分。
本文通过描述速度、加速度、功和万有引力势场的定义以及计算中微观量的物理意义,给出大学物理中微积分思想和方法应用的特点。
一、速度和加速度1.历史和定义。
17世纪,工业和科技的发展向数学提出了许多问题,促使了微积分学科的诞生。
这些问题被称为“四类问题”,其中第一类就是表征运动物体的瞬时速度。
在变速直线运动中,路程上任一点的速度定义为该点附近所取的无限短路程与其对应的无限短时间的比例。
若无限短路程用ds表示,对应的无限短时间用dt表示,则速度v=,其中微小量ds和dt被称为微分量,这种方法被称为微积分方法。
这个概念分别由牛顿和莱布尼茨创立,它的第一个应用就是给出速度的概念。
2.微分量的物理意义。
定义中无限短路程近似为无限小直线段,无限短时间内质点的运动近似为匀速直线运动。
例如,直线运动(假设沿x轴),速度表示为v=。
推广到具有普遍意义的三维空间,情况又怎样呢?依据运动的叠加原理不难想象,在直角坐标系中dt时间内物体的无限短路程ds(直线段)可以看成dt时间内沿x方向匀速移动dx距离、沿y方向匀速移动dy距离、沿z方向匀速移动dz距离的合效果,即ds是边长为dx、dy、dz的平行六面体的体对角线。
我们用矢量来表示这个合效果,无线短路程ds对应的矢量用d表示,即(d=dx+dy+dz(dx、dy、dz是d三个正交分量的数值),dt时间内每一维均对应匀速直线运动,即速度的三个正交分量的数值分别为vx=,vy=,vz=.也可以写成矢量式.3.加速度。
浅谈微积分“抽水做功”相关物理应用问题

第39卷第12期2020年12月大学物理COLLEGE PHYSICSVol.39No.12Dec.2020浅谈微积分“抽水做功”相关物理应用问题庞国楹,刘俊,郭彦,刘佳(陆军军事交通学院基础部数学教研室,天津300161)摘要:针对微积分中的抽水做功相关物理问题,结合实际生活场景和工程背景,以微元法和三重积分方法,考虑容器竖直放置和倾斜放置两种情况,建立了容器竖直放置以及吸管不同位置的做功模型,容器倾斜液体未流出的做功模型,以及容器倾斜液体流出情形的做功模型,并进行数值仿真,得出的相关理论具有较强的实际应用和理论参考价值.关键词:微元法;三重积分;抽水做功中图分类号:0313.2文献标识码:A文章编号:1000-0712(2020)12-0020-08【DOI】10.16854/ki.1000-0712.200025微积分是高等数学课程体系的基础和核心,其基本工具是极限法,研究对象是非均匀问题,基本思想是局部求近似,极限求精确,内容包含微分学和积分学,连接桥梁是牛顿-莱布尼兹公式,利用微积分解决实际问题的核心是微元法⑴.比如:在工程计算中,多采用图解积分法、高斯积分法等,利用微积分的思想和方法采取少量结点进行相关的测量和计算,然后进行累加得到积分的近似值,进而计算出做功情况;在大学物理课程中的抽水做功、弹性力作功、万有引力作功、电场力作功等,其实质是部分量或更小部分量的简单叠加(矢量或数量),等等•因此,通过实际教学,学生学会把实际中复杂的物理问题化整为零、分割成局部、选取微元、再积零为整,把局部问题累积起来解决问题的思想,从而可以使学生掌握运用微积分的思想方法,能够解决一些非线性的物理问题,提高学习兴趣•求解抽水做功、中心、重心、面积和体积等物理问题,是微积分课程重点讲解的相关应用问题,对此国内部分学者进行了深入研究.张民珍⑵指出了微元法的关键是寻找微元的近似值,需要满足近似代替量所需满足的条件,即误差应是高阶无穷小.魏嵬⑶结合实际工程,分析了柱液倾动的变化过程及变量之间的关系,确定了每个倾动角度对应情况下的液面位置和倾动重心,为工程计算重心提供了一种数学计算的分析方法.唐祥德、聂东明和杨柳⑷从定积分的定义出发,以学生的经验为基础,将“微元法”在几何中求曲线长度、面积及体积归结为“积点成线、积线成面、积面成体”,通过语言、图像直观降低了学生学习该内容的难度,达到直观性教学目的.谢俊鹏、廖大成、熊杰和马翠曰针对储油罐的变位识别与罐容表标定问题,基于微元法的思想建立了储油罐在未变位及变位不同情况下油位高度与储油量之间的数学模型,分析小椭圆型储油罐和实际储油罐的变位问题,借助遍历搜索算法确定储油罐的变位参数,进而对变位时的罐容表进行标定,进一步对模型的可靠性、正确性及结果的误差进行分析.王东红⑷探讨了求解抽水做功问题的两种方法,旨在提高学生灵活运用所学知识解决实际问题的能力.在实际问题中,经常需要计算变力所作的功,譬如弹力做功;或者沿物体的运动方向的力是常力,但移动的距离是变动的做功问题,譬如抽水做功.基于上述理论,本文以微积分中的"抽水做功"相关物理问题为基础,讨论容器竖直放置以及吸管不同位置的做功模型,进一步分析液体倾动未流出的做功模型,以及溶液倾动沿容器杯顶流出情形的做功模型,最后通过数值仿真进行验证.1容器竖直放置的情形该模型类似于“高等数学”课程中,对圆柱型或球型容器在竖直方向抽水做功问题.图1给出了圆筒型容器竖直放置的截面图,其实质是克服重力做功,即求解在一个常力F的作用下,物体沿力的方向作直线运动,当物体移动S时(物体上每点移动收稿日期:2020-01-22;修回日期:2020-03-31基金项目:学院教育教学改革重大基金项目(JYYJYB2019020)和(413GZ10107)资助作者简介:庞国楹(1983—),男,山东肥城人,陆军军事交通学院讲师,硕士,主要从事高等数学和数学建模工作.第12期庞国楹,等:浅谈微积分“抽水做功”相关物理应用问题21的距离不变),力F 所作的功为W = F ・S.在此给出微元法和等价恒距离做功两种方法的求解过程” I(a)微元法(b)恒距离做功图1竖直放置情形1.1微元法根据《高等数学》中微元法和定积分的思想,将液体沿竖直方向分割成微元体,假设吸管漂浮在液 体表面,液体是逐层被抽出来的;随着液体不断下降,吸管也随之下降,微元层的提升高度连续增加, 此过程可以认为是“变距离”做功问题.如图1 (a ) 所示,假设容器顶部所在平面为初始水平面,溶液密度为P ,现将介于两截面y 和y + d y 之间一薄层的液体吸出,所经位移为y 二H -h ,是容器的高度,是液面的高度。
学习大学物理必备数学知识

r
r
r
自矢矢 量量的BAr 的 末端末画端出画矢出量矢量 ,CBr,则再从就Cr矢是量 和A的Ar 始端的Br到合
矢量。
4
利用矢量平移不变性: r
d
A r
c
r
C
r
B a
r
B b
A
图4 两矢量相加的平行四边形法则
2、利用计算方法计算合矢量的大小和方向:
r
C A2 B2 2AB cos arctan B sin
r B
•
r dA
dt
dt
dt
(4)
d
rr A B
r A
r dB
r dA
r B
dt
dt dt
26
2、矢量的积分:
设
r A
和
r B
均在同一平面直角坐标系内,且
r dB
Ar,
则有:dBr
r Adt
dt
r B
r Adt
r Axi
Ay
r j
dt
r
r
Axdt i Aydt j
r
的模,用符号 A 表示。
A
图1 矢量的图像表示
2
2、矢量平移的不变性:
r
r
把矢量 A在空间平移,则矢量 A的大小和方向都不
会因平移而改变。
r
r
A
A
r A
图2 矢量平移
3
二 矢量合成的几何方法
1、利用质点在平面上的位移说明矢量相加法则:
r
c
微积分在力学中的应用

微积分在力学中的应用作者:尹芬芬来源:《速读·中旬》2017年第11期摘要:微积分在大学物理特别是力学中有着极其广泛的应用。
用微积分方法解决力学问题,是力学教学的重难点。
本文通过阐述力学中不同的物理量及公式推导过程所体现的微积分思想,可以很好地分析和处理力学问题,帮助学生理解微积分的重要作用及思想本质,使得学生熟练应用微积分解决力学问题,有效提高学习质量。
关键词:微积分;力学;应用;学习质量力学是大学物理的重要教学内容,在物理课程设置中占据基础地位。
物理课程的开设,能够使学生系统地学习力学的基础理论知识,为后续课程学习奠定良好的基础,同时有助于培养学生的科学思维和创作性思维,形成正确分析及解决物理问题的能力及提升物理学科的课堂教学效果,对将来从事的科学研究学习也有很好地促进作用。
一、微积分思想的重要性力学所研究的物理量,有些不是稳恒量和离散量,而是变量和连续量,如变力做的总功,变速运动的瞬时速度等,所讨论的问题更加复杂、实际。
因此,在教学过程中,教师应积极指导学生建立微积分思想,将微积分思想与力学变量问题结合起来,进一步加深学生对微积分在力学中应用的理解。
二、微积分在力学教学中的应用微积分思想就是“微元法”和“无限逼近”。
通过对复杂的物理变量无限分割成多个微元,则局域范围无限变小,近似处理也越精确,则理论上可认为这限小的量为常量,这个即为微分;对所有无限多个微分的研究结果累积求和,即为积分,由此可得所求的那个变量,这就是微积分的思想本质。
(一)速度及加速度问题例1:某质点运动方程为[rt=xti+ytj=3ti+3-t3j],计算质点在任一时刻的速度[v]和加速度[a]。
方法:由运动方程可知该质点做变速运动,利用微积分思想,速度时刻改变,求解瞬时速度,可把运动分成很多个时间很短的微运动,在每个很短的时间间隔内,可认为做匀速运动,即[∆t→0],平均速度的极限值为瞬时速度[v]:[v=lim∆t→0∆r∆t=drdt=3i-3t2j]。
微积分在物理学中的应用

微积分在物理学中的应用The application of calculus in physics摘要: 关于“微积分”是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支,它是数学的一个基础学科,内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算,是一套关于变化率的理论,它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论,使运算也更加简便 。
“应用数学处理物理问题的能力”是我们必须掌握的一种解决物理问题的方法,“能够根据具体问题找出物理量之间的数学关系,根据数学的特点、规律,进行推导、求解,并根据结果做出物理判断、进行物理解释,得出物理结论”是物理解题中运用的数学方法,微积分就是其中一种。
关键词: 微积分Key words: calculus基金项目:本文为大学生科研项目批准文号xs11035资助项目作者简介:姓名:李东康(出生年月198211),女,吉林省;单位全称:通化师范学院物理学院,职称:助教;研究方向:光学;刘明娟,通化师范学院物理学院本科学生;1、微积分1.1定义:设函数()x F 在[]b a ,上有界,在[]b a ,中任意插入若干个分点a=0X <1X <...<1-Xn <Xn =b 把区间[]b a ,分成n 个小区间[][]n n x x x x ,,110- 。
在每个小区间[]i i x x ,1-上任取一点()i i i x x ≤≤-ζ1,作函数值()i f ζ与小区间长度的乘积()xi i f ∆ζ,并做出如果不论对[]b a ,怎样分法,也不论在小区间上的点i ζ怎样取法,只要当区间的长度趋于零时,和S 总趋于确定的极限I ,这时我们称这个极限I 为函数()x f 在区间[]b a ,上的定积分。
设函数()x f y =在某区间内有定义,0x 及x x ∆+0在此区间内。
如果函数的增量()()00x f x f x y -∆+=∆可表示为 ()x x y A ∆O +∆=∆(其中A 是不依赖于x∆的常数),而()x ∆O 是比x ∆高阶的无穷小,那么称函数()x f 在点0x 是可微的,x A ∆称作函数在点0x 相应于自变量增量x ∆的微分,记作y d ,即x y A d ∆=。
微积分在物理学上的应用

1 引言微积分是数学的一个基本学科,内容包括微分学,积分学,极限及其应用,其中微分学包括导数的运算,因此使速度,加速度等物理元素可以使用一套通用的符号来进行讨论。
而在大学物理中,使用微积分去解决问题是及其普遍的。
对于大学物理问题,可是使其化整为零,将其分成许多在较小的时间或空间里的局部问题来进行分析。
只要这些局部问题分的足够小,足以使用简单,可研究的方法来解决,再把这些局部问题的结果整合起来啊,就可以得到问题的结果。
而这种将问题无限的分割下去,局部问题无限的小下去的方法,即称为微分,而把这些无限个微分元中的结果进行求和的方法,即是积分。
这种解决物理问题的思想和方法即是微积分的思想和方法。
2 微积分的基本概念及微分的物理含义微积分是一种数学思想,其建立在函数,实数和极限的基础上,其主要探讨的就是连续变量。
在运用微积分去解决物理问题时,可以将我们所需要得出的结果看成是一个整体,再将这个整体先微分,即将其分成足够小的个体,我们可以将这个个体的变量看成衡量,得出个体结果后,再将其积分,即把个体的结果累积起来进行求和。
例如,在我们研究匀变速直线运动时,我们就可以在其运动过程中选取一个微小的时间dt,而这一时间内的位移为dt,在每一段时间内速度的变化量非常小,可以近似忽略,那么我们就可以将这段时间内的运动近似看成匀速直线运动,再把每段时间内的位移相加,无限求和,就可以得出总的位移。
在物理学中,每个物理公式都是某些物理现象和规律的数学表示,因此,我们在使用这些公式时,面对物理量和公式的微分形式我们不能仅仅从数学方面去考虑,更要从物理含义上去考虑。
在我们使用微分符号时,不能只从数学角度去理解其为无限小,更要结合具体的物理量和角度去判断他的正确含义。
例:如图所示,一通有交流电流i=的长直导线旁有一共面的单匝矩形线圈ABCD,试求线圈中的感应电动势大小。
解:设在某个时刻,长直导线电流产生的磁场为B=在图中做一个微元面dS,dS=ldx,则该面元上的磁场可以近似于均匀磁场,微元面dS上的磁通量为d线圈围成的面上通过的磁通量为线圈中的感应电动势为在这个例题中,微元面dS的磁通量与线圈的感应电动势都有,但他们的物理含义却是不一样的,前者的表示微元面 dS上的磁通量,是一个微小量,而后者的表示的是微笑时间内的磁通量变化量,是一个微小变化量。
微积分在大学物理教学中的重要应用

微积分在大学物理教学中的重要应用【摘要】微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支,在大学物理教学中有着广泛而重要的应用,尤其在力学和电磁学部分更为常见,本文主要从这两部分的几道例题进行分析,强调微积分在大学物理中的重要应用.【关键词】微积分;大学物理;力学;电磁学;应用0 引言大学物理是理工科大学面向一、二年级开出的,融合了力、热、光、电和原子物理等基本领域的一门重要的必修基础课,比起中学物理来说,大学物理更加接近于“现实状态”,所研究的运动为加速度时刻发生变化的变速运动,功为变力所做的功,各种类型带电体在空间各个不同点形成的电场在变,磁场也一直在变化等等,此时中学物理所形成的处理“恒定”问题的技能已不再适用,必须建立一套适用于处理“动态”物理问题的新的方法,即微积分的方法.微积分是指把复杂的问题进行时空上的有限次分割,在有限小的范围内进行近似处理,然后让分割无限地进行下去,局部范围无限变小,则近似处理也就会越来越精确,这样在理论上得到的结果。
微分是指在理论分析时,把分割过程无限进行下去,局部范围便会无限小,积分是指把无限小个微分元求和[1],微积分是高等数学中比较重要的一个分支.从大学物理和高等数学的发展史中可以看出两者相互联系,相互促进,物理学提供相应的“现实模型”,高等数学提供“抽象的解决方法”,所以高等数学是大学物理课程的必备基础与工具.1 微积分在大学物理中的重要应用下面主要从大学物理中力学和电磁学两部分的几道例题分析一下微积分的重要应用:上面例题是质点运动学的一个典型例题,解题思路是先运用数学导数的概念,即通过求平均变化率的极限来得到瞬时加速度,列出重要的数学表达式,把数学导数的知识巧妙地应用到物理学当中去,接下来通过给定的初始条件进行定积分,即对微元进行求和,最终算出结果,把看似复杂的变速问题变得更加简单化.比较方法一和方法二,明显可见方法一的便利之处,求解过程相对简捷,从方法一可看出微积分知识和简单物理模型的密切结合,不仅能使学生更加深入地理解基本物理理论知识,而且能够使学生开阔思路,触类旁通,这也是物理教学比较重要的一方面.以上例题主要体现了微积分在电磁学方面的重要应用,虽然从不同微量之间的关系去探讨问题,最终都得到了精确的解,由此可见微积分的奇妙之处,只要选择合适的微元,找好相应的方法,就可以完美地实现物理模型的由复杂到简单、由变量到恒量、由未知到已知的转变.2 结语微积分作为高等数学中一个比较重要的分支,在大学物理教学中起着举足轻重的作用,它不仅是教学工具的应用,也是一种思维方法的应用,教师在教学过程中要巧妙地将微积分融入到大学物理教学中去,恰当地取好微元,分析好元过程和元贡献,确定好积分上下限,最终可以解决许多复杂的物理问题,使得学生增强学习物理的信心,达到事半功倍的教学效果.【参考文献】[1]黎定国.大学物理中微积分的思想方法浅谈[J].大学物理,2005,24(12):52-54.[2]漆安慎,杜婵英.力学[M].北京:高等教育出版社,1997.[3]马文蔚.物理学[M].北京:高等教育出版社,2008.[责任编辑:薛俊歌]。
浅析大学物理微积分思想与矢量思想

浅析大学物理微积分思想与矢量思想大学物理中的微积分思想和矢量思想是非常重要的概念。
微积分思想是一种数学工具,用于处理变量的变化,而矢量思想则是一种数学工具,用于描述物理量在空间中的运动。
在物理学中,这两种思想通常是紧密结合在一起的,因此在研究物理现象时需要同时运用这两种思想。
本文将从微积分思想和矢量思想两个方面对大学物理的研究进行浅析。
微积分思想微积分思想是大学物理研究中最重要的数学思想之一,它是一种处理变量变化的工具。
在物理学中,物体的位置、速度、加速度等重要物理量都是随时间而变化的,微积分思想能够帮助我们描述这些变化。
以物体的运动为例,如果我们知道物体的速度随时间的变化率,就能够用微积分来计算物体在某个时间点的位置。
微积分思想可以用于研究大量的物理问题,如运动方程、牛顿定律、万有引力定律等。
这些问题的求解都需要用到微积分思想,因此掌握微积分思想是大学物理学习中非常重要的一步。
矢量思想矢量思想也是大学物理学习中必备的数学思想之一。
在大学物理中,我们经常需要描述物理量在空间中的运动,如力、速度、加速度等。
这些物理量都具有方向性,因此不能仅仅通过数值来描述。
这时,矢量思想就能够发挥非常重要的作用。
在矢量思想中,我们用带箭头的直线来表示一个矢量,箭头的方向表示该矢量的方向,线段的长度表示该矢量的大小。
矢量可以进行加、减、乘等运算,这些运算结果还是矢量。
在研究物理问题时,我们通常需要用到矢量的加法、减法、点乘、叉乘等运算。
矢量思想也是非常重要的一种工具,我们可以用它来研究大量的物理问题,如质点受力、牛顿第三定律、动量守恒定律等。
这些问题的求解都需要用到矢量思想,因此熟练掌握矢量思想对于学好大学物理非常重要。
微积分思想与矢量思想的结合微积分思想和矢量思想在物理学中通常是紧密结合在一起的。
我们常常需要用微积分思想来描述物体的运动状态,再用矢量思想来描述物体在空间中的运动轨迹。
例如,当我们研究物体的运动状态时,通常需要用微积分思想来求解物体的速度、加速度等物理量。
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微积分在大学物理的一些应用摘要在大学物理中微积分有非常大的用处,随处可见给我们解题带来的方便。
即如在质点运动,力学,功,热学,电磁学等都有体现出了。
在习题解答中也处处能用到,也许是他们的特殊的性质和集合意义,让他们在物理应用中非常的全面。
如在质点运动中瞬时速度,用符号 “v ”表示,即00()()limlim t t r t t r t r d rv t t dt∆→∆→+∆-∆===∆∆。
微积分作为数学的一门分支学科,在物理学中有着非常重要的应用价值。
大学物理中,我们常常研究始终都在变化的物理量,会觉得很难研究,但通过微元分割成一小块一小块,那就就可以认为是常量处理,最终加起来就行了。
关键词:微积分,取极限,分割,求导引言微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想,“无限细化”就是微分,“无限求和”就是积分。
在学习物理的过程中,我们常常是在研究不规则的物理量或物理状态。
有了这个思想,那我们就可以把问题细化,研究一个小的微元的变化量,然后相加,非常方便。
一、力学 1.1质点运动学1、若质点在t ∆时间内的位移r ∆,则定义r ∆与t ∆的比值为质点在这段时间内的平均速度,写为 rv t∆=∆ 其分量形式r x y z v i j k t t t t∆∆∆∆==++∆∆∆∆ 当0t ∆→时,平均速度的极限值叫做瞬时速度,用符号“v ”表示,即00()()limlim t t r t t r t r d rv t t dt∆→∆→+∆-∆===∆∆0t ∆→时,r ∆的量值r ∆可以看作和s ∆相等,此时瞬时速度的大小d rv dt=等于质点在该点的瞬时速率ds dt。
t 时刻质点的速度为();v t 在t t +∆时刻,质点位于下一点时其速度为()v t t +∆;则在时间t 内,质点的速度为()()v v t t v t ∆=+∆-。
定义质点在这段时间内的平均加速度为 v a t∆=∆ 平均加速度是矢量,方向与速度增量的方向相同。
0t ∆→时,平均加速度的极限值叫做瞬时加速度,即220lim t v dv d ra t dt dt ∆→∆===∆这样在解题过程中就能用到。
微积分在题目中的用处十分的便捷。
如下例题例1、质点沿x 轴运动,其加速度和位置的关系为 a =2+62x ,a 的单位为2s m -⋅,x 的单位为 m. 质点在x =0处,速度为101s m -⋅,试求质点在任何坐标处的速度值.解: ∵ xv v t x x v t v a d d d d d d d d ===分离变量: x x adx d )62(d 2+==υυ 两边积分得c x x v ++=322221 由题知,0=x 时,100=v ,∴50=c∴ 13s m 252-⋅++=x x v2、在运动学中微积分同样可以发挥作用,就连在振动欲动中我们也能用微积分来解救问题,如:例2、如题1图所示,物体的质量为m ,放在光滑斜面上,斜面与水平面的夹角为θ,弹簧的倔强系数为k ,滑轮的转动惯量为I ,半径为R .先把物体托住,使弹簧维持原长,然 后由静止释放,试证明物体作简谐振动,并求振动周期.题1图解:分别以物体m 和滑轮为对象,其受力如题4-3图(b)所示,以重物在斜面上静平衡时位置为坐标原点,沿斜面向下为x 轴正向,则当重物偏离原点的坐标为x 时,有221d d sin txm T mg =-θ ①βI R T R T =-21 ②βR tx=22d d )(02x x k T +=③式中k mg x /sin 0θ=,为静平衡时弹簧之伸长量,联立以上三式,有kxR txR I mR -=+22d d )(令 ImR kR +=222ω则有0d d 222=+x txω 故知该系统是作简谐振动,其振动周期为)/2(22222K R I m kRI mR T +=+==ππωπ1.2牛顿定律物体的质量m 和其运动速度v 的乘积叫做物体的动量,用符号“p ”表示。
p 是矢量,其方向与速度的方向一致。
p mv =牛顿第二定律的内容是:动量为p 的物体,在合力()i F F ∑的作用下,其动量随时间的变化率应当等于作用与物体的合外力。
其微积分的表达式为()()()d p t d mv F t dt dt== 物体运动的速度小于光速时,物体的质量可以认为是常量,此时上式可写成()dvF t mma dt== 在直角坐标系中式可以沿着坐标轴分解,写成如下式y x z dv dv dv F mi m j m k dt dt dt=++ 即x y z F ma i ma j ma k =++物体在运动的过程中力一般的时刻在变的,那利用微积分学就能让变化的力变成一个简单的匀速直线运动,然后积分和变速运动。
下面用一个例子说明下,微积分用在这里很方便,给我们解题带来了很大的帮助。
见例题:例3、一个正在沿直线行驶的汽船,关闭发动机后,由于阻力得到一个与速度反向、大小与船速平方成正比例的加速度,即d v /d t = -kv 2,k 为常数.(1)试证在关闭发动机后,船在t 时刻的速度大小为011ktv v =+;(2)试证在时间t 内,船行驶的距离为01ln(1)x v kt k =+.[证明](1)分离变量得2d d vk t v =-,积分020d d v tv vk t v =-⎰⎰,可得 011kt v v =+.(2)公式可化为001v v v kt =+,由于v = d x/d t ,所以00001d d d(1)1(1)v x t v kt v kt k v kt ==+++积分00001d d(1)(1)xtx v kt k v kt =++⎰⎰. 因此01ln(1)x v kt k =+. 证毕.[讨论]当力是速度的函数时,即f = f (v ),根据牛顿第二定律得f = ma .由于a = d 2x /d t 2, 而 d x /d t = v , 所以 a = d v /d t , 分离变量得方程d d ()m v t f v =1.3动量定理牛顿第二定律的积分形式为()()d p t d mv F dt dt== 即()()F t dt d p d mv ==在经典力学里,当物体运动的速度远远小于光速时,物体的质量可以认为是不依赖于速度的常量,此时上式变形为()F t dt d p mdv ==在()F t 作用下的一段时间21t t t ∆=-内,上式两端可积分,得212121t t Fdt p p mv mv =-=-⎰式中,1p 、1v 以及2p 、2v 分别对应1t 、2t 时刻的动量和速度。
式子左面21t t Fdt ⎰为力在这段时间内对时间的积累,叫做力的冲量,即21t t I Fdt =⎰显然我们就能利用上面的公式来求解题目,即使物体在做不规则运动,我们仍然也能求得到。
1.4功在以前我们知道用公式计算但当物体的路径是不规则的那我们在呢么办呢。
有了微积分学的帮助问题就简单多了,当质点有A 点运动到B 点,此过程中作用于质点上的力的大小和方向时刻都在变化。
为求的在此过程中变力所做的功,可以把A 到B 的路径分成很多小段,每一小段都看做是一个元位移,在每个元位移中,力可以近似看作不变。
因此我们就能用微积分式子表示它,即:.cos BBAAW F d r F ds θ==⎰⎰合力的功,等于各个分力的功的代数和。
我们可以把力F 和d r 看作是其在各个坐标轴上的分力的矢量和,即 x y z F F i F j F k =++d r dxi dy j dzk =++此时做功为.()BBx y z AAW F d r F dx F dy F dz ==++⎰⎰各个分力所做功为,,B B BAAAx y z x x y y z z x y z W F dx W F dy W F dz ===⎰⎰⎰同理,若有几个力1F 、2F 、、n F 同时作用在质点上,则其合力所做的功为12.().B B n AAW F d r F F F d r ==+++⎰⎰二,热学2.1气体分子的速率我用一个例题说明微积分在这里的一个简单的应用。
例4、 设有N 个粒子的系统,其速率分布如题2图所示.求(1)分布函数)(v f 的表达式; (2)a 与0v 之间的关系;(3)速度在1.50v 到2.00v 之间的粒子数. (4)粒子的平均速率.(5)0.50v 到10v 区间内粒子平均速率.题2图解:(1)从图上可得分布函数表达式⎪⎩⎪⎨⎧≥=≤≤=≤≤=)2(0)()2()()0(/)(00000v v v Nf v v v a v Nf v v v av v Nf ⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤≤≤=)2(0)2(/)0(/)(00000v v v v v Na v v Nv av v f )(v f 满足归一化条件,但这里纵坐标是)(v Nf 而不是)(v f 故曲线下的总面积为N , (2)由归一化条件可得⎰⎰==+0002032d d v v v v Na Nv a N v v avN (3)可通过面积计算N v v a N 31)5.12(00=-=∆ (4) N 个粒子平均速率⎰⎰⎰⎰+===∞∞00202d d d )(1d )(v v v v av v v av v v vNf Nv v vf v02020911)2331(1v av av N v =+=(5)05.0v 到01v 区间内粒子平均速率⎰⎰==0005.0115.0d d v v v v NNv N N N Nv v⎰⎰==00005.05.00211d d )(v v v v v Nv av N N v v vf N N 2471)243(1d 12103003015.002100av N v av v av N v v av N v v v =-==⎰ 05.0v 到01v 区间内粒子数N av v v a a N 4183)5.0)(5.0(210001==-+=三、电磁学3.1电磁学是研究电、磁和电磁的相互作用现象,及其规律和应用的物理学分支学科。
根据近代物理学的观点,磁的现象是由运动电荷所产生的,因而在电学的范围内必然不同程度地包含磁学的内容。
所以,电磁学和电学的内容很难截然划分,而“电学”有时也就作为“电磁学”的简称.早期,由于磁现象曾被认为是与电现象独立无关的,同时也由于磁学本身的发展和应用,如近代磁性材料和磁学技术的发展,新的磁效应和磁现象的发现和应用等等,使得磁学的内容不断扩大,所以磁学在实际上也就作为一门和电学相平行的学科来研究了。
和电磁学密切相关的是经典电动力学,两者在内容上并没有原则的区别。