二维晶体的德拜模型
固体物理考试重点(广工版、复习资料)
一、晶体宏观特征（必考其一）1.晶体的自限性（自范性）：自发形成封闭几何外形的能力。
2.晶面角守恒定律：同一种晶体在相同的温度和压力下，对应晶面之间的夹角不变。
3.晶体的解理性（Cleave property）：晶体受到外力作用时会沿着某一个或几个特定的晶面劈裂开的性质称为解理性。
4-晶体的各向异性（anisotropy）：沿晶体内部的不同方向上有不同的物理性质。
5.晶体的均匀性（homogeneity ）：内部各部分的宏观性质相同。
6.晶体的对称性（symmetry）：由于内部质点有规则排列而形成的特殊性质。
7.晶体的稳定性：与同种物质的其他形态（气态、液态、非晶态、等离子态等）相比，晶体的内能最小、最稳定。
晶体具有固定的熔点，而非晶体则没有固定的熔点。
二、空间点阵（基元、原胞（primitive cell）> 晶胞（conventional cell）> B 格子、WS 原胞）1.基元：组成晶体的最小结构单元。
2.初基原胞（原胞）：一个晶格最小的周期性单元，称为原胞。
3.惯用原胞（晶胞）：能使原胞同时反映晶体对称性和周期性特征的重复单元,称为晶胞。
4.B格子：如果晶体只由一种原子构成，且基元是一个原子，则原子中心与阵点重合，这种晶格称为布拉菲格子，或称B格子。
5.WS原胞：WS原胞是以晶格中某一格点为中心，作其与近邻的所有格点连线的垂直平分面，这些平面所围成的以该点为中心的凸多面体即为该点的WS原胞。
作法：（1）任选一格点为原点；（2）将原点与各级近邻的格点连线，得到几组格矢；（3）作这几组格矢的中垂面，这些中垂面绕原点围成的最小区域称W-S原胞。
三、第一布里渊区（二维）：从倒格子点阵的原点出发，作出它最近邻点的倒格子点阵矢量，并作出每个矢量的垂直平分面，可得到倒格子的WS原胞，称为第一布里渊区。
注：写出二维坐标系j> b P b2（ b为倒格子基矢）。
四、晶体的对称性、晶系、密堆积、配位数（一至二）；1.晶体的对称性：晶体经过某种对称操作后物体能自身重合的性质，2.晶系：根据晶体空间点阵中6个点阵参数之间相对关系的特点而将其分为7类，各自称一晶系。
爱因斯坦模型和德拜模型的描述内容和存在的问题
爱因斯坦模型和德拜模型的描述内容和存在的问题一、爱因斯坦模型（广义相对论）：爱因斯坦广义相对论是阿尔伯特·爱因斯坦于1915年提出的一种物理理论。
它描述了引力是由质量和能量弯曲时空而产生的。
广义相对论通过引入度量张量来描述时空的几何结构，该度量张量由引力质量和能量分布决定。
根据这个理论，物体沿着弯曲时空的最短路径（称为测地线）运动。
二、爱因斯坦模型的存在问题：尽管广义相对论经过多次实验验证，如光线偏折、时空弯曲和脉冲星双星系统的观测结果，但它仍然面临一些问题。
其中之一是它与量子力学之间的不协调性。
广义相对论是一种描述引力的经典理论，而量子力学则描述微观粒子和力量的行为。
目前还没有建立一种统一的理论，能够将广义相对论和量子力学相互一致地结合起来，这被称为“引力量子化”问题。
此外，广义相对论也无法提供关于黑洞内部的物理过程的准确描述。
在黑洞的事件视界内，引力变得非常强大，时空弯曲也变得极端。
爱因斯坦模型无法解释黑洞内部的物理现象，例如黑洞奇点的本质和信息悖论。
三、德拜模型（宇宙膨胀模型）：德拜模型是乔治·德拜于1922年提出的一种宇宙演化模型。
该模型描述了宇宙的膨胀过程，即宇宙的空间在时间上不断扩展。
德拜模型认为，宇宙开始于一个非常热、致密的起源，随着时间的推移，宇宙不断膨胀，物质稀释并形成了我们观测到的宇宙结构。
四、德拜模型的存在问题：德拜模型在解释宇宙演化的大尺度结构方面非常成功。
它能够解释宇宙微波背景辐射的存在，并与观测数据相符。
然而，德拜模型仍然存在一些问题。
首先，它未能提供宇宙膨胀的具体原因，即为什么宇宙在过去的某个时刻开始膨胀。
这被称为“初始条件”问题，目前尚未得到解答。
其次，德拜模型也无法解释宇宙的初始奇点，即大爆炸之前的状态。
模型无法描述或回溯到宇宙起源的精确时刻，因为当宇宙膨胀到极端热和密度时，物理定律在该条件下失去了有效性。
此外，德拜模型还没有明确解释所谓的“暗能量”或“宇宙加速膨胀”的现象。
固体物理习题详解
故 =
（2）由于GaAs的空间点阵为面心立方结构，故其固体物理学原胞基矢为：
其倒格子基矢为:
(3）密勒指数为（110）晶面族的面间距为：
（4）根据倒格子矢的性质可知，密勒指数为（110）和（111）晶面法向方向间的夹角即为倒格子矢 和 之间的夹角,设为 ,则有：
＝
19。如图1。37所示，设二维正三角形晶格相邻原子间距为a，试求：
(1)正格子基矢和倒格子基矢;
(2)画出第一布里渊区,并求出第一布里渊区的内接圆半径。
解：(1)取该二维正三角形晶格中任意相邻的两边为基矢,并使 的方向和 的方向相同，于是有:
那么有：
（2)根据第一布里渊区的定义，可作图如下所示：
上图中的阴影部分即为第一布里渊区,且由图中可以求出第一布里渊区的内接圆半径为:
6
体心立方
8
氯化铯型结构
8
简立方
6
金刚石型结构
4
11。利用刚球密堆模型,求证球可能占据的最大体积与总体积之比为
（1）简单立方 ；(2）体心立方 ;（3)面心立方
（4）六角密积 ；(5)金刚石 。
解:(1)在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为 ，则原胞的晶体学常数 ,则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为:
解：倒格子的实际意义是由倒格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。
设一种晶体的正格基矢为 、 、 ,根据倒格子基矢的定义：
式中 是晶格原胞的体积，即 ,由此可以唯一地确定相应的倒格子空间.同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系.
（2）在体心立方的结晶学原胞中,设原子半径为 ，则原胞的晶体学常数 ，则体心立方的致密度为:
二维伊辛模型严格解
二维伊辛模型严格解（原创版）目录1.二维伊辛模型的概述2.二维伊辛模型的严格解3.二维伊辛模型的重要性正文一、二维伊辛模型的概述二维伊辛模型，又称为二维伊辛磁模型，是一种描述二维晶格上自旋磁矩之间相互作用的统计力学模型。
该模型由美国物理学家艾兹赫尔·伊辛（Ernest Ising）在 1920 年代提出，被广泛应用于研究磁性材料、自旋电子学等领域。
二维伊辛模型的基本假设是：晶格上的每个点都有一个自旋磁矩，这些磁矩在相邻点之间相互作用，且相互作用强度随距离的倒平方衰减。
在这个模型中，自旋磁矩只能取两个方向，即“向上”和“向下”。
二、二维伊辛模型的严格解二维伊辛模型的严格解是指在一定条件下，模型的磁矩配置和能量状态可以被精确地计算出来。
对于二维伊辛模型，只有在其临界点附近，才能得到严格解。
所谓临界点，是指在此温度下，系统处于相变状态，即磁有序和无序之间。
在临界点附近，二维伊辛模型的行为变得非常复杂，表现出多种临界现象，如临界慢化、临界指数等。
研究这些临界现象，有助于揭示自旋系统在相变过程中的微观机制。
三、二维伊辛模型的重要性二维伊辛模型在物理学领域具有重要的地位，主要表现在以下两个方面：1.对自旋磁矩相互作用机制的深入理解：二维伊辛模型提供了一个理论框架，有助于我们更好地理解自旋磁矩之间的相互作用以及由此产生的磁有序或无序状态。
2.对实际应用的指导意义：二维伊辛模型的研究成果可以为实际磁性材料、自旋电子学等领域提供理论支持。
例如，在研究磁随机存储器、磁共振成像等技术时，二维伊辛模型可以为我们提供有关磁矩分布、磁相互作用等方面的重要信息。
固体物理考题汇总 (无答案)
第一章晶体结构一、填空1、晶面有规则，对称配置的固体，具有长程有序特点的固体称为；在凝结过程中不经过结晶（即有序化）的阶段，原子的排列为长程无序的固体称为。
由晶粒组成的固体，称为。
2、化合物半导体材料GaAs晶体属于闪锌矿类结构，晶格常数为a，其配位数为。
一个惯用元胞（结晶学元胞）内的原子数，其布喇菲格子是。
其初基原胞（固体物理学原胞）包含原子数，体积为。
初基元胞的基矢为，，。
3、半导体材料Si具有金刚石型晶体结构，晶格常数为a，其配位数为。
一个惯用元胞（结晶学元胞）内的原子数。
属于布喇菲格子。
写出其初基元胞（固体物理学元胞）的基矢________，_______，_______。
晶格振动色散关系中支声学波，支光学波，其总的格波数。
4、简立方结构如果晶格常数为a，其倒格子元胞基矢为是_______，______，_________ 。
在倒格子空间中是结构，第一布里渊区的形状为______，体积为______ 。
5、某元素晶体的结构为体心立方布喇菲格子，其格点面密度最大的晶面的密勒指数____ ，并求出该晶面系相邻晶面的面间距________。
（设其晶胞参数为a ）。
6、根据三个基矢的大小和夹角的不同，十四种布喇菲格子可归属于_____ 晶系，其中当 90,=====γβαc b a 时称为 _____类晶系，该晶系的布喇菲格子有 ______ 。
7、NaCl 晶体是由两个 _ 格子沿体对角线滑移1/4长度套构而成；设惯用原胞的体积为a 3，一个惯用元胞内的原子数 ；其配位数为 ，最近邻距离 ；初基原胞体积为 ，第一布里渊区体积为______；晶体中有 支声学波， 支光学波。
8、对晶格常数为a 的SC ，与倒格矢 242K i j k a a aπππ=+- 正交的晶面族的晶面指数为____，其面间距为 __ 。
9、半导体材料Si 具有金刚石型晶体结构，晶格常数为a ，一个惯用元胞内的原子数 ，一个固体物理学原胞内的原子数 ；固体物理学原胞的体积 ，倒格子原胞的体积 __ ，第一布里渊区的体积为 ；晶格振动色散关系中 支声学波，______ 支光学波。
固体物理题库
固体物理题库⼀、填空1. 固体按其微结构的有序程度可分为_______、_______和准晶体。
2. 组成粒⼦在空间中周期性排列，具有长程有序的固体称为_______；组成粒⼦在空间中的分布完全⽆序或仅仅具有短程有序的固体称为_________。
3. 在晶体结构中，所有原⼦完全等价的晶格称为______________；⽽晶体结构中，存在两种或两种以上不等价的原⼦或离⼦的晶格称为____________。
4晶体结构的最⼤配位数是____；具有最⼤配位数的晶体结构包括______________晶体结构和______________晶体结构。
5. 简单⽴⽅结构原⼦的配位数为______；体⼼⽴⽅结构原⼦的配位数为______。
6．NaCl 结构中存在_____个不等价原⼦，因此它是_______晶格，它是由氯离⼦和钠离⼦各⾃构成的______________格⼦套构⽽成的。
7. ⾦刚⽯结构中存在______个不等价原⼦，因此它是_________晶格，由两个_____________结构的布拉维格⼦沿空间对⾓线位移1/4的长度套构⽽成，晶胞中有_____个碳原⼦。
8. 以结晶学元胞（单胞）的基⽮为坐标轴来表⽰的晶⾯指数称为________指数。
9. 满⾜2,2,1,2,3)0i j ij i j a b i j i j ππδ=??===?≠?当时（，当时关系的123,,b b b 为基⽮，由112233h K hb h b h b =++构成的点阵，称为_______。
10. 晶格常数为a 的⼀维单原⼦链，倒格⼦基⽮的⼤⼩为________。
11. 晶格常数为a 的⾯⼼⽴⽅点阵初基元胞的体积为_______；其第⼀布⾥渊区的体积为_______。
12. 晶格常数为a 的体⼼⽴⽅点阵初基元胞的体积为_______；其第⼀布⾥渊区的体积为_______。
13. 晶格常数为a 的简⽴⽅晶格的(010)⾯间距为________14. 体⼼⽴⽅的倒点阵是________________点阵，⾯⼼⽴⽅的倒点阵是________________点阵，简单⽴⽅的倒点阵是________________。
高等固体物理(基泰尔)例题
U G1 G0 E E1(0) U G1 G2 U G1 G3 0 (0) U G2 G0 U G2 G1 E E2 U G2 G3 U G3 G0 U G3 G1 U G3 G2 E E3(0)
O O nmax (max ) 0.222
E
O min
3.94 10 eV
2
n (
O min
O min
) 0.278
声学波频率的声子数目
A Emax 1.97 102 eV
A A nmax (max ) 0.876
二维正方格子
单原子晶体 德拜近似（连续弹性介质声学波近似）： 二维：两支声学格波（一纵、一横） 两种极化方式 色散关系：线性 ＝vk 总模式数：2N 对于倒空间，k值密度：（L/2）2 对每种偏振模式：N=（L/2）2(k2） 模式密度：D()=dN/d 德拜温度： 晶格比热：
势能的平均值
势能的平均值
令
2 a2 b 函数的第n个傅里叶系数
第一个带隙宽度
E g1 2V1
2 a 3 m 2 3 m 2 2 第二个带隙宽度
8b 2
E g 2 2V2
a2 2 2 m m 16 2
2
b2
例题 用紧束缚近似求出面心
立方晶格和体心立方晶格s态 原子能级相对应的能带 函数 面心立方晶格 —— s态原子能级相对应的能带函数
—— s原子态波函数具有球对称性
—— 任选取一个格点为原点 —— 最近邻格点有12个
O
12个最邻近格点的位置
O
—— 类似的表示共有12项
—— 归并化简后得到面心立方s态原子能级相对应的能带
《电子工程物理基础》课后习题解答
《电子工程物理基础》习题参考答案第一章1-1一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大?解：（1）由归一化条件，知 22201x A x e dx λ∞-=⎰得到 归一化常数 2A λλ= 所以 归一化波函数为2(0,0)()0(0)xxe x x x λλλλψ-⎧≥>⎪=⎨<⎪⎩（2）粒子坐标的概率分布函数{32224(0,0)0(0)()()x x e x x w x x λλλψ-≥><==（3）令()0dw x dx = 得到 10,x x λ==，根据题意x=0处，()w x =0，所以1x λ=处粒子的概率最大。
1-2若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为2/4/4202()()()11sin 422a a P x x dx n x dx a an n πψππ===-⎰⎰sin（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
这时概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-3一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态，2212()()x m x Aeαωψα-==求①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω=解：类似题1-1的方法 （1）归一化常数由*1dx ψψ+∞-∞=⎰ 得到 1/4A απ=（2） 振子的概率密度 222()()xw x x e ααψπ-==由()0dw x dx= 得到x=0时振子出现概率最大。
固体物理学_北京交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
固体物理学_北京交通大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.金属晶体在温度升高时，费米能级如何变化？参考答案:降低2.一维晶体，在德拜近似下计算晶格振动对比热的贡献，低温极限比热和温度的几次方成正比？参考答案:一次方3.单层MoS2晶体，Mo原子层组成二维六角结构，原胞和基元？【图片】参考答案:简单六角，一个Mo原子和两个S原子4.关于晶格比热的爱因斯坦模型，那个说法是错误？参考答案:爱因斯坦模型适用于讨论长波声学声子对比热的贡献5.在面心立方晶格的每一个格点上放一个C60分子，可以形成面心立方的C60 晶体，每一个原胞、单胞中的碳原子数分别为多少？参考答案:60，2406.晶格常数为a的一维周期势场中，电子的波函数为【图片】，求电子在这个态的简约（第一布里渊区）波矢为参考答案:7.关于导体、绝缘体、半导体能带的特点，以下说法错误的是？参考答案:能带是不满带，和电场同方向上运动的电子较多，因此产生电流。
8.对于三维简单立方晶体，第一布里渊区顶点上的自由电子动能比该区侧面面心处的自由电子动能大几倍？参考答案:39.离子晶体的结合能为【图片】，排斥能与库仑能的比值为参考答案:1/n10.声子是玻色子，遵从玻色统计【图片】，温度一定，一维双原子晶体中，一种光学波的声子数目多，还是一种声学波声子的数目多？参考答案:声学声子11.金刚石结构的Si晶体，已知相邻硅原子距离（Si的键长）为2.4Å，计算硅单胞的晶格常数。
5.54 Å12.考虑了能带论的近自由电子近似以后，以下说法错误的是？参考答案:三维的正二价金属恰好能把价带以下的能带（包括价带）全部填满13.立方晶体{110}所代表的等效晶面有多少个(不考虑晶体的外表面)？参考答案:614.立方晶系的晶体<110>所代表的等效晶向有多少个？参考答案:1215.立方晶系的晶体<100>所代表的等效晶向有多少个？参考答案:616.如下图的二维晶格，判断1、2、3、4那些是原胞？【图片】参考答案:平行四边形1，2，3是原胞17.单层石墨烯晶体属于何种晶系？一个原胞包含几个C原子？六角晶系，218.以下关于离子晶体的宏观极化的说法不正确的是？参考答案:长声学格波能导致离子晶体的宏观极化19.立方晶体{111}所代表的等效晶面有多少个(不考虑晶体的外表面)？参考答案:420.对近自由电子近似的简并微扰论，当波矢k落在三个布里渊区交界上时，问波函数可近似由几个平面波来构成？参考答案:421.关于能带论中近自由电子近似以下说法错误的是？参考答案:零级近似的能量本征值和波函数分别为孤立原子中电子的能量本征值和束缚态波函数22.能带顶部空穴的有效质量和能带底部电子的有效质量分别为？参考答案:正值，正值23.根据单胞的几何结构因子计算某一种具有简单立方晶格的简单晶体，那些衍射面指数会消光？参考答案:所有衍射面指数都不消光24.计算KCl 晶体的几何结构因子及消光条件，以下说法正确的是？（提示，K+ 和Cl-. 有相同的电子壳层结构和相同的原子形状因子）参考答案:衍射强度不为零的条件为：衍射面的指数nh, nk, nl 都是偶数25.根据计算得到面心立方晶格的简单晶体的单胞的几何结构因子，下面那个说法是错误的？参考答案:其它说法都不对26.金刚石Si晶体的声子谱中，声学声子色散曲线和光学声子色散曲线各有多少支？参考答案:3，327.对于三维简单立方晶体，第一布里渊区面心上的自由电子的能量的简并度是多少？参考答案:228.三维CaTiO3钙钛矿晶体含有N个原胞。
《电子工程物理基础》课后习题解答教程
《电子工程物理基础》习题参考答案第一章1-一维运动的粒子处在下面状态(0,0)()0(0)xAxe x x x λλψ-⎧≥>=⎨<⎩①将此项函数归一化；②求粒子坐标的概率分布函数；③在何处找到粒子的概率最大解：（1）由归一化条件，知 22201x A x e dx λ∞-=⎰ 得到 归一化常数2A = 所以 归一化波函数为（2）粒子坐标的概率分布函数（3）令 ()0dw x dx= 得到 10,x x λ==，根据题意x=0处，()w x =0，所以1x λ=处粒子的概率最大。
1-若在一维无限深势阱中运动的粒子的量子数为n 。
①距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率是多少? ②n 取何值时，在此范围内找到粒子的概率最大?③当n→∞时，这个概率的极限是多少?这个结果说明了什么问题?解：（1）假设一维无限深势阱的势函数为U （x ），0x a ≤≤，那么距势阱的左壁1/4宽度内发现粒子概率为（2）n=3时，在此范围内找到粒子的概率最大max 11()+46P x π=。
（3）当n→∞时，1()4P x =。
这时概率分布均匀，接近于宏观情况。
1-一个势能为221()2V x m x ω=的线性谐振子处在下面状态，求①归一化常数A ；②在何处发现振子的概率最大；③势能平均值2212U m x ω= 解：类似题1-1的方法（1）归一化常数由*1dx ψψ+∞-∞=⎰ 得到A （2） 振子的概率密度222()()xw x x αψ-==由 ()0dw x dx= 得到x=0时振子出现概率最大。
（3）势能平均值 1-设质量为m 的粒子在下列势阱中运动，求粒子的能级。
解: 注意到粒子在半势阱中运动，且为半谐振子。
半谐振子与对称谐振子在x>0区域满足同样的波动方程，但根据题意，x<0区域，势函数为无穷，因此相应的波函数为零，从而破坏了偶宇称的状态。
这样，半谐振子定态解则为谐振子的奇宇称解（仅归一化常数不同） 1-电子在原子大小的范围(～10-10m )内运动，试用不确定关系估计电子的最小能量。