高等数学3 习题一答案详解
习题一答案
１（１）2x
≤ 解得[]2,2x ∈-
（２）()43343171,7x x x x -<⇒-<-<⇒<<∈即
()315151546x x x x x -≥⇒-≤--≥⇒≤-≥或或
(4)242,42426x x x x x ->⇒--->⇒<->或或
２
()(
)e
≠⇒１－
２
２
ｌｎｘｘ－４
１不相同，因为ｙ＝
的定义域为ｘ２而ｙ＝ｘ＋２定义域为Ｒｘ－２
１
２相同，因为ｙ＝＝ｅ
相同
()()2>04x ≠３不相同，因为ｙ＝２ｌｇx 定义域为x 0,而y=lgx 定义域为，定义域不同相同，因为两式的定义域都为R,且对应法则相同。
()()56不相同，因为定义域不同。
相同，因为定义域和法则相同。
(
)()()[]22315052030[3,0]113arcsin
112,433
y x x x x x x x x x x
y x ⎡=-≥⇒≤⇒∈⎣≥-≠⇒≥<∈---=⇒-≤≤⇒∈-令依题有x=30且且即
()()()()10
20
24
14024lg
arcsin 011,2323
5{[1,2](2,4)
632012(,,1)(2,)72003(2,3]
x x x x x x x x x x y x x x U x x x x x U x x x -≥-≠≠<≥->=+>-≤≤∈--⇒⇒∈-+>⇒<>⇒∈-∞∞-<≤<≤⇒∈-则有且两式取交集得x [1,2)U(2,3]根据题意得{令或依题意得且
()()()281011111
2)[,1].22
x x x a a x ≤≤∈≤≤⇒-≤≤⇒≤≤≤≤⇒∈∈-∈∅
依题意得x<0,0x 1,三式取并集得x R 4令定义域[-1,1]
依题意得0x-a 1且0x+a 1若a (0,则若>则
()()()()()()()()(
)
)
()()()()()()()
()()
()()()()22sin sin sin 51,2log log 1011111
3,121221211
1114,111x x x x x x x x
x x x x
x
x
x x
x f x f x f x f x x x x
f x f x x
x f x f x x R
a a a f x f x f x f x a a a a R a a a f x f x f x a a a a -=
-==⇒=-⇒+-===⇒=--∈⇒++=+=-=+=⇒=------⇒---=-===-+++偶函数又奇函数
又定义域为奇函数
()()()()()()()()()()()()()()22500,1,1100,1,1101
611x R x x f x x f x x x x x f x x f x x x x x f x x f x x R x R f x x x f x x x ∈⇒>-<=+-=--=+<->=--=+-=-==-==-∈⇒∈⇒=-+-=++⇒⇒ 又原函数是奇函数
当时当时当时-x=0,f 综上f 且原函数是偶函数
由已知得而两式对应法则不同
原函数是非奇非偶函数
()()()()()21cos 211261sin cos 2,2222
1
2sin sin 2,sin ,sin 2,2,22
334cos 22,U V x y x x T y x x U x V x T T T y R x y x T π
πππππ-==
=-===+
====⇒==⇒=-⇒=设则原函数周期为定义域为，图像与轴平行，所以T 为任意实数。
是周期函数。
()()()()()()()()()(
)333
3
42
4
,0272,244,4684, 1.5,4,014, 1.53,44115,0391x x x x f x x x x x x x x x f e f f f e y -⎧⎫≤<⎪⎪⎪⎪==-≤<⎨⎬
⎪⎪-≤<⎪⎪⎩⎭
=-===⇒-====-===依题意在[0,2)内可得f 的图像，由此可得依题意把带入原式
(
)()()()()()3
3sin 221sin 2cos ,23
13,sin ,44arcsin 1,4arcsin ,,15,,sin 6ln sin ,ln ,,sin U x U y U x
y y U U V x y e U V V x
y x y U U V V x y x y x U x
y x y U U V V x
==-====+===
=-===-=======
()()()()2222
1111
10,111111f x f x f x f f x x x x x
=
⇒-====-⎡⎤⎣⎦---- ()()422111211f f x x x x ⎛⎫== ⎪ ⎪-+--⎝⎭
()()()()[]
22222211
11122
2sin cos 1222,1,12
t x x t f x x x x
x
t x t f x x x =++=-⇒=-==-⇒=-∈-设则设则
()()()()()()()()()()()()()()()()22
12100,,00,00,0,0200,000,00,0x f x x f f x f x x
x x o x f f x f f f x x x g x x g g x g x x g x g g x g g x >=>==⎡⎤⎣⎦>⎧⎫≤===∴=⎡⎤⎡⎤⎨⎬
⎣⎦⎣⎦≤⎩⎭>=-<=-=⎡⎤⎣⎦≤====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦当时当x 时,f 当时，当时综上f
()()()()()()()()()()()22
300,000,0000,00,0
x g x x f g x f x x g x f g x f x x f g x f f g x >=-<=-=⎡⎤⎣⎦
====⎡⎤⎣⎦<====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦当时当时当时g 综上有
()()()
2
2
222112122
131111x x x x f g x x x x +++--⎛⎫-=
=⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭++依题意有 ()()2lg 2sin ,lg ,2,sin 2sin 0,2lg 2sin 2sin 0a y x y U u V V x
x x R a y x x ==-==-=->⇒∈=-=----<⇒14当时此时有当时此时没有定义域此时不是复合函数
()()(
)[
]44
15114,111
222,020,222,23y x y x x x y x y x x y x y x x x ++-=+⇒=
⇒=≠--⎧⎫⎪⎪≤≤=≤≤∈=⎨⎬-<≤⎪⎪⎩⎭
由题得反函数为当时此时[
][]0,22232,4,2,(2,4]2x y x x y x y x ⎫
∈+⎪
<≤∈==⎨⎬+∈⎪
⎪⎩⎭
当时y 此时综上可得反函数
222161,1,4y ,[1,16)
,(,1]4,log ,[16,),[1,16)log ,[16,)x
x y x x y y x y x x y x x x x y y y x x x <==⇒<≤<==
∈∈-∞-⎧⎫⎪⎪≥=∈+∞=∈⎨⎬
⎪⎪∈+∞⎩⎭
当时当时当时y=2综上可得反函数。
同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)
解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y
y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解 正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
>>
<< >>
<<
练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3
高等数学(同济大学版)第三章练习(含答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、要求：1、罗尔定理，拉格朗日定理应用；2、洛必达法则；3、函数单调性、极值、最值、凹凸性、拐点的判断，函数图形的描绘；4、简单不等式证明；5、最值在实际问题中的应用。
二、练习1. 在区间 [ 1,1] 上满足罗尔定理条件的函数是 ().A.1 B.f ( x ) | x | C. f ( x) 1 x 2D. f ( x ) x22 x 1.f ( x)x 22. 函数 f ( x) arctan x 在 [ 0 ,1] 上满足拉格郎日中值定理的值是 ().A.4B.41C. 1D. 4.11 3.4设函数 f ( x ) ( x 1)( x2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是；.3. 设函数 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3)，则方程 f ( x )0 有个零点，这些零点所在的范围是.4. 函数 f ( x ) ln xx2在(0,) 内的零点的个数为.e5. 曲线6. 函数yxe x 的拐点 ，凹区间，凸区间.yln x1x 2的单调区间.7. 曲线 f ( x) e x的渐近线为.x 18. 计算：5 x 4x11(12（2） lim (cos x )（1） limx 1xx) （3） limtan 2 xx1xe 1x 0arctan x x(1 x 2 )1 / 31 ；1（ 4） lim ；（5） lim（6） lim (cscx ) ；x 0x ln(1 2 x 2 )xcosx1x 0x（ 7） lim x 3 (sin 11 sin2 ) ；（ ） lim (tanx )2 x；（ 9） limx；exx2x8x ln xx29. 证明 2 arctanxarcsin2 xx1 .21 x10. 证明方程x5x10 在区间( 1, 0)内有且只有一个实根.11. 证明多项式f x3 3 x a 在0,1上不可能有两个零点 .x12. 证明：当0x时， x sin x 22x13.证明：当x0时，1x2arctan x xx14. 设 f x32bx在 x 1 处有极值-2，试确定系数 a , b ，并求x axy f x 的所有极值点与拐点.15. 求内接于椭圆x2y2221 而面积最大的矩形的各边之长.a b16.由直线 y0,x8及抛物线 y x2围成一个曲边三角形 ,在曲边 y x2上求一点 , 使曲线在该点处的切线与直线y0 及 x 8 所围成的三角形面积最大.17.描绘 (1)y 3 x2，(2) y21的图形 .2( x1) ( x 1) 2( x 1)18.要做一个容积为 2 的密闭圆柱形罐头筒，问半径和筒高如何确定才能使所用材料最省？19．要造一个长方体无盖蓄水池，其容积为500 立方米，底面为正方形。
高等数学三教材答案
高等数学三教材答案第一章：极限与连续1. 极限的概念与性质在高等数学三教材中，极限是一个重要的概念。
极限的定义是：对于函数f(x)，当自变量x无限接近于某一特定值a时，函数的取值也无限接近于一个常数L。
极限有以下几个性质：- 唯一性：如果函数f(x)的极限存在且值为L，那么L是唯一的。
- 有界性：如果函数f(x)的极限存在，那么函数f(x)在某个区间上有界。
- 保号性：如果函数f(x)的极限存在且值为L，那么当x足够接近a 时，函数f(x)和常数L有相同的符号。
2. 连续的概念与性质连续是高等数学三教材中另一个重要的概念。
函数f(x)在点a处连续的定义是：当x无限接近于a时，函数f(x)的极限等于f(a)。
连续函数有以下性质：- 有界性：在有限闭区间上连续的函数是有界的。
- 介值性：在有限闭区间上连续的函数取得介于最大值和最小值之间的任意值。
第二章：导数与微分1. 导数与微分的定义在高等数学三教材中，导数和微分是重要的概念。
函数f(x)在点x=a处的导数定义为：f'(a) = lim Δx→0 (f(a+Δx) - f(a))/Δx微分的定义是：dy = f'(x)dx2. 导数和微分的性质导数和微分具有以下性质：- 和差法则：(f(x) ± g(x))' = f'(x) ± g'(x)- 乘法法则：(f(x) * g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)- 链式法则：(f(g(x)))' = f'(g(x))g'(x)第三章：多元函数微分学1. 偏导数的定义与计算方法多元函数中的偏导数是在特定变量上求导的一种方法。
偏导数的定义是：对于函数f(x1, x2, ..., xn)，在变量xi上的偏导数表示为∂f/∂xi。
计算偏导数的方法是将其他变量视为常数，然后对指定变量求导。
高等数学第七版教材答案详解
高等数学第七版教材答案详解1. 课后习题答案1.1 第一章：函数与极限1.1.1 习题1解答1.1.2 习题2解答...1.2 第二章：导数与微分1.2.1 习题1解答1.2.2 习题2解答...1.3 第三章：微分中值定理与导数的应用1.3.1 习题1解答1.3.2 习题2解答...2. 课后思考题答案2.1 第一章：函数与极限2.1.1 思考题1解答2.1.2 思考题2解答...2.2 第二章：导数与微分2.2.1 思考题1解答2.2.2 思考题2解答...2.3 第三章：微分中值定理与导数的应用2.3.1 思考题1解答2.3.2 思考题2解答...3. 课后习题详解3.1 第一章：函数与极限3.1.1 习题1详解3.1.2 习题2详解...3.2 第二章：导数与微分3.2.1 习题1详解3.2.2 习题2详解...3.3 第三章：微分中值定理与导数的应用3.3.1 习题1详解3.3.2 习题2详解...在这篇文章中，我将给出《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
为了方便阅读，我将按章节划分答案，并提供习题和思考题的解答。
如果你在学习过程中遇到了困惑，希望这些答案能够帮助你更好地理解相关的数学概念和解题方法。
首先，我将给出每章节的课后习题答案。
在习题解答中，我将详细解释每个题目的解题思路和步骤，并给出最终答案。
你可以根据自己的需要，选择性地查看想要解答的习题。
接下来是课后思考题答案的解析。
这些思考题往往比较有挑战性，需要一定的思考和推导。
我将为每个思考题提供解答，希望能够帮助你在思考和解决问题时找到正确的方向。
最后，我将给出课后习题的详细解析。
在这一部分中，我将逐题逐题地分析解题思路，并给出详细的步骤和推导过程。
通过仔细研究这些解析，你可以更好地理解每个题目的解法，并且提高自己的解题能力。
总之，在这篇文章中，我将为你提供《高等数学第七版》教材的习题答案和课后思考题答案的详细解析。
高等数学第三册教材答案
高等数学第三册教材答案第一章：函数与极限1. 函数的概念与性质2. 极限的概念与性质3. 数列极限4. 函数极限第二章：导数与微分1. 导数的概念与性质2. 基本导数公式3. 高阶导数4. 微分的概念与性质第三章：一元函数微分学1. 可导函数与连续函数的关系2. 导数的运算法则3. 高阶导数的应用4. 幂指函数的微分第四章：函数的积分学1. 定积分的意义与性质2. 不定积分3. 积分的运算法则4. 牛顿-莱布尼茨公式第五章：定积分的应用1. 几何应用2. 物理应用3. 统计应用4. 应用题解析技巧第六章：多元函数微分学1. 多元函数的极限与连续2. 偏导数与全微分3. 隐函数与参数方程的微分4. 多元函数的极值与条件极值第七章：多元函数积分学1. 二重积分的概念与性质2. 三重积分的概念与性质3. 曲线与曲面的积分4. 应用题解析技巧第八章：无穷级数1. 数项级数2. 幂级数3. 函数项级数4. 序列与函数项级数的收敛性第九章：常微分方程1. 方程与解的概念2. 一阶常微分方程3. 二阶常微分方程4. 齐次与非齐次常微分方程第十章：高级数学的应用1. 现实生活中的数学模型2. 数学在科学与工程中的应用3. 数学在经济学中的应用4. 数学在物理学中的应用以上是《高等数学第三册教材》的答案概述，涵盖了每个章节的主要内容和重点。
这些答案有助于学生巩固对每个主题的理解，并通过实际的应用题目来提高解题能力。
希望这份答案可以帮助你更好地掌握高等数学知识。
2019年数学三真题答案解析
x
2
f(x)dx=- 31 fJ I Cx)dx3=了1 x汀ex)
11 Io—了
I
x3 J'(x)dx,
CD
又八1) =『五了尸dt=O,J'(x)=./i丁了，代入CD 式：
扣 习l (1)- 3 0 xa 汇了-dx=-_3!__· 上4 『0 五言了dx4
＝飞1 ·32 Cl+x4 )23
11 1。飞(1-2迈）．
又xl-i十m立f ， (x)= +=, 飞l-i-m= - f(x)=--=,结合单调性知，f(-l)>O,f(l)<O时才有三个根， 且三个实根分别在区间(--oo,-1),(-1,1),( 1,-f一=)上， 即八 — 1)= — 1+5 +k>O,J(l) =l-5+ k < O,则-4 < k< 4. 故应选D.
x 一 o+
X
x-o +
X
x勺+
X
2x气lnx + 1), x>0,
故应填1.
（ 1 4 、丿
2 _3
Байду номын сангаас
0\
a
1 -
1 ．．．．．I ．
=仁-X , O<x<2,
解 由随机变量X的概率密度f(x)
可知X的分布函数
lo, 其他，
< 厂�X
Q,
2
2
F(X)� 了, O¾x< 2,EX�I. xf(x)dx�L x·fdx�f,
l l, X�2,
卢＞ P{F(X)>EX-1}
由于 A ） 是3阶实对称矩阵，则A有3个特征值且A的3个特征值的积为IA I的值， 故A的三个特征值的积为1,-2,-2,正惯性指数为1,负惯性指数为2, 故二次型xTAx的规范形为Yi—丈 — 丈．故应选C. (7) C 解 由P(AB)=P(BA)得 p (AB)= p(A) -p (AB)= p(BA)= p(B)—P(AB)台P(A)=PCB).
数学三参考答案及解题分析
次命中概率分别为1/3和1/4.求两射手均停止射击时脱靶（未命中）总数的数学期望=_.
【解】X:射手i首次命中时的脱靶数，则停止射击时他的射击次数Xi1~Ge(pi)，
因此P(Xik)(1−pi)
pi，i1,2，
x→0⎣2
f(x)
⎦
根据复合极限定理，只需求极限lim
−f(x)
−1lim
f(x)
x→02ln(1x)
由于fx在−,内可导，所以由导数定义得到
2x→0x
−1lim
f(x)−1
f′(0)−1，因此
1
1ln11
2x→0x2
lim1−fx
x→02
xe−。
（2）设参数t1
16
，差分方程y(k2)−1
2
y(k1)ty(k)0的通解为y(k)ak，则当t的取值
(C)点(0,0)是f(x,y)的极小值点(D)无法判断点(0,0)是否为f(x,y)的极值点
答案：C。
（11）设zh(x,y)由方程exyzxyz确定，则h(x,y)在点P(0,1)的两个偏导数（）。
（A）分别等于0和-1。（B）分别等于
−1和0。
（C）都等于0。（D）都等于−1。
答：D。
【解】exyz(xyz)，e01z
再由隐函数求导法得
1y′cosxlnxsinx，
从而y′
yx
xsinx(cosxlnxsinx)。
x
dy⋅2dxdx。
x22
（4）若向量(0,k,k2)能由向量
示，则k应满足．
(1k,1,1)，2
(1,k1,1)，3
第六版同济大学高等数学上下课后答案详解
|sin x | | x | 3 求 ( ) ( ) ( ) (2) 并作出函数 y(x) 8 设 ( x) 4 6 4 | x | 0 3
的图形 解 ( ) |sin | 1 ( ) |sin | 2 ( ) |sin( )| 2 (2) 0 6 6 2 4 4 2 4 4 2 9 试证下列函数在指定区间内的单调性 (1) y x ( 1) 1 x (2)yxln x (0 ) 证明 (1)对于任意的 x1 x2( 1) 有 1x10 1x20 因为当 x1x2 时
对于映射 g YX 因为对每个 yY 有 g(y)xX 且满足 f(x)f[g(y)]Iy yy 按逆映射的定义 g 是 f 的逆映射 5 设映射 f XY AX 证明 (1)f 1(f(A))A (2)当 f 是单射时 有 f 1(f(A))A 证明 (1)因为 xA f(x)yf(A) f 1(y)xf 1(f(A)) f 1(f(A))A 所以 (2)由(1)知 f 1(f(A))A 另一方面 对于任意的 xf 1(f(A))存在 yf(A) 使 f 1(y)xf(x)y 因为 yf(A)且 f 是单射 所以 xA 这就证明了 f 1(f(A))A 因此 f 1(f(A))A 6 求下列函数的自然定义域 (1) y 3x 2 解 由 3x20 得 x 2 函数的定义域为 [ 2 , ) 3 3 (2) y 1 2 1 x 解 由 1x20 得 x1 函数的定义域为( 1)(1 1)(1 ) (3) y 1 1 x 2 x 解 由 x0 且 1x20 得函数的定义域 D[1 0)(0 1] (4) y
y1 y2
x1 x x1 x2 2 0 1 x1 1 x2 (1 x1)(1 x2 )
高等数学3_物理类专业_四川大学出版社_第1章_行列式_习题答案详解_
6. 利用行列式的定义计算
（4）
x y000
0 x y00
0 0 x y 0
(1) a a a a a ( j1 j5 ) 1 j1 2 j2 3 j3 4 j4 5 j5
0 0 0 x y j1 j5
y000x
其中非0项为：
(1) (12345) a11a22a33a44a55 (1) (23451) a12a23a34a45a51 x5 y5
x1 x2 a23 a2n1 a2n
x1 x2 x3 a3n1 a3n
x1 x2 x3 xn1 a(n1)n
解：对于排列 i1i2 in 中的数字 i j ，设排列中有 l(i j ) 个
小于它的数字，设这些小于它的数字中，位于其右边的
有 r(i j ) 个，则位于其左的有 l(i j ) r(i j ) 个。
n
n
n
则： (inin1 i1 ) l(i j ) r(i j ) l(i j ) r(i j )
y
z
0
x1
z2
0
x2 , ( xyz 0)
z y x 0 1 y2 x2 0
证明：
r2 x
01
1
1 r2 xyz
0 111
r3 y
左
边
r4
z
(
xyz
)2
1
c2 x
1
0 z xy
z xy 0
r3 xyz
y xz r4 xyz 1 xyz
x yz xyz xyz
0 z2
z2 0
y2 x2
第1章 习 题
1. 计算下列排列的反序数，从而判断奇偶性。
高等数学课后习题答案3-1
习题3-11. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上的正确性. 解 因为y =ln sin x 在区间]65 ,6[ππ上连续, 在)65 ,6(ππ内可导, 且)65()6(ππy y =, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点)65 ,6(ππξ∈, 使得y '(ξ)=cot ξ=0.由y '(x )=cot x =0得)65 ,6(2πππ∈. 因此确有)65 ,6(2πππξ∈=, 使y '(ξ)=cot ξ=0. 2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上的正确性. 解 因为y =4x 3-5x 2+x -2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使001)0()1()(=--='y y y ξ. 由y '(x )=12x 2-10x +1=0得)1 ,0(12135∈±=x . 因此确有)1 ,0(12135∈±=ξ, 使01)0()1()(--='y y y ξ. 3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2,0[π上验证柯西中值定理的正确性.解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间]2 ,0[π上连续, 在)2 ,0(π可导, 且F '(x )=1-sin x 在)2,0(π内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点)2 ,0(πξ∈, 使得)()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 令)0()2()0()2()()(F F f f x F x f --=''ππ, 即22sin 1cos -=-πx x .化简得14)2(8sin 2-+-=πx . 易证114)2(802<-+-<π, 所以14)2(8sin 2-+-=πx 在)2,0(π内有解, 即确实存在)2 ,0(πξ∈, 使得 )()()0()2()0()2(ξξππF f F F f f ''=--. 4. 试证明对函数y =px 2+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点ξ总是位于区间的正中间.证明 因为函数y =px 2+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )-y (a )=y '(ξ)(b -a ), 即 (pb 2+qb +r )-(pa 2+qa +r )=(2p ξ+q )(b -a ).化间上式得p (b -a )(b +a )=2p ξ (b -a ), 故2b a +=ξ. 5. 不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解 由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f '(ξ2)=0; 存在ξ3∈(3,4), 使f '(ξ3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根. 注意到方程f '(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f '(x )=0的全部根.6. 证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1). 证明 设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为01111)(22≡---='xx x f , 所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x . 7. 若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.证明 设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0必有一个小于x 0的正根.8. 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明 由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0. 又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0.9. 设a >b >0, n >1, 证明:nb n -1(a -b )<a n -b n <na n -1(a -b ) .证明 设f (x )=x n , 则f (x )在[b , a ]上连续, 在(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即a n -b n =n ξ n -1(a -b ).因为 nb n -1(a -b )<n ξ n -1(a -b )< na n -1(a -b ),所以 nb n -1(a -b )<a n -b n < na n -1(a -b ) .10. 设a >b >0, 证明:bb a b a a b a -<<-ln . 证明 设f (x )=ln x , 则f (x )在区间[b , a ]上连续, 在区间(b , a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(b , a ), 使f (a )-f (b )=f '(ξ)(a -b ), 即)(1ln ln b a b a -=-ξ. 因为b <ξ<a , 所以)(1ln ln )(1b a b b a b a a -<-<-, 即bb a b a a b a -<<-ln . 11. 证明下列不等式:(1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |;(2)当x >1时, e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ), 即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ, 所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ, 即|arctan a -arctan b |≤|a -b |. (2)设f (x )=e x , 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1), 即 e x -e =e ξ (x -1).因为ξ >1, 所以e x -e =e ξ (x -1)>e (x -1), 即e x >e ⋅x .12. 证明方程x 5+x -1=0只有一个正根.证明 设f (x )=x 5+x -1, 则f (x )是[0, +∞)内的连续函数.因为f (0)=-1, f (1)=1, f (0)f (1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点, 即x 5+x -1=0至少有一个正根.假如方程至少有两个正根, 则由罗尔定理, f '(x )存在零点, 但f '(x )=5x 4+1≠0, 矛盾. 这说明方程只能有一个正根.13. 设f (x )、g (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 证明在(a , b )内有一点ξ, 使)()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.解 设)()()()()(x g a g x f a f x =ϕ, 则ϕ(x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使ϕ(b )-ϕ(a )=ϕ'(ξ)(b -a ),即 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡''+''-=-)()()()()(])([)(])([)()()()()()()()()(ξξξξg a g f a f g a g f a f a b a g a g a f a f b g a g b f a f . 因此 )()()()()()()()()(ξξg a g f a f a b b g a g b f a f ''-=.14. 证明: 若函数.f (x )在(-∞, +∞)内满足关系式f '(x )=f (x ), 且f (0)=1则f (x )=e x .证明 令xe xf x )()(=ϕ, 则在(-∞, +∞)内有 0)()()()()(2222≡-=-'='x x x x ee xf e x f e e x f e x f x ϕ, 所以在(-∞, +∞)内ϕ(x )为常数. 因此ϕ(x )=ϕ(0)=1, 从而f (x )=e x .15. 设函数y =f (x )在x =0的某邻域内具有n 阶导数, 且f (0)=f '(0)= ⋅ ⋅ ⋅ =f (n -1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:!)()()(n x f xx f n n θ= (0<θ<1). 证明 根据柯西中值定理111)(0)0()()(-'=--=n n n f x f x f x x f ξξ(ξ1介于0与x 之间), 2221111111)1()(0)0()()(-----''=⋅-'-'='n n n n n n f n n f f n f ξξξξξξ(ξ2介于0与ξ1之间),3332222222)2)(1()(0)1()1()0()()1()(------'''=⋅---''-''=-''n n n n n n n f n n n n f f n n f ξξξξξξ(ξ3介于0与ξ2之间),依次下去可得!)(02 )1(2 )1()0()(2 )1()()(1)1(1)1(11)1(n f n n n n f f n n f n n n n n n n n n ξξξξξ=⋅⋅⋅⋅--⋅⋅⋅⋅--=⋅⋅⋅⋅--------(ξn 介于0与ξn -1之间), 所以!)()()(n f xx f n n n ξ=. 由于ξn 可以表示为ξn =θ x (0<θ<1), 所以!)()()(n x f x x f n n θ= (0<θ<1).。