2017年山西省太原市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
【山西省太原第五中学年】2017届高三第二次模拟考试(5月)数学年(理)试题
答案
一、选择题 1~5．CDACB 二、填空题
6~10．BCDCA
11~12．CB
13． 13
14．120 15． 41π 16． 2 017 三、解答题 17．解：（1）在 △BEC 中,据正弦定理,有 BE CE ．
sinBCE sin B
2.
5
5
35 2 ． 17. 5
4分
1/6
a 16 2 3. 5 9 ．
月度市场占有率 y 与月份序号 x 之间的线性回归方程为 y 2x 9 ．
5分
当 x 7 时, y 2 7 9 =23 ．
故 M 公司 2 017 年 4 月份的市场占有率预计为 2300 ．
每辆 B 款车可产生的利润期望值为 2. 7 500 1 200 150 (元)．
应该采购 A 款单车．
12 分
19．解：（Ⅰ）取线段 CD 的中点 Q ,连结 KQ ,直线 KQ 即为所求．
如图所示:
10 分
2/6
（Ⅱ）以点 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴, AD 所在的直线为 y 轴,建立空间直角坐标系,如图,
B 2π , BE 1,CE 7, sinBCE BE sinB 2 21 ．
3
CE
7 14
（2）由平面几何知识,可知 DEA BCE, 在 Rt△AED 中,
A π , AE 5, cosDEA 1 sin2DEA 1 3 5 7 ．
当 a 0 时,由 h(x) 0 得, x0 1 a , h(x) 在 ( 1 a , 1 a) 上单调递减,在 ( 1 a , ) 上单调递增．
山西省太原市2017届高三第二次模拟考试理科综合试题含答案模板
太原市2017年高三年级模拟试题（二）理科综合能力测试(考试时间：上午9:00-11:30)第一部分选择题（一）本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.结构与功能相适应是生物学的基本观点，下列相关叙述正确的是A.核仁与核糖体的形成密切相关,干细胞中的核仁有利于合成rRNAB.效应T细胞中溶酶体发达可直接用于裂解靶细胞C.人小肠上皮细胞和红细胞吸收葡萄糖的载体蛋白相同D.mRNA、tRNA和rRNA的合成和加工的场所都在细胞核2.—种除草剂能破坏某双子叶植物细胞的生物膜从而干扰其代谢反应，施用该除草剂可直接影响该植物叶肉细胞中的A.基因的复制和转录B.水的光解C.C3化合物的固定D.多肽链的合成3.下列有关人体细胞周期的调控因素中错误的是A.环境因子:一定的离子辐射、化学物质作用和病毒感染B.调控细胞周期的内因包括与细胞周期有关的酶和抑制因子、生长素等各种激素C.环境因子:一定的温度变化和pH变化D.调控细胞周期的内因包括生长因子、原癌基因与抑癌基因的编码产物等4.有科学家发现普遍存在于动物中的磁受体基因，其编码的次数提蛋白能识别外界磁场和顺应磁场方向排列，并据此提出一个新的“生物指南针”分子模型。
下列叙述正确的是A.磁受体基因的骨架是由磷酸和核糖相间排列而成的B.基因中相邻磚基之间通过一个五碳糖和一个磷酸相连C.同位素标记该基因中的两条链,每次复制后带有标记的DNA分子数目不变D.翻译时，每种密码子都有与之相对应的反密码于5.下列人类遗传病调査和优生的叙述错误的是A.调查人群中的遗传病时，最好选取群体中发病率较高的单基因遗传病B.常见的优生措施有禁止近亲结婚、提倡适齡生育和进行产前检测等C.对遗传病的发病率进行统计时,只需在患者家系中进行调査D.通过基因诊断确定脍儿不携带致病基因，但也有可能患染色体异常遗传病6.下列有关实验的说法中，正确的是A.低温诱导染色体数目加倍实验中，须将大蒜根尖制成装片后再进行低温处理B.调查土壤中小动物类群丰富度统计的方法逋常采用取样器取样法C.统计种群密度时,应去掉采集数据中最大、最小值后取平均值D.研究蝾螈细胞核功能的实验中.须将其受精卵横缢成有核和无核两部分7、有机化学与材料、生活和环境密切相关。
2017年名校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年名校高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3B．k≥e3C．k＞e4D．k≥e42．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣73．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥04．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2 a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．135．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．1276．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．508．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．29．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为．14．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k= ．15．已知函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0）有两个零点1，2，数列{x n}满足x n+1=x n﹣，设a n=ln，若a1=，x n＞2，则数列{a n}的通项公式a n= ．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．2017年河南省商丘市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，则（）A．k＞e3 B．k≥e3 C．k＞e4 D．k≥e4【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先确定集合A，由此得到lnk＞4，由此求得k的取值范围．【解答】解：∵集合A={x∈N|1＜x＜lnk}，集合A中至少有3个元素，∴A={2，3，4，…}，∴lnk＞4，∴k＞e4．故选：C．2．i为虚数单位，若（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，则a﹣b=（）A．1 B．﹣1 C．7 D．﹣7【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得a，b的值，则答案可求．【解答】解：∵=，（2﹣i）2=4﹣4i﹣1=3﹣4i，又（a，b∈R）与（2﹣i）2互为共轭复数，∴b=3，a=﹣4，则a﹣b=﹣7．故选：D．3．已知f（x）=sinx﹣x，命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0，则（）A．p是假命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0B．p是假命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0C．P是真命题，￢p：：∀x∈（0，），f（x）≥0D．p是真命题，￢p：：∃x∈（0，），f（x）≥0【考点】命题的否定．【分析】直接利用特称命题否定是全称命题写出结果．【解答】解：f（x）=sinx﹣x，x∈（0，），f′（x）=cosx﹣1＜0，∴f（x）是（0，）上是减函数，∵f（0）=0，∴f（x）＜0，∴命题p：∃x∈（0，），f（x）＜0是真命题，￢p：∀x∈（0，），f（x）≥0，故选：C．4．在等差数列{a n}中，a1+3a8+a15=60，则2a﹣a10的值为（）A．6 B．8 C．12 D．13【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的通项公式求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，∵a1+3a8+a15=60，∴a1+3（a1+7d）+a1+14d=5（a1+7d）=60，∴a1+7d=12，2a﹣a10=2（a1+8d）﹣（a1+9d）=a1+7d=12．故选：C．5．我国南宋时期的著名数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中提出了秦九韶算法来计算多项式的值，在执行如图算法的程序框图时，若输入的n=5，x=2，则输出V的值为（）A．15 B．31 C．63 D．127【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：∵输入的x=2，n=5，故v=1，i=4，v=1×2+1=3i=3，v=3×2+1=7i=2，v=7×2+1=15i=1，v=15×2+1=31i=0，v=31×2+1=63i=﹣1，跳出循环，输出v的值为63，故选：C6．一块硬质材料的三视图如图所示，正视图和俯视图都是边长为10cm的正方形，将该木料切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径最接近（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r．【解答】解：由题意，该几何体为三棱柱，所以最大球的半径为正视图直角三角形内切圆的半径r，则10﹣r+10﹣r=10cm，∴r=10﹣5≈3cm．故选：A．7．若不等式组表示的区域Ω，不等式（x﹣）2+y2表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻数约为（）A．114 B．10 C．150 D．50【考点】几何概型；简单线性规划．【分析】作出两平面区域，计算两区域的公共面积，得出芝麻落在区域Γ内的概率．【解答】解：作出平面区域Ω如图：则区域Ω的面积为S△ABC==区域Γ表示以D（）为圆心，以为半径的圆，则区域Ω和Γ的公共面积为S′=+=．∴芝麻落入区域Γ的概率为=．∴落在区域Γ中芝麻数约为360×=30π+20≈114．故选A．8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足=+，则•的值为（）A．﹣B．﹣2 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量坐标运算性质、数量积运算性质即可得出．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系：B（0，），A（，0），C（﹣，0）．=（，），=（3，0）=+=（2，）．=（，），∴=（﹣1，），=（，﹣）则•=﹣=﹣2．故选：B．9．高考结束后高三的8名同学准备拼车去旅游，其中一班、二班、三班、四班每班各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置，）其中一班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一班的乘坐方式共有（）A．18种B．24种C．48种D．36种【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分类讨论，第一类，同一班的2名同学在甲车上；第二类，同一班的2名同学不在甲车上，再利用组合知识，问题得以解决．【解答】解：由题意，第一类，同一班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个为C32=3，然后分别从选择的班级中再选择一个学生为C21C21=4，故有3×4=12种．第二类，同一班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，为C31=3，然后再从剩下的两个班级中分别选择一人为C21C21=4，这时共有3×4=12种，根据分类计数原理得，共有12+12=24种不同的乘车方式，故选：B．10．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A，B两点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）A．（1，）B．（1，2）C．（，+∞）D．（2，+∞）【考点】双曲线的简单性质．【分析】由右顶点M在以AB为直径的圆的外，得|MF|＞|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2﹣e﹣2＜0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．【解答】解：由于双曲线﹣=1（a＞0，b＞0），则直线AB方程为：x=﹣c，因此，设A（﹣c，y0），B（﹣c，﹣y0），∴=1，解之得y0=，得|AF|=，∵双曲线的右顶点M（a，0）在以AB为直径的圆外，∴|MF|＞|AF|，即a+c＞，将b2=c2﹣a2，并化简整理，得2a2+ac﹣c2＞0两边都除以a2，整理得e2﹣e﹣2＜0，∵e＞1，∴解之得1＜e＜2．故选：B．11．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）的部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为2，则f（﹣1）=（）A．﹣2 B．2 C．﹣D．【考点】点、线、面间的距离计算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=2，求得T=4，再根据T==4，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=，故选：D．12．已知函数f（x）=，若F（x）=f[f（x）+1]+m有两个零点x1，x2，则x1•x2的取值范围是（）A．[4﹣2ln2，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，4﹣2ln2]D．（﹣∞，）【考点】分段函数的应用．【分析】由题意可知：当x≥1时，f（x）+1≥1，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），f[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导，利用导数求得函数的单调性区间，即可求得x1x2的取值范围．【解答】解：当x≥1时，f（x）=lnx≥0，∴f（x）+1≥1，∴f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），当x＜1，f（x）=1﹣＞，f（x）+1＞，f[f（x）+1]=ln（f（x）+1），综上可知：F[f（x）+1]=ln（f（x）+1）+m=0，则f（x）+1=e﹣m，f（x）=e﹣m﹣1，有两个根x1，x2，（不妨设x1＜x2），当x≥1是，lnx2=e﹣m﹣1，当x＜1时，1﹣=e﹣m﹣1，令t=e﹣m﹣1＞，则lnx2=t，x2=e t，1﹣=t，x1=2﹣2t，∴x1x2=e t（2﹣2t），t＞，设g（t）=e t（2﹣2t），t＞，求导g′（t）=﹣2te t，t∈（，+∞），g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，∴g（t）＜g（）=，∴g（x）的值域为（﹣∞，），∴x1x2取值范围为（﹣∞，），故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．设a=（cosx﹣sinx）dx，则二项式（a﹣）6的展开式中含x2项的系数为12 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据微积分基本定理首先求出a的值，然后再根据二项式的通项公式求出r的值，问题得以解决．【解答】解：由于a=（cosx﹣sinx）dx=（sinx+cosx）|=﹣1﹣1=﹣2，∴（﹣2﹣）6=（2+）6的通项公式为T r+1=2r C6r•x3﹣r，令3﹣r=2，求得r=1，故含x2项的系数为2C61=12．故答案为：1214．已知抛物线C：y2=4x与点M（0，2），过C的焦点，且斜率为k的直线与C交于A，B两点，若•=0，则k= 8 ．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】设直线AB的方程，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算（x1，y1﹣2）（x2，y2﹣2）=0，即可求得k的值．【解答】解：抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），∴直线AB 的方程为y=k （x ﹣1），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立方程组，整理得：k 2x 2﹣（2k 2+4）x +k 2=0，则x 1+x 2==2+．x 1x 2=1．∴y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2k=，y 1y 2=k 2（x 1﹣1）（x 2﹣1）=k 2[x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1]=﹣4，∵•=0，（x 1，y 1﹣2）（x 2，y 2﹣2）=0，即x 1x 2+y 1y 2﹣2（y 1+y 2）+4=0，解得：k=8．故答案为：1．15．已知函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0）有两个零点1，2，数列{x n }满足x n +1=x n ﹣，设a n =ln ，若a 1=，x n ＞2，则数列{a n }的通项公式a n = 2n ﹣2（n ∈N*） ．【考点】数列与函数的综合．【分析】由题意可得f （x ）=a （x ﹣1）（x ﹣2），求出导数，可得x n +1=，求得a n +1=ln =2ln=2a n ，运用等比数列的通项公式即可得到所求．【解答】解：函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0）有两个零点1，2， 可得f （x ）=a （x ﹣1）（x ﹣2）， f′（x ）=a （2x ﹣3），则x n +1=x n ﹣=x n ﹣=，由a 1=，x n ＞2，则a n +1=ln=ln=2ln =2a n ，即有a n =a 1qn ﹣1=•2n ﹣1=2n ﹣2．故答案为：2n ﹣2（n ∈N*）．16．已知f（x）=x3﹣3x+2+m（m＞0），在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是直角三角形，则m的取值范围是0＜m＜3+4．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】利用导数求得f（x）=x3﹣3x+3+m（m＞0），在区间[0，2]上的最小值、最大值，由题意构造不等式解得范围．【解答】解：f（x）=x3﹣3x+3+m，求导f′（x）=3x2﹣3由f′（x）=0得到x=1或者x=﹣1，又x在[0，2]内，∴函数f（x）在区间（0，1）单调递减，在区间（1，2）单调递增，则f（x）min=f（1）=m+1，f（x）max=f（2）=m+5，f（0）=m+3．∵在区间[0，2]上存在三个不同的实数a，b，c，使得以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形是构成直角三角形，∴（m+1）2+（m+1）2＜（m+5）2，即m2﹣6m﹣23＜0，解得3﹣4＜m＜3+4又已知m＞0，∴0＜m＜3+4．故答案为：0＜m＜3+4．三、解答题：本大题共5小题，共70分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b（1+cosC）=c（2﹣cosB）．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为4，求c．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知可得sinA+sinB=2sinC，从而可求a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）由已知利用三角形面积公式可求ab=16，进而利用余弦定理可得：c2=（a+b）2﹣3ab，结合a+b=2c，即可解得c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）∵b（1+cosC）=c（2﹣cosB），∴由正弦定理可得：sinB+sinBcosC=2sinC﹣sinCcosB，可得：sinBcosC+sinCcosB+sinB=2sinC，∴sinA+sinB=2sinC，∴a+b=2c，即a，c，b成等差数列；（Ⅱ）∵C=，△ABC的面积为4=absinC=ab，∴ab=16，∵由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab，∵a+b=2c，∴可得：c2=4c2﹣3×16，解得：c=4．18．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪70元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成5元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其100天的送餐单数，得到如表频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（Ⅰ）现从甲公司记录的100天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于40的概率；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：（i）记乙公司送餐员日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（ii）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，可得P（M）=．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，可得当a=38时，X=38×5=190，以此类推可得：当a=39时，当a=40时，X的值．当a=41时，X=40×5+1×7，同理可得：当a=42时，X=214．所以X的所有可能取值为190，1195，200，207，214．可得X的分布列及其数学期望．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．可得甲公司送餐员日平均工资，与乙数学期望比较即可得出．【解答】解：（Ⅰ）记“抽取的两天送餐单数都大于40”为事件M，则P（M）==．（Ⅱ）（ⅰ）设乙公司送餐员送餐单数为a，则当a=38时，X=38×5=190，当a=39时，X=39×5=195，当a=40时，X=40×5=200，当a=41时，X=40×5+1×7=207，当a=42时，X=40×5+2×7=214．所以X的所有可能取值为190，195，200，207，214．故X的分布列为：∴E（X）=190×+195×+200×+207×+214×=．（ⅱ）依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为38×0.2+39×0.4+40×0.2+41×0.1+42×0.1=39.5．所以甲公司送餐员日平均工资为70+4×39.5=228元．由（ⅰ）得乙公司送餐员日平均工资为192.2元．因为192.2＜228，故推荐小明去甲公司应聘．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1E=．（Ⅰ）证明：A1D⊥平面A1BC；（Ⅱ）求二面角A﹣BD﹣B1的平面角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）先证AE⊥平面A1BC，再证A1D∥AE即可‘’（2）所求值即为平面A1BD的法向量与平面B1BD的法向量的夹角的余弦值的绝对值的相反数，计算即可．【解答】证明：（Ⅰ）∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是B1C1、BC的中点，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴A1D∥AE，AE⊥BC，AE=BE=，∵A1A=4，A1E=．∴A1E2+AE2=，∴AE⊥A1E，∵A1E∩BC=E，∴AE⊥平面A1BC，∵A1D∥AE，∴A1D⊥平面A1BC．解：（Ⅱ）如图，以BC中点O为坐标原点，以OB、OA、OA1所在直线分别为x、y、z轴建系．易知A1（0，0，），B（，0，0），C（﹣，0，0），A（0，，0），D（0，﹣，），B1（，﹣，），设平面A1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．设平面B1BD的法向量为=（x，y，z），由，可取．cos＜＞=又∵该二面角为钝角，∴二面角A1﹣BD﹣B1的平面角的余弦值为﹣．20．已知椭圆E： +=1（a＞b＞0）的左焦点F1与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，椭圆E的离心率为，过点M （m，0）（m＞）作斜率不为0的直线l，交椭圆E于A，B两点，点P（，0），且•为定值．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）求△OAB面积的最大值．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，即椭圆左焦点坐标，结合椭圆离心率可得长半轴长，再由b2=a2﹣c2求出短半轴，则椭圆E的标准方程可求；（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0由•为定值，解得m，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s=即可求得最值【解答】解：（Ⅰ）设F1（﹣c，0），∵抛物线y2=﹣4x的焦点坐标为（﹣1，0），且椭圆E的左焦点F与抛物线y2=﹣4x的焦点重合，∴c=1，又椭圆E的离心率为，得a=，于是有b2=a2﹣c2=1．故椭圆Γ的标准方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为：x=ty+m，由整理得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2=0，，==（t2+1）y1y2+（tm﹣t）（y1+y2）+m2﹣=．要使•为定值，则，解得m=1或m=（舍）当m=1时，|AB|=|y1﹣y2|=，点O到直线AB的距离d=，△OAB面积s==．∴当t=0，△OAB面积的最大值为，21．已知函数f（x）=lnx﹣2ax，a∈R．（Ⅰ）若函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，求实数a的取值范围；（Ⅱ）设g（x）=f（x）+，若g（x）有极大值点x1，求证：＞a．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，问题转化为x=在（0，+∞）上有解，求出a的范围即可；（Ⅱ）求出g（x）的解析式，通过讨论a的范围，问题转化为证明x1lnx1+1＞ax12，令h（x）=﹣﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），根据函数的单调性证明即可．【解答】（Ⅰ）解：因为f′（x）=﹣2a，x＞0，因为函数y=f（x）存在与直线2x﹣y=0垂直的切线，所以f′（x）=﹣在（0，+∞）上有解，即﹣2a=﹣在（0，+∞）上有解，也即x=在（0，+∞）上有解，所以＞0，得a＞，故所求实数a的取值范围是（，+∞）；（Ⅱ）证明：因为g（x）=f（x）+x2=x2+lnx﹣2ax，因为g′（x）=，①当﹣1≤a≤1时，g（x）单调递增无极值点，不符合题意，②当a＞1或a＜﹣1时，令g′（x）=0，设x2﹣2ax+1=0的两根为x1和x2，因为x1为函数g（x）的极大值点，所以0＜x1＜x2，又x1x2=1，x1+x2=2a＞0，所以a＞1，0＜x1＜1，所以g′（x1）=x12﹣2ax1+=0，则a=，要证明+＞a，只需要证明x1lnx1+1＞ax12，因为x1lnx1+1﹣ax12=x1lnx1﹣+1=﹣﹣x1+x1lnx1+1，0＜x1＜1，令h（x）=﹣x3﹣x+xlnx+1，x∈（0，1），所以h′（x）=﹣x2﹣+lnx，记P（x）=﹣x2﹣+lnx，x∈（0，1），则P′（x）=﹣3x+=，当0＜x＜时，p′（x）＞0，当＜x＜1时，p′（x）＜0，所以p（x）max=p（）=﹣1+ln＜0，所以h′（x）＜0，所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）＞h（1）=0，原题得证．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ=6sinθ．（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P（4，3），直线l与圆C相交于A，B两点，求+的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）把直线l的参数方程消去参数t可得，它的直角坐标方程；把圆C的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，结合根与系数的关系进行解答．【解答】解：（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），得直线l的普通方程为x+y﹣7=0．又由ρ=6sinθ得圆C的直角坐标方程为x2+（y﹣3）2=9；（Ⅱ）把直线l的参数方程（t为参数），代入圆C的直角坐标方程，得，设t1，t2是上述方程的两实数根，所以t1+t2=4，t1t2=7，∴t1＞0，t2＞0，所以+=．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣2|+|2x+1|．（Ⅰ）解不等式f（x）＞5；（Ⅱ）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）分类讨论求得原不等式解集．（Ⅱ）由分段函数f（x）的解析式可得f（x）的单调性，由此求得函数f（x）的值域，求出的取值范围．再根据关于x的方程=a的解集为空集，求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解不等式|x﹣2|+|2x+1|＞5，x≥2时，x﹣2+2x+1＞5，解得：x＞2；﹣＜x＜2时，2﹣x+2x+1＞5，无解，x≤﹣时，2﹣x﹣2x﹣1＞5，解得：x＜﹣，故不等式的解集是（﹣∞，﹣）∪（2，+∞）；（Ⅱ）f（x）=|x﹣2|+|2x+1|=，故f（x）的最小值是，所以函数f（x）的值域为[，+∞），从而f（x）﹣4的取值范围是[﹣，+∞），进而的取值范围是（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）．根据已知关于x的方程=a的解集为空集，所以实数a的取值范围是（﹣，0]．。
山西省太原市高考数学二模试卷(理科)解析版
20. 已知直线 l 与抛物线 C：x2=2py（p＞0）相交于 A，B 两个不同点，点 M 是抛物线 C
在点 A，B 处的切线的交点．
（Ⅰ）若直线 l 经过抛物线 C 的焦点 F，求证：FM⊥AB；
（Ⅱ）若点 M 的坐标为（2，-2p），且
，求抛物线 C 的方程．
21. 已知 x1，x2（x1＜x2）是函数 f（x）=ex+ln（x+1）-ax（a∈R）的两个极值点． （Ⅰ）求 a 的取值范围； （Ⅱ）证明：f（x2）-f（x1）＜2lna．
场馆进行服务，每个运动场馆 3 名志愿者，则其中志愿者甲和乙被分到同一场馆的
概率为______．
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14. 在平面直角坐标系内，由曲线
，
和 轴正半轴所围成的封闭图形的
面积为________．
15. 已知 a，b，c 分别是△ABC 内角 A，B，C 的对边，b2+c2=accosC+c2cosA+a2，
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
8. 已知 α∈（0， ），β∈（0， ），且 sin2α（1+sinβ）=cosβ（1-cos2α），则下列结论
正确的是（ ）
A. 2α-β=
B. 2α+β=
C. α+β=
D. α-中，SA=SB=SC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为 （ ）
，则△ABC 周长的最小值为______．
16. 已知函数 f（x）=（ax+sinx）（x-sinx）（x≠0）的图象与 g（x）=x2 的图象有四个 不同交点，其横坐标从小到大依次为 x1，x2，x3，x4，则
=______．
【精品】2017年山西省太原市高考数学二模试卷及参考答案(理科)
2017年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知=（1+i）2（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i2．（5分）已知全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）∪（3，+∞）B．{x|x＞3，x∈N} C．{4，8}D．[4，8] 3．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，1），则在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．4．（5分）已知S n是等差数列a n的前n项和，且S3=2a1，则下列结论错误的是（）A．a4=0 B．S4=S3C．S7=0 D．a n是递减数列5．（5分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．﹣D．07．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）A．3 B．5 C．6 D．810．（5分）已知双曲线﹣y2=1的右焦点是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．4 B．3C． D．211．（5分）已知f（x）=x2e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，+）C．（，2）D．（+，+∞）12．（5分）已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0，]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）已知sin（﹣α）=﹣，0＜α＜π，则sin2α=．14．（5分）（2x+﹣1）5的展开式中常数项是．15．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．16．（5分）已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2，数列{b n}满足b n=a n+a n+1（n ∈N*）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=log2a n（n∈N*），求数列{b n•c n}的前n项和T n．18．（12分）某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A在该商场购买商品的金额为350元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖．19．（12分）如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．20．（12分）如图，曲线C由左半椭圆M：+=1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x﹣2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q （均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（1）若|PQ|的最大值为4+，求半椭圆M的方程；（2）若直线PQ过点A，且=﹣2，⊥，求半椭圆M的离心率．21．（12分）已知函数f（x）=（mx2﹣x+m）e﹣x（m∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，证明：不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠），点A，B（A 在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．2017年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知=（1+i）2（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D．+i【解答】解：由=（1+i）2，得．∴．故选：B．2．（5分）已知全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）∪（3，+∞）B．{x|x＞3，x∈N} C．{4，8}D．[4，8]【解答】解：全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}={1，2，4，8}，∴（∁U A）∩B={4，8}，故选：C．3．（5分）已知=（2，1），=（﹣1，1），则在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．【解答】解：，；∴在方向上的投影为：．故选：A．4．（5分）已知S n是等差数列a n的前n项和，且S3=2a1，则下列结论错误的是（）A．a4=0 B．S4=S3C．S7=0 D．a n是递减数列【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．由S3=2a1，可得：a1+a2+a3═3a1+3d=2a1，可得a1=﹣3d．则a4=﹣3d+3d=0，S4=S3，S7==7a4=0，因此A，B，C正确．由于无法判断d的正负，因此无法判断等差数列{a n}的单调性，因此D错误．故选：D．5．（5分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为，不妨设大正方形面积为5，小正方形面积为1，∴大正方形边长为，小正方形的边长为1．∴四个全等的直角三角形的斜边的长是，较短的直角边的长是1，较长的直角边的长是2，故sinθ=，故选：B．6．（5分）执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．﹣D．0【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=2满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=3满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=4满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=5满足条件n≤2017，执行循环体，S=0，n=6满足条件n≤2017，执行循环体，S=0，n=7满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=8…观察规律可知，S的取值以6为最小正周期循环，由于2017=336×6+1，可得：n=2017时，满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=2018不满足条件n≤2017，退出循环，输出S的值为．故选：A．7．（5分）函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且图象关于x=1对称，排除B，C，取特殊值，当x=时，f（x）=2ln＜0，故选：D．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图知：该几何体是一个高h=1的三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC的底AB=1，高CD=1，∴该几何体的体积为V===．故选：D．9．（5分）已知实数x，y满足，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）A．3 B．5 C．6 D．8【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，在目标函数的上方并满足约束条件的区域使得目标函数为负数，故目标函数的绝对值是其相反数，由线性规划可知，目标函数最小值在A（1，4）处取得，（2x﹣3y+4）min=﹣6，故z max=|2x﹣3y+4|=6；由图可知，在目标函数的下方并满足约束条件的区域使得目标函数为正数，故目标函数的绝对值是其本身，由线性规划可知，目标函数最大值在B（2，1）处取得，（2x﹣3y+4）max=5，故z max=|2x﹣3y+4|=5．综上所述，目标函数的最大值为6．故选：C．10．（5分）已知双曲线﹣y2=1的右焦点是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．4 B．3C． D．2【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=，b=1，c==2，右焦点为（2，0），则抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（2，0），即有2=，解得p=4，即抛物线方程为y2=8x，联立直线y=kx+m，可得k2x2+（2km﹣8）x+m2=0，判别式△=（2km﹣8）2﹣4k2m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，点M（2，2）是AB的中点，可得=4，且2=2k+m，解得k=2，m=﹣2．满足判别式大于0．即有x1+x2=4，x1x2=1，可得弦长AB=•=•=2，点O到直线2x﹣y﹣2=0的距离d==，则△OAB（O为坐标原点）的面积是d•|AB|=××2=2．故选：D．11．（5分）已知f（x）=x2e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2，+）C．（，2）D．（+，+∞）【解答】解：f′（x）=2xe x+x2e x=x（x+2）e x，令f′（x）=0，解得x=0或x=﹣2，∴当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值f（﹣2）=，当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0．作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t，则当t=0或t＞时，关于x的方程f（x）=t只有1解；当t=时，关于x的方程f（x）=t有2解；当0＜t＜时，关于x的方程f（x）=t有3解．∵g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，∴关于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）上有1解，在（，+∞）∪{0}上有1解，显然t=0不是方程t2﹣kt+1=0的解，∴关于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有1解，∴，解得k＞．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0，]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx），f′（x）=2a﹣1+sin2x﹣a（cosx﹣sinx），若f（x）在[0，]递增，则f′（x）≥0在[0，]恒成立，即a≥在[0，]恒成立，令g（x）=，x∈[0，]，则g′（x）=，令g′（x）＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞，令g′（x）＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜，故g（x）在[0，）递减，在（，]递增，故g（x）max=g（0）或g（），而g（0）=1，g（）=，故a≥1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．（5分）已知sin（﹣α）=﹣，0＜α＜π，则sin2α=﹣．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=﹣，0＜α＜π，∴sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣，故答案为：﹣．14．（5分）（2x+﹣1）5的展开式中常数项是﹣161．=（﹣1）5﹣r．【解答】解：（2x+﹣1）5的展开式中通项公式：T r+1==2r﹣k x r﹣2k．的通项公式：T k+1令r﹣2k=0，则k=0，r=0；k=1，r=2；k=2，r=4．因此常数项=+×2×+=﹣161．故答案为：﹣161．15．（5分）已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．【解答】解：由题意，△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，则BF==，∴AF==，设球心到平面BCD是距离为h，则1+h2=+（﹣h）2，∴h=，r==，∴该三棱锥外接球的表面积为=．故答案为．16．（5分）已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为cot52.5°．【解答】解：∵∠BAC=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣30°=150°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×150°=75°，∴∠BOC=180°﹣75°=105°．∵BC=1，∴由余弦定理可得：1=OB2+OC2﹣2•OB•OC•cos105°≥2OB•OC﹣2•OB•OC•cos105°，整理可得：OB•OC≤，=OB•OC•sin105°≤×∴S△OBCsin105°===cot52.5°．故答案为：cot52.5°．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2，数列{b n}满足b n=a n+a n+1（n ∈N*）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=log2a n（n∈N*），求数列{b n•c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n≥2时，则a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣2n+2=2n，当n=1时，a1=S1=22﹣2=4﹣2=2，满足a n=2n，故数列{a n}的通项公式为a n=2n，∴b n=a n+a n+1=2n+2n+1=3•2n；（2）c n=log2a n=，∴b n•c n=3n•2n．令R n=1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，则2R n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴==（1﹣n）•2n+1﹣2．∴．则．18．（12分）某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖．【解答】解：（1）顾客A只选择方案a进行抽奖，则其抽奖方式为按方案a抽奖三次，按方案a一次抽中的概率P（A）==，此时满足二项分布B（3，），设所得奖金为w 1，则=，∴顾客A只选择方案a进行抽奖，其所获奖金的期望值为9元．（2）按方案b一次抽中的概率P（B）==，假设①，顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，此时方案a的抽法满足二项分布B1～（2，），方案b的抽法满足二项分布B2～（1，），设所得奖金为w 2，则==10.5，假设②，顾客A按方案b抽奖两次，此时满足二项分布B～（2，），设所得奖金为w 3，∴=2×=9．∵，∴要使所获奖金的期望值最大，顾客A应按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．19．（12分）如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）分别连结MN、EM、FN，则由题意知：①AD⊥MN，AD⊥EM，∵MN、EM⊂平面EMN，∴AD⊥平面EMN．②BC⊥MN，BC⊥FN，∵MN，FN⊂平面FMN，∴BC⊥平面FMN．由结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个，得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．又∵AD、BC⊂平面ABCD，MN⊂平面ABCD，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，得到过MN垂直于平面ABCD的面是唯一的，∴平面EMN和平面FMN重合，∴E、F、M、N四点共面．解：（2）分别过点E、F作平面ABCD的垂线，分别交MN于点E′，F′，则∠EME′=∠FNF′=60°，由题意可知：EM=1，FN=2，∴ME′=，EE′=，NF′=1，FF′=，E′F′=，，以E′为原点，在平面ABCD内过E′作MN的垂线为x轴，E′N为y轴，E′E为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，﹣，0），B（1，，0），E（0，0，），F（0，，），=（0，4，0），=（1，﹣），=（0，），=（1，，﹣），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（），设平面BEF的法向量=（a，b，c），则，取c=﹣5，得=（﹣6，，﹣5），∴cos＜＞==﹣，由图形知二面角A﹣BE﹣F是钝二面角，故二面角A﹣BE﹣F的余弦值为﹣．20．（12分）如图，曲线C由左半椭圆M：+=1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x﹣2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q （均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（1）若|PQ|的最大值为4+，求半椭圆M的方程；（2）若直线PQ过点A，且=﹣2，⊥，求半椭圆M的离心率．【解答】解：（1）A（0，1），B（0，﹣1），故b=1，|PQ|的最大值为4+=a+2+，解得a=2．∴半椭圆M的方程为：+y2=1（﹣2≤x≤0）．（2）设PQ方程：y=kx+1，与圆N的方程联立可得：（k2+1）x2+（2k﹣4）x=0，x A+x Q=，x A=0，∴Q．，可得（x Q，y Q﹣1）=﹣2（x P，y P﹣1），故P．=（x P，y P+1），=（x Q，y Q+1）．由⊥，可得：x P•x Q+（y P+1）•（y Q+1）=0，把点P，Q的坐标代入可得：•+•=0，解得k=，∴P．联立直线PQ与作半椭圆M可得：x2+=0，可得x P=﹣=﹣，解得a=，∴e===．21．（12分）已知函数f（x）=（mx2﹣x+m）e﹣x（m∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，证明：不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣[mx﹣（m+1）]（x﹣1）e﹣x，（1）m=0时，则f′（x）=（x﹣1）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）m＜0时，令f′（x）＜0，则1+＜x＜1，令f′（x）＞0，则x＜1+或x＞1，故f（x）在（﹣∞，1+]和（1，+∞）递增，在（1+，1）递减；（3）m＞0时，令f′（x）＜0，则x＜1或x＞1+，令f′（x）＞0，则1＜x＜1+，则f（x）在（﹣∞，1]和（1+，+∞）递减，在（1，1+）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，m＞0时，f（x）在（0，1]递减，在（1，1+）递增，x∈（0，1]时，f（x）=＜≤＜m≤，x∈（1，1+）时，f（x）＜f（1+）=（2m+1），=，下面证明（2≤，即证≥（1+）（2+），令g（x）=e x﹣x（x+1），x＞1，则g′（x）=e x﹣（2x+1），令h（x）=e x﹣（2x+1），x＞1，则h′（x）=e x﹣2＞0，故h（x）=g′（x）在（1+∞）递增，且g′（1）=e﹣3＜0，g′（）=﹣4＞0，故存在x0∈（1，），使得g′（x0）=0，即﹣（2x0+1）=0，故x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，x∈（x0，）时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，）递增，故g（x）min=g（x0）=﹣﹣x0=﹣+x0+1=﹣+＞0，x＞1时，g（x）＞0，即e x＞x（x+1），故≥（1+）（2+），∴不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠），点A，B（A 在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C 1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），普通方程为=1；曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1，直角坐标方程为xtanα﹣y﹣1=0；（2）C2的参数方程为（t为参数），代入=1，得﹣2t sinα=0，∴t1+t2=，t1t2=0，∴|AB|=||=||，∵0＜α＜π，且α≠，∴sinα∈（0，1），∴|AB|max=，此时B的坐标为（，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）m=1时，f（x）=|x+1|+|2x﹣1|，f（x）=，∴f（x）≥3，解得：x≤﹣1或x≥1；（2）f （x ）≤|+1|⇒|x +m |+|2x ﹣1|≤|x +1|，∵x ∈[m ，2m 2]且m ＞0， ∴x +≤|x +1|﹣|2x ﹣1|⇒m ≤2|x +1|﹣|2x ﹣1|﹣x ，令t （x ）=2|x +1|﹣|2x ﹣1|﹣x=， 由题意得⇒m ＞，t （x ）min =t （2m 2）≥m ⇒m ≤1， ∴＜m ≤1．赠送：初中数学几何模型举例 【模型四】几何最值模型：图形特征： PA Bl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为AB 的中点，F 为AC 上一动点，则EF +BF 的最小值为_________。
山西省太原市第五中学2017届高三第二次模拟考试(5月)
太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测高 三 数 学(理)出题人、校对人：张福兰、王彩凤、李小丽（2017年5月8日）一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1.已知全集R U =，}02{2<-=x x x A ，}1{≥=x x B ，则=)(B C A UA ．),0(+∞ B. )1,(-∞ C ．)2,(-∞ D ． （0,1） 2. 如果复数21iz =-+，则 A ．的共轭复数为1i + B ．的实部为1 C ．2z =D ．的虚部为1-3．假设有两个分类变量X 和Y 的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X 与Y 有关系的可能性最大的一组为 A ．a=45，c=15 B ．a=40，c=20 C ．a=35，c=25D ．a=30，c=304. 正项等比数列{}n a 中的14033,a a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则62017log a =A.1B.2C.12D. 1- 5.已知错误！未找到引用源。
是坐标原点，点错误！未找到引用源。
，若点错误！未找到引用源。
为平面区域122x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩错误！未找到引用源。
上一个动点，则错误！未找到引用源。
的最大值为A.3B.2C.1D.0 6.我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数RAND 是产生随机数的函数，它能随机产生()01，内的任何一个实数）．若输出的结果为521，则由此可估计π的近似值为A ．3.119B ．3.126C ．3.132D ．3.1517．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，且2AF BF =，则直线AB 的斜率为A ．．．- D ．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．5B ．163 C ．7 D ．1739.小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为 A ．60 B ．72C ．84D ．9610.将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向左平移π12个单位，再向上平移1个单位，得到()g x 的图像．若()()129g x g x =，且[]12,2π,2πx x ∈-，则122x x -的最大值为A ．π1249 B.35π6 C.25π6 D.17π411．已知双曲线Γ：)0,0(12222>>=-b a by a x 的焦距为2c ，直线:l y kx kc =-．若k =则l 与Γ的左、右两支各有一个交点；若k =l 与Γ的右支有两个不同的交点，则Γ的离心率的取值范围为 A ．(1,2)B ．(1,4)C ．(2,4)D ．(4,16)12.已知函数()()()()221128122x x x f x e x x x -⎧--≤⎪=⎨-+->⎪⎩，如在区间()1 +∞，上存在()2n n ≥个不同的数123 n x x x x ，，，…，，使得比值()()()1212n nf x f x f x x x x ==…=成立，则n 的取值集合是A.{}2 3 4 5，，，B.{}2 3，C.{}2 3 5，，D.{}2 3 4，， 二、填空题（每小题5分,共20分）13．已知12⎛= ⎝⎭a ，()2cos ,2sin αα=b ，a 与b 的夹角为60︒，则2-=a b ___________．14.已知n y x x )2(2-+的展开式中各项系数的和为32，则展开式中25y x 的系数为 ．（用数字作答）15.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称．从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经错误！未找到引用源。
【配套K12】山西省太原市第五中学2017届高三数学第二次模拟考试试题 理(含解析)
太原五中2016-2017学年度第二学期阶段性检测高三数学(理)一、选择题（每小题5分,共60分,每小题只有一个正确答案）1. 已知全集，，，则A. B. C. D. （0,1）【答案】C【解析】由题意得，集合，，所以，所以，故选C.2. 如果复数，则A. 的共轭复数为B. 的实部为1C. D. 的虚部为【答案】D【解析】 ,因此的共轭复数为 ,实部为,虚部为,模为,选D. 点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为3. 假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表：对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为A. a=45，c=15B. a=40，c=20C. a=35，c=25D. a=30，c=30【答案】A结合选项计算可得A选项符合题意.本题选择A选项.4. 正项等比数列中的是函数的极值点，则A. 1B. 2C.D.【答案】C【解析】由函数的解析式可得：f′(x)=x2−8x+6，∵正项等比数列{a n}中的a1,a4033是函数f(x)的极值点，∴a1×a4033=6，∴，∴ .本题选择C选项.点睛：熟练掌握等比数列的一些性质可提高解题速度，历年高考对等比数列的性质考查较多，主要是考查“等积性”，题目“小而巧”且背景不断更新．解题时要善于类比并且要能正确区分等差、等比数列的性质，不要把两者的性质搞混．5. 已知是坐标原点，点，若点为平面区域上一个动点，则的最大值为A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】B【解析】由题意可得：，绘制不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点处取得最大值 .本题选择B选项.6. 我们可以用随机模拟的方法估计π的值，如图程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计π的近似值为A. 3.119B. 3.126C. 3.132D. 3.151【答案】B【解析】发生的概率为，当输出结果为时，，发生的概率为，所以，即故选B.7. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，且，则直线的斜率为A. B. C. 或 D.【答案】C【解析】由题意，知，则设直线的的方程为，代入抛物线消去，得．设，则①，②．因为，所以③．联立①②③解得，所以直线的斜率为，故选C．8. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. 5B.C.D.【答案】D【解析】几何体如下图，几何体为底面为直角梯形的直四棱柱，截去阴影表示的三棱锥，所以体积为 ,故选D.9. 小明跟父母、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排．若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同坐法的总数为A. 60B. 72C. 84D. 96【答案】C【解析】根据题意，可分三种情况讨论：①若小明的父母只有一人与小明相邻且父母不相邻时，先在其父母中选一人与小明相邻，有种情况，将小明与选出的家长看出一个整体，考虑其顺序种情况，当父母不相邻时，需要将爷爷奶奶进行全排列，将整体与另一个家长安排在空位中，有种安排方法，此时有种不同坐法；②若小明的父母的只有一人与小明相邻且父母相邻时，将父母及小明看成一个整体，小明在一端，有种情况，考虑父母之间的顺序，有种情况，则这个整体内部有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时有种不同坐法；③小明的父母都小明相邻，即小明在中间，父母在两边，将人看成一个整体，考虑父母的顺序，有种情况，将这个整体与爷爷奶奶进行全排列，有种情况，此时，共有种不同坐法；综上所述，共有种不同的坐法，故选C.点睛：本题考查了排列、组合的综合应用问题，关键是根据题意，认真审题，进行不重不漏的分类讨论，本题的解答中，分三种情况：①小明的父母中只有一个人与小明相邻且父母不相邻；②小明的父母有一个人与小明相邻且父母相邻；③小明的父母都与小明相邻，分别求解每一种情况的排法，即可得到答案。
山西省太原市高考数学二模试卷(理科)
2017年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知=（1+i）2（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D． +i2．已知全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）∪（3，+∞）B．{x|x＞3，x∈N} C．{4，8}D．[4，8] 3．已知=（2，1），=（﹣1，1），则在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．4．已知S n是等差数列a n的前n项和，且S3=2a1，则下列结论错误的是（）A．a4=0 B．S4=S3C．S7=0 D．a n是递减数列5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．6．执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．﹣D．07．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．9．已知实数x，y满足，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）A．3 B．5 C．6 D．810．已知双曲线﹣y2=1的右焦点是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m 与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．4 B．3C． D．211．已知f（x）=x2e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2， +）C．（，2）D．（+，+∞）12．已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0，]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知sin（﹣α）=﹣，0＜α＜π，则sin2α=．14．（2x+﹣1）5的展开式中常数项是．15．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A 在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．16．已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2，数列{b n}满足b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=log2a n（n∈N*），求数列{b n•c n}的前n项和T n．18．某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A 应如何抽奖．19．如图（1）在平面六边形ABCDEF ，四边形ABCD 是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，分别沿直线AD ，BC将△DEF ，△BCF 翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF ．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E 、F 、M 、N 四点共面； 结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个； 结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E ﹣AD ﹣B 和二面角F ﹣BC ﹣A 都是60°，求二面角A ﹣BE ﹣F 的余弦值．20．如图，曲线C 由左半椭圆M ：+=1（a ＞b ＞0，x ≤0）和圆N ：（x ﹣2）2+y 2=5在y 轴右侧的部分连接而成，A ，B 是M 与N 的公共点，点P ，Q （均异于点A ，B ）分别是M ，N 上的动点．（1）若|PQ |的最大值为4+，求半椭圆M 的方程；（2）若直线PQ 过点A ，且=﹣2，⊥，求半椭圆M 的离心率．21．已知函数f （x ）=（mx 2﹣x +m ）e ﹣x （m ∈R ）． （Ⅰ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅱ）当m ＞0时，证明：不等式f （x ）≤在（0，1+]上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．2017年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．已知=（1+i）2（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A．﹣﹣i B．﹣+i C．﹣i D． +i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，则答案可求．【解答】解：由=（1+i）2，得．∴．故选：B．2．已知全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}，则（∁U A）∩B=（）A．（﹣∞，0）∪（3，+∞）B．{x|x＞3，x∈N} C．{4，8}D．[4，8]【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】根据全集U及A求出A的补集，找出A补集与B的交集即可．【解答】解：全集U=R，A={0，1，2，3}，B={y|y=2x，x∈A}={1，2，4，8}，∴（∁U A）∩B={4，8}，故选：C3．已知=（2，1），=（﹣1，1），则在方向上的投影为（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据条件即可求出及的值，而在方向上的投影计算公式为，从而求出该投影的值．【解答】解：，；∴在方向上的投影为：．故选A．4．已知S n是等差数列a n的前n项和，且S3=2a1，则下列结论错误的是（）A．a4=0 B．S4=S3C．S7=0 D．a n是递减数列【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d．由S3=2a1，可得：a1+a2+a3═3a1+3d=2a1，可得a1=﹣3d．利用通项公式与求和公式即可判断出A，B，C的正误．由于无法判断d的正负，因此无法判断等差数列{a n}的单调性，即可判断出D的正误．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d．由S3=2a1，可得：a1+a2+a3═3a1+3d=2a1，可得a1=﹣3d．则a4=﹣3d+3d=0，S4=S3，S7==7a4=0，因此A，B，C正确．由于无法判断d的正负，因此无法判断等差数列{a n}的单调性，因此D错误．故选：D．5．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的概率为，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（）A．B．C．D．【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】求出四个全等的直角三角形的三边的关系，从而求出sinθ的值即可．【解答】解：在大正方形内随机取一点，这一点落在小正方形的概率为，不妨设大正方形面积为5，小正方形面积为1，∴大正方形边长为，小正方形的边长为1．∴四个全等的直角三角形的斜边的长是，较短的直角边的长是1，较长的直角边的长是2，故sinθ=，故选：B．6．执行如图的程序框图，则输出的S=（）A．B．C．﹣D．0【考点】EF：程序框图．【分析】模拟程序的运行，依次写出前几次循环得到的S，n的值，观察规律可知，S的取值以6为最小正周期循环，由于2017=336×6+1，可得：n=2018时不满足条件n≤2017，退出循环，输出S的值为．【解答】解：模拟程序的运行，可得S=0，n=1满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=2满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=3满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=4满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=5满足条件n≤2017，执行循环体，S=0，n=6满足条件n≤2017，执行循环体，S=0，n=7满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=8…观察规律可知，S的取值以6为最小正周期循环，由于2017=336×6+1，可得：n=2017时，满足条件n≤2017，执行循环体，S=，n=2018不满足条件n≤2017，退出循环，输出S的值为．故选：A．7．函数f（x）=的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】求出函数的定义域，得到函数的函数的对称轴，再取特殊值即可判断．【解答】解：f（x）=的定义域为（﹣∞，1）∪（1，+∞），且图象关于x=1对称，排除B，C，取特殊值，当x=时，f（x）=2ln＜0，故选：D8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知：该几何体是一个高h=1的三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC 的底AB=1，高CD=1，由此能求出该几何体的体积．【解答】解：由三视图知：该几何体是一个高h=1的三棱锥S﹣ABC，其中底面△ABC的底AB=1，高CD=1，∴该几何体的体积为V===．故选：D．9．已知实数x，y满足，则z=|2x﹣3y+4|的最大值为（）A．3 B．5 C．6 D．8【考点】7C：简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，画出2x﹣3y+4=0对应的直线，然后分类求出目标函数的最大值得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，在目标函数的上方并满足约束条件的区域使得目标函数为负数，故目标函数的绝对值是其相反数，由线性规划可知，目标函数最小值在A（1，4）处取得，（2x﹣3y+4）min=﹣6，故z max=|2x﹣3y+4|=6；由图可知，在目标函数的下方并满足约束条件的区域使得目标函数为正数，故目标函数的绝对值是其本身，由线性规划可知，目标函数最大值在B（2，1）处取得，（2x﹣3y+4）max=5，故z max=|2x﹣3y+4|=5．综上所述，目标函数的最大值为6．故选：C．10．已知双曲线﹣y2=1的右焦点是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，直线y=kx+m 与抛物线交于A，B两个不同的点，点M（2，2）是AB的中点，则△OAB（O为坐标原点）的面积是（）A．4 B．3C． D．2【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线方程的a，b，c，可得右焦点，即为抛物线的焦点，可得抛物线的方程，联立直线方程，可得x的二次方程，运用判别式大于0以及韦达定理和中点坐标公式，以及弦长公式求得AB的长，由点到直线的距离公式可得O 到AB的距离，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线﹣y2=1的a=，b=1，c==2，右焦点为（2，0），则抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（2，0），即有2=，解得p=4，即抛物线方程为y2=8x，联立直线y=kx+m，可得k2x2+（2km﹣8）x+m2=0，判别式△=（2km﹣8）2﹣4k2m2＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得x1+x2=，点M（2，2）是AB的中点，可得=4，且2=2k+m，解得k=2，m=﹣2．满足判别式大于0．即有x1+x2=4，x1x2=1，可得弦长AB=•=•=2，点O到直线2x﹣y﹣2=0的距离d==，则△OAB（O为坐标原点）的面积是d•|AB|=××2=2．故选：D．11．已知f（x）=x2e x，若函数g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，则实数k的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（2， +）C．（，2）D．（+，+∞）【考点】52：函数零点的判定定理．【分析】利用导数的性质判断f（x）的单调性和极值，得出方程f（x）=t的根的分布情况，从而得出关于t的方程t2﹣kt+1=0的根的分布情况，利用二次函数函数的性质列不等式求出k的范围．【解答】解：f′（x）=2xe x+x2e x=x（x+2）e x，令f′（x）=0，解得x=0或x=﹣2，∴当x＜﹣2或x＞0时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜0时，f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，∴当x=﹣2时，函数f（x）取得极大值f（﹣2）=，当x=0时，f（x）取得极小值f（0）=0．作出f（x）的大致函数图象如图所示：令f（x）=t，则当t=0或t＞时，关于x的方程f（x）=t只有1解；当t=时，关于x的方程f（x）=t有2解；当0＜t＜时，关于x的方程f（x）=t有3解．∵g（x）=f2（x）﹣kf（x）+1恰有四个零点，∴关于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）上有1解，在（，+∞）∪{0}上有1解，显然t=0不是方程t2﹣kt+1=0的解，∴关于t的方程t2﹣kt+1=0在（0，）和（，+∞）上各有1解，∴，解得k＞．故选D．12．已知函数f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0，]上单调递增，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]B．[，1]C．[0，+∞）D．[1，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数f（x）的导数，问题转化为a≥在[0，]恒成立，令g（x）=，x∈[0，]，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】解：f（x）=（2a﹣1）x﹣cos2x﹣a（sinx+cosx），f′（x）=2a﹣1+sin2x﹣a（cosx﹣sinx），若f（x）在[0，]递增，则f′（x）≥0在[0，]恒成立，即a≥在[0，]恒成立，令g（x）=，x∈[0，]，则g′（x）=，令g′（x）＞0，即sinx＞cosx，解得：x＞，令g′（x）＜0，即sinx＜cosx，解得：x＜，故g（x）在[0，）递减，在（，]递增，故g（x）max=g（0）或g（），而g（0）=1，g（）=，故a≥1，故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．已知sin（﹣α）=﹣，0＜α＜π，则sin2α=﹣．【考点】GS：二倍角的正弦．【分析】利用诱导公式、二倍角公式，求得sin2α的值．【解答】解：∵sin（﹣α）=cosα=﹣，0＜α＜π，∴sinα==，则sin2α=2sinαcosα=﹣，故答案为：﹣．14．（2x+﹣1）5的展开式中常数项是﹣161．【考点】DB：二项式系数的性质．=（﹣1）5﹣r.【分析】（2x+﹣1）5的展开式中通项公式：T r+1==2r﹣k x r﹣2k．令r﹣2k=0，即可得出．的通项公式：T k+1=（﹣1）5﹣r．【解答】解：（2x+﹣1）5的展开式中通项公式：T r+1==2r﹣k x r﹣2k．的通项公式：T k+1令r﹣2k=0，则k=0，r=0；k=1，r=2；k=2，r=4．因此常数项=+×2×+=﹣161．故答案为：﹣161．15．已知三棱锥A﹣BCD中，AB=AC=BC=2，BD=CD=，点E是BC的中点，点A 在平面BCD上的射影恰好为DE的中点，则该三棱锥外接球的表面积为．【考点】LG：球的体积和表面积；LR：球内接多面体．【分析】由题意，△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，点A在平面BCD 上的射影恰好为DE的中点，利用勾股定理，建立方程，求出三棱锥外接球的半径，即可得出结论．【解答】解：由题意，△BCD为等腰直角三角形，E是外接圆的圆心，点A在平面BCD上的射影恰好为DE的中点F，则BF==，∴AF==，设球心到平面BCD是距离为h，则1+h2=+（﹣h）2，∴h=，r==，∴该三棱锥外接球的表面积为=．故答案为．16．已知点O是△ABC的内心，∠BAC=30°，BC=1，则△BOC面积的最大值为cot52.5°．【考点】HP：正弦定理．【分析】根据三角形内角和定理求出∠ACB+∠ABC，求出∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），求出∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和定理求出∠BOC，由余弦定理，基本不等式可求OB•OC≤，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵∠BAC=30°，∴∠ABC+∠ACB=180°﹣30°=150°，∵点O是△ABC的内心，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=×150°=75°，∴∠BOC=180°﹣75°=105°．∵BC=1，∴由余弦定理可得：1=OB2+OC2﹣2•OB•OC•cos105°≥2OB•OC﹣2•OB•OC•cos105°，整理可得：OB•OC≤，=OB•OC•sin105°≤×sin105°=∴S△OBC==cot52.5°．故答案为：cot52.5°．三、解答题：本大题共5小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．17．已知数列{a n}的前n项和S n=2n+1﹣2，数列{b n}满足b n=a n+a n（n∈N*）．+1（1）求数列{b n}的通项公式；（2）若c n=log2a n（n∈N*），求数列{b n•c n}的前n项和T n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【分析】（1）当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，已知首项后可得数列{a n}的通项公式，代入b n=a n+a n+1得数列{b n}的通项公式；（2）由c n=log2a n求得数列{c n}的通项公式，进一步得到数列{b n•c n}的通项公式，再由错位相减法求得数列{b n•c n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n≥2时，则a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣2n+2=2n，当n=1时，a1=S1=22﹣2=4﹣2=2，满足a n=2n，故数列{a n}的通项公式为a n=2n，∴b n=a n+a n+1=2n+2n+1=3•2n；（2）c n=log2a n=，∴b n•c n=3n•2n．令R n=1•21+2•22+3•23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，则2R n=1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，∴==（1﹣n）•2n+1﹣2．∴．则．18．某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如下：1．抽奖方案有以下两种，方案a：从装有2个红球、3个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金30元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回甲袋中，方案b：从装有3个红球、2个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出2个球，若都是红球，则获得奖金15元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中．2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买100元，可根据方案a抽奖一次：满150元，可根据方案b抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为260元，则该顾客可以根据方案a抽奖两次或方案b抽奖一次或方案a、b各抽奖一次）．已知顾客A 在该商场购买商品的金额为350元．（1）若顾客A只选择方案a进行抽奖，求其所获奖金的期望值；（2）要使所获奖金的期望值最大，顾客A应如何抽奖．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】（1）顾客A只选择方案a进行抽奖，则其抽奖方式为按方案a抽奖三次，满足二项分布B（3，），由此能求出顾客A只选择方案a进行抽奖，其所获奖金的期望值．（2）按方案b一次抽中的概率P（B）==，假设①，顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，此时方案a的抽法满足二项分布B1～（2，），方案b的抽法满足二项分布B2～（1，），设所得奖金为w2，求出；假设②，顾客A按方案b抽奖两次，此时满足二项分布B～（2，），设所得奖金为w3，求出．由此能求出要使所获奖金的期望值最大，顾客A应按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．【解答】解：（1）顾客A只选择方案a进行抽奖，则其抽奖方式为按方案a抽奖三次，按方案a一次抽中的概率P（A）==，此时满足二项分布B（3，），设所得奖金为w1，则=，∴顾客A只选择方案a进行抽奖，其所获奖金的期望值为9元．（2）按方案b一次抽中的概率P（B）==，假设①，顾客A按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次，此时方案a的抽法满足二项分布B1～（2，），方案b的抽法满足二项分布B2～（1，），设所得奖金为w2，则==10.5，假设②，顾客A按方案b抽奖两次，此时满足二项分布B～（2，），设所得奖金为w3，∴=2×=9．∵，∴要使所获奖金的期望值最大，顾客A应按方案a抽奖两次，按方案b抽奖一次．19．如图（1）在平面六边形ABCDEF，四边形ABCD是矩形，且AB=4，BC=2，AE=DE=，BF=CF=，点M，N分别是AD，BC的中点，分别沿直线AD，BC 将△DEF，△BCF翻折成如图（2）的空间几何体ABCDEF．（1）利用下面的结论1或结论2，证明：E、F、M、N四点共面；结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个；结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个．（2）若二面角E﹣AD﹣B和二面角F﹣BC﹣A都是60°，求二面角A﹣BE﹣F的余弦值．【考点】MT：二面角的平面角及求法；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（1）分别连结MN、EM、FN，推导出AD⊥平面EMN，BC⊥平面FMN，由结论1得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．再由AD、BC⊂平面ABCD，MN⊂平面ABCD，利用结论2得到平面EMN和平面FMN重合，由此能证明E、F、M、N四点共面．（2）分别过点E、F作平面ABCD的垂线，分别交MN于点E′，F′，以E′为原点，在平面ABCD内过E′作MN的垂线为x轴，E′N为y轴，E′E为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣BE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）分别连结MN、EM、FN，则由题意知：①AD⊥MN，AD⊥EM，∵MN、EM⊂平面EMN，∴AD⊥平面EMN．②BC⊥MN，BC⊥FN，∵MN，FN⊂平面FMN，∴BC⊥平面FMN．由结论1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个，得到平面EMN和平面FMN都是唯一的．又∵AD、BC⊂平面ABCD，MN⊂平面ABCD，由结论2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个，得到过MN垂直于平面ABCD的面是唯一的，∴平面EMN和平面FMN重合，∴E、F、M、N四点共面．解：（2）分别过点E、F作平面ABCD的垂线，分别交MN于点E′，F′，则∠EME′=∠FNF′=60°，由题意可知：EM=1，FN=2，∴ME′=，EE′=，NF′=1，FF′=，E′F′=，，以E′为原点，在平面ABCD内过E′作MN的垂线为x轴，E′N为y轴，E′E为z轴，建立空间直角坐标系，则A（1，﹣，0），B（1，，0），E（0，0，），F（0，，），=（0，4，0），=（1，﹣），=（0，），=（1，，﹣），设平面ABE的法向量=（x，y，z），则，取z=2，得=（），设平面BEF的法向量=（a，b，c），则，取c=﹣5，得=（﹣6，，﹣5），∴cos＜＞==﹣，由图形知二面角A﹣BE﹣F是钝二面角，故二面角A﹣BE﹣F的余弦值为﹣．20．如图，曲线C由左半椭圆M： +=1（a＞b＞0，x≤0）和圆N：（x﹣2）2+y2=5在y轴右侧的部分连接而成，A，B是M与N的公共点，点P，Q（均异于点A，B）分别是M，N上的动点．（1）若|PQ|的最大值为4+，求半椭圆M的方程；（2）若直线PQ过点A，且=﹣2，⊥，求半椭圆M的离心率．【考点】KL：直线与椭圆的位置关系；K3：椭圆的标准方程．【分析】（1）A（0，1），B（0，﹣1），故b=1，|PQ|的最大值为4+=a+2+，解得a，即可得出．（2）设PQ方程：y=kx+1，与圆N的方程联立可得：（k2+1）x2+（2k﹣4）x=0，解得Q．根据，可得P．由⊥，可得：x P•x Q+（y P+1）•（y Q+1）=0，把点P，Q的坐标代入可得：解得k，即可得出．【解答】解：（1）A（0，1），B（0，﹣1），故b=1，|PQ|的最大值为4+=a+2+，解得a=2．∴半椭圆M的方程为： +y2=1（﹣2≤x≤0）．（2）设PQ方程：y=kx+1，与圆N的方程联立可得：（k2+1）x2+（2k﹣4）x=0，x A+x Q=，x A=0，∴Q．，可得（x Q，y Q﹣1）=﹣2（x P，y P﹣1），故P．=（x P，y P+1），=（x Q，y Q+1）．由⊥，可得：x P•x Q+（y P+1）•（y Q+1）=0，把点P，Q的坐标代入可得：•+•=0，解得k=，∴P．联立直线PQ与作半椭圆M可得：x2+=0，可得x P=﹣=﹣，解得a=，∴e===．21．已知函数f（x）=（mx2﹣x+m）e﹣x（m∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当m＞0时，证明：不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性，问题转化为≥（1+）（2+），令g（x）=e x﹣x （x+1），x＞1，则g′（x）=e x﹣（2x+1），令h（x）=e x﹣（2x+1），x＞1，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣[mx﹣（m+1）]（x﹣1）e﹣x，（1）m=0时，则f′（x）=（x﹣1）e﹣x，令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：x＜1，故f（x）在（﹣∞，1]递减，在（1，+∞）递增；（2）m＜0时，令f′（x）＜0，则1+＜x＜1，令f′（x）＞0，则x＜1+或x＞1，故f（x）在（﹣∞，1+]和（1，+∞）递增，在（1+，1）递减；（3）m＞0时，令f′（x）＜0，则x＜1或x＞1+，令f′（x）＞0，则1＜x＜1+，则f（x）在（﹣∞，1]和（1+，+∞）递减，在（1，1+）递增；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，m＞0时，f（x）在（0，1]递减，在（1，1+）递增，x∈（0，1]时，f（x）=＜≤＜m≤，x∈（1，1+）时，f（x）＜f（1+）=（2m+1），=，下面证明（2≤，即证≥（1+）（2+），令g（x）=e x﹣x（x+1），x＞1，则g′（x）=e x﹣（2x+1），令h（x）=e x﹣（2x+1），x＞1，则h′（x）=e x﹣2＞0，故h（x）=g′（x）在（1+∞）递增，且g′（1）=e﹣3＜0，g′（）=﹣4＞0，故存在x0∈（1，），使得g′（x0）=0，即﹣（2x0+1）=0，故x∈（1，x0）时，g′（x）＜0，x∈（x0，）时，g′（x）＞0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，）递增，故g（x）min=g（x0）=﹣﹣x0=﹣+x0+1=﹣+＞0，x＞1时，g（x）＞0，即e x＞x（x+1），故≥（1+）（2+），∴不等式f（x）≤在（0，1+]上恒成立．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1（α为常数，0＜α＜π，且α≠），点A，B（A在x轴下方）是曲线C1与C2的两个不同交点．（1）求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）求|AB|的最大值及此时点B的坐标．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用三种方程的转化方法，求曲线C1普通方程和C2的直角坐标方程；（2）C2的参数方程为（t为参数），代入=1，得﹣2tsinα=0，利用参数的意义，求|AB|的最大值及此时点B的坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（其中φ为参数），普通方程为=1；曲线C2的极坐标方程为ρ（tanα•cosθ﹣sinθ）=1，直角坐标方程为xtanα﹣y﹣1=0；（2）C2的参数方程为（t为参数），代入=1，得﹣2tsinα=0，∴t1+t2=，t1t2=0，∴|AB|=||=||，∵0＜α＜π，且α≠，∴sinα∈（0，1），∴|AB|max=，此时B的坐标为（，）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+m|+|2x﹣1|（m＞0）．（1）当m=1时，解不等式f（x）≥3；（2）当x∈[m，2m2]时，不等式f（x）≤|x+1|恒成立，求实数m的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】（1）求出f（x）的分段函数的形式，解不等式即可；（2）问题转化为m≤2|x+1|﹣|2x﹣1|﹣x，令t（x）=2|x+1|﹣|2x﹣1|﹣x，求出t（x）的最小值，求出m的范围即可．【解答】解：（1）m=1时，f（x）=|x+1|+|2x﹣1|，f（x）=，∴f（x）≥3，解得：x≤﹣1或x≥1；（2）f（x）≤|+1|⇒|x+m|+|2x﹣1|≤|x+1|，∵x∈[m，2m2]且m＞0，∴x+≤|x+1|﹣|2x﹣1|⇒m≤2|x+1|﹣|2x﹣1|﹣x，令t（x）=2|x+1|﹣|2x﹣1|﹣x=，由题意得⇒m＞，t（x）min=t（2m2）≥m⇒m≤1，∴＜m≤1．2017年6月3日。
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k 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
B．（2， + ）
C．（ ，2）
D．（ + ，+∞）
12．（5 分）已知函数 f（x）＝（2a﹣1）x﹣ cos2x﹣a（sinx+cosx）在[0， ]上单调递增，
则实数 a 的取值范围为（ ）
A．（﹣∞， ]
B．[ ，1]
C．[0，+∞）
D．[1，+∞）
第 1 页（共 22 页）
A．
B．
7．（5 分）函数 f（x）＝
C．﹣ 的图象大致为（ ）
D．0
A．
B．
C．
D．
8．（5 分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（5 分）已知实数 x，y 满足
，则 z＝|2x﹣3y+4|的最大值为（ ）
A．3
B．5
C．6
第 2 页（共 22 页）
2．（5 分）已知全集 U＝R，A＝{0，1，2，3}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则（∁UA）∩B＝（ ）
A．（﹣∞，0）∪（3，+∞）
B．{x|x＞3，x∈N}
C．{4，8}
D．[4，8]
3．（5 分）已知 ＝（2，1）， ＝（﹣1，1），则 在 方向上的投影为（ ）
A．﹣
B．
C．﹣
D．
4．（5 分）已知 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，且 S3＝2a1，则下列结论错误的是（ ）
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21．（12 分）已知函数 f（x）＝（mx2﹣x+m）e﹣x（m∈R）． （Ⅰ）讨论 f（x）的单调性； （Ⅱ）当 m＞0 时，证明：不等式 f（x）≤ 在（0，1+ ]上恒成立．
[选修 4-4：坐标系与参数方程选讲] 22．（10 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
下：
1．抽奖方案有以下两种，方案 a：从装有 2 个红球、3 个白球（仅颜色不同）的甲袋中随机
摸出 2 个球，若都是红球，则获得奖金 30 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回
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甲袋中，方案 b：从装有 3 个红球、2 个白球（仅颜色相同）的乙袋中随机摸出 2 个球， 若都是红球，则获得奖金 15 元；否则，没有奖金，兑奖后将摸出的球放回乙袋中． 2．抽奖条件是，顾客购买商品的金额买 100 元，可根据方案 a 抽奖一次：满 150 元，可根 据方案 b 抽奖一次（例如某顾客购买商品的金额为 260 元，则该顾客可以根据方案 a 抽 奖两次或方案 b 抽奖一次或方案 a、b 各抽奖一次）．已知顾客 A 在该商场购买商品的金 额为 350 元． （1）若顾客 A 只选择方案 a 进行抽奖，求其所获奖金的期望值； （2）要使所获奖金的期望值最大，顾客 A 应如何抽奖． 19．（12 分）如图（1）在平面六边形 ABCDEF，四边形 ABCD 是矩形，且 AB＝4，BC＝2， AE＝DE＝ ，BF＝CF＝ ，点 M，N 分别是 AD，BC 的中点，分别沿直线 AD，BC 将△DEF，△BCF 翻折成如图（2）的空间几何体 ABCDEF． （1）利用下面的结论 1 或结论 2，证明：E、F、M、N 四点共面； 结论 1：过空间一点作已知直线的垂面，有且只有一个； 结论 2：过平面内一条直线作该平面的垂面，有且只有一个． （2）若二面角 E﹣AD﹣B 和二面角 F﹣BC﹣A 都是 60°，求二面角 A﹣BE﹣F 的余弦值．
2017 年山西省太原市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 32 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一个是符合题目要求的．
1．（5 分）已知 ＝（1+i）2（i 为虚数单位），则复数 z 的共轭复数为（ ）
A．﹣ ﹣ i
B．﹣ + i
C． ﹣ i
D． + i
A．a4＝0
B．S4＝S3
C．S7＝0
D．an 是递减数列
5．（5 分）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形（阴影部分）围成一个大正方形，
中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点落在小正方形的
概率为 ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）执行如图的程序框图，则输出的 S＝（ ）
D．8
10．（5 分）已知双曲线 ﹣y2＝1 的右焦点是抛物线 y2＝2px（p＞0）的焦点，直线 y＝kx+m
与抛物线交于 A，B 两个不同的点，点 M（2，2）是 AB 的中点，则△OAB（O 为坐标原
点）的面积是（ ）
A．4
B．3
C．D．2ຫໍສະໝຸດ 11．（5 分）已知 f（x）＝x2ex，若函数 g（x）＝f2（x）﹣kf（x）+1 恰有四个零点，则实数
点 A 在平面 BCD 上的射影恰好为 DE 的中点，则该三棱锥外接球的表面积为
．
16．（5 分）已知点 O 是△ABC 的内心，∠BAC＝30°，BC＝1，则△BOC 面积的最大值
为
．
三、解答题：本大题共 5 小题，共 48 分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程． 17．（12 分）已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n+1﹣2，数列{bn}满足 bn＝an+an+1（n∈N*）． （1）求数列{bn}的通项公式； （2）若 cn＝log2an（n∈N*），求数列{bn•cn}的前 n 项和 Tn． 18．（12 分）某商城举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖规则如
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）.
13．（5 分）已知 sin（ ﹣α）＝﹣ ，0＜α＜π，则 sin2α＝
．
14．（5 分）（2x+ ﹣1）5 的展开式中常数项是
．
15．（5 分）已知三棱锥 A﹣BCD 中，AB＝AC＝BC＝2，BD＝CD＝ ，点 E 是 BC 的中点，
20．（12 分）如图，曲线 C 由左半椭圆 M： + ＝1（a＞b＞0，x≤0）和圆 N：（x﹣2） 2+y2＝5 在 y 轴右侧的部分连接而成，A，B 是 M 与 N 的公共点，点 P，Q（均异于点 A， B）分别是 M，N 上的动点．
（1）若|PQ|的最大值为 4+ ，求半椭圆 M 的方程； （2）若直线 PQ 过点 A，且 ＝﹣2 ， ⊥ ，求半椭圆 M 的离心率．
（其中 φ 为参数），