锐角三角函数知识点总结与复习

锐角三角函数知识点总结与复习

~

1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：

—

~

3

、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正

弦值。

)

A 90

B 90∠-?=∠?

=∠+∠得由B A

邻边A

直角三角形中 的边角关系

解直角三角形

4

、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。

5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)

6、正弦、余弦的增减性：

当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。 7、正切、余切的增减性：当

0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，cot α

随α的增大而减小。

一、知识性专题

专题1：锐角三角函数的定义

?

例 1 在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝1，AB ＝2，则下列结论正确的是

( )A ．sin A B ．tan A ＝1

2

C ．cos B

D ．tan B

分析 sin A ＝

BC AB ＝12，tan A ＝BC AC ，cos B ＝BC

AB ＝12．故选D.

例2 在△ABC 中，∠C ＝90°，cos A ＝3

5

,则tan A 等于 ； 分析 在Rt △ABC

中，设AC ＝3k ，AB ＝5k ，则BC ＝4k ，由定义可知tan A ＝

44

33

BC k AC k ==． 分析 在Rt △ABC 中，BC 3，∴sin A ＝

3

5

BC AB =．故填35．

例3（12·哈尔滨）在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=4，AB=5，则sinB 的值是 ；

A

90B 90∠-?=∠?=∠+∠得由B A

【解析】本题考查了锐角三角函数的意义．解题思路：在直角三角形中，锐角的正弦等于对边比邻边，故sinB=

5

4. 例4（2012内江）如图4所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则sinA 的值为 ；

【解析】欲求sinA ，需先寻找∠A 所在的直角三角形，而图形中∠A 所在的△ABC 并不是直角三角形，所以需要作高．观察格点图形发现连接CD （如下图所示），恰好可证得CD ⊥AB ，于是有sinA ＝

CD

AC ＝210

＝5．

例5 ( 2012宁波)，Rt △ABC,∠C=900,AB=6,cosB=2

3 ,则BC 的长为 ； 【解析】cosB=BC AB =2

3 ，又∵AB=6∴BC=4

例6（2012贵州铜仁）如图，定义：在直角三角形ABC 中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctan α, 即ctan α=BC

AC

=

的对边角的邻边角αα，根据上述角的余切定义，解下列问题：（1）ctan30?= ；

（2）如图，已知tanA=

4

3

，其中∠A 为锐角，试求ctanA [

的值．

【分析】（1）可先设最小边长为一个特殊数（这样做是为了计算方便），然后在计算出其它边长，根据余切定义进而求出ctan30?。

（2）由tanA=

43

，

为了计算方便，可以设BC=3 AC=4根据余切定义就可以求出ctanA 的值．【解析】（1）设BC=1, ∵α=30? ∴AB=2∴由勾股定理得：AC=3ctan30?=BC

AC

=3(2) ∵tanA=43

∴设BC=3 AC=4∴ctanA=

BC AC =3

4

例7（2012山东滨州）把△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A 的正弦函数值（ ）A ．不变B ．缩小为原来的

1

3

C ．扩大为原来的3倍

D ．不能确定 【解析】因为△ABC 三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A 的大小没改变，所以锐角A 的正弦函数值也不变．【答案】选A ．

C

B

A

D

%

B A

图4

22题图

例8（2012湖南）观察下列等式

%

①sin30°=cos60°=②sin45°=cos=45°=③sin60°=cos30°=

根据上述规律，计算sin2a+sin2（90°﹣a）=．解析：根据①②③可得出规律，即sin2a+sin2（90°﹣a）=1，继而可得出答案．答案：解：由题意得，sin230°+sin2（90°﹣30°）=1；sin245°+sin2（90°﹣45°）=1；

sin260°+sin2（90°﹣60°）=1；故可得sin2a+sin2（90°﹣a）=1．故答案为：1．点评：此题考查了互余两角的三角函数的关系，属于规律型题目，注意根据题意总结，另

外sin22（90°﹣a）=1是个恒等式，同学们可以记住并直接运用．

例9 (2012山东德州)为了测量被池塘隔开的A，B两点之间的距离，根据实际情况，作出如

下图形，其中AB BE ⊥，EF BE ⊥，AF交BE于D，C在BD上．有四位同学分别测量出以下四组数据：①BC，∠ACB；②CD，∠ACB，∠ADB；③EF，DE，BD；④DE，DC，BC．能

根据所测数据，求出A，B间距离的有哪组|

【解析】对于①，可由公式AB=BC×tan∠ACB求出A、B两点间的距离；对于②，可设AB 的长为x，则BC=

x tan ACB ∠

，BD=

x tan ADB ∠

，BD-BC=CD，可解出AB．对于③，易知△DEF∽△DBA，则

DE BD EF AB =，可求出AB的长；对于④无法求得，故有①、②、③三组【点

评】此题考查解直角三角形和三角形相似的性质与判定．在直角三角形中至少要有已知一边和一角才能求出其他未知元素；判定两三角形相似的方法有：AA，SAS，SSS，两直角三角形相似的判定还有HL．例10（2012江苏泰州18）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是．

【解析】要求tan∠APD的值，只要将∠APD放在直角三角形中，故过B作CD的垂线，然后利用勾股定理计算出线段的长度，最后利用正切的定义计算出结果即可．

【答案】作BM⊥CD，DN⊥AB垂足分别为M、N，则BM=DM=

2 2

，易得：DN=

10 10

，设A C D E

F ` F

PM=x ，则PD=22-x ，由△DNP ∽△BMP ，得：PN DN PM BM =，即10

102

2

PN x =，∴PN=

5

5x ，由DN 2+PN 2=PD 2，得：

110+15x 2=(22-x)2，解得：x 1=24

，x 2=2（舍去），∴tan ∠APD=2

22

4

BM PM ==2．

例11. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分別是AB 、AD 的中点，若EF=2，

BC=5，CD=3，则tanC 等于 ．

？

分析：根据三角形的中位线定理即可求得BD 的长，然后根据勾股定理的逆定理即可证得△

BCD 是直角三角形，然后根据正切函数的定义即可求解．

解答：解：连接BD ．∵E 、F 分別是AB 、AD 的中点．∴BD=2EF=4∵BC=5，CD=3∴△BCD

是直角三角形．∴tanC= 4

3

例12（2011山东日照）在Rt △ABC 中，∠C=90°，把∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA=

a

b

．则下列关系式中不成立的是（ ）

A ．tanA?cotA=1

B ．sinA=tanA?cosA

C ．cosA=cotA?sinA

D ．tan 2A+cot 2A=1

解答：解：根据锐角三角函数的定义，得 A 、tanA?cotA=

a b b a ?=1，关系式成立；B 、sinA=c a ，tanA?cosA=c

a

c b b a =?，关系式成立； 】

C 、cosA=，cotA?sinA=

c b a b c a =?，关系式成立；D 、tan 2A+cot 2A=（b

a

）2+（a b ）2≠1，关

系式不成立．故选D ．点评：本题考查了同角三角函数的关系．（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=1

（2）正余弦与正切之间的关系（积的关系）：一个角的正切值等于这个角的正弦与余弦的

比，即tanA=

B

A

cos

sin

或sinA=tanA?cosA．（3）正切之间的关系：tanA?tanB=1．

例13（2011?贵港）如图所示，在△ABC中，∠C=90°，AD是BC边上的中线，BD=4，AD=2，

则tan∠CAD的值是．

解答：解：∵AD是BC边上的中线，BD=4，∴CD=BD=4，在Rt△ACD中，AC===2，∴tan∠CAD===2．故选A．

例14（2011烟台）如果△ABC中，sin A=cos B=2

，则下列最确切的结论是（）A. △ABC

是直角三角形 B. △ABC是等腰三角形C. △ABC是等腰直角三角形D. △ABC是锐角三角形

解：∵sinA=cosB=2

，∴∠A=∠B=45°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选C．

例15（2011四川）如图所示，在数轴上点A所表示的数x的范围是（）

A、3

30sin60

2

sin x

??

<

3

cos30

2

x

??

<

；

C、3

tan30

2

x

??

<

3

cot450

2

x

??

<

解答：故选D．

同步练习1（2011甘肃）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕着

点A逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为．

解答：解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．根据旋转性质可知，∠B′=∠B．在Rt△BCD

中，tanB= CD：BD= 1

3

，∴tan B′=tan B=

1

3

．

2（2011甘肃兰州）点M（－sin60°，cos60°）关于x轴对称的点的坐标是．

解：∵sin60°=

3

2

，cos60°=

1

2

，∴点M（－

3

2

，

1

2

）．∵点P（m，n）关于x轴对称

A B

C

，

点的坐标P′（m，-n），∴M关于x 轴的对称点的坐标是（－

3

2

，－

1

2

）．故选B．

3（2011广东）已知：45°＜A＜90°，则下列各式成立的是（）

A、sinA=cosA

B、sinA＞cosA

C、sinA＞tanA

D、sinA＜cosA

解答：解：∵45°＜A＜90°，∴根据sin45°=cos45°，sinA随角度的增大而增大，cosA随角度的增大而减小，当∠A＞45°时，sinA＞cosA，故选：B．

!

4、（2011?宜昌）教学用直角三角板，边AC=30cm，∠C=90°，tan∠BAC=

3

3

，则边BC的长为．cm

解：在直角三角形ABC中，根据三角函数定义可知：tan∠BAC=

BC

AC

，又AC=30cm，tan ∠BAC=

3

3

，则BC=ACtan∠BAC=30×

3

3

=103cm．故选C．

5、（2011福建莆田）如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，

使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠B=∠D=90°，CD=AB=4，AD=BC=5，由题意得：∠EFC=∠B=90°，CF=BC=5，∴∠AFE+∠DFC=90°，∠DFC+∠FCD=90°，∴∠DCF=∠AFE，∵在Rt△DCF中，CF=5，CD=4，∴DF=3，

∴tan∠AFE=tan∠DCF=

DF

DC

=

3

4

．

`

6、（2012连云港）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A 落在BC上的点F处，这样就可以求出°的角的正切值是．

E

C

D

A B

F

【答案】设AB=x,则BE=x,在直角三角形ABE 中，用勾股定理求出AE=EF=2x,于是BF=

（2+1）x.在直角三角形ABF 中，tan ∠FAB=

(21)BF x

AB +==2+1=°.选B 。 7、（2012福州）如图15，已知△ABC ，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC 的平分线BD 交AC

于点D ，则AD 的长是 ，cosA 的值是 .（结果保留根号） 解析：由已知条件，可知△BDC 、△ADB 是等腰三角形，且DA=DB=BC ，可证△BDC ∽△ABC ，则有

BC DC AC BC =，设BC=x ，则DC=1-x ，因此21,101x x

x x x -=+-=即，解方程得，

125151,22x x ---=

=（不合题意，舍去），即AD=51

-；又cosA=51

25151

22

AB AD

-=

==

--?

答案：5151,24-+ 8、（2012南京）如图，将45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合.OB 与尺上沿的交点B 在尺上的读书恰为2厘米，若按

相同的方式将37°的∠AOC 放置在该刻度尺上，则OC 与尺上沿的交点C 在尺上的读数为 厘米.（结果精确到厘米，参考数据sin370≈,cos370≈,tan370≈） $

解析：由于∠AOB=45°，B 点读书为2厘米，则直尺的宽

为2厘米，解直角三角形得点C 的读数为2÷tan370≈2÷

≈厘米.答案： 9、（2012·湖南张家界）黄岩岛是我国南海上的一个岛屿，其平面图如图甲所示，小明据此构造出该岛的一个数学模型如图乙所示，其中∠A=∠D=90°，AB=BC=15千米，CD=23千米，请据此解答如下问题：（1） 求该岛的周长和面积（结果保留整数，参考数据2≈

73.13≈

45.26≈）（2） 求∠ACD 的余弦值.

【解答】（1）结AC ，∵AB=BC=15千米，∠B=90°，

∴∠BAC=∠ACB=45°，AC=152千米. 又∵∠D=90°，

A C

B

C

B A O 4

321

∴AD=

2222)23()215(-=-CD AC =123（千米）

∴周长=AB+BC+CD+DA=30+32+123=30++≈55（千米）. 面积=S △ABC +S △ADC =

21×15×15+21×123×32=2

225+186≈157（平方千米）. （2）cos ∠ACD=

5

121523==AC CD . ·

10、（2012甘肃兰州）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度。如图（1），虚线为楼梯的倾斜度，斜度线与地面的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角越小，楼梯的安全程度

越高；如图（2），设计者为了提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由d 1增加到d 2 ，已知d 1=4米，140θ∠=，236θ∠=，楼梯占用地板的长度增加了多少米（计算结果精确到米。参考数据：tan40°=，tan36°=）

解析：根据在Rt △ACB 中，AB=d 1tan θ1=4tan40°，在Rt △ADB 中，AB=d 2tan θ2=d 2tan36°，即可得出d 2的值，进而求出楼梯占用地板增加的长度．

解：由题意可知可得，∠ACB=∠θ1，∠ADB=∠θ2在Rt △ACB 中，AB=d 1tan θ1=4tan40°， 在Rt △ADB 中，AB=d 2tan θ2=d 2tan36°，得4tan40°=d 2tan36°，∴d 2=4tan 40

tan 36

≈，∴

d 2-d 1==≈，答：楼梯占用地板的长度增加了米．

【

d 2

11

、（2012贵州）为促进我市经济的快速发展，加快道路建设，某高速公路建设工程中需修

隧道AB，如图，在山外一点C测得BC距离为200m，∠CAB=54°，∠CBA=30°，求隧道AB

的长．（参考数据：sin54°≈，cos54°≈，tan54°≈，≈，精确到个位）

解析：首先过点C作CD⊥AB于D，然后在Rt△BCD中，利用三角函数的知识，求得BD，CD的长，继而在Rt△A 中，利用∠CAB的正切求得AD的长，继而求得答案．

答案：

解：过点C作CD⊥AB于D∵BC=200m，∠CBA=30°，

∴在Rt△BCD中，CD=BC=100m，BD=BC?cos30°=200×=100≈173（m），

@

∵∠CAB=54°，在Rt△ACD中，AD=≈≈74（m），

∴AB=AD+BD=173+74=247（m）．

答：隧道AB的长为247m．

12、（2011新疆建设兵团）如图，在△ABC中，∠A＝90°．（1）用尺规作图的方法，作

出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；

（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1．

解答：解：（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，作C1A⊥AB1，在AC1

上截取AC1＝AC，如图所示即是所求．（2）∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，∴AB1＝3，AC1

＝4，tan∠AB1C1＝

AC1

AB1＝

4

3．

)

专题2 特殊角的三角函数值

例1（2012，湖北孝感）计算：cos245°+tan30°·sin60°=________．【答案】1

例2（2012陕西）计算：(0

2cos45-38+1-2=

?　．

【解析】原式

2

=222+1=-52+1

?【答案】-52+1

例3(2012广安)计算：-

-

-)

3

2

(

2

18

cos45o+1

3-；

解析：

12()cos 45323----?+

=212323

+-+

1

例4 计算|－3|＋2cos 45°－

1)0．

…

解：原式＝3＋2

1

＋2． 例5 计算－12??

- ???

＋(－1)2007－cos 60°．

解：原式＝

12＋3＋(－1)－1

2

＝3－1＝2． 例6 计算|

|＋(cos 60°－tan 30°)0

＋1十＋

1． 例7 计算3

12-??

???－(π－0－|1－tan 60°|

.

解：原式＝8－1

1

2＝10.

。

例8（2012

呼和浩特）计算：

11

|12sin 45--+?

【解析】三角函数、绝对值、乘方

【答案】

11

|12sin 45--+

?

11)211232

=

+

=+=

例9（2011天水）计算：si n 230°+tan 44°tan 46°+si n 260°= ． 分析：根据特殊角的三角函数值计算．tanA ?tan （90°﹣A ）=1． 解答：解：原式=

14+1+3

4

=2．故答案为2． 例10（2011?莱芜）若a=3﹣tan60°，则1

9

6)121(2-+-÷--a a a a = 。33-

解

答

：

解

：

a=3

﹣

tan60°=3

﹣

3

，∴原式

=

2

3-a 1-a 121）（?---a a =31-a =33

3

13331-=-=--故答案为：33-． ；

练习1、（2011浙江）计算：|－1|1

82

5－π）0+4cos45°.

【解】原式=1－

1

2

21+4×222练习2、（2011浙江衢州）（1）计算：|﹣2|﹣（3﹣π）0+2c os45°； 解答：解：（1）原式=2

212-+，=12 练习3、计算：20110＋8－2sin45°； 原式＝1＋22－2＝1＋2；

练习3、观察下列各式：①sin 59°＞sin 28°；②0＜cos α＜1(α是锐角)；③tan 30°＋tan

60°＝tan 90°；④tan 44°＜1．其中成立的有 ( )

"

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

练习3、C[提示：sin 59°＞sin 28°成立，0＜cos α＜1(α是锐角)成立，tan 30°＋tan 6033tan 90°，tan 44°＜tan 45°，即tan 44°＜1．]

练习4、计算2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝ ．

练习5、如图28－146所示，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝1

3

，BC 10

则AB 的长为 ．

练习6、当x ＝sin 60°时，代数式2242x x x -+·22244x x x x +-+＋42x

x -的值

是 ．

练习7、已知cos 59°24′≈，则sin 30°36′≈ ．

（

练习8、若∠A ，∠B 互余，且tan A －tan B ＝2，则tan 2A ＋tan 2B ＝ ．

练习9、如图28－147所示，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，EC ＝1，

cos B ＝5

13

，则这个菱形的面积是 .

10．已知正方形ABCD 的边长为1，若将线段BD 绕着点B 旋转后，点D

落在DC 延长线上的点D ′处，则∠BAD ′的正弦值为 .

11．如图28－148所示，若将四根木条钉成的矩形木框变为平行四边形ABCD 的形状，并使

其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角等于 ．

12．在△ABC 中，∠B ＝30°，tan C ＝2，AB ＝2，则BC ＝ ． 13．设θ为锐角，且x 2＋3x ＋2sin θ＝0的两根之差为5．则θ＝ ．

14．如图28－149所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，点D 在BC 边上，BD ＝4，AD ＝BC ，

(

cos ∠ADC ＝3

5． (1)求DC 的长；(2)求sin B 的值．

练习4、2－3 [提示：2sin 30°－tan 60°＋tan 45°＝2×

1

2

－3＋1＝2－3.] 练习5、3＋3 [提示：过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，在Rt △BDC 中，tan B ＝13．∴1

3CD BD =，

∴BD ＝3CD ，∵BC ＝10，∴CD 2＋(3CD )2＝(10)2，∴CD ＝1，BD ＝3．在Rt △ADC 中，tan A ＝CD

AD

，∴AD ＝3，∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋3.]

练习6、．3[提示：∵2242x x x -+·22244x x x x +-+＋42x

x -＝2x ，∴原式＝2sin 60°＝3．]

练习7、[提示：sin 30°36′＝cos 59°24′．]

练习8、6[提示：∵∠A ，∠B 互余，∴tan A ·tan B ＝1，tan 2A ＋tan 2B ＝(tan A －tan B )2＋2tan A ·tan B ＝22＋2＝6．]

练习9、3916[提示：∵cos B ＝5

13

，设BE ＝5x ，则AB ＝13x ，∴AE ＝22AB BE -＝12x ．∵

AB ＝BC ＝BE ＋CE ，∴13x ＝5x ＋1，∴x ＝18，则AE ＝12x ＝12×18＝32，BC ＝5x ＋1＝5×

1

8＋1＝

13

8，∴S ＝32×138

＝3916．]

#

10．

5

[提示:如图28－155所示，根据题意得DD ′＝2DC ，设正方形的边长为x ，则AD ＝x ，DD ′＝2x ．∵∠ADD ′＝90°，根据勾股定理得AD ′＝22AD DD '+＝5x ．∵AD ＝x ，∴sin ∠AD ′D ＝

AD

AD '＝55x

=.∵AB ∥DD ′，∴∠BAD ′＝∠AD ′D ，∴sin ∠BAD ′＝

5

．] 11．30°[提示：如图28＝156所示，∵S ABCD ＝

1

2

S 矩形

BEFC ，且BC ＝BC (底相同)， ∴GC

＝

12FC ．∵CF ＝DC ，∴GC ＝12DC ，12

CG DC =．∵∠DGC ＝90°，sin 30°＝12，∴∠CDG ＝30°，

即这个平行四边形的一个最小内角为30°．]

12．1

2

＋3

13．30°[提示：x 1·x 2＝2sin θ，x 1＋x 2＝－3，则(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝9－8sin θ＝

(5)2，∴sin θ＝1

2，∴θ＝30°．]

14．解：(1)∵cos ∠ADC ＝3

5，∴设CD ＝3x ，则AD ＝5x ，AC ＝4x ，∴BC ＝AD ＝5x ．∵BD ＝

BC －CD ，∴5x －3x ＝4，∴x ＝2，∴CD ＝3x ＝6． (2)∵AC ＝4x ＝8，BC ＝5x ＝10，∴AB ＝

2222810241AC BC +=+=，∴sin B ＝8441

41

241AC AB ==

． ★ 专题三：题型一俯角与仰角仰角：视线在水平线上方的角；

★ 俯角：视线在水平线下方的角。

仰角

铅垂线

水平线

视线

视线俯角

…

例1、（2012湖北襄阳）在一次数学活动中，李明利用一根拴有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测角仪，去测量学校内一座假山的高度CD ．如图5，已知李明距假山的水平距离BD 为12m ，他的眼睛距地面的高度为，李明的视线经过量角器零刻度线OA 和假山的最高点C ，此时，铅垂线OE 经过量角器的60°刻度线，则假山的高度为 m ．

【解析】如下图，过点A 作AF ⊥CD 于F ，则AF ＝BD ＝12m ，FD ＝AB ＝．再由OE ∥CF

可知∠C ＝∠AOE ＝60°．所以，在Rt △ACF 中，CF ＝tan 60AF

＝43，那么CD ＝CF ＋FD ＝(43

＋m ．

例2、（2012珠海）如图，水渠边有一棵大木瓜树，树干DO （不计粗细）上有两个木瓜A 、B （不计大小），树干垂直于地面，量得AB=2米，在水渠的对面与O 处于同一水平面的C 处测得木瓜A 的仰角为45°、木瓜B 的仰角为30°.求C 处到树干DO 的距离CO.（结果精确到1米）（参考数据：41.12,73.13≈≈）

A O B

E

)

F

图5 C

D B

&

E

第16题图

D B

A O

C

【解析】如图

,

根据题意,得∠COD ＝90°, ∠ACO ＝45°, ∠BCO ＝30°, AB ＝2,求CO.设CO 为x 米, 根据AO ＝CO,列方程,解得即可.

】

【答案】解:设CO 为x 米在Rt △BCO 中,tan30°＝

BO CO ,则BO ＝3

3

x

在Rt △ACO 中,AO ＝CO,得方程

3

x ＋2＝x 解得x ≈5.答: CO 长大约是5米. 例3、（2012江苏盐城）如图所示，当小华站立在镜子EF 前A 处时，他看自己的脚在镜中的像的俯角为450 ：如果小华向后退米到B 处，这时他看自己的脚在镜中的像的俯角为300 .求小华的眼睛到地面的距离。（结果精确到米，参考数据：3≈）. 【答案】设AC=BD=x ，在Rt △ACA 1中，∠AA 1C=450，∴AA 1=x ，在Rt △DBB 1中，BB 1=

tan30x

=3x ，又∵12BB 1-12AA 1=12,即12×3x -12x=12，解得：x=

31

2

+≈（米）． 例4、（2012山西）如图，为了开发利用海洋资源，某勘测飞机预测量一岛屿两端A ．B 的距离，飞机在距海平面垂直高度为100米的点C 处测得端点A 的俯角为60°，然后沿着平行于AB 的方向水平飞行了500米，在点D 测得端点B 的俯角为45°，求岛屿两端A ．B 的距离（结果精确到米，参考数据：

）

【解析】解：过点A 作AE ⊥CD 于点E ，过点B 作BF ⊥CD 于点F ， ∵AB ∥CD ，∴∠AEF=∠EFB=∠ABF=90°，∴四边形ABFE 为矩形．

！

∴AB=EF ，AE=BF ．由题意可知：AE=BF=100米，CD=500米．…2分

第24题图

在Rt △AEC 中，∠C=60°，AE=100米．∴CE===（米）． …4分在Rt △BFD

中，∠BDF=45°，BF=100． ∴DF=

=

=100（米）．…6分∴AB=EF=CD+DF ﹣CE=500+100﹣≈600﹣

×≈600﹣≈（米）． …8分答：岛屿两端A ．B 的距离为米．

例5、（2012呼和浩特22）如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高。某初三课外兴趣活动小组为了测量两建筑物的高，用自制测角仪在B 处测得D 点的仰角为α，在A 处测得D 点的仰角为β。已知甲、乙两建筑物之间的距离BC 为m 。请你通过计算用含α、β、m 的式子分别表示出甲、乙两建筑物的高度。

【答案】解：过点A 作AM ⊥CD 于M 在

Rt △BCD 中，tan α=CD BC ∴CD =BC ·tan α=m tan α在Rt △AMD 中，tan β=DM

AM

∴DM =AM ·tan β=m tan β∴AB =CD –DM =m (tan α–tan β)

/

例6、（2012湖北随州，20）在一次暑假旅游中，小亮在仙岛湖的游船上（A 处），测得湖

西岸的山峰太婆尖（C 处）和湖东岸的山峰老君岭（D 处）的仰角都是45°，游船向东航行100米后（B 处），测得太婆尖、老君岭的高度为多少米（3 1.732 ，结果精确到米）。

解析：设太婆尖高h 1米，老君岭高h 2米。可分别在直角三角形中利用正切值表示出水平线段的长度，再利用移动距离为AB=100米，可建立关于h 1、h 2的方程组，解这个方程组求得两山峰高度。

答案：设太婆尖高h 1米，老君岭高h 2米，依题意，有

F

E

第20题图

60

o

30

o

45

o

45

o

D (老君岭)

C （太婆尖）

B

A

β

α

乙

甲

A

D

B M C

?????

??

?=-=-10060tan 45tan 100

45tan 30tan 22

11

h h h h 1376.136)1732.1(50)13(5045tan 60tan 100

1≈=+=+=-=

h （米）

3

3

1100

30tan 45tan 1002-

=

-=

h 2376.236)732.13(50)33(50)13(350≈=+=+=+=（米）答：太婆尖高

度为137米，老君岭高度为237米。

题型二方位角问题1、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水

平角，叫做方位角。如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：45°、135°、225°。

、

2、指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。

如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角分别是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。

例1、（2011山东省潍坊）轮船从B 处以每小时海里的速度沿男偏东30°方向匀速航行，在B 处观测灯塔A 位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C 处，在观测灯塔A 北偏东60°方向上，则C 处与灯塔A 的距离是 ．海里

解答： BC=50×=25海里；根据方位角知识得，∠BCD=30°，=75°－30°；CB=∠BCD+∠ACD=30°+60°=90°；∠A=∠CBD=45°所以CA=CB 所以CB=25海里

例2、（2012年四川德阳）某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏

东30°方向，且相距20海里.客轮以60海里/小时的速度沿北偏西60°方向航行

3

2

小C.

5

5 时到达B 处，那么tan ∠ABP=A.

2

1

D.

5

5

2

【解析】如图6所示，根据题意可知∠APB=90°．且AP=20, PB=60×

2

3

=40. 所以tan∠ABP=

201

402

PA

PB

==

{

例3、（2012连云港）已知B港口位于A观测点北偏东°方向，且其到A观测点正北方向的距离BD的长为16km。一艘货轮从B港口以40km/h的速度沿如图所示的BC方向航行，15min 后到达C 处。现测得C处位于Ａ观测点北偏东°方向。求此时货轮与A观测点之间的距离AC的长（精确到）.(参考数据：°≈，°≈，°≈，°≈，°≈25

东

北

C

B

D

C

B

H

【解析】过点B作AC的垂线，把所求线段AC换为两线段的差。利用Rt△ABH和Rt△BCH 求线段AH、CH的长，利用AH－CH确定AC的长。

【答案】BC=40×

15

60

=10.在Rt△ADB中，sin∠DAB=

DB

AB

, °≈。所以AB=

DAB

DB

∠

sin

≈

1.6

0.8

=20.如图，过点B作BH⊥AC，交AC的延长线于H。在Rt△AHB中，∠BAH=∠DAC－

∠DAB=°―37°=°，tan∠BAH=BH

AH

,=

BH

AH

,AH =＋CH2=AB 2,BH 2+(2BH)2=2025所以

（第22题图）

A

P

B

°

{

AH=8

5，在Rt △AHB 中， BH 2＋CH 2=BC

2

，CH=

2108025-=所以

AC=AH―CH=85―25＝65≈.

例4、（2012四川攀枝花）如图6，我渔政310船在南海海面上沿正东方向匀速航行，在A 地观测到我渔船C 在东北方向上的我国某传统渔场．若渔政310船航向不变，航行半小时后到达B 处，此时观测到我渔船C 在北偏东30°方向上．问渔政310船再航行多久，离我渔船C 的距离最近（假设我渔船C 捕鱼时移动距离忽略不计，结果不取近似值．）

【答案】作CD ⊥AB 于D ，设BD =x ，∵∠BCD =30°，∴CD 3x ，因为∠CAD =45°，∴

AD =CD 3x ，AB 3–x 3x –x =，x =314，答：再航行31

4

小时，离渔船C 的距离最近。

；

例5、（2012山东东营）如图某天上午9时,向阳号轮船位于A 处，观测到某港口城市P 位于轮船的北偏西°，轮船以21海里/时的速度向正北方向行驶，下午2时该船到达B 处，这时观测到城市P 位于该船的南偏西°方向，求此时轮

船所处位置B 与城市P 的距离（参考数据：°≈35，°≈34，°≈1213，°≈12

5

）

【解析】过点P 作PC ⊥AB ，构造直角三角形，设PC=x 海里，

用含有x 的式子表示AC ，BC 的值，从而求出x 的值，再根据

三角函数值求出BP 的值即可解答．

【答案】过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ，设PC =x 海里．在Rt △APC 中，

∵tan ∠A =PC AC ，∴AC =5tan 67.512PC x

=?．在Rt △PCB 中，∵tan ∠B =PC BC ，∴BC =4tan 36.93x x =?．∵AC ＋BC =AB =21×5，∴

54215123

x x

+=?，解得60x =.∵sin PC B PB ∠=

，∴605

60100sin sin 36.93PC PB B ===?=∠?（海里）．∴向阳号轮船所处位置B 与城市P 的距离为100海里．

例6、（2012山东省青岛）如图，某校教学楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹

角是22°时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE；而当光线与地面夹角是45°时，

教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（B、F、C在一条直线上）

⑴求教学楼AB的高度；

！

⑵学校要在A、E之间挂一些彩旗，请你求出A、E之间的距离（结果保留整数）.

（参考数据：sin22°≈

3

8，cos22°≈

15

16，tan22°≈

2

5）

【答案】解：⑴过点E作EM⊥AB，垂足为M.设AB为x.

Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+13

在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB-BM=AB-CE=x-2，∴tan22°=

AM

ME，

x-2

x+13=

2

5，x=12.即教学楼的高12m.

;

⑵由（1）可得ME=BC=x+13=12+13=25.在Rt△AME中，cos22°=

ＭＥ

ＡＥ

，

∴ＡＥ＝

ＭＥ

ｃｏｓ２２°

≈

２５

１５

１６

≈２７．即ＡＥ之间的距离约为２７ｍ．

题型三、坡比是垂直高度与水平距离的比值，即是坡角的正切值应用举例：

坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i

表示，即

h

i

l

=。坡度一般写成1:m的形式，如1:5

i=等。把

坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan

h

i

l

α

==。

例1、(2012广安)如图2，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：3，堤坝高BC=50m，

则迎水坡面AB的长度是．m

:

i h l

=

h

l

α