湖南省新田一中高三数学总复习 专题十一 选考部分检测试题 新人教A版

湖南省新田一中2013届高三数学总复习 专题十一 选考部分检测试题 新人教A 版1.(2012·高考天津卷)如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．2.(2012·高考湖北卷) (选修4－1：几何证明选讲)如图，点D 在⊙O 的弦AB 上移动，AB ＝4，连接OD ，过点D 作OD 的垂线交⊙O 于点C ，则CD 的最大值为__________．3.(2012·高考湖北卷)(选修4－4：坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线θ＝π4与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝（t －1）2(t 为参数)相交于A ，B 两点，则线段AB 的中点的直角坐标为__________．4.(2012·高考课标全国卷)选修4－1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF ∥AB ，证明：(Ⅰ) CD ＝BC ； (Ⅱ)△BCD ∽△GBD .5.(2012·高考课标全国卷)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝3sin φ，(φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3)．(Ⅰ) 求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；(Ⅱ) 设P 为C 1上任意一点，求|PA | 2＋|PB |2＋|PC | 2＋|PD |2的取值范围．6.(2012·高考福建卷)(1)选修4­2：矩阵与变换设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 0b 1(a >0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y2＝1.(Ⅰ)求实数a ，b 的值；(Ⅱ)求A 2的逆矩阵．(2)选修4­4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 上两点M ，N 的极坐标分别为(2，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝－3＋2sin θ(θ为参数)．(Ⅰ)设P 为线段MN 的中点，求直线OP 的平面直角坐标方程； (Ⅱ)判断直线l 与圆C 的位置关系． (3)选修4­5：不等式选讲已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若a ，b ，c ∈R ，且1a ＋12b ＋13c＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.7.(2012·高考辽宁卷) 选修4－1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙O ′相交于A ，B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连结DB 并延长交⊙O 于点E .证明：(Ⅰ)AC ·BD ＝AD ·AB ； (Ⅱ)AC ＝AE .8.(2012·高考辽宁卷)选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2：(x －2)2＋y 2＝4.(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1，C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．9.(2012·高考辽宁卷)选修4－5：不等式选讲已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R )，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}． (Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若|f (x )－2f (x2)|≤k 恒成立，求k 的取值范围．4.证明：(Ⅰ)连接AF ，CF ∥AB ，DF ∥BC ⇒CF 綊BD 綊AD ⇒CD ＝AF ，CF ∥AB ⇒AF ＝BC ⇒BC ＝CD . (Ⅱ)BC ∥GF ⇒BG ＝FC ＝BD ，BC ∥GF ⇒∠GDB ＝∠BGB ＝∠DBC ＝∠BDC ⇒△BCD ∽△GBD .5.解：(Ⅰ)点A ，B ，C ，D 的极坐标为(2，π3)，(2，5π6)，(2，4π3)，(2，11π6)，点A ，B ，C ，D 的直角坐标为(1，3)，(－3，1)，(－1，－3)，(3，－1)．(Ⅱ)设P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2cos φy 0＝3sin φ(φ为参数)，t ＝|PA |2＋|PB |2＋|PC |2＋|PD |2＝4x 20＋4y 20＋40＝56＋20sin 2φ∈[56，76]．6.(1)解：(Ⅰ)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)．由⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 0b 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ax bx ＋y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y . 又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1，即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得 (a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1.依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.因为a >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.(Ⅱ)由(Ⅰ)知，A ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 01 1，A 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 01 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1 01 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 02 1.所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 0－2 1.(2)解：(Ⅰ)由题意知，M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233.又P 为线段MN 的中点，从而点P 的平面直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，33， 故直线OP 的平面直角坐标方程为y ＝33x . (Ⅱ)因为直线l 上两点M ，N 的平面直角坐标分别为(2，0)，⎝⎛⎭⎪⎫0，233，所以直线l 的平面直角坐标方程为3x ＋3y －23＝0.又圆C 的圆心坐标为(2，－3)，半径r ＝2，圆心到直线l 的距离d ＝|23－33－23|3＋9＝32<r ，故直线l 与圆C 相交．(3)解：(Ⅰ)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m ，由|x |≤m 有解，得m ≥0， 且其解集为{x |－m ≤x ≤m }．又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)知1a ＋12b ＋13c＝1，又a ，b ，c ∈R ，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.7.证明：(Ⅰ)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ， 同理∠ACB ＝∠DAB ， 所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝ABBD，即AC ·BD ＝AD ·AB .(Ⅱ)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ， 又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝ADBD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(Ⅰ)的结论，AC ＝AE .8.解：(Ⅰ)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2， 圆C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ. 解⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝2ρ＝4cos θ，得ρ＝2，θ＝±π3，故圆C 1与圆C 2交点的坐标为(2，π3)，(2，－π3)．注：极坐标系下点的表示不唯一．(Ⅱ)法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得圆C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1，3)，(1，－3)．故圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝t ，－3≤t ≤ 3.(或参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝y ，－3≤y ≤3)法二：将x ＝1代入⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得ρcos θ＝1，从而ρ＝1cos θ.于是圆C 1与C 2的公共弦的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝tan θ，－π3≤θ≤π3.9.解：(Ⅰ)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2.又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(Ⅱ)记h (x )＝f (x )－2f (x2)，则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， x ≤－1，－4x －3， －1<x <－12，－1， x ≥－12， 所以|h (x )|≤1，因此k ≥1.。