锐角三角函数知识点总结与复习

锐角三角函数知识点总结与复习~1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：—~3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。

)A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A邻边A直角三角形中 的边角关系解直角三角形4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。

7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α随α的增大而减小。

一、知识性专题专题1：锐角三角函数的定义?例 1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是( )A ．sin A B ．tan A ＝12C ．cos BD ．tan B分析 sin A ＝BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ，cos B ＝BCAB ＝12．故选D.例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝35,则tan A 等于 ； 分析 在Rt △ABC中，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，由定义可知tan A ＝4433BC k AC k ==． 分析 在Rt △ABC 中，BC 3，∴sin A ＝35BC AB =．故填35．例3（12·哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB 的值是 ；A90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=54. 例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ；【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝CDAC ＝210＝5．例5 ( 2012宁波)，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=23 ,则BC 的长为 ； 【解析】cosB=BC AB =23 ，又∵AB=6∴BC=4例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=BCAC=的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30◦= ；（2）如图，已知tanA=43，其中∠A 为锐角，试求ctanA [的值．【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30◦。

（2）由tanA=43，为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 的值．【解析】（1）设BC=1, ∵α=30◦ ∴AB=2∴由勾股定理得：AC=3ctan30◦=BCAC=3(2) ∵tanA=43∴设BC=3 AC=4∴ctanA=BC AC =34例7（2012山东滨州）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A ．不变B ．缩小为原来的13C ．扩大为原来的3倍D ．不能确定 【解析】因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A 的大小没改变，所以锐角A 的正弦函数值也不变．【答案】选A ．CBAD%B A图422题图例8（2012湖南）观察下列等式%①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=．解析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．答案：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另外sin22（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如下图形，其中AB BE ⊥，EF BE ⊥，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能根据所测数据，求出A，B间距离的有哪组|【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB 的长为x，则BC=x tan ACB ∠，BD=x tan ADB ∠，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则DE BD EF AB =，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组【点评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．例10（2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．【解析】要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则BM=DM=2 2，易得：DN=10 10，设A C D EF ` FPM=x ，则PD=22-x ，由△DNP ∽△BMP ，得：PN DN PM BM =，即101022PN x =，∴PN=55x ，由DN 2+PN 2=PD 2，得：110+15x 2=(22-x)2，解得：x 1=24，x 2=2（舍去），∴tan ∠APD=2224BM PM ==2．例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，BC=5，CD=3，则tanC 等于 ．？分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD 的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△BCD 是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．解答：解：连接BD ．∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD是直角三角形．∴tanC= 43例12（2011山东日照）在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=ab．则下列关系式中不成立的是（ ）A ．tanA•cotA=1B ．sinA=tanA•cosAC ．cosA=cotA•sinAD ．tan 2A+cot 2A=1解答：解：根据锐角三角函数的定义，得 A 、tanA•cotA=a b b a ⋅=1，关系式成立；B 、sinA=c a ，tanA•cosA=cac b b a =⋅，关系式成立； 】C 、cosA=，cotA•sinA=c b a b c a =⋅，关系式成立；D 、tan 2A+cot 2A=（ba）2+（a b ）2≠1，关系式不成立．故选D ．点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的比，即tanA=BAcossin或sinA=tanA•cosA．（3）正切之间的关系：tanA•tanB=1．例13（2011•贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，则tan∠CAD的值是．解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC===2，∴tan∠CAD===2．故选A．例14（2011烟台）如果△ABC中，sin A=cos B=2，则下列最确切的结论是（）A. △ABC是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形解：∵sinA=cosB=2，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．例15（2011四川）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）A、330sin602sin x︒︒<<B、3cos302x︒︒<<cos45；C、3tan302x︒︒<<tan45D、3cot4502x︒︒<<cot3解答：故选D．同步练习1（2011甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为．解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD中，tanB= CD：BD= 13，∴tan B′=tan B=13．2（2011甘肃兰州）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是．解：∵sin60°=32，cos60°=12，∴点M（－32，12）．∵点P（m，n）关于x轴对称A BC，点的坐标P′（m，-n），∴M关于x 轴的对称点的坐标是（－32，－12）．故选B．3（2011广东）已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）A、sinA=cosAB、sinA＞cosAC、sinA＞tanAD、sinA＜cosA解答：解：∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA，故选：B．!4、（2011•宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=33，则边BC的长为．cm解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=BCAC，又AC=30cm，tan ∠BAC=33，则BC=ACtan∠BAC=30×33=103cm．故选C．5、（2011福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，∴tan∠AFE=tan∠DCF=DFDC=34．`6、（2012连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A 落在BC上的点F处，这样就可以求出°的角的正切值是．ECDA BF【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE 中，用勾股定理求出AE=EF=2x,于是BF=（2+1）x.在直角三角形ABF 中，tan ∠FAB=(21)BF xAB +==2+1=°.选B 。