大学物理中的高数基础知识

（2）分配律： a a a a b a b
a a 模（大小）：


3.矢量与数量相乘的坐标表示式
a ax i a y j az k ax i a y j az k
爱因斯坦 凡不能由实验证实的概念和陈述，都不应在物理学中 占有任何地位 亚里士多德: 观察加思考 伽利略: 实验加思考 爱因斯坦: 信息加思考。 现象(观察)→模型→实验→公理、假设、定律、原理 →定理(逻辑推理)→实验
三、大学物理的学习内容
力学、电磁学、热学、几何光学、波动光学、近代物理
四、大学物理的学习目的
（2）若两非零矢量 a b ，则 a b 0 cos 0
i i 1 j j k k
i j 0 j k k i
反之，若 a b 0，则必有 a b
3.矢量的模： a 或a 恒为正
r0 ，仅用来表示方向。 4.单位矢量： 所以： r r r0
注：空间直角坐标系X、Y、Z轴的 单位矢量分别为 i , j i
j
5.矢量的坐标分解式（分量式） 矢径（向径：从原点出发的矢量） r xi y j zk 一般地： 所以，矢径或其末端的点P都可以 a ax i a y j az k 用三个坐标（x，y，z）来表示. 其中，ax、ay、az或x、y、z分别称为矢量在X、Y、Z轴 上的分量或投影。而 a x i , a y j , a z k 则称分矢量（分向量） 注意：分量是代数量（可正可负）！
三、矢量与数量的乘法
a 1.定义：
a方向与a 相同 ） 方向 当λ >0时（可视为 a 当λ <0时（可视为 ） 方向与 a 相反 2. 满足的运算规律
（1）与另一个数量相乘的结合律： a a a



4.矢量积的坐标（分量）表示法和行列式表示法 a b a x i a y j a z k bx i by j bz k 0 a x by k a x bz j a y bx k 0 a y bz i a z bx j a z by i 0 a y bz a z by i a z bx a x bz j a x by a y bx k
1 2 1 2 则有 s v0t at , 即f t 或st v0t at 2 2
如匀速直线运动：若设 t 0时, s 0
下面求某一时刻t0的（瞬时）速度 匀速运动：瞬时速度等于平均速度
s s0 st st0 s vv t t0 t t0 t

2

3.标量积满足的运算规律 （1）交换律： a b b a a b cos a , b
（2）分配律： a b c a c b c



（3）满足一定条件下的结合律（略） 4.标量积的坐标（分量）表示式
a b a x i a y j a z k bx i by j bz k a xbx i i a xby i j a xbz i k a y bx j i a y by j j a y bz j k a z bx k i a z by k j a z bz k k a xbx a y by a z bz
数学基础
矢量（向量）代数
一、矢量（向量）的概念及其表示 1.标量与矢量（向量）
算术量（质量、时间间隔、动能……）
标量 代数量：有大小和正负（温度、电流、 功、势能…… 矢量： 既有大小又有方向（力、速度、加速度、 力矩、动量…… ） ）
2.矢量的表示 长度是矢量的大小 AB （1）图示：有（方）向线段： 箭头方向是矢量的方向
由 r xi y j zk 或 P（x，y，z）可知：
r 若P点（或矢径 ）在YOZ平面上，则 x=0； 若P点（或矢径 r ）在ZOX平面上，则 y=0； 若P点（或矢径 r ）在XOY平面上，则 z=0。 若P点（或矢径 r ）在 x 轴上，则 y=z=0； r 若P点（或矢径 ）在 y 轴上，则 x=z=0； 若P点（或矢径 r ）在 z 轴上，则 x=y=0。



五、两矢量的矢量积（矢积、向量积、叉积、叉乘） 1.定义：如力矩：大小： M Fd Fr sin F 力矩是矢量，方向沿转轴， r 指向按 r F 的顺序，用 d 右（手）螺旋法则确定。 大小：M r F sin r , F 抽象出矢量积： M r F 方向见上 大小：c a b sin a , b 一般地： c a b 方向：垂直于 a 和b 所决定的平面，
若P点为原点，则x=y=z=0
6.已知矢量的分量求矢量的大小和方向 r r x2 y2 z2 大小：矢径的大小： 一般地： a a
cos ax a
2 ax a 2 y
a z2
方向：方向角、、或方向余弦：
cos ay a
cos
az a
7.已知矢量的模和方向角（或方向 余弦）求矢量的分量


四、两矢量的标量积（标积、数量积、点积、点乘）
1.定义：引入：恒力对作直线运动的物体所作的功：
A Fs cos F s cos F , s f s

θ
一般地： a b a b cos a , b 2.两个推论： 注意；“点”不能漏！ 2 a a a a cos 0 a （ 1）
系统地掌握物理学基本概念和基本规律, 较好地理解基本的物理思想、观念和科学研究方法, 形成各知识板块比较清晰完整的知识结构; 树立唯物辩证思想, 认识物理科学美; 形成较好的物理认知结构和相应的自学能力, 具备一定的分析物理问题、解决物理问题的实际能力; 养成严肃认真、实事求是的科学态度; 为进一步的专业学习和走向社会打下必要的物理基础.



i j ay by k az bz



或
a b ax bx
5.矢量积（大小）的几何意义
以 a 、b 为邻边的平行四边形的面积。 b

a
总结：标量积和矢量积
标量积： a b a b cos a, b a b cos

指向按 a b 的顺序，用右
注意；“×”不能漏！
（手）螺旋法则确定。
2.两个推论： sin 0 0 （1）a a 0 （2）若两个非零矢量 a // b ，则：
a b 0 sin 0或sin 0 反之，若 a b 0 ，则必有： a // b




b a
c
即：从同一点出发作减矢量和被减矢量，则从减矢量 的末端引向被减矢量末端的矢量即为所求的矢量。
6.矢量加减的坐标表示式
b bx i by j bz k
a ax i a y j az k
a b ax bx i a y by j az bz k
ax a cos , ay a cos , az a cos
注意：因为方向角可以是锐角或钝角，因此方向余弦 可正可负，所以矢量的分量也可正可负，是代数量。
二、矢量的加减法
1.矢量相加的平行四边形法则 2.矢量相加的三角形法则
3.多个矢量相加的多边形法则
4.矢量的加法所满足的运算规律 （1）交换律：a b b a （2）结合律： a b c a b c 5.矢量的减法 因为：c b a b a c 由矢量相加的三角形法则可得：

矢量积：
大小： c a b sin a , b c a b 方向：垂直于 a和b 所决定的平面， 指向按 a b 的顺序，用右（手）螺旋 法则确定。

标量积满足交换律： a b b a
矢量积不满足交换律， 而是： b a a b
t0
0
t0 s0
t
s
s s0 s v 非匀速运动： t0到t 时间段的平均速度： t t0 t st st0 s ds v lim lim t t0 t 0 t t t0 dt
b
a
a
b
微积分
第一节 导数与微分
t0 一、导数的概念 0 s 实例：直线运动的速度 直线取为s轴，则质点在任一时刻t 的位置s （即动点 的坐标）是时间t 的函数，记为： s f t 或s st
则有 s vt,即f t vt或st vt 对匀加速直线运动：若设 t 0时, s 0，v v0
绪
一、物理学的研究对象
论
物质的基本结构,物质之间的相互作用以及它们 最普遍,最基本的运动形式和规律 力学: 机械运动的基本规律 电磁学: 电磁作用的基本规律 热学: 热运动的基本规律 几何光学: 光直线传播的基本规律 波动光学: 光波动的基本规律 近代物理: 微观粒子的高速运动（和光速相比）规律。
二、物理学的研究方法
（1）不满足交换律，而是： b a a b （2）满足分配律： a b c a c b c