角平分线的性质专项练习(含解析)

角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

21．如图所示，已知△ABC 的周长是18，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，则△ABC 的面积是_____．知识点二：角平分线判定定理22．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC=___．23．如图，已知BD⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB=DC，∠BAC=40°，∠ADG=130°，则∠DGF=__________．24．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”小明的做法，其理论依据是__25．如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，若∠DBC＝50°，则∠ABC＝________．26．如图，∠D=∠C=90°，E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA=28°，则∠ABE的度数是__________．27．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD的距离相等，则∠P＝_________知识点三：角平分线的性质定理28．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=__________．29．如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD交BC的延长线于F，则∠CAF的度数是______.30．如图，△ABC的三条角平分线交于O点，已知△ABC的周长为20，OD⊥AB，OD=5，则△ABC的面积=_________.S：31．如图，ABC的三边AB，BC，AC的长分别为45，50，60，其中三条角平分线相交于点O，则ABOBCO S ：CAO S =______．知识点四：角平分线性质的实际应用32．如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于E ，8BC cm =，则DE DB +=________．33．如图，已知△ABC 的周长是16，OB 、OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D 且OD=2，△ABC 的面积是________________.知识点五：尺规作图-角平分线34．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC 的依据是_______．35．如图，在△ABC 中，以原点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC 、AB 于点M 、N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若AC ：AB =3：4，△ACD 的面积是21，则△ABD 的面积是______．36．如图所示，直线//MN PQ ，直线AB 分别与,MN PQ 相交于点..A B 小宇同学利用尺规按以下步骤作图：①以点A 为圆心，以任意长为半径作弧交于AN 点C ，交AB 于点D ；②分别以,C D 为圆心，以大于12CD 长为半径作弧，两弧在NAB ∠内交于点E ；③作射线AE 交PQ 于点F ．若60ABP ∠=︒，则NAF ∠的度数为___________37．如图，在△ABC 中，∠C=90°，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交BC 于点D ．若CD =1，AB =4，则△ABD 的面积是_________．三、解答题知识点一：角平分线的有关证明 38．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，点E 在CD 上，EA ，EB 分别平分∠DAB 和∠CBA ，设AD ＝x ，BC ＝y 且（x ﹣3）2+|y ﹣4|＝0．求AB 的长．知识点二：角平分线的性质定理39．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．（1）求证：△BCE≌△DCF；（2）求证：AB+AD=2AE.知识点三：角平分线判定定理40．如图,已知ΔABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,BF平分∠ABC交CD于E,交AC于F.求证：CE=CF．知识点五：尺规作图-角平分线41．如图所示，点A，B，C分别表示三个住宅小区，为了丰富社区居民的文化生活，拟建一个文化活动中心，使它到三个住宅小区的距离相等，请你在图中确定文化活动中心（用点D表示）的位置.参考答案1．A【分析】证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．【详解】∵DE⊥AC，∴∠AED=∠B=90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠EAD，又∵AD=AD，∴△ABD≌△AED，∴DE=BE=3，故选：A．【点拨】本题考查了全等三角形的判断和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．2．B【详解】解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD在△ADE和△ADC中，AE=AC，∠EAD=∠CAD，AD=AD，∴△ADE≌△ADC(SAS)，∴ED=CD，∴BC=BD+CD=DE+BD=5，∴△BDE的周长=BE+BD+ED=(6−4)+5=7故选B．【点拨】本题考查全等三角形的应用.三角形全等的判定定理有：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS ）、HL.通过证明三角形全等可以得到相等的边或角，可将待求量进行转化，使问题迎刃而解． 3．B【分析】由在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于点可得CD ED =，继而由全等三角形可得CDA EDA ∠=∠、AC AE =，进一步可证DA 平分CDE ∠、AC BE AB +=，根据等角的余角相等可得BDE BAC ∠=∠，根据直角三角形的面积求法可得::RtBDE Rt ACD S S BE AC =，即可判断结论正确的个数．【详解】解：∵在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于点E∴CD ED =故①正确；∵在ABC 中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥于点E∴()ACD AED AAS ≌∴CDA EDA ∠=∠，AC AE =∴DA 平分CDE ∠故④正确；∵AE BE AB +=，AC AE =∴AC BE AB +=故②正确；∵90B BDE B BAC ∠+∠=∠+∠=︒∴BDE BAC ∠=∠故③正确；∵CD ED =∴::Rt BDE Rt ACD S S BE AC =故⑤错误．故选：B【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、垂直的定义、直角三角形的性质、余角的性质以及线段的和差，难度不大，熟练掌握各知识点是解题的关键．4．C利用基本作图得到AG 平分∠BAC ，利用角平分线的性质得到G 点到AC 的距离为1，然后根据三角形面积公式计算△ACG 的面积．【详解】解：由作法得AG 平分BAC ∠，G ∴点到AC 的距离等于BG 的长，即G 点到AC 的距离为1，所以ACG ∆的面积14122=⨯⨯=． 故选C ．【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了交平分线的性质． 5．C【解析】试题分析：根据等腰三角形的三线合一定理可得：∠1=∠2，∠BDE=∠CDF ，根据角平分线的性质可知：AD 上任一点到AB 、AC 的距离相等，故正确的有3个，选C ．6．C【解析】过点P 作PE ⊥BC 于E ，∵AB ∥CD ，PA ⊥AB ，∴PD ⊥CD ，∵BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，∴PA=PE ，PD=PE ，∴PE=PA=PD ，∵PA+PD=AD=8，∴PA=PD=4，∴PE=4．7．B【分析】过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．【详解】如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=4，∴四边形ABCD的面积1122ABD BCDS S AB DE BC CD∆=+=⋅+⋅1164943022=⨯⨯+⨯⨯=故选B.【点拨】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．8．B【分析】根据段垂直平分线的判定定由AC＝AD得到点A在线段CD的垂直平分线上，由BC＝BD得到点B在线段CD的垂直平分线上，而两点确定一直线，所以可判断AB垂直平分CD．【详解】解：∵AC＝AD，∴点A在线段CD的垂直平分线上，∵BC＝BD，∴点B在线段CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．故选B．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质：到线段两端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．9．D【解析】∵PE⊥AB，PF⊥BD，PF=PE，∴PB平分∠ABD，∴∠PBD=12∠ABD，同理∠PDB=12∠CDB，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∴2∠PBD+2∠PDB=180°，∴∠PBD+∠PDB=90°，∴∠BPD=180°-∠PBD-∠PDB=90°.故选D.点拨：本题最后求的是角度，关键是利用角平分线的判定将PF=PG=PE转化为角度的关系.10．D【分析】已知有点到∠BAC的两边的距离，根据角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，要满足∠1=∠2，须有DE=DF，于是答案可得．【详解】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上，故选D．【点拨】此题主要考查角平分线性质的逆定理：到角的两边距离相等的点在角的平分线上；做题时要明确题目中有什么条件，要达到什么目的．11．D【详解】解：根据“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”得P点是CD与∠AOB的平分线的交点，故选D．12．C【分析】如图，过点D作DE AB⊥于E，根据已知求出CD的长，再根据角平分线的性质进行求解即可.【详解】如图，过点D作DE AB⊥于E，AC 8=，1DC AD 3=， 1CD 8213∴=⨯=+， C 90∠︒=，BD 平分ABC ∠，DE CD 2∴==，即点D 到AB 的距离为2，故选C ．【点拨】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键. 13．C【分析】过点D 作DE ⊥AB 于E ，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=CD ，然后利用△ABD 的面积列式计算即可得解．【详解】如图，过点D 作DE ⊥AB 于E ，∵∠C=90°，AD 平分∠BAC ， ∴DE=CD ，∴S △ABD =12AB•DE=12×14•DE=14， 解得DE=2，∴CD=2．故选C.【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，掌握性质是解题的关键． 14．D【分析】过点D 作DF AC ⊥于F ，然后利用ABC ∆的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：过点D 作DF AC ⊥于F ， AD 是ABC ∆的角平分线，DE AB ⊥，2DE DF ∴==， 11422722ABC S AC ，解得3AC =．故选：D ．【点拨】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．15．D【解析】解：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA ，OB 于C ，D ，即OC=OD ；以点C ，D 为圆心，以大于CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，即CP=DP ；再有公共边OP ，根据“SSS”即得△OCP ≌△ODP ．故选D ．16．C【分析】利用等腰三角形的性质和基本作图得到CG AB ⊥，则CG 平分ACB ∠，利用A B ∠=∠和三角形内角和计算出ACB ∠，从而得到BCG ∠的度数.【详解】由作法得CG AB ⊥，∵AB AC =，∴CG 平分ACB ∠，A B ∠=∠，∵1804040100ACB ∠=︒-︒-︒=︒， ∴1502BCG ACB ∠=∠=︒． 故选C ．【点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）.也考查了等腰三角形的性质. 17．B【分析】根据作角平分线的方法进行判断，即可得出结论．【详解】第一步：以B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；∴0a >；第二步：分别以D ，E 为圆心，大于12DE 的长为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ； ∴12b DE >的长； 第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求． 综上，答案为：0a >；12b DE >的长， 故选：B ．【点拨】本题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握作角平分线的方法．18．C【解析】分析：根据图形的画法得出OE 是AOB ∠的平分线，再根据尺规作图的画法结合角平分线的性质逐项分析四个选项即可得出结论．详解：根据尺规作图的画法可知：OE 是∠AOB 的角平分线．A. OE 是∠AOB 的平分线，A 正确；B. OC =OD ，B 正确；C. 点C . D 到OE 的距离相等，C 不正确；D. ∠AOE =∠BOE ，D 正确.故选C.点拨：考查尺规作图-角平分线，根据角平分线的性质回答即可.19．42【详解】解：连接AO,可知AO 平分∠BAC,由角平分线的性质可知 点O 到AB 、AC 、BC 的距离相等， 把求△ABC 的面积转化为求△AOB 、△AOC 、△BOC 的面积之和， 即1()422AB AC BC OD ++⋅=考点:角平分线的性质.20．45︒【解析】【分析】根据三角形内角与外角的关系可得2M MAB ∠∠∠=+ 由角平分线的性质可得MAB MAO ∠∠= 根据三角形内角和定理可得OBA OAB BOA 180∠∠∠++=︒ 易得∠M 的度数。