数学分析与高等代数考研真题详解--浙江大学卷

校教师，硕博研究生报名参与本丛书的编写工作，他们在工作学习的过程中挤时间，编写审
稿严肃认真，不辞辛苦，这使我们看到了中国数学的推广和科研的进步，离不开这些默默无
闻的广大数学工作者，我们向他们表示最崇高的敬意！
国际数学大师陈省身先生提出：“要把中国建成 21 世纪的数学大国。”每年有上万名数
学专业的学生为了更好的深造而努力考研，但是过程是艰难的。我们为了给广大师生提供更
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博士家园 二零一零年二月
没有编配解答，很多同学感到复习时没有参照标准，所以本丛书挑选了重点名校数学专业的
试题，由众多编委共同编辑整理成书。在此感谢每一位提供试题的老师，同时感谢各个院校
的教师参与解答。以后我们会继续更新丛书，编入更新的试题及解答，希望您继续关注我们
的丛书系列。也欢迎您到博士家园数学专业网站参加学术讨论，了解考研考博，下载最新试
请给出反例。 二、（共 30％）
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博士家园系列内部资料
（A）（5％）设
f (x) =
x x
+ +
2 1
，数列
{xn
}
由如下递推公式定义：
x0
= 1 ， xn+1
=
f (xn ) ，
(n = 0 ，1， 2 ，
)
，求证：
lim
n→∞
x
n
=
2。
（B）（5％）求 lxi→m∞⎜⎜⎝⎛
cos
1 x
⎟⎟⎠⎞ x2
∴(αT Aβ )2 = (α TCTCβ )2 = (Cα ,Cβ )2 ≤ (Cα ,Cα )(Cβ ,Cβ ) = (αTCTCα )(β TCTCβ ) = (α T Aα )(β T Aβ )
由于上述不等式，等号成立时候当且仅当，存在数 k1, k2 ，使
k1Cα + k2Cβ = 0 ，即 k1α + k2β = 0 ，即α , β 线性相关
x→1
x−3
（B）（10％）给出一个一元函数 f ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之；
（C）（10％）设 f (x, y) 为二元函数，在 (x0 , y0 ) 附近有定义，试讨论“ f (x, y) 在 (x0 , y0 )
处可微”与“ f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 附近关于 x 、 y 的偏导数都存在”之间的关系，必要时，
同学节约时间进行复习，为了使辅导教师手头有更加详尽的辅导材料，我们从 2004 年开始
大量收集数学专业的考研真题，其中数学分析和高等代数两门专业基础课最为重要。有些试
题还很难收集或者购买，我们通过全新的写作模式，通过博士家园(),
这个互联网平台，征集到了最新最全面的专业试题，更为令人兴奋和鼓舞的是，有很多的高
八：证明：(1) 设 A 的特征多项式为 f (λ ) ， B 的特征多项式为 g (λ ) ，由于 A, B 无公共特
( 征值，从而 f (λ ), g (λ )) = 1，所以 f ( B) 可逆，由于 AX = XB ，故对于 ∀n ∈ ∗ ，均有
An X = XBn ，就有 f ( A) X = Xf ( B) ，所以 Xf ( B) = 0 ⇒ X = 0 ，
∫∫ （A）（10％）求第一型曲面积分 I =
dS
，其中 h ≠ R 。
x2 + y2 +z2 =R2 x 2 + y 2 + (z − h)2
（B）（10％）设 a 、 b 、 c 为三个实数，证明：方程 e x = ax 2 + bx + c 的根不超过三个。
四、（共 20％）
设 f n (x) = cos x + cos 2 x + + cos n x ，求证：
( ) (CF )T BCF = D, (CF )T ACF = En ，若取 S = F −1C−1 T ，则有
B = SST , A = SDST
六：证明： (1) 若 A的一个特征值 λ0 ，有 λ0 > 1，则此时
λ0En − A 为严格对角占优矩阵，即 λ0En − A 可逆，这与 λ0 为 A的特征值矛盾，从而， λ ≤1
( ) A( x − Ax) = A − A2 x = 0 ，从而可知 x − Ax ∈V1
即 x ∈V1 + V2 ，即 Pn ⊆ V1 + V2 ，任取 x ∈V1 ∩V2 ，所以 Ax = 0 ，
n
∑ 且存在 k1, , kn ，有 x = ki Aαi ，又 A2 = A ，从而可知 i =1
。
−1
（C）（5％）求 f (n) (0) ， (n = 0 ，1， 2 ， ) ， f (0) = 0 ， f (x) = e x2 （当 x ≠ 0 时）。
∫ （D）（5％）求不定积分 1+ x2 dx 。
∑∞
（E）（5％）证明：ς (x) =
1 在 (1, ∞) 上连续可微。
n=1 n x
三、（共 20％）
⎡⎣En − αα T ⎤⎦−1 = ⎡⎣En + αα T ⎤⎦
三：证明： (1) 由于存在 m 阶可逆矩阵 P1 和 n 阶可逆矩阵 P2 ，有 A = P1 [Em 0] P2 ，即
A = [P1
0] P2 = [Em
0]
⎡ ⎢ ⎣
P1 0
0 En−m
⎤ ⎥ ⎦
P2
，令
Q
=
⎡ P1
⎢ ⎣
0
0⎤
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x → x0
（C）解： （1）可微蕴含偏导数存在 设 f (x, y) 在 (x0 , y0 ) 处可微，即 f (x, y) 满足
f (x, y) − f (x0 , y0 ) = a(x − x0 ) + b( y − y0 ) + o(| x − x0 | + | y − y0 |) ， (x, y) → (x0 , y0 ) 。
所以 Α 是一个线性变换，
由于 A 和 − A 无公共特征根，即根据 (1) 的结论就有
AX = X (− A) 只有零解，即 AX + XA = 0 只有零解，从而 Α 可逆，即
Α 为一个可逆线性变换
浙江大学
二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析
一、（共 30％）
（A）（10％）用“ ε − δ 语言”证明 lim (x − 2)(x − 1) = 0 ；
n
n
∑ ∑ Ax = ki A2αi = ki Aαi = x ，从而 x = 0 ，即V1 ∩V2 = {0} ，所以
i =1
i =1
Pn = V1 ⊕ V2
五：证明：由于 B 正定，则存在可逆矩阵 C 有 CT BC = En ，又由于 A 对称，从而
CT AC 也对称，即存在正交矩阵 F ，使 FT CT ACF = diag {λ1, , λn} = D ，即
，
lim
x → x0
R(
x)
=
0
。
事实上，对任意正数 ε > 0 ，只有有限个正整数 q 满足1/ q > ε ，又 p / q < 1 ，故在[0,1) 上
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博士家园系列内部资料
满足 R(x) > ε 的点只有有限个，设为 x1 ， x2 ， ...， xs 。
令δ = min{| x1 − x0 |,| x2 − x0 |,...,| xs − x0 |} ，则当| x − x0 |< δ 时，必有 R(x) ≤ ε ，这就证 明了 lim R(x) = 0 。
(2) ，令 x = [1
1 1]T ，则
⎡n ⎤
∑∑ Ax
=
⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
i =1 n i =1
a1i ani
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥⎦
=
⎡1⎤ ⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎣1⎥⎦
=
x
=
λ0
x
，从而
λ0
为
A的一个特征值
七：证明：由于 A正定，从而，存在可逆矩阵 C 有， A = CT C ，
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即 AX = XB 只有零解；
(2) ∀x, y ∈ n×n , k ∈ ，由
Α( x + y) = A( x + y) + ( x + y) A = Ax + xA + Ay + yA = Αx + Αy
A(kx) = A(kx) + (kx) A = kAx + kxA = k ( Ax + xA) = kΑx
（A）（10％）对任意自然数 n ，方程 f n (x) = 1在[0,π / 3) 内有且仅有一个正根；
（B）（10％）设 xn
∈ [0,1/ 3) 是
fn (x)
=
1
的根，则
lim
n→∞
xn
=π
/3。
浙江大学二〇〇二年攻读硕士研究生入学考试试题
数学分析解答
一、（A）证明： ∀ε > 0 ，取δ = min{ε ,1} ，则当| x −1|< δ 时，| x − 2 | × | x −1|< 2δ ≤ ε 。