曲面积分
通俗讲解曲面积分_概述说明以及解释
通俗讲解曲面积分概述说明以及解释1. 引言1.1 概述曲面积分作为微积分的一个重要概念，是研究曲面上的数学对象和物理问题时不可或缺的工具之一。
通过对曲面上的函数进行积分运算，我们可以计算曲面上的各种物理量，如质量、电荷、热量等。
曲面积分可以看作是线性和高斯两类曲面积分的总称，每一类又有自己特定的解释与计算方法。
1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍曲面积分的概念、背景以及解释：- 第一部分将给出对曲面和曲面积分最基本概念的定义和性质，并说明它在实际应用中所扮演的重要角色；- 第二部分将详细解释第一类曲面积分及其计算方法，并通过示例和实例说明其应用范围和计算步骤；- 第三部门将着重阐述第二类曲面积分及其解释与计算方法，其中包括线性变换法和高斯公式及应用场景；- 最后，我们将进行文章总结与结论，并展望曲面积分在未来的发展趋势与应用前景。
1.3 目的本文的目的是通俗地解释曲面积分的概念、背景，以及解释和阐述第一类和第二类曲面积分的计算方法。
通过这篇文章，读者可以清晰地理解曲面积分在数学和物理中的重要性，并掌握如何应用不同方法计算曲面上各种物理量。
我们也希望通过本文能够引起读者对曲面积分研究领域发展趋势与未来应用前景的兴趣。
2. 曲面积分的概念与背景：2.1 曲面的定义和性质：曲面是三维空间中的一个二维对象，可以理解为平面的推广。
曲面可以由参数方程或者隐函数方程来表示，并且具有一定的光滑性和连续性。
曲面具有一些重要的性质，如切平面、法向量、曲率等。
切平面是曲面上某点处与曲面相切且与曲线相切的平面。
法向量是垂直于切平面并指向外侧的矢量，用于描述曲面在该点的法线方向。
曲率是衡量曲线在某一点处弯曲程度的数值。
2.2 曲面积分的基本概念：曲面积分是对给定曲面上函数进行求和或者积分运算的方法。
它将函数在整个曲面上各点处得值进行累加或者计算其积分值。
根据被积函数以及计算方法的不同，可以将曲面积分分为两类：第一类和第二类。
曲面积分
4: z=1-x-y, Dxy: x+y =1, x=0, y=0所围, ds= 3 dxdy ,
I= = 3 xy(1-x-y)dxdy = 3 D
4 xy
1 1-x xdx 0 y(1-x-y)dy 0
3 . 120
8
1 例3. 计算 I = ––––––––– ds , : x2+y2=R2 被 z=0, 2 2 2 x +y +z z 1 z=1所夹的第一卦限部分。(补充) 解: : x R y , x y
1
x
R
dydz; R 0
R
1
R 1 1 dz dy 2 2 2 2 0 R z R y
1 1 z y arctan . R arctan arcsin R R R0 R0 2
10
对坐标的曲面积分(P159)
一、对坐标的(第二类)曲面积分的概念与性质
1. 有向曲面: 指定了侧的曲面叫有向曲面, 其方向
4. 规定: 若 =1+2 ,
则: f(x, y, z)ds= 1 f(x, y, z)ds+ 2 f(x, y, z)ds ;
5. 若f(x, y, z)1,则: f(x, y, z)ds=曲面 的面积;
6. 若为闭曲面, 积分记为: f(x , y , z)ds 。
对面积的曲面积分有与对弧长的曲线积分类似的性 质;
4
1 ds , 其中 是x2+y2+z2=a2 被 z=h 例1. 计算 I = —— z 截出的顶部, 0< h < a 。
解: : z= a2 -x2-y2 , Dxy: x2+y2 a2-h2,
曲面积分总结
多元函数积分学一、主要内容1、重积分的概念与性质.2、二重积分的计算方法：直角坐标、极坐标.3、三重积分的计算方法：直角坐标、柱面坐标、球面坐标.4、重积分的应用：几何应用、物理应用.5、两类曲线积分（对弧长的、对坐标的）的概念与性质.6、两类曲线积分的计算公式（化为定积分）.7、两类曲面积分（对面积的、对坐标的）概念与性质.8、两类曲面积分的计算公式（化为二重积分）.9、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式及其应用.10、场论的重要概念：通量与散度，环量与旋度.二、学习要求1、理解各种积分的概念，了解各种积分的性质及相互之间关系，并会正确应用于积分的计算之中。
2、掌握各种积分的计算方法：对重积分会在不同的坐标系下计算；对曲线、曲面积分与会利用各种积分之间的关系计算。
3、理解多元函数积分的元素法。
会用元素法写出一些几何量和物理量的重积分表达式。
线、面积分表达式并进行计算。
4、掌握格林公式，高斯公式、斯托克斯公式（条件、结论和应用）5、掌握曲线（面）积分与积分曲线（面）无关的条件，会将二元、三元函数的全微分求积。
6、了解通量与散度、环量与旋度的概念。
会求矢量场的通量、环量、散度、旋度。
三、疑难解答1、问：曲线积分，曲面积分都有两种类型，定积分、重积分是否可分类型？两类积分的本质区别是什么？ 答 曲线积分或曲面积分的两种类型，主要根据积分曲线（或曲面）是否有向、被积函数是数量函数还是向量函数来区分，但最主要的还是根据积分曲线（或曲面）是否有向来区分。
由此，所有积分可以分为两大类，即积分范围是无向图形的和积分范围是有向图形的。
重积分的积分范围是无向的，定积分的范围是向的。
所有无向积分的性质同于a ＜b 时定积分dx x f b a ⎰)(，所有有向积分的性质，同于定积分dx x f ba ⎰)(。
积分范围无向的积分的本质特征是积分元素非负（是面积元素、长度元素、体积元素）。
积分范围向的积分的本质特征是积分元素带有正负号（是曲线或曲面在相应坐标轴，坐标面上的投影元素）。
曲线与曲面积分
曲线与曲面积分曲线与曲面积分是微积分中重要的概念，广泛应用于物理学、工程学等领域。
本文将介绍曲线与曲面积分的基本概念、计算方法以及应用案例。
一、曲线积分曲线积分是对曲线上某个函数的积分运算。
曲线可以是平面曲线，也可以是空间曲线。
我们以平面曲线为例进行说明。
设曲线C是由参数方程(x(t), y(t))表示，其中t的取值范围是[a, b]。
对于函数f(x, y)，曲线积分的定义如下：∫f(x, y) ds = ∫f(x(t), y(t))√[x'(t)]²+[y'(t)]² dt其中ds表示弧长元素。
计算曲线积分的方法主要有参数法和直接法。
参数法是将曲线参数化，然后将曲线积分转化为参数的积分，最后求解参数积分。
直接法是根据曲线的方程，利用弧微分公式，将曲线积分直接转化为函数的定积分。
曲线积分在物理学中有广泛应用，例如计算沿曲线C的力场的功、电场/磁场对电流/磁通的做功等。
二、曲面积分曲面积分是对曲面上某个函数的积分运算。
曲面可以是平面曲面，也可以是空间曲面。
我们以平面曲面为例进行说明。
设曲面S是由参数方程(x(u, v), y(u, v), z(u, v))表示，其中(u, v)的取值范围是[D]。
对于函数f(x, y, z)，曲面积分的定义如下：∬f(x, y, z) dS = ∬f(x(u, v), y(u, v), z(u, v))∥ru×rv∥ dudv其中∥ru×rv∥表示曲面元素的面积，并且ru和rv是曲面的切向量。
计算曲面积分的方法主要有参数法和直接法。
参数法是将曲面参数化，然后将曲面积分转化为参数的积分，最后求解参数积分。
直接法是根据曲面的方程，利用曲面微分公式，将曲面积分直接转化为函数的定积分。
曲面积分在物理学和工程学中有广泛应用，如计算电场/磁场通过曲面的电通量/磁通量、计算曲面上流体的流量等。
三、应用案例1. 计算曲线积分假设曲线C是圆周x²+y²=a²，并且函数f(x, y) = x²+y²。
闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式
闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式==================================在数学和物理学中，曲面上的积分问题是一个重要的研究领域。
曲面上的积分可以帮助我们计算曲面的重心、质心以及对流体力学和电磁学等领域中的一些问题进行求解。
本文将介绍闭合曲面和非闭合曲面的求积分公式，并探讨它们在实际问题中的应用。
闭合曲面的求积分公式---------------------1. 对于向量场的曲面积分对于向量场F(x, y, z)和曲面S，闭合曲面积分的公式为∬_S F*dS = ∬∬_D F(r(u, v))·(ru×rv)dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，dA为面积微元。
2. 对于标量场的曲面积分对于标量场f(x, y, z)和曲面S，闭合曲面积分的公式为∬_S f*dS = ∬∬_D f(r(u, v))·|ru×rv|dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，|r u×rv|为面积元素的模长。
非闭合曲面的求积分公式-----------------------1. 对于向量场的曲面积分对于向量场F(x, y, z)和曲面S，非闭合曲面积分的公式为∬_S F*dS = ∬∬_D F(r(u, v))·(ru×rv)dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，dA为面积微元。
2. 对于标量场的曲面积分对于标量场f(x, y, z)和曲面S，非闭合曲面积分的公式为∬_S f*dS = ∬∬_D f(r(u, v))·|ru×rv|dA其中，D为曲面S在参数域中的投影，r(u, v)为曲面S的参数方程，ru和rv分别为参数u和v的偏导向量，|ru×rv|为面积元素的模长。
曲线积分曲面积分公式
曲线积分曲面积分公式曲线积分和曲面积分是数学中重要的概念，在物理学和工程学等领域也有广泛的应用。
本文将以生动、全面和有指导意义的方式介绍曲线积分和曲面积分的公式及其应用。
首先，我们来介绍曲线积分。
曲线积分是沿一个曲线对矢量场进行积分运算的方法。
它可以用于求解电流的环流、质点的环量以及力场中的功等问题。
曲线积分的公式是：∮C F·dr = ∫ab F(r(t))⋅r'(t) dt其中，∮C表示沿曲线C的积分，F是一个矢量场，r(t)是曲线C上的参数化表示，ab是曲线C上的取点区间。
r'(t)是r关于t的导数，表示曲线C的切向量。
这个公式用于计算矢量场F沿曲线C的积分。
曲线积分的计算方法是首先确定曲线C的参数化表示r(t)，然后计算矢量场F在曲线C上的取点区间ab的取值并代入公式中进行积分运算。
最后得到曲线C上的积分值。
举个例子来说明曲线积分的应用。
假设有一个力场F(x, y) = (y, x)，现在我们需要计算力场F沿曲线C的积分。
曲线C是一个由点A(0, 0)到点B(1, 1)的直线段。
我们可以将这条曲线表示为r(t) = (t, t)，其中t的取值范围是0到1。
根据曲线积分的公式，把r(t)代入公式中得到：∫0^1 (t, t)⋅(1, 1) dt = ∫0^1 2t dt = [t^2]0^1 = 1因此，力场F沿曲线C的积分结果为1。
接下来，我们来介绍曲面积分。
曲面积分是对标量场或矢量场在曲面上的积分运算。
它可以用于求解电场的通量、热传导的通量以及流体力学中的流量等问题。
曲面积分的公式有两种情况。
对于标量场的曲面积分，公式如下：∬S f dS = ∫∫S f(r(u, v)) |ru × rv| dudv其中，∬S表示对曲面S的积分，f是一个标量场，r(u, v)是曲面S上的参数化表示，ru和rv是r关于u和v的偏导数，ru × rv 表示曲面S的法向量，|ru × rv|是它的模。
对面积的曲面积分的定义
( ) yz 当cos 0 时
(S ) yz ( ) yz 当cos 0 时.
0
当cos 0 时
前侧 后侧
其中( ) yz 表示投影区域的面积 .
概念的引入
实例: 流向曲面一侧的流量. (1) 流速场为常向量 v ,有向平面区域 A(面积为 A)。
求单位时间流过 A 的流体的质量 (设密度为 1).
v
A
n 0
流量
A | v | cos
0
Av n .
(2) 设稳定流动的不可压缩流体(假定密度为 1)的速度场
由 v ( x, y, z) P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k 给出,Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数
P( x, y, z), Q( x, y, z), R( x, y, z) 都在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的
cos 0
注意：曲面方程均是单值函数.
特别地，在 上恒有，
(1) cos 0, 即 平行于 x 轴， Pdydz 0; (2) cos 0, 即 平行于 y 轴， Qdzdx 0; (3) cos 0, 即 平行于 z 轴， Rdxdy 0.
例1 计算 xyz dxdy, 其中
右侧
Dzx
Q( x, y, z)dzdx Q[x, y(z, x), z]dzdx
左侧
Dzx
一投： 将曲面 向 zox 面投影，得 Dzx . 二代： f ( x, y, z) : y y( x, z) f ( x, y( x, z), z);
三定号： 右侧“”号； 左侧“”号.
cos 0
质量.
z
1.分割
把曲面Σ分成 n小块 si
曲面积分
2,计算曲面积分 ,其中 是上半个球面 与平面 围成封闭曲面外侧.
解：
本题需用高斯公式计算，化为三重积分后，再用球坐标计算
=
=
=
3,计算曲面积分 ,其中 是长方体 的整个表面的外侧，
解：（1）直接计算法
将有向曲面分成以下六个部分
上侧；
下侧；
前侧；
后侧；
左侧；
右侧；
对于 ，需将 向xoy坐标面做投影.显然，除 外，其余四片曲面在xoy坐标面上的投影均为零，故
曲面积分
一，第一类（对面积）的曲面积分
内容要点
第一类（对面积）的曲面积分的计算
设函数 在曲面 上连续，曲面 的方程为 ，且 有一阶连续偏导数，则曲面积分
其中 为 在 坐标面上的投影区域.
例题
1计算曲面积分 ，其中 是平面 在第一挂限部分.
解： ，
=
=
=
=
2计算曲面积分 ， 在xoy坐标面的上方部分
解：
=
=
=
= .
练习题
1设 为平面 在第一卦限部分，求
2设 为平面 在第一卦限部分，求
3计算曲面积分 ， 在xoy坐标面的上方部分
[答案：1, ; 2, ; 3, .]
二，第二类（对坐标）的曲面积分
内容要点
1,第二类（对坐标）曲面积分的计算
对于曲面积分 的计算，首先应将 的方程表为 ，然后将 向xoy坐标面做投影，若投影区域为 ，则曲面积分便可化为二重积分
[答案：1, ; 2, 3, 4, 5, . ]
同理可得
总之
=
(2)高斯公式法
=
=
其中
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第二十二章曲面积分
一．填空题（每题2分）
1.为球面,则=
2. 为球面,则
3. 若是柱面外侧,则
4. 若是球面在第一卦限部分,则曲面积分
其中是常量
5.设是由与所围立体的表面积外侧,则积分
6.记均匀半球面:形状构件的重心为,则
7.设关于面积的曲面积分: ,其中是球面
,其中是曲面,则
8.设数量场,则
9.若是某二元函数的全微分,则
10.是光滑闭曲面的外法向量的方向余弦,又所围的空间闭区域为,设函数在上具有二阶连续偏导数,则由高斯公式有:
=
答案: 1. 2. 3. 4. 5.
6. 7. 8. 9. 10.
二.选择题(每题2分)
1.设是上半球面,则关于面积的曲面积分
为( )
A. B. C. D.
2.设是锥面被平面截得的部分(包括原点)的外侧,
则当时,( )
A. B. C. D.
3.设是上半球面的上侧,则下面四个二重积分表达式中不等于关于坐标的曲面积分的为( )
A. B.
C. D.
其中分别是球面在平面的投影区域.
4.设,其中是上半球面,
,其中是下半球面的外侧,
则( )
A. B. C. D.
5. 设是平面被圆柱面截出的有限部分,则曲面部分的值()
A. B. C. D.
6.设:,为在第一卦限中的部分,则有( )
A. B.
C. D.
7. 若是平面在第一卦限的部分,方向向上,则曲面积分( )
A. B. C. D.
8. 若是曲线,从轴正向看去,是顺时针方向的,则曲线积分
( )
A. B. C. D.
9. 若是平面上方的抛物面,且,则曲面积分
的物理意义为( )
A.表示面密度为1的曲面的质量
B.表示面密度为1的曲面对轴的转动惯量
C.表示面密度为的曲面对轴的转动惯量
D.表示体密度为1的流体通过曲面指定侧的流量
10. 由分片光滑的封闭曲面所围成立体的体积( )
A. B.
C. D.
答案: ABBCA CDCBA
三.计算题（每题5分）
1.计算曲面积分，其中为球面
解：球面方程为与，上半球面记为，下半球面记为，则根据对面积的曲面积分的性质有＝
对右边的两个积分分别积分，因为，在平面上的投影区域都是，所以＝
＝
因此＝
2.计算，其中为平面在第一卦限的上侧.
解:因为的方程为,在平面上的投影区域都是
:,,,
==
=
3.计算曲面积分.其中是三个坐标面与平面
所围成的四面体表面的外侧.
解:因为
由高斯公式得=
4.计算,为平面被柱面截得的部分.
解:因为,所以,于是
=
5.设球面上的密度等于点到平面的距离,求球面被截下部分曲面的重心.
解:由曲面对称性知,.球面上半部曲面为,
故 ;截得曲面在平面上投影为故
=
这里是截得曲面中位于上半球面的部分.
==
故
6.计算,其中,是球面
的外侧.
解:设为上单位外法线向量,则,
于是
==
7.计算,其中是的外侧.
解:由于曲面关于轴对称,故
又曲面关于平面对称,且是关于的奇函数,所以
8.计算,其中为锥面的外侧
解:令,取上侧,则构成封闭曲面,可用高斯公式.于是
=
=
而
故
9.计算,是从到的螺旋线:
解:将添上直线段构成封闭曲线.因为
所以积分与曲面无关,只与围它的曲面有关.由斯托克斯公式,有
直线段的方程为,所以
10.计算,点在球面上,点在球面
上
解:设
故积分与路径无关,只与起点和终点有关,于是
11.计算,设
(1) 为;
(2) 为不包含原点的光滑闭曲面;
(3) 为包含原点的光滑闭曲面;
解: (1) 因为,所以由高斯公式有
(2) 不包含原点,而
即,于是
(3) 包含原点,需做半径充分小球面.则与之间区域,根
据题(2),有
而根据题(1),有
故
这里取内侧.
12.计算,其中为平面与各坐标面的交线,取逆时针方向为正向
解:应用斯托克斯公式得
=
13.计算,其中为立体的边界曲面;
解:面积由两部分组成,其中,,它们在平面上的投影区域都是,由极坐标变换可得
==
14.计算,其中为柱面被平面所截取的部分
解: =
15.计算,其中是单位球面的外侧
解:
=
第二十二章曲面积分
1.计算曲面积分
,
其中为圆锥曲面被曲面所割下的部分.
2.计算
,
其中是曲面介于两平面之间的部分.
3.计算
,
其中是球面的下半部, 是曲面的法线方向与轴正向的夹角.
4.计算
,
其中是柱面在平面和之间的部分.
5.计算
,
其中是上半球面的上侧.
6.计算
,
其中为球体
的表面, 并取外侧.
7.计算
,
其中为连续函数; 为平行六面体的外表面. 8.计算曲面积分
,
其中为所围成的立体的表面积.
9.计算
,
其中为曲面上的那部分取正侧.
10.计算曲线积分
,
其中是圆周若从轴正向看去, 是沿逆时针方向运行.
11.计算
,
是曲线, 且的正向是使它在求外表面所围小区域在它的左方.
12.计算
其中是为曲面及平面所围成的立体的表面外侧.
13.计算
，
其中是由曲面与平面所围成立体表面的外侧.。