2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷

2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷
2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷
一、填空题
1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为_________．
2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=_________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=_________．
4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=_________．
5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有_________个．
6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘_________时可使得每月所付工资最少，最小值是_________．
7．已知，则分式=_________．
8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，那么S四边形ADOE=_________．
9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有_________个．
10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是_________．
11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值．
12．函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为
_________．
二、解答题（共8小题，满分0分）
13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积．
15．一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最小内角相等，则=_________．
16．求方程组的实数解．
17．如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．
18．如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC 的延长线于F，若．
求证：AD=AE．
19．如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：∠DAE=∠BAF．
20．如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数．
2007年湖南省长沙一中自主招生考试数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题
1．设a为的小数部分，b为的小数部分，则的整数部分为5．
＜＜
﹣
=
﹣﹣（）
+2
≈
+2
+1
2．下列两个方程组与有相同的解，则m+n=3889．
，
，
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，∠A的平分线AD交BC于D，则=．
BE
DE=CD=
=
故答案为：
BE
4．已知a是方程x2﹣2002x+1=0的根，则=2001．
4003a+1+=2+a+1+
2+a+1+1+a+==
5．A、B是平面内两个不同的定点，在此平面内找点C，使△ABC为等腰直角三角形，则这样的点C有6个．
6．某工程队要招聘甲乙两种工种的工人150名，甲乙两种工种工人的月工资分别是600元和1000元，现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数的两倍，问甲乙两种工种的人数各聘甲50人，乙100人时可使得每月所付工资最少，最小值是130000．
7．已知，则分式=10﹣17．
时，
，即可求得答案．
时，）
﹣﹣=10
﹣
8．如图，D、E分别是△ABC的边AC、AB边上的点，BD、CE相交于点O，若S△COD=3，S△BDE=4，S△OBC=5，
那么S四边形ADOE=．
××
=，
，
=，
，
+1.5=．
故答案为：
9．三边长为整数且最长边是11的三角形共有36个．
10．已知方程：x3+4x2﹣11x﹣30=0的两个根的和等于1，则这个方程的三个根分别是﹣2，3，﹣5．
11．若函数当a≤x≤b时的最小值为2a，最大值为2b，求a、b的值．解：函数，，如右图，+
是方程﹣+
﹣
时有最大值=2b
，
×）=
）=2a
26=0 a=
（﹣）=2b
）
（﹣）=2
12．函数，其中a为任意实数，则该函数的图象在x轴上截得的最短线段的长度为．（
（
﹣+
ax+
ax+
﹣+
）
，
，
的最小值是，即该函数的图象在．
故答案是：
二、解答题（共8小题，满分0分）
13．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣3）x+m﹣4=O的二根为a1、a2，且满足﹣3＜a1＜﹣2，a2＞0．求m的取值范围．
＜．
故答案为：＜
14．在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠BAC=45°，BD=3，DC=2，求△ABC的面积．
BC×
15．一个三角形的三边长分别为a、a、b，另一个三角形的三边长分别为a、b、b，其中a＞b，若两个三角形的最
小内角相等，则=．
=，即=
）﹣
=
故答案为：
16．求方程组的实数解．
17．如图，在半径为r的⊙O中，AB为直径，C为的中点，D为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，连接AD并延长交⊙O的切线CE于点E（C为切点），求AE的长．
的中点，
为的长等于两倍的BAD=×为
为的三分之一分点，且的长等于两倍的的长，
BAD=×
18．如图，△ABC是锐角三角形，以BC为直径作⊙O，AD是⊙O的切线，从AB上一点E作AB的垂线交AC 的延长线于F，若．
求证：AD=AE．
=
=
19．如图，在正方形ABCD中，DC的中点为E，F为CE的中点，求证：∠DAE=∠BAF．
）a
a
GB=GC=DE=
∠
20．如图，四边形ABCD是正方形，E为BF上一点，四边形AEFC恰好是一个菱形，求∠EAB的度数．
OB= AC=CF
BD=
AC=AE
EAH==，
参与本试卷答题和审题的老师有：sd2011；sks；zjx111；星期八；gsls；zhangCF；王岑；zcx；hdq123；dbz1018；liume。

；fxx；gbl210；CJX（排名不分先后）
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2013年3月25日。