角平分线练习题
角平分线专项练习30题(有答案)ok
角平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD平分∠BAC，求证：点D在AB的垂直平分线上．2．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，求证：∠BPC=90°+∠BAC．3．如图已知：BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别是D、E，BD、CE交于F，且CF=FB，求证：AF平分∠BAC．4．如图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若AB=AC．求证：AD平分∠BAC．5．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，DE=DC．求证：BC=AB+AE．6．已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．7．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F．（1）求证：△ACF∽△ABE；（2）若AC=6cm，AF=3cm，AB=10cm，求出AE的长度．8．如图，CD∥AB，∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，且E在AD上，CE交BA的延长线于F点．（1）BE与CF互相垂直吗？若垂直，请说明理由；（2）若CD=3，AB=4，求BC的长．9．如图，直线MN分别交直线AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，若∠1=50°，∠2=65°，（1）求证：AB∥CD；（2）在（1）的条件下，求∠AEM的度数．10．如图，AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，垂足分别为B、C，E为线段AB上一点，（1）用尺规在射线AN上找一点F，使△CDF与△BDE全等（保留作图痕迹）；（2）若BE=3，请写出此时线段AE与AF的数量关系，并说明理由．11．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，（1）分别作出D到BA、BC的距离DE、DF；（2）求证：∠A+∠C=180°．12．已知：如图，△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F，求证：BE=FC．13．如图，四边形AOBC中，AC=BC，∠A+∠OBC=180°，CD⊥OA于D．（1）求证：OC平分∠AOB；（2）若OD=3DA=6，求OB的长．14．如图，点D、B分别在∠A的两边上，C是∠DAB内一点，AB=AD，BC=CD，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，求证：CE=CF．15．如图，已知：在四边形ABCD中，过C作CE⊥AB于E，并且CD=CB，∠ABC+∠ADC=180°，（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=3BE=9，求AD的长；（3）△ABC和△ACD的面积分别为36和24，求△BCE的面积．16．如图，在△ABC中，AB＞AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：BF=CG．17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM=CN．18．如图，△ABC中，∠B的平分线与∠C的外角的平分线交于P点，PD⊥AC于D，PH⊥BA于H，求证：AP平分∠HAD．19．如图，△ABC中，若AD平分∠BAC，过D点作DE⊥AB，DF⊥AC，分别交AB、AC于E、F两点．求证：AD⊥EF．（2）若∠MON=80°，求∠PAB的度数．21．如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC．（1）求证：∠PCB+∠BAP=180°；（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长．22．如图，△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE∥AB交BC与E，PF∥AC交BC与F．求证：D 到PE的距离与D到PF的距离相等．23．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC于点G，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．证明：BE=CF；（提示：连接线段BD、CD）25．如图，已知∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，DE过O点，且DE∥BC，求∠BOC的度数．26．四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．27．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．（2）ED=BC+BD．29．如图，在△ABC中，∠C=90°，M为AB的中点，DM⊥AB，CD平分∠ACB，求证：MD=AM．30．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，M为OP上任一点，连接CM、DM，则有CM与DM相等，试说明你的理由．参考答案：1．证明：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，AD平分∠BAC，∴CD=DE，在△ADC和△ADE中，，∴△ADC≌△ADE（HL），∴AE=AC，∵AB=2AC，∴BE=AB﹣AE=2AC﹣AE=AE，∴点D在AB的垂直平分线上．2．证明：连接AP，且延长至G，∵PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD=PE=PF，∴点P是△ABC三角平分线的交点，∴AP平分∠BAC，∴∠CAG=∠BAG=∠BAC，∵CP平分∠ACB，BP平分∠ABC，∴∠ACP=∠ACB，∠ABP=∠ABC，∴∠CPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠ACB），∠BPG=∠BAG+∠ABP=（∠BAC+∠BC），∴∠BPC=∠CPG+∠BPG=（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）=∠BAC+（180°﹣∠BAC）=90°+∠BAC．3．证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，∠CDF=∠BEF=90°，在△CDF与△BEF中，，∴DF=EF，又∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴AF平分∠BAC（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）4．解：方法一：连接BC，∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∴∠CFB=∠BEC=90°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△BCF和△CBE中∵∴△BCF≌△CBE（AAS），∴BF=CE，在△BFD和△CED中∵，∴△BFD≌△CED（AAS），∴DF=DE，∴AD平分∠BAC．方法二：先证△AFC≌△AEB，得到AE=AF，再用（HL）证△AFD≌△三AED，得到∠FAD=∠EAD，所以AD平分∠BAC．5．解：∵∠BAC=90°，BE平分∠ABC，DE⊥BC于D，∴AE=DE，∵BE是公共边，∴△BDE≌△BAE（HL），∴BD=BA，AE=DE=DC，∴BC=BD+DC=AB+AE6．（1）证明：作ME⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．（2）解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣（∠1+∠3）=90°，即DM⊥AM．（3）解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），∴CD=DE，同理AE=AB，∵AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．7．（1）证明：∵∠ACB=90°，∠CDB=90°，∴∠ACD=90°﹣∠DCB，∠B=90°﹣∠DCB，∴∠ACD=∠B，（2分）∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠EAB，（3分）∴△ACF∽△ABE；（7分）（2）解：∵△ACF∽△ABE，∴，（9分）∴AE===5cm8．解：（1）垂直．∵CD∥AB，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵∠ABC，∠BCD的角平分线交于E点，∴∠ABE=∠EBC，∠DCE=∠ECB，∴∠EBC+∠ECB=∠ABC+∠BCD=（∠ABC+∠BCD）=90°，∴∠CEB=90°，∴BE与CF互相垂直．（2）∵∠CEB=90°，∴∠FEB=90°，在△FBE和△CBE中，∵，∴△FBE≌△CBE（ASA），∴BF=BC，EF=EC，∵CD∥AB，∴∠DCE=∠AFE，∵∠FEA=∠CED，∴△DCE≌△AFE，∴DC=AF，∵CD=3，AB=4，BF=AF+AB，∴BF=BC=7．9．（1）证明：∵∠1+∠2+∠FEG=180°，∵∠1=50°，∠2=65°，∴∠FEG=65°，∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠FEG=130°，∴∠BEF+∠1=180°，∴AB∥CD．（2）∵∠AEM=∠BEF，∵∠BEF=130°，∴∠AEM=130°，答：∠AEM的度数是130°10．解：（1）以D为圆心，DE为半径交AN于F1或F2，如图，∵AD平分∠MAN，BD⊥AM，CD⊥AN，∴DB=DC，∵DE=DF，∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL）；（2）∵DB=DC，DA=DA，∴Rt△DBA≌Rt△DCA（HL）；∴AB=AC，∵Rt△CDF≌Rt△BDE，∴BE=CF，∴当F点在F1时，AF=AE；当F点在F2时，AF2=AC+CF2=AB+CF2=AE+BE+BE，∴AF﹣AE=2BE=6．11．解：（1）如图所示：．（2）证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥BA，DF⊥BC，∴DE=DF，∠E=∠DFC=90°，∴在Rt△DEA和Rt△DFC中∴Rt△DEA≌Rt△DFC（HL），∴∠C=∠EAD，∵∠BAD+∠EAD=180°，∴∠BAD+∠C=180°12．证明：过点E作EG⊥AB于点G，过F点作FH⊥AC于点H，∵△ABC中，∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∵BD⊥AC于D，∴∠ADB=90°，∴∠BAC+∠ABD=90°，∴∠C=∠ABD，∵点E在∠BAC的平分线上，∴GE=DE，∵EF∥DC且BD⊥AC于D，FH⊥AC于D∴ED=FH，∴GE=FH，在△BEG与△CFH中，，∴△BEG≌△CFH（AAS），∴BE=CF．13．证：（1）作CE⊥OB于E，∵∠A+∠OBC=180°，∠OBC+∠CBE=180°∴∠A=∠CBE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（AAS），∴CD=CE，∴OC平分∠AOB．（2）∵OD=3DA=6，∴AD=BE=2，在Rt△ODC和Rt△OEC中∵∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴OE=OD=6，∴OB=OE﹣BE=4．14．证明：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC=∠BAC，∵CE⊥AD于E，CF⊥AF于F，∴CE=CF15．解：（1）作CF⊥AD的延长线于F，∴∠F=90°．∵CE⊥AB，∴∠CEA=∠CEB=90°，∴∠F=∠CEA=∠CEB．∵∠ADC+∠CDF=180°，且∠ABC+∠ADC=180°∴∠CDF=∠B．在△CDF和△CEB中，∴△CDF≌△CEB（AAS），∴CF=CE．∵CF⊥AD，CE⊥AB，∴AC平分∠BAD；（2）在Rt△CAF和Rt△CAE中，∴Rt△CAF≌Rt△CAE（HL），∴AF=AE．∵△CDF≌△CEB，∴DF=EB．∵3BE=9，∴BE=3，∴DF=3．∵AD=AF﹣DF，∴AD=AE﹣DF．∵AE=9，∴AD=9﹣3=6；（3）∵△CAF≌△CAE，△CDF≌△CEB，∴S△CAF=S△CAE，S△CDF=S△CEB．．设△BCE的面积为x，则△CDF的面积为x，由题意，得24+x=36﹣x，∴x=6，答：△BCE的面积为6．16．证明：延长FE至Q，使EQ=EF，连接CQ，∵E为BC边的中点，∴BE=CE，∵在△BEF和CEQ中，∴△BEF≌△CEQ，∴BF=CQ，∠BFE=∠Q，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD=∠BAD，∵EF∥AD，∴∠CAD=∠G，∠BAD=∠GFA，∴∠G=∠GFA，∴∠GFA=∠BFE，∵∠BFE=∠Q（已证），∴∠G=∠Q，∴CQ=CG，∵CQ=BF，∴BF=CG．17．证明：连接BE、EC，∵BD=DC，DE⊥BC∵BE=EC．∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC，EM=EN，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt△BME和Rt△CNE中，∵BE=EC，EM=EN，∴Rt△BME≌Rt△CNE（HL）∴BM=CN．18．证明：过P作PF⊥BE于F，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA于H，PF⊥BE于F，∴PH=PF（角平分线上的点到角的两边距离相等）．又∵CP平分∠ACE，PD⊥AC于D，PF⊥BE于F，∴PF=PD（角平分线上的点到角的两边距离相等）．∴PD=PH（等量代换）．∴AP平分∠HAD（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）．19．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∵∠AED+∠EAD+∠EDA=180°，∠FAD+∠AFD+∠ADF=180°，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF，∴AD⊥EF三线合一）20．（1）证明：∵∠PAB=∠PBA，∴PA=PB，∵PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴OP平分∠MON（到角的两边距离相等的点在角的平分线上）；（2）解：∵∠MON=80°，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，∴∠APB=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∵∠PAB=∠PBA，∴∠PAB=（180°﹣100°）=40°21．证明：（1）如图，过点P作PE⊥AB于E，∵∠1=∠2，PF⊥BC，∴PE=PF，在△APE和△CPF中，，∴△APE≌△CPF（HL），∴∠PAE=∠PCB，∵∠PAE+∠PAB=180°，∴∠PCB+∠BAP=180°；（2）∵△APE≌△CPF，∴AE=FC，∵BC=12cm，AB=6cm，∴AE=×（12﹣6）=3cm，BE=AB+AE=6+3=9cm，在Rt△PAE中，PE==4cm，在Rt△PBE中，PB==cm．22．证明：∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠EPD=∠BAD，∠DPF=∠CAD，∵△ABC中，AD是它的角平分线，∴∠BAD=∠CAD，∴∠EPD=∠DPF，即DP平分∠EPF，∴D到PE的距离与D到PF的距离相等23．证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，且DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF．24．证明：∵DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，∴∠BED=∠CFD，∴△BDE与△CDE是直角三角形，∵，∴Rt△BDE≌Rt△CDF，∴DE=DF，∴AD是∠BAC的平分线25．解：∵∠ABC=40°，∠ACB=60°，BO，CO平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ACB+∠ABC）=50°；∴∠BOC=180°﹣50°=130°26．证明：过C作CF⊥AD于F，∵AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBC∴DF=EB，∴AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE∴2AE=AB+AD27．（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD=CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE=CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE=AF，设BE=x，则CF=x，∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，∴5﹣x=3+x，解得：x=1，∴BE=1，AE=AB﹣BE=5﹣1=4．28．证明：（1）由三角形的外角性质，∠BAD+∠ABD=∠1+∠EDC，∵∠1=90°﹣∠EDC，∴∠BAD+90°=90°﹣∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，延长DB至F，使BF=BD，则AB垂直平分DF，∴∠BAD=∠DAF，AD=AF，∴∠DAF=∠EDC，∠2=∠F，在△ADF中，∠F+∠DAF=∠1+∠EDC，∴∠1=∠F，∴∠1=∠2；（2）在△AED和△ACF中，，∴△AED≌△ACF（ASA），∴ED=CF，∵CF=BC+BF=BC+DB，∴ED=BC+BD．29．证明：如图，连接CM，设AB、CD相交于点E，则CM是斜边上的中线，MC=MB=AM，∴∠MCB=∠B，∵CD平分∠ACB，∠C=90°，∴∠BCD=×90°=45°，∴∠MCD=∠MCB﹣45°=∠B﹣45°，又∵∠DEM=∠BEC=180°﹣∠B﹣45°=135°﹣∠B，∴∠D=90°﹣∠DEM=∠B﹣45°，∴∠D=∠MCD，∴MD=MC，∴MD=AM．30．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，∴PC=PD，∵OM是公共边，∴△POC≌△POD（HL），∴OC=OD，∴△COM≌△DOM（SAS），∴CM=DM。
角平分线性质和判定专题练习
角平分线性质和判定1. 如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，BE=CF 。
求证：AD 是△ABC 的角平分线。
FEA2、如图，AD 是△ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF 。
EF 与AD 交于G 。
AD 与EF 垂直吗证明你的结论。
GFE3、在△ABC 中，BD=DC ，∠1=∠2，求证：AD 平分∠BAC 。
4、 如图， 90=∠=∠C B ，M 是BC 中点，DM 平分ADC ∠。
求证：AM 平分DAB ∠|5、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证：0180=∠+∠C AD6、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，AD 是角平分线，求证：AB=AC+CDDA7、在△ABC 中，∠A=90°，BD 平分∠ABC ，交AC 于点D,BC 边上有一点E ，连接DE ，则AD 与DE 的关系为（ ） A ． AD ＞DE B. AD=DE C. AD ≦DE D. 不能确定D21 A？CEDAB~8、△ABC 中，∠B=60°，角平分线AF 、CE 相交于点O,试判断线段OE 、OF 之间的数量关系，并说明理由9.已知：如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BC=DC ，CF 平分∠BCD ，DF ∥AB ，BF 的延长线交DC 于点E 。
求证：（1）△BFC ≌△DFC ；（2）AD=DE%10.已知：点O 到△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC 。
（1） 如图1，若点O 在BC 上，求证：AB ＝AC ； （2） 如图2，若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ；11．图1,OP 是MON ∠的平分线，请利用该图形画一对以OP 所在直线为对称轴的全等三角形．)请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图2，在ABC △中，ACB ∠是直角，60B ∠=，AD ，CE 分别是BAC ∠，BCA ∠的平分线，AD ，CE 相交于点F ．请你判断并写出FE 与FD 之间的数量关系；（2）如图3，在ABC △中，如果ACB ∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立若成立，请证明；若不成立，请说明理由．<OO BCAACB图2图1图1图2PN[O CD A图312.将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图1方式摆放,其中∠ACB=∠DEB=90°,∠A=∠D=30°,点E落在AB上,DE 所在的直线交AC所在直线于点F.(1)求证:AF+EF=DE;(2)若将图1中的△DEB绕点B按顺时针方向旋转角α，且0°<α<60°，其他条件不变，请在图2中画出变换后的图形，并直接写出（1）中的结论是否仍然成立；（3）若将图1中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角β，且60°<β<180°，其他条件不变，如图3.你认为（1）中的结论还成立吗若成立，请证明；若不成立，请说明此时它们满足的关系，并说明理由.~。
角平分线练习题
思路分析:
由图形观察到∠ＣＡD与∠C互余,∠BＦＤ与∠CBE互余,∠AFE=∠BFD因此只需证明∠C=∠ＣBE,就可得到∠ＣAD=∠ＡFE。
第二阶段
［例3]如图3．14—３，已知:ＡB＝AＣ,AＢ的垂直平分线交AC于D，垂足是点E,∠Ｃ=70°，求∠BDC的度数。
求证：AE = ＤE =DC
5.已知:线段a和∠a
求作△ＡＢＣ，使AB = AC =a，∠Ａ=∠a
线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理;
二、例题分析
[例1］如图3—１4—２，已知AB＝ＡC，BD=ＤC，AD，ＢＣ相交于点O。求证：ＡＤ⊥BC。
思路分析：
此题证法比较多，可利用等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。
Ｂ、与点Ａ和点B距离相等的点在MＮ上
C、与MN距离相等的点在ＡＢ上
D、ＡＢ垂直平分MＮ
10、已知点D在△ABC的边AB的垂直平分线上,且AＤ＋DC=AC，若ＡC=5cm,BC=4cｍ，则△ＢＤC的周长为（ ）
A、6ｃmB、7cmC、8cmD、9ｃm
11、已知:AD是△ABC的角平分线，AＤ的垂直平分线交BC的延长线于F。 求证：∠ＦＡC=∠Ｂ。
思路分析:
∵AB=AC，由∠C先求出∠A，根据DE是AＢ的中垂线,得到AD=BD,求出∠ＤＢA，再计算出∠BDC。
[例4］如图3．１4—4,已知：AB=AＣ，DB=DC，Ｅ是AD上的一点，求证:BＥ=CE。
思路分析:
此题利用垂直平分线定理的逆定理来证明可出奇制胜,而利用全等三角形证明却较繁琐,
角平分线的性质练习题
角平分线的性质练习题一、选择题1. 在三角形ABC中，BD是角B的平分线，若AB=5，BC=7，AC=6，那么BD的长度为：A. 4B. 6C. 8D. 无法确定2. 如果角平分线将三角形分成两个面积相等的部分，那么这两个部分的底边分别是：A. 相等B. 不相等C. 一个底边是另一个的两倍D. 底边长度无法确定3. 在三角形ABC中，角A的平分线与BC相交于点D，若AD=4，AC=8，那么AB的长度可能是：A. 6B. 8C. 10D. 12二、填空题4. 在三角形ABC中，如果角A的平分线将BC分为BD和DC两段，BD=DC，那么三角形ABD与三角形ACD的面积之比为________。
5. 若角平分线定理告诉我们，在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，则AB：AC=______：______。
6. 在三角形ABC中，如果角A的平分线与BC相交于点D，且AD垂直于BC，那么角B和角C的度数之和为________。
三、简答题7. 描述角平分线定理的内容，并给出一个应用此定理的几何问题。
8. 解释为什么在三角形中，角平分线可以将对边分成的两段长度与相邻两边成比例。
四、计算题9. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且BD=3，DC=4，AB=6，求AC的长度。
10. 在三角形ABC中，角B的平分线BE与AC相交于点E，已知AE=4，EC=6，AB=5，求BC的长度。
五、证明题11. 证明：在三角形ABC中，如果BD是角B的平分线，那么AB/AC = BD/DC。
12. 证明：如果点D在三角形ABC的边BC上，且AD是角A的平分线，那么三角形ABD与三角形ACD的面积相等。
六、综合题13. 在三角形ABC中，已知角A的平分线AD与BC相交于点D，且AD=2，BD=3，DC=4，AB=5，求BC的长度，并证明你的结论。
14. 给定三角形ABC，其中角A的平分线AD与BC相交于点D，角B的平分线BE与AC相交于点E。
角平分线专题练习题
角平分线专题练习题1、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AC ，垂足为E ，BF ∥AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分∠ABF ，AE ＝2BF ，给出下列四个结论：①DE ＝DF ；②DB ＝DC ；③AD ⊥BC ；④AB ＝3BF ；⑤S △ADB ＝2S △BDF ，其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2、如图△ABC 的∠ABC 的外角平分线BD 与∠ACB 的外角平分线CE 交于P ，过P 作MN ∥AB 交AC 于M ，交BC 于N ，且AM ＝8，BN ＝5，则MN ＝（ ）A ．2B ．3C ．4D ．53、如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 是角平分线，E 为AC 边上的点，DE ＝DB ，下列结论：①∠DEA ＋∠B ＝180°；②∠CDE ＝∠CAB ；③AC ＝12( AB ＋AE )；④S △ADC ＝12S 四边形ABDE ．其中正确的结论个数为（ ）A.1个 B ．2个 C.3个 D ．4个4、如图，在四边形ABCD 中，∠A ＋∠C ＝1800，AD ＝DC ，DE ⊥BC 于点E ，若AB ＝4，BC ＝6，则BE 的长为A FB E D C第10题图EAB D CE D CB AM P 第8题图CBA EDB C A5、如图，△ABC 中，点D 是BC 上一点 ，已知∠DAC ＝30°，∠DAB ＝75°，CE 平分∠ACB 交AB 于点E ，连接D E ，则∠DEC ＝（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°6、如图，OC 平分∠MON ，A 、B 分别为OM 、ON 上的点，且BO ＞AO ，AC ＝BC ，求证：∠OAC +∠OBC ＝180°．7、如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，BC ＝CD ，AB ≠A D.（1）求证：∠BAD ＋∠BCD ＝180°；（2）过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，若△ABC 和△ACD 的面积分别为40和58，求△BCE 的面积。
角平分线的性质专项练习(含解析)
角平分线的性质专项练习一、单选题知识点一：角平分线的有关证明1．在Rt ABC 中，90B ︒∠=，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，DE AC ⊥，垂足为点E ，若3BD =，则DE 的长为（ ）A ．3B ．32C ．2D ．62．如图，在△ABC 中，AB ＝6，BC ＝5，AC ＝4，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，在AB 上截取AE ＝AC ，则△BDE 的周长为( )A ．8B ．7C ．6D ．53．如图，在ABC 中，90,C AD ∠=平分,BAC DE AB ∠⊥于点,E 给出下列结论．CD ED =①;,AC BE AB +=② ③BDE BAC ∠=∠， DA ④平分CDE ∠，::BDE ACD S S AB AC =⑤其中正确的有（ ）个A ．5B ．4C ．3D ．2知识点二：角平分线的性质定理4．如图，在Rt ABC ∆中，90B =∠，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB AC 、于点,D E ，再分别以点D E 、为圆心，大于12DE 为半径画弧，两弧交于点F ，作射线AF 交边BC 于点1,4BG AC ==，则ACG ∆的面积是（ ）A ．1B ．32C ．2D ．525．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是中线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E ，F ，则下列四个结论中：①AB 上任一点与AC 上任一点到D 的距离相等；②AD 上任一点到AB ，AC 的距离相等；③∠BDE ＝∠CDF ；④∠1＝∠2；其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，AB ∥CD ，BP 和CP 分别平分∠ABC 和∠DCB ，AD 过点P ，且与AB 垂直．若AD ＝8，则点P 到BC 的距离是（ ）A ．8B ．6C ．4D ．27．如图，已知在四边形ABCD 中，90BCD ∠=︒，BD 平分ABC ∠，6AB =，9BC =，4CD =，则四边形ABCD 的面积是（ ）A．24 B．30 C．36 D．42知识点三：角平分线判定定理=，则（）8．如图，AC AD=，BC BDA．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CDC．CD平分ACB∠D．以上结论均不对9．如图,已知AB∥CD，PE⊥AB，PF⊥BD，PG⊥CD，垂足分别E、F、G，且PF=PG=PE，则∠BPD=（）．A．60°B．70°C．80°D．90°10．如图所示，若DE⊥AB，DF⊥AC，则对于∠1和∠2的大小关系下列说法正确的是（）A．一定相等B．一定不相等C．当BD=CD时相等D．当DE=DF时相等11．如图，在CD上求一点P，使它到OA，OB的距离相等，则P点是（）A ．线段CD 的中点B ．OA 与OB 的中垂线的交点C ．OA 与CD 的中垂线的交点 D ．CD 与∠AOB 的平分线的交点知识点四：角平分线性质的实际应用12．如图，在ABC ∆中，90︒∠=C ，8AC =，13DC AD =，BD 平分ABC ∠，则点D 到AB 的距离等于( )A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，若AB=14，S △ABD=14，则CD=（ ）A ．4B ．3C ．2D ．114．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 长是（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3知识点五：尺规作图-角平分线15．尺规作图作AOB ∠的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB 于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得OCP ODP ≌的根据是（ ）A ．SASB ．ASAC ．AASD ．SSS16．如图，在ABC ∆中，,40AC BC A =∠=︒，观察图中尺规作图的痕迹，可知BCG ∠的度数为（）A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．60︒17．如图1，已知ABC ∠，用尺规作它的角平分线．如图2，步骤如下，第一步：以B 为圆心，以a 为半径画弧，分别交射线BA ，BC 于点D ，E ；第二步：分别以D ，E 为圆心，以b 为半径画弧，两弧在ABC ∠内部交于点P ；第三步：画射线BP ．射线BP 即为所求．下列正确的是（ ）A ．a ，b 均无限制B ．0a >，12b DE >的长C ．a 有最小限制，b 无限制D ．0a ≥，12b DE <的长18．如图,观察图中尺规作图痕迹,下列说法错误的是( )A ．OE 是AOB ∠的平分线B ．OC OD =C ．点C,D 到OE 的距离不相等D ．AOE BOE ∠=∠二、填空题 知识点一：角平分线的有关证明19．如图，已知△ABC 的周长是21，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD ＝4，△ABC 的面积是_____．20．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。
角平分线练习题
角平分线练习题一．选择题（共22 小题）1．如图，已知BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F，DE=6 ，A．2 B．3 C． 4 D．62．如图，∠B=∠C=90 °，M是BC的中点，DM 平分∠ADC ，且∠ADC=110 °，则∠MAB= （）A．30° B ．35° C．45° D．60°3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE 是∠AOB 的平分线B．OC=ODC．点C、D 到OE 的距离不相等D．∠AOE= ∠BOE A．OE 是∠AOB 的平分线B．OC=OD4．如图，OP 是∠AOC 的平分线，点 B 在OP 上，BD ⊥OC 于D，∠A=45 °，若BD=2 ，则AB 长为（）A．2 B．2 C． 2 D．35．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AD是∠BAC 的角平分线，若CD=2 ，AB=8 ，则△ABD 的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．126．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD=3，AB=10 ，则△ABD 的面积等于（）A．30 B．24 C．15 D．107．如图，Rt△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC，交BC 于点D，AB=10 ，S△ABD=15 ，则CD 的长为（）A ．3B ．4C ． 5D ．6 8．如图，BP 为∠ABC 的平分线，过点 D 作 BC 、BA 的垂线，垂足分别为E 、F ，则下列结论中错误的是（ ）A ．∠DBE= ∠DBFB ．DE=DFC ．2DF=DBD ．∠BDE= ∠BDF9．如图，OA 是∠BAC 的平分线，OM ⊥AC 于点 M ，ON ⊥AB 于点 N ，若 ON=8cm ，则 OM 长为（ ）10 ．在正方形网格中， ∠AOB 的位置如图所示， 到∠AOB 两边距离相等的点应是A ．M 点B ．N 点C ．P 点D ．Q 点11 ．如图，直线 l 、 l ′、l ″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（A ． 4cmB ．5cmC ．8cmD ．20cmA．一处B．二处C．三处D．四处12．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC，交BC 于D，若CD= BD，点 D 到边AB 的距离为 6 ，则BC 的长是（）A．6 B．12 C．18 D．24 13．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E，有下列结论：① CD=ED ；② AC+BE=AB ；③∠BDE= ∠BAC ；④ AD 平分∠CDE ；其中正确的是（）个．A．1 B．2 C． 3 D．414 ．三条公路将A、B、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点15．如图，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，且PD=PE ，则△APD 与△APE 全等的理由是（A．SAS B．AAA C．SSS D．HL 16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC=4cm ，CD=3cm ，则点D到AB 的距离是（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm17．如图，OC 是∠AOB 的平分线，PD⊥DA 于点D，PD=2 ，则P 点到OB 的距A．1 B．2 C． 3 D．418．如图，点E是BC 的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED=90 °②∠ADE= ∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD ，四个结论中成立的是A．①②④ B．①②③ C．②③④ D．①③ 19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC 的三条中线的交点B．△ABC 三条角平分线的交点C．△ABC 三条高所在直线的交点D．△ABC 三边的中垂线的交点20．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E，则下列结论：①AD 平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB ，其中正A．2个B．3个C．4个D．1 个21．如图，Rt△ABC 中，∠C=90 °，BD平分∠ABC 交AC 于点D，AB=12 ，CD=3 ，则△DAB 的面积为（）A．12 B．18 C．20 D．24 22．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E，S△ABC =10，DE=2 ，AB=4 ，则AC 长是（）A．9 B．8 C．7 D．6．填空题（共13 小题）23 ．如图，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，DE⊥BC 于点E，若AB=5，BC=6 ，S△ABC=9，则DE 的长为．24．如图，OC 为∠AOB 的平分线，CM⊥OB，OC=5 ，OM=4 ，则点 C 到射线25．如图，已知△ABC 的周长是32 ，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD⊥BC 于D，且OD=6 ，△ABC 的面积是．26．如图，已知△ABC 的周长是21 ，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD⊥BC 于D，且OD=4 ，△ABC 的面积是27．如图，在△ABC 中，∠ACB=90 °，AD 是△ABC 的角平分线，BC=10cm ，BD：DC=3 ：2，则点D到AB的距∠C=90 °，AD 是∠BAC 的平分线，CD=16 ，则 D 到AB 边的距离29．如图，在△ABC 中，∠BAC=60 °，AD 平分∠BAC ，若AD=6，DE⊥AB，则DE 的长为30 ．如图，直线a、b、c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有处．31．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60 °，则∠BOC=∠B=90 °，CD是∠ACD 的平分线，若BD=2 ，AC=8 ，则△ACD 的面积33．如图，已知BD⊥AE 于点B，DC⊥AF 于点C，且DB=DC ，∠BAC=40 °，∠ADG=130 °，则∠DGF= ．34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果⋯，那么⋯、的形式：如果，那么．35．已知Rt△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，若BC=32 ，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为．三．解答题（共 5 小题）36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若BD=CD 、BE=CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）直接写出AB+AC 与AE 之间的等量关系．37 ．如图已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．求证：（1）∠ECD= ∠EDC；（2）OE 是CD 的垂直平分线．38．如图，四边形ABCD 中，AC 为∠BAD 的角平分线，AB=AD，E、F 两点分别在AB、AD 上，且AE=DF ．请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD 的一半．39．△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O，过点O 作一直线交AB、AC 于E、F．且BE=EO ．（1）说明OF 与CF 的大小关系；（2）若BC=12cm ，点O 到AB 的距离为4cm ，求△OBC 的面积．40．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D，过点 D 作DE ⊥AB 于点E．（1）求证：AC=AE ；（2）若点E为AB 的中点，CD=4 ，求BE的长．2018 年 09 月 23 日 tcq372 的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共22 小题）1．如图，已知BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC 于点F，DE=6 ，A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：∵BG 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF⊥BC ，∴DE=DF=6 ，故选：D．2．如图，∠B=∠C=90 °，M是BC的中点，DM 平分∠ADC，且∠ADC=110 °，则∠A．30° B ．35° C．45° D．60【解答】解：作MN ⊥AD 于N，∵∠B=∠C=90 °，∴AB∥CD，∴∠DAB=180 °﹣A∠DC=70 °，∵DM 平分∠ADC ，MN⊥AD，MC⊥CD，∴MN=MC ，∵M 是BC 的中点，∴MC=MB ，∴MN=MB ，又MN ⊥AD，MB⊥AB，∴∠MAB= ∠DAB=35 °，故选： B ．3．观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是（）A．OE 是∠AOB 的平分线B．OC=ODC．点C、D 到OE 的距离不相等D．∠AOE= ∠BOE解答】解：根据尺规作图的画法可知：OE 是∠AOB 的角平分线．A、OE 是∠AOB 的平分线， A 正确；B、OC=OD ，B 正确；C、点C、D 到OE 的距离相等， C 不正确；D、∠AOE= ∠BOE，D 正确．故选：C．4．如图，OP 是∠AOC 的平分线，点 B 在OP 上，BD ⊥OC 于D，∠A=45 °，若BD=2 ，则AB 长为（）A．2 B．2 C． 2 D．3【解答】解：如图，过 B 点作BE⊥OA 于E，∵OP 是∠AOC 的平分线，点 B 在OP 上，BD⊥OC 于D，BD=2 ，∴BE=BD=2 ，在直角△ABE 中，∵∠AEB=90 °，∠A=45 °，∴AB= BE=2 ．故选：C．5．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AD是∠BAC 的角平分线，若CD=2 ，AB=8 ，则△ABD 的面积是（）A．6 B．8 C．10 D．12【解答】解：如图，过点 D 作DE⊥AB 于E，∵AB=8 ，CD=2 ，∵AD 是∠BAC 的角平分线，∠C=90 °，∴DE=CD=2 ，∴△ABD 的面积= AB?DE= ×8×2=8．故选： B ．6．如图，Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，CD=3，AB=10 ，则△ABD 的面积等于（）A．30 B．24 C．15 D．10【解答】解：如图，过 D 作DE⊥AB 于E，∵AD 平分∠BAC，∠C=90 °，∴DE=DC=3 ，∵AB=10 ，∴△ABD 的面积= AB?DE= ×10 ×3=15 ．故选：C．7．如图，Rt△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC，交BC 于点D，AB=10 ，S△ABD=15 ，则CD 的长为（）A．3 B．4 C． 5 D．6【解答】解：如图，过点 D 作DE⊥AB 于E，∵∠C=90 °，AD 平分∠BAC ，∴DE=CD ，∴S△ABD = AB?DE= ×10?DE=15 ，解得DE=3 ．故选： A ．8．如图，BP 为∠ABC 的平分线，过点 D 作BC、BA 的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE= ∠DBF B．DE=DF C ．2DF=DB D．∠BDE= ∠BDF 【解答】解：∵BP 为∠ABC 的平分线，DE⊥AC ，DF⊥AB，∴DE=DF ， B 正确，不符合题意；在Rt △DBE 和Rt △DBF 中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE=∠DBF，∠BDE=∠BDF，A、D 正确，不符合题意，2DF 不一定等于DB，C 错误，符合题意，故选：C．9．如图，OA 是∠BAC 的平分线，OM⊥AC 于点M，ON⊥AB 于点N，若ON=8cm ，则OM 长为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．20cm解答】解：∵OA 是∠BAC 的平分线，OM⊥AC，ON ⊥AB ，∴OM=ON=8cm ，故选：C．10 ．在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是（）A．M点B．N 点C．P点D．Q 点【解答】解：从图上可以看出点M 在∠AOB 的平分线上，其它三点不在∠ AOB的平分线上．所以点M到∠AOB 两边的距离相等．故选A．11 ．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（解答】解：如图所示，加油站站的地址有四处．C．三处D．四处12．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC ，交BC 于D ，若CD= BD ，点 D 到边 AB 的距离为 6 ，则 BC 的长是(【解答】 解：过D 作 DE ⊥AB 于E ，∵点D 到边 AB 的距离为 6，∴DE=6，∵∠C=90 °， AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∴CD=DE=6 ，∵CD= DB ，∴DB=12 ，∴BC=6+12=18 ， 故选： C．D ．2413．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E，有下列结论：① CD=ED ；② AC+BE=AB ；③∠BDE= ∠BAC ；④ AD 平分∠CDE ；A．1 B．2 C． 3 D．4【解答】解：∵∠C=90 °，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB，∴CD=DE ，故①正确；在Rt △ACD 和Rt △AED 中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE ，∠ADC= ∠ADE，∴AC+BE=AE+BE=AB ，故②正确；AD 平分∠CDE ，故④正确；∵∠B+ ∠BAC=90 °，∠B+ ∠BDE=90 °，∴∠BDE= ∠BAC ，故③正确；综上所述，结论正确的是①②③④共4 个．解答】 解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ， 故选： D ．14 ．三条公路将 A 、B 、C 三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场， 要使集贸市场到三条公路的距离相等， 那么这个集贸市场应建的位置是（ ）A ．三条高线的交点B ．三条中线的交点C ．三条角平分线的交点D ．三边垂直平分线的交点【解答】 解：在这个区域内修建一个集贸市场， 要使集贸市场到三条公路的距离 相等，根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠ A 、∠B 、∠C 的角平分线的交点处． 故选： C ．15．如图，PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，垂足分别为 D 、E ，且 PD=PE ，则△APD 与△APE全等的理由是（ ）A ． SASB ．AAAC ．SSSD ．HL∴∠ADP= ∠AEP=90 °，解答】 解：∵PD ⊥AB ，PE ⊥AC ，在 Rt △ADP 和△AEP 中 ，∴Rt △ADP ≌△AEP （HL ），故选： D ．16．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线 BD 交AC 于点D ．若BC=4cm ，CD=3cm ，则点 D 到AB 的距离是过D 作 DE ⊥AB 于E ， ∵在Rt △ABC 中，∠C=90 °，∠ABC 的平分线 BD 交AC 于点 D ， ∴DE=DC=3cm ， 故选： B ．17．如图，OC 是∠AOB 的平分线， PD ⊥DA 于点 D ，PD=2 ，则 P 点到 OB 的距 离是（）A ． 2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm解答】解解答】 解：过 E 作 EF ⊥AD 于 F ，如图，A ．1B ．2C ． 3D ．4【解答】 解：如图，过点 P 作 PE ⊥OB ，∵OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，且 PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PE=PD ，又 PD=2 ，∴PE=PD=2 ．18．如图，点 E 是BC 的中点，AB ⊥BC ，DC ⊥BC ，AE 平分∠BAD ，下列结论：①∠AED=90 °②∠ADE= ∠CDE ③DE=BE ④AD=AB+CD ，四个结论中成立的是（ ）A ．①②④B ．①②③C ．②③④D ．①③∵AB⊥BC，AE 平分∠BAD ，解答】解：过 E 作EF⊥AD 于F，如图，【解答】 解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴Rt △AEF ≌Rt △AEB ∴BE=EF ， AB=AF ，∠AEF= ∠AEB ； 而点 E 是 BC 的中点， ∴EC=EF=BE ，所以③错误；∴Rt △EFD ≌Rt △ECD ，∴DC=DF ，∠FDE=∠CDE ，所以②正确； ∴AD=AF+FD=AB+DC ，所以④正确；∴∠AED= ∠AEF+ ∠FED= ∠BEC=90 °，所以①正确． 故选： A ．19．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A ．△ABC 的三条中线的交点B ．△ABC 三条角平分线的交点 C ．△ABC 三条高所在直线的交点D ．△ABC 三边的中垂线的交点 ∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．故选： B ．20．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，则下列结论： ①AD 平分∠CDE ；②∠BAC=∠BDE ；③DE 平分∠ADB ；④BE+AC=AB ，其中正解答】 解：∵AD 平分∠BAC ∴∠DAC=∠DAE ∵∠C=90 °，DE ⊥AB ∴∠C= ∠E=90 ° ∵AD=AD∴△DAC ≌△DAE∴∠CDA= ∠EDA∴①AD 平分∠CDE 正确； 无法证明∠BDE=60 °， ∴③DE 平分∠ADB 错误； ∵BE+AE=AB ，AE=AC ∴BE+AC=AB ∴④BE+AC=AB 正确； ∵∠BDE=90 °﹣B ∠，∠BAC=90 °﹣B ∠确的有（ ） D ． 1∴∠BDE= ∠BAC ∴②∠BAC= ∠BDE 正确．故选： B ．21．如图，Rt△ABC 中，∠C=90 °，BD平分∠ABC 交AC 于点D，AB=12 ，CD=3 ，则△DAB 的面积为（）A．12 B．18 C．20 D．24解答】解：过 D 作DE ⊥AB ，∵Rt△ABC 中，∠C=90 °，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，∴DE=DC=3 ，∴△DAB 的面积= ，故选： B ．22．如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB 于点E，S△ABC =10，DE=2 ，AB=4 ，则AC 长是（）A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解：过 D 作DF⊥AC 于F，∵AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF=2 ，∵S△ADB = AB ×DE= ×4×2=4 ，∵△ABC 的面积为10 ，∴△ADC 的面积为10 ﹣4=6，∴ AC×DF=6 ，∴ AC ×2=6，∴AC=6故选：D．二．填空题（共13 小题）23 ．如图，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，DE⊥BC 于点E，若AB=5，BC=6 ，S△ABC=9，则DE 的长为．解答】解：作DF ⊥AB 于F，∵BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，∴DE=DF ，∴ ×AB ×DF+ ×BC ×DE=S △ABC ，即 ×5×DE+ ×6×DE=9 ， 解得， DE= ，24．如图， OC 为∠AOB 的平分线，CM ⊥OB ，OC=5 ，OM=4 ，则点 C 到射线OA 的距离为 3 ．【解答】 解：过 C 作 CF ⊥AO ，∵OC 为∠AOB 的平分线， CM ⊥OB ，∴CM=CF ，∵OC=5 ， OM=4 ，∴CM=3 ，∴CF=3 ， 故答案为： 3．故答案为：25．如图，已知△ABC 的周长是32 ，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD⊥解答】解：过O 作OM ⊥AB，ON⊥AC，连接AO，∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，∴OM=ON=OD=6 ，∴△ABC 的面积为：×AB×OM+ BC ×DO+ NO= (AB+BC+AC )×DO= 32×6=96 ．故答案为：96．26．如图，已知△ABC 的周长是21 ，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD⊥BC 于D，且OD=4 ，△ABC 的面积是42解答】解：过O作OE⊥AB 于E，OF⊥AC于F，连接OA，∵OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD⊥BC ，∴OE=OD ，OD=OF ，即OE=OF=OD=4 ，∴△ABC 的面积是：S△AOB +S△AOC +S △OBC= ×AB ×OE+ ×AC×OF+ ×BC×OD= ×4 ×(AB+AC+BC )= ×4×21=42 ，故答案为：42．27．如图，在△ABC 中，∠ACB=90 °，AD 是△ABC 的角平分线，BC=10cm ，BD：DC=3 ：2，则点D到AB的距离为4cm ．【解答】解：∵BC=10cm ，BD：DC=3 ：2，∴DC=4cm ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∠ACB=90 °，∴点D 到AB 的距离等于DC，即点 D 到AB 的距离等于4cm ．故答案为4cm ．28．如图，在Rt△ABC 中，∠C=90 °，AD 是∠BAC 的平分线，CD=16 ，则 D 到AB 边的距离是16 ．【解答】解：过D作DE⊥AB 于E，则DE的长度就是D到AB边的距离．∵AD 平分∠CAB ，∠ACD=90 °，DE ⊥AB，∴DC=DE=16 （角平分线性质），故答案为：16．29．如图，在△ABC 中，∠BAC=60 °，AD 平分∠BAC ，若AD=6，DE⊥AB，则DE 的长为 3 ．【解答】解：∵∠BAC=60 °，AD 平分∠BAC ，∴∠DAE=∠BAC=30 °．在Rt△ADE 中，DE⊥AB ，∠DAE=30 °，∴DE= AD=3 ．故答案为：3．30 ．如图，直线a、b、c 表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 4 处．【解答】解：∵△ABC 内角平分线的交点到三角形三边的距离相等，∴△ABC 内角平分线的交点满足条件；如图：点P 是△ABC 两条外角平分线的交点，过点P 作PE ⊥AB，PD⊥BC ，PF⊥AC，∴PE=PF ，PF=PD ，∴PE=PF=PD ，∴点P 到△ABC 的三边的距离相等，∴△ABC 两条外角平分线的交点到其三边的距离也相等，满足这条件的点有 3 个；综上，到三条公路的距离相等的点有 4 个，∴可供选择的地址有 4 个．故答案为：4．31 ．如图，点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，若∠A=60°，则∠BOC= 120°【解答】解：∵点O 在△ABC 内，且到三边的距离相等，∴点O 是三个角的平分线的交点，∴∠OBC+ ∠OCB= (∠ABC+ ∠ACB )= (180°﹣A∠)= (180°﹣60°)=60 °，在△BCO 中，∠BOC=180 °﹣(O∠BC+ ∠OCB )=180 °﹣60°=120°．故答案为：120 °．32．如图，在Rt△ABC 中，∠B=90 °，CD是∠ACD 的平分线，若BD=2 ，AC=8 ，则△ACD 的面积为8 ．解答】解：作DH ⊥AC 于H，∵CD 是∠ACD 的平分线，∠B=90 °，DH⊥AC，∴DH=DB=2 ，∴△ACD 的面积= ×AC×DH= ×8×2=8，故答案为：8．33．如图，已知BD⊥AE 于点B，DC⊥AF 于点C，且DB=DC ，∠BAC=40 °，∠ADG=130 °，则∠DGF= 150 ° ．【解答】解：∵BD⊥AE 于B，DC⊥AF 于C，且DB=DC ，∴AD 是∠BAC 的平分线，∵∠BAC=40 °，∴∠CAD= ∠BAC=20 °，∴∠DGF= ∠CAD+ ∠ADG=20 °+130 °=150 °．故答案为：150 °34．把命题“角平分线上的点到这个角两边的距离相等”改写成“如果⋯，那么⋯、的形式：如果一个点在角的平分线上，那么它到这个角两边的距离相等解答】解：如果一个点在角平分线上，那么它到角两边的距离相等．35．已知Rt△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠BAC 交BC 于点D，若BC=32 ，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为14 ．【解答】解：如图，过点 D 作DE⊥AB 于E，∵BC=32 ，BD：CD=9 ：7，∴CD=32 × =14，∵∠C=90 °，AD 平分∠BAC ，∴DE=CD=14 ，即D到AB 的距离为14．故答案为：14．三．解答题（共 5 小题）36．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若BD=CD 、BE=CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）直接写出AB+AC 与AE 之间的等量关系．解答】（1）证明：∵DE ⊥AB 于E，DF⊥AC 于F，∴∠E= ∠DFC=90 °，∴△BDE 与△CDE 均为直角三角形，∵∵∴△BDE ≌△CDF ，∴DE=DF ，即AD 平分∠BAC ；（2）AB+AC=2AE ．证明：∵BE=CF ，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD= ∠CAD，∵∠E= ∠AFD=90 °，∴∠ADE= ∠ADF，在△AED 与△AFD 中，∵，∴△AED ≌△AFD ，∴AE=AF ，∴AB+AC=AE ﹣BE+AF+CF=AE+AE=2AE37 ．如图已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA，ED⊥OB ，垂足分别为C、D．求证：1）∠ECD= ∠EDC；2) OE 是CD 的垂直平分线．解答】 解：分别作 CG ⊥AB 与 G ，CH ⊥AD 与 H ，解答】 证明：（1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点， EC ⊥OA ，ED ⊥OB ， ∴EC=DE ， ∴∠ECD= ∠EDC ；（2）在 Rt △OCE 和 Rt △ODE 中， ，∴Rt △OCE ≌Rt △ODE （HL ），∴OC=OD ，又∵OE 是∠AOB 的平分线，∴OE 是 CD 的垂直平分线．38．如图，四边形 ABCD 中，AC 为∠BAD 的角平分线， AB=AD ，E 、F 两点分 别在 AB 、AD 上，且 AE=DF ．请完整说明为何四边形 AECF 的面积为四边形 ABCD 的一半．∵AC 为∠BAD的角平分线，∴CG=CH ， ∵AB=AD ，∴△ABC 面积 =△ACD 面积，又∵AE=DF ，∴△AEC 面积 =△CDF 面积，∴△BCE 面积 =△ABC 面积﹣A △EC 面积，△BCE 面积 =△ACD 面积﹣C △DF 面积，∴△BCE 面积 =△ACF 面积，∵四边形AECF 面积=△AEC 面积 +△ACF 面积， 四边形 AECF 面积 =△AEC 面积+△BCE 面积，∴四边形AECF 面积 =△ABC 面积，又∵四边形 ABCD 面积=△ABC 面积+△ACD 面积，又∵四边形 ABCD 面积=2△ABC 面积，∴四边形AECF 面积为四边形 ABCD 面积的一半．39．△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点 O ，过点 O 作一直线交 AB 、AC 于 E 、F ．且 BE=EO ．（1）说明 OF 与CF 的大小关系；2）若 BC=12cm ，点 O 到 AB 的距离为 4cm ，求△OBC的面积．解答】解：（1）OF=CF ．理由：∵BE=EO ，∴∠EBO= ∠EOB，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O，∴∠EBO= ∠OBC，∴∠EOB= ∠OBC，∴EF∥BC，∴∠FOC=∠OCB= ∠OCF，∴OF=CF ；（2）过点O 作OM⊥BC 于M，作ON ⊥AB 于N，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点O，点O 到AB 的距离为4cm ，∴ON=OM=4cm ，∴S△OBC= BC?OM= ×12×4=24 （cm2）．40．如图，在△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠CAB ，交CB 于点D，过点 D 作DE ⊥AB 于点E．（1）求证：AC=AE ；（2）若点E为AB 的中点，CD=4 ，求BE的长．【解答】（1）证明：∵在△ABC 中，∠C=90 °，AD 平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE ，∠AED= ∠C=90 °，∠CAD= ∠EAD ，在△ACD 和△AED 中∴△ACD ≌△AED ，∴AC=AE ；（2）解：∵DE ⊥AB，点 E 为AB 的中点，∴AD=BD ，∴∠B=∠DAB= ∠CAD，∵∠C=90 °，∴3∠B=90 °，∴∠B=30 °，∵CD=DE=4 ，∠DEB=90 °，∴BD=2DE=8 ，由勾股定理得：BE= =4 ．。
《角平分线》练习题(含答案)
1题D C B A P O 2题D C B A E O 3题D C B A 4题D C B A O 5题C B A O 6题CB A E7题D C B A 3218题10题D C B A γβα9题11题DC B A 角平分线练习题1.如图，已知∠CDA =∠CBA=90°，且CD=CB ，则点C 一定在 上，点A 在 上.2.如图，点P 为∠AOB 的角平分线上一点，PC ⊥AO 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，请写出图中所有的相等线段 。
3.如图，AB ∥CD ，AO 、CO 分别平分∠BAC 、∠ACD ，OE ⊥AC 于点E ，且OE=2，则AB 、CD 间的距离为 。
4.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将△ABC 沿直线AD 折叠，使AC 落在斜边AB 上，且与AB 重合，则CD 的长度为 。
5.如图,△ABC 中,∠C=80°,∠BAC 、∠ABC 的角平分线交于点O,则∠OAC+∠OBC= °,∠BOA= °6.如图,△ABC 中,AB =AC, ∠A=40°,O 为△ABC 内一点,且∠OBC=∠ACO ，则∠BOC 的度数为 。
7.如图,Rt △ABC 中,AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，CD=2，则DE= ，BD= ，AC= ，AB= 。
8.如图,∠1=∠2,若∠3=30°，为了使台球反弹后将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1的度数为 。
9.光线以如图所示的角度α照到平面镜Ⅰ上,然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ间反射,已知∠α=60°, ∠β=50°,则∠γ的度数为 。
10.如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC ，CD ∶BD=3∶5，BC=24cm,AB=30cm,则S △ABD = 。
11.如图,△ABC 中,∠C=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，BC=4，CD=1.5，则AC= 。
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角平分线练习一、选择题1.已知：如图1，B E，C F是△ABC的角平分线，B E，CF相交于D，若∠A=50°，则∠BDC=（）A.70°B.120°C.115°D.130°2.已知：如图2，△ABC中，AB = AC，BD为∠ABC的平分线，∠BDC = 60°，则∠A =（）A. 10°B. 20°C. 30°D. 40°3.三角形中，到三边距离相等的点是（）A.三条高线交点B.三条中线交点C.三条角平分线的交点D.三边的垂直平分线的交点4.已知P点在∠AOB的平分线上，∠AOB = 60°，OP = 10 cm，那么P点到边OA、OB的距离分别是（）A. 5cm 、cmB. 4cm、5cmC. 5cm、5cmD. 5cm、10cm5.下列四个命题的逆命题是假命题的是（）A.直角三角形的两个锐角互余B.等腰三角形的两个底角相等C.全等三角形的对应角相等D.相等的两个角是对顶角6.已知：如图3，△ABC中，∠C = 90°，点O为△ABC 的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，点D、E、F分别是垂足，且AB = 10cm，BC = 8cm，CA = 6cm，则点O到三边AB，AC和BC的距离分别等于（）cmA. 2、2、2B.3、3、3C. 4、4、4D. 2、3、5二、填空题1.命题：“两直线平行，同旁内角互补”的逆命题是，它是命题。
2.角平分线可以看作是的点的集合。
3.已知：△ABC中，∠C = 90°，角平分线AD分对边BD：DC = 3：2，且BC = 20cm，则点到AB的距离是cm。
4.命题“如果a = b，那么| a| = | b |”的命题是，它是命题。
三、简答题1.已知：如图4，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE，∠1=∠2，AD = AC求证：DC∥AE2.已知：如图5，△ABC中，∠C= 90°，点D是斜边AB 的中点，AB = 2BC， DE⊥AB交AC于E求证：BE平分∠ABC3.已知线段AB，求线段AB的四等分点。
4.已知：如图6，△ABC中，∠A= 90°，AB = AC = BDED⊥BC求证：AE = DE =DC5.已知：线段a和∠a求作△ABC，使AB = AC = a，∠A= ∠a线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理；二、例题分析[例1]如图3—14—2，已知AB=AC，BD=DC，AD，BC相交于点O。
求证：AD⊥BC。
思路分析：此题证法比较多，可利用等腰三角形的性质及线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。
这里我们选用线段垂直平分线的性质定理的逆定理来证。
[例2]已知：如图下图3—14—2，在△ABC中，AD是高，BC的垂直平分线交AC于E，BE交AD于F。
求证：E在AF 的垂直平分线上。
思路分析：由图形观察到∠CAD与∠C互余，∠BFD与∠CBE互余，∠AFE=∠BFD因此只需证明∠C=∠CBE，就可得到∠CAD=∠AFE。
第二阶段[例3]如图3.14—3，已知：AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，垂足是点E，∠C=70°，求∠BDC的度数。
思路分析：∵AB=AC，由∠C先求出∠A，根据DE是AB的中垂线，得到AD=BD，求出∠DBA，再计算出∠BDC。
[例4]如图3.14—4，已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。
思路分析：此题利用垂直平分线定理的逆定理来证明可出奇制胜，而利用全等三角形证明却较繁琐，因而在今后的证题思路的分析中，要充分发挥后续定理的作用。
第三阶段[例5]如图3.14—5，求作一点P，使PC=PD，并且使点P 到∠AOB两边的距离相等。
思路分析：由PC=PD，知P在线段CD的中垂线上。
由P到∠AOB两边的距离相等，知P在∠AOB的平分线上。
[例6]如图3.14—7，已知：△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线MN分别交BC、AB于点M、N求证：CM=2BM。
思路分析：等腰三角形性质、中垂线的性质、30°直角三角形的性质。
三、练习题1、若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（）A、锐角三角形 B、钝角三形C、直角三角形D、不能确定2、线段的垂段直平分线上的点和这条线段两个端点的_________相等。
3、和一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的__________________上。
4、线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点的__________________点的集合。
5、三角形三边垂直平分线的交点到_________的距离相等。
6、线段的垂直平分线有_____________条，它是_________的集合。
7、若△ABC中有两边的垂直平分线的交点恰好在第三边上，则△ABC必定为（） A、锐角三角形 B、直角形 C、等腰三角形 D、等边三角形8、下列说法：①若直线PE是线段AB的中垂线，则EA=EB，PA=PB；②若PA=PB，EA=EB，则直线PE垂直平分线段AB；③若PA=PB，则点P必是线段AB中垂线上的点；④若EA=EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB，其中正确的个数为（） A、1个B、2个C、3个 D、4个9、已知MN是线段AB的垂直平分线，下列说法中正确的是（）A、与AB距离相等的点在MN上B、与点A和点B距离相等的点在MN上C、与MN距离相等的点在AB上D、AB垂直平分MN10、已知点D在△ABC的边AB的垂直平分线上，且AD+DC=AC，若AC=5cm，BC=4cm，则△BDC的周长为（）A、6cmB、7cmC、8cmD、9cm11、已知：AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F。
求证：∠FAC=∠B。
12、已知△ABC中，AB=AC，在AB上求作一点E，使EA=EC，以在什么情况下E点在BA的延长线上？在什么情况下，本题无解？角的平分线的性质自测夯实基础一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）1．如图1所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（）A.∠1＝∠2B.∠1＞∠2C.∠1＜∠2D.无法确定2．△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）A、12cm B、10cm C、14cm D、11cm 3．如图2所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）A.PM＞PNB.PM＝PNC.PM＜PND.无法确定4．如图3所示，△ABC中，分线，DE⊥AB，DF⊥AC给出四个结论，其中正确的结论有( )①AD平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等A、1个B、2个C、3个D、4个5．如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD 上，P A⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A，C．下列结论错误的是（）．A．AD=CPB．△ABP≌△CBPC．△ABD≌△CBDD．∠ADB=∠CDB．二、精心填一填，你会轻松（每题6分，共30分）6．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC 于点D，若CD=8，则点D到斜边AB的距离等于_____________．7．，已知点C是∠AOB平分线上的一点，点P、P′分别在边OA、OB上，如果要得到OP＝OP′，需要添加以下条件中的某一个即可，请你写出所有可能结果的序号为______________．①∠OCP＝∠OCP′；②∠OPC＝∠OP′C；③PC＝P′C；④PP′⊥OC．8．如下图，已知BO平分CBA∠，CO平分ACB∠，MN BC∥，且过点O，若12AB=，14AC=，则AM N△的周长是．9．如上右图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，EDMAC NPE图2图3AB CDP那么D 点到直线AB 的距离是 cm ．10．如图所示：⑴若∠BAD ＝∠CAD ，且BD ⊥AB 于B ，DC ⊥AC 于C ，则BD ＝CD ，⑵若BD ⊥AB 于B ，DC ⊥AC 于C ，且BD ＝CD ，则∠BAD ＝∠CAD ，试利用上述知识，解决下面的问题：三条公路两两相交于A 、B 、C 三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有 处．三、细心做一做，你会成功（共40分）11．已知：AD 是△ABC的角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，求证：∠B ＝∠C.12．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥ 交AC 于E ． 求证：BE 平分ABC ∠．13． 先作图，再证明．（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹）①作ACB ∠的平分线CD ，交AB 于点D ； ②延长BC 到点E ，使CE CA =，连结AE ． （2）求证：CD AE ∥．综合创新14．如图，△ABC 中，P 是角平分线A D ，BE 的交点． 求证：点P 在∠C 的平分线上．15．已知：如图，90B C ∠=∠=，M 是BC 的中点，DM 平分ADC ∠．（1）若连接AM ，则AM 是否平分BAD ∠？请你证明你的结论．（2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由．中考链接16（广东茂名）Rt 90ABC C BAC ∠∠在△中，＝，的角平分线AD 交BC 于 点D ，2CD ＝，则点D 到AB 的距离是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．417． (广东)到三角形三条边的距离都相等的点是这个三BDCAＢＡＣABCDEP角形的（）Ａ．三条中线的交点Ｂ．三条高的交点Ｃ．三条边的垂直平分线的交点Ｄ．三条角平分线的交点18．（镇江）⑴如图，已知△ABC，∠C＝90°.按下列语句作图（尺规作图，保留作图痕迹）：①作∠B的平分线，与AC相交于点D；②在AB边上取一点E，使BE＝BC③连接ED;⑵根据所作图形，写出一组相等的线段和一组相等的锐角.（不包括BE＝BC，∠EBD＝∠CBD答：__________________________．参考答案角平分线练习【参考答案】一1. C 2. B 3. C 4. C 5.C 6. A二1.同旁内角互补，两直线平行，真2.到一个角的两边距离相等的所有3. 84.如果| a | = | b |，那么a = b，假三1.∵AD = AC，∴∠ADC=∠ACD，△ABC中∵∠FAC=∠ADC + ∠ACD，又∠1=∠2=∠FAC ∴∠ADC=∠FAC=∠1，∴DC∥AE2.∵D是AB中点∴BD=AB，∵AB = 2BC ∴BC=AB ∴BD = BC又∵DE⊥AB∠C=90°，∴∠C=∠BDE=90°，又BE = BE，∴R +△BDE≌Rt△BEC（HL）∴∠DBE = ∠EBC ∴BE平分∠ABC3.略4.连结BE，可证△ABE≌△BDE（HL）∴AE = DE ∵AB = AC ∠A=90°∴∠C=45°又∵DE⊥BC ∴∠DEC = 45° ∴DE = DC ∴AE = DE = DC5.略线段的垂直平分线垂直平分线的性质定理和它的逆定理；[例1] 证明：∵AB=AC，∴点A在BC的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。