空间点线面之间位置关系知识点总结
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高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台. 3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球. （二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。
重点记忆：直观图面积=原图形面积 (三)空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22Srl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底 ②锥体的体积 13V S h =⨯底③台体的体积 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（ ④球体的体积343V R π=第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
空间点、线、面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系1.线与线的位置关系：平行、相交、异面(特别注意一下：垂直只是相交与异面当中的特殊情况，我们说相交有相交垂直，异面有异面垂直)2.线与面的位置关系：线在面内(选择题时一定要考虑)、线面平行、线面相交3.如何确定一个平面？方法(1)三个不共线的点可以确定一个平面方法(2)两条相交线可以确定一个平面方法(3)两条平行线可以确定一个平面4.如何证明三点共线？具体的做法：就是把其中两点确定的直线作为两个面的交线，证明剩下这一点是这两个面的交点，那么交点必在交线上，则三点共线。
5.如何证明线线平行？方法(1)利用三角形或梯形的中位线方法(2)利用平行四边形方法(3)利用线段对应成比例(通常题目中会出现三等份点或四等份点)方法(4)垂直于同一个面的两条直线互相平行方法(5)借助一个性质：两个面相交，其中一个面内的一条直线平行于另一个面，则这条线平行于两个面的交线(利用这个性质来证明在以往的高考中出现过若干次，同学们需要注意一下)6.如何证明线面平行？方法(1)只需证明这条直线与平面内的一条直线平行即可，简称线线平行推出线面平行。
方法(2)只需把这条直线放入一个合适的平面内，然后证明这个平面与已知平面平行即可，简称面面平行推出线面平行。
特别注意：直线平行于平面，可以得出直线与平面内无数条直线平行，但得不出与平面内任意一条直线平行。
7.如何证明面面平行？只需证明其中一个面内的两条相交线分别平行于另一个面即可。
8.如何证明线面垂直？只需证明这条直线分别与平面内的两条相交线互相垂直即可。
特别注意：直线垂直于平面，可以得出直线与平面内任意一条直线都垂直。
9.如何证明面面垂直？只需证明其中一个面内的一条直线垂直与另一个面即可。
特别注意：面面垂直，既得不出两个面内的任意两条直线互相垂直，也得不出其中一个面内的任意一条直线都垂直于另一个面。
10.异面直线的夹角范围是多少？如何求出异面直线的夹角？夹角范围是：0°~ 90°在求异面直线的夹角时，要把两条异面直线平移使它们出现交点，有时只需平移一条，有时两条都需要平移，这个过程中用得比较多的是中位线，当平移后两条直线出现交点时，复杂些的在三角形中利用余弦定理来求。
1.空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系一．平面的基本性质：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理2：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线.公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.推论1:经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线有且只有一个平面.二．空间直线与平面之间的位置关系：1.直线与平面的位置关系可分为：直线在平面内；直线与平面平行；直线成平面相交；2.平面与平面之间位置关系分为：面面平行；面面相交；面面重合；3.空间直线之间的位置关系：相交，平行，异面；三．等角定理、平行公理：定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补；推论：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等；平行公理：平行与同一条直线的两条直线平行；空间平行具有传递性，空间平行平面也具有传递性；四．证明方法：1.证明三点共线的常用方法：（1）首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点。
由公理三得证；（2）选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在其上；2.证明直线共面通常的方法：()1先由其中两条直线确定一个平面，再证明其余的直线都在此平面内（纳入法）；()2分别过某些点作多个平面，然后证明这些平面重合（重合法）；()3也可利用共面向量定理来证明.3.证明三线共点的方法：先证两条直线交于一点，再证明第三条直线经过这点，转化为证明点在线上的问题；()1如果A、B是交点，那么AB是交线；()2如果两个不同平面有三个或者更多的交点，那么它们共面；()3如果lαβ=∈，点P是α、β的一个公共点，那么P l4.证明几点共面的问题可以先取三点（不共线的三点）确定一个平面，再证其余各点都在这个平面内；1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是： A ．一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面2.如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系为： A ．平行 B.相交 C.平行或相交 D.垂直或相交3.已知下列命题：其中真命题的个数为： ； （1）若直线l 平行于α内无数条直线，则 l α；（2）若直线l 在平面α外，则 l α； （3）若直线 a b ，直线⊂b α，则 a α； （4）若直线 a b ，⊂b α，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；4.空间三条直线互相平行，由每两条平行直线确定一个平面，则可确定平面的个数为：5.若三个平面两两相交，且三条交线互相平行，则这三个平面将空间分成 部分；6.如果两条异面直线称为一对，那么在正方体的十二条棱中，共有异面直线 对；7.空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的； .A 充分非必要条件；.B 必要非充分条件；.C 充要条件；.D 非充分非必要条件．8.不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有.A 3个 .B 4个 .C 6个 .D 7个9.已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m 、n ，有下列四个命题 ①若α⊥m n m ,//，则α⊥n ②若βαβα//,,则⊥⊥m m③若βαβα⊥⊂⊥则,,//,n n m m ④若n m n m //,,,//则=βαα其中正确命题的个数是 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 10.设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m ⊥α，n ∥α，则m ⊥n ；②若α∥β，β∥γ，m ⊥α，则m ⊥γ； ③若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．其中正确命题的序号是 A ．①和② B ．②和③ C ．③和④ D ．①和④ 11.已知直线a 、b 、c 和平面M ，则可以得到a//b 的是 ： ；A.a//M ，b//MB.a ⊥c ，b ⊥cC.a 、b 与平面M 成等角D.a ⊥M ，b ⊥M ． 12.已知直线m 、n 平面βα,，下列命题中正确的是A.若直线m 、n 与平面α所成的角相等，则m//nB.若m ⊥α，n ⊥β，α⊥β，则m ⊥nC.若m ⊂α，β⊂n ，m//n ，则α//βD.若m//α,,//,//βαβn 则m//n13.已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）A ．,,m n m n αα若则‖‖‖B ．,,αγβγαβ⊥⊥若则‖C ．,,m m αβαβ若则‖‖‖D ．,,m n m n αα⊥⊥若则‖14.已知βα,是相异两平面，n m ,是相异两直线，则下列命题中不正确．．．的是 （ ） A.若m ∥α⊥m n ,，则α⊥n B.若⊥m βα⊥m ,，则α∥β C.若⊥m βα⊂m ,，则⊥αβ D.若m ∥n =⋂βαα,，则m ∥n 15.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥n ；B.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥β；D.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 16.已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题： ①若βα⊥⊥n m ,，m ⊥n ，则βα⊥；②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//；④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥． 其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_______________．17.正方体1111ABCD A B C D -中，P 、Q 、R 分别是AB 、AD 、11B C 的中点． 那么，正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是.A 三角形.B 四边形.C 五边形.D 六边形18.如图，l αβ= ，A 、B α∈，C β∈，且C l ∉，直线AB l M = ，过A 、B 、C 三点 的平面记作γ，则γ与β的交线必通过.A 点A ； .B 点B ； .C 点C 但不通过点M ； .D 点C 和点MAB CD 1A 1B 1C 1D PD RαβlM A B C题型二：证明点共线，线共点，点共面，线共面问题 例1.点共面：1.（07江苏）如图，已知1111ABCD A B C D -是棱长为3的正方体，点E 在1AA 上，点F 在1CC 上，且11AE FC ==.求证：1,,,E B F D 四点共面；2.（08四川）如图，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，90BAD FAB ∠=∠=︒，BC ∥12AD ，BE ∥12AF ．证明：C 、D 、F 、E 四点共面；例3.线共面：1.已知：a ，b ，c ，d 是不共点且两两相交的四条直线，求证：a ，b ，c ，d 共面。
点线面间的位置关系知识点总结(含题)(
点线面间的位置关系知识点总结一、三个公理公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么_________________________________________公理2:过________________________ 的三个点，有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有_____________________________二、空间两条直线间的位置关系分类为：______________ ， ______________ ，_______________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________三、空间直线与平面间的位置关系分类为：__________________ ，____________ ，__________________ ；其中__________ ， _________ 合称为______________四、空间平面与平面间的位置关系分类为：______________ ，当两个平面成90。
时，属于____________ 关系常用证明技巧一、线面平行列1 （2IH1年怀化楓蝌）如图所示*已知几0是单位止方WABCn-A^.C^的面A^BA和面』肮2＞的中心*求证：卩总〃平面ncr^n.练习1. 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一点P、Q且AP = DQ. 求证：PQ//平面BCE.2・妇匿，四棱链/一乩噸一平面所裁*截面为平厅四边形吕他求证，m/zz面日捌3* （加10年彌考■陕丙雜）如图’在四棱饰P ABCD中.底血ABCD^矩形「只4 丄平SLUJC/h .lP-.Ltf, BP-IiC-1, E, F分别&l f B T PC 的中点.门）证明* EF//平血知"；卩）求二棱锥E—.【号「的休枳匚（2）1/3二、线面垂直1、(2006年北京卷)如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD中，AB 点E是PD的中点•(I)求证：AC PB ； (n)求证：PB〃平面AEC ；2、( 2006年浙江卷)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形BAD=90 ° ,PA丄底面ABCD，且PA= AD=AB=2BC,M、N 分别为PC、PB 求证：PB丄DM;3、(2006年福建卷)如图，四面体ABCD中，0、E分别是BD、BC的中点，CA(I)求证：AO 平面BCD;AC , PA 平面ABCD，且PA AB , CB CD BD 2, AB AD . 2.,AD // BC, /的中点•ADOE4、( 2006年重庆卷)如图，在四棱锥P—ABCD中，PA 底面ABCD, PC、DAB 为直角，AB II CD,AD=CD=24B,E、F 分另U为CD的中点.(I)试证：CD 平面BEF;5、(全国H ?理？9题)如图，在四棱锥SCS-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱SD丄底面ABCD , E、F分别是AB、的中点。
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高中空间点线面之间位置关系知识点总结第二章 直线与平面的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.11 平面含义：平面是无限延展的2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
3 三个公理：（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为A ∈LB ∈L => L α A ∈α B ∈α公理1作用：判断直线是否在平面内（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。
符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。
公理2作用：确定一个平面的依据。
（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系1 空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥b 。
2 公理4：平行于 c ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补4 注意点：① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )；③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ；④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；D CBAα LA ·α C ·B·A · α P· αLβ 共面直线=>a ∥c2⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
空间中点线面的位置关系
空间中点、线、面的位置关系一、平面的基本性质（1）点和直线的基本性质：连接两点的线中，最短；过两点一条直线，并且一条直线。
（2）平面的基本性质：1如果一条直线的点在一个平面内，那么这条直线上的所有点在这个平面内。
这时我们就说或。
作用：判断直线在平面内。
2经过不在同一直线的三点，有且只有个平面。
也可以简单地说成：的三点确定一个平面。
过不共线的三点A、B、C的平面，通常记作：。
3如果不重合的两个平面有个公共点，那么它们有且只有条过这个点的公共直线。
如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面。
这条公共直线叫做这两个平面的（3）平面的基本性质的推论：1经过一条直线和直线的一点，有且只有个平面。
2经过两条直线，有且只有个平面。
3经过两条直线，有且只有个平面。
（4）共面与异面直线：共面：空间中的几个点或几条直线，如果都在，我们就说它们共面。
共面的两条直线的位置关系有和两种。
异面直线：既又的直线叫异面直线。
判断两条直线为异面直线的方法：与一平面相交于一点的直线与这个平面内任一不过该点的直线是异面直线。
（5）符号语言：点A在平面α内，记作；点A不在平面α内，记作。
直线l在平面α内，记作；直线l不在平面α内，记作。
平面α与平面β相交于直线a, 记作 .直线l和直线m相交于点A，记作，简记作：。
基本性质01可以用集合语言描述为：如果点A α，点B α，那么直线AB α。
例1. 已知三条直线a、b、c两两相交但不共点，求证：a、b、c共面。
例2.已知三条平行线a 、b 、c 都与直线d 相交.求证:它们共面.例 3.正方体1111D C B A ABCD -中,对角线C A 1与平面1BDC 交于AC O ,、BD 交于点M . 求证:点1C 、O 、M 共线.例4.已知三个平面α、β、γ两两相交,且α⋂β=c ,β⋂γ=a ,γ⋂α=b , 且直线a 和b 不平行.求证: a 、b 、c 三条直线必相交于同一点._1_ B _二、空间中的平行关系1.空间平行直线的本性质（空间平行线的传递性）： 平行于同一直线的两条直线 。
人教高中数学必修第二册8.4空间点线面之间的位置关系 知识点
位置关系
交点个数图形Βιβλιοθήκη 言符号语言直线在平面内
无数个
直线在平面外
直线与平面相交
只有一个
直线与平面平行
没有
2、直线和平面平行
1.定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线与这个平面平行．
2.判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．
(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证．
(3)异面直线所成角的范围是 ．
2.求异面直线所成角的步骤
（1）恰当选点，由平移构造出一个交角；
（2）证平行关系成立；
（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；
（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角．
七、直线、平面的位置关系
5．直线与平面垂直的性质
(1)性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
符号语言：a⊥α，b⊥α⇒a∥b，
如图：
(2)一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．
符号语言：a⊥α，b⊂α⇒a⊥b，
如图：
6．设P是三角形ABC所在平面α外一点，O是P在α内的射影
(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的外心．特别地当∠C＝90°时，O为斜边AB中点．
空间点线面之间位置关系知识点总结
高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体（一）空间几何体的结构特征（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体.旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中，这条定直线称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征1.1棱柱——有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.1棱锥——有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台.3.2圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.4.1球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.（二）空间几何体的三视图与直观图1.投影：区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2.三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等3.直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4.斜二测法：在坐标系'''x o y 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于x 轴（或在x 轴上）的线段保持长度不变，平行于y 轴（或在y 轴上）的线段长度减半。
重点记忆：直观图面积=原图形面积(三)空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和②圆柱的表面积 ③圆锥的表面积2S rl r ππ=+④圆台的表面积22S rl r Rl R ππππ=+++ ⑤球的表面积24S R π=⑥扇形的面积公式213602n R S lr π==扇形（其中l 表示弧长，r 表示半径） 2、空间几何体的体积①柱体的体积 V S h =⨯底②锥体的体积 13V S h =⨯底 ③台体的体积 1)3V S S S S h =++⨯下下上上（④球体的体积343V R π= 2π2π2r rl S +=第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图）（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。
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a⊥b；
④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。
2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点
高中空间点线面之间位置关系知识点总结
第一章 空间几何体
（一）空间几何体的结构特征
（1）多面体——由若干个平面多边形围成的几何体 .
旋转体——把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。其中，这条定直线
称为旋转体的轴。
（2）柱，锥，台，球的结构特征
1.1 棱柱——有两个面互相平行， 其余各面都是四边形， 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这
简记为：线线平行，则线面平行。
符号表示：
aα
b β =>a ∥ α
a∥b
2.2.2 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号表示： aβ bβ a∩ b = P β∥α a∥ α b∥ α
2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 — 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示：
A
B
α· C ·
·
公理 2 作用：确定一个平面的依据。
（3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。
符号表示为： P∈ α∩β => α ∩β=L，且 P∈ L
公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据
β
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
x
轴（或在 x 轴上）的线段保持长度不变，平行于 y 轴（或在 y 轴上）的线段长度减半。 重点记忆：直
观图面积 = 原图形面积 ( 三 ) 空间几何体的表面积与体积 1、空间几何体的表面积 ①棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
②圆柱的表面积 S = 2 πrl + 2 πr 2
③圆锥的表面积 S rl
公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。
3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a' 与 b' 所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与 O 的选择无关，为简便，点 O 一般取在两直
线中的一条上；
② 两条异面直线所成的角 θ∈(02 ， ) ； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作
圆锥。
3.1 棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面与底面之间的部分称为棱台
.
3.2 圆台——用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台 .
4.1 球——以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球
.
（二与平行投影。平行投影分为正投影和斜投影。
2. 三视图——正视图；侧视图；俯视图；是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；
画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等
3. 直观图：直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4. 斜二测法：在坐标系 x 'o ' y' 中画直观图时，已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性不变，平行于
个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC、平面 ABCD等。
3 三个公理：
（1）公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
符号表示为
A∈L
B∈L => L
α
A∈α
A
α·
L
B∈α
公理 1 作用：判断直线是否在平面内 （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为： A、 B、C三点不共线 => 有且只有一个平面 α， 使 A∈α 、B∈α、C∈α 。
（3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a α来表示
L
p α
aα
a
∩α =A
a
∥α
2.2. 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
a∥α a β a ∥b α∩β= b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： α∥β α∩γ= a a ∥b β∩γ= b
4 R3 3
第二章 直线与平面的位置关系
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1
D
α A
C B
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示 （1）平面的画法： 水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成 450，且横边画成邻边的 2 倍长（如
图）
（2）平面通常用希腊字母 α、β 、γ等表示，如平面 α 、平面 β等，也可以用表示平面的平行四边形的四
共面直线
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
α
P
·L
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设 a、b、c 是三条直线
a∥b c∥b
=>a∥c
强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
r2
④圆台的表面积 S rl
r 2 Rl
R2 ⑤球的表面积 S 4 R2
⑥扇形的面积公式 S扇形
n R2 360
1 lr （其中 l 表示弧长， r 表示半径）
2
2、空间几何体的体积
①柱体的体积 V S底 h
②锥体的体积 V
1 3 S底 h
③台体的体积
V
1（ 3
S上
S上 S下
S下 ) h
④球体的体积 V
些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2 圆柱——以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱
.
2.1 棱锥——有一个面是多边形， 其余各面是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
2.2 圆锥——以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴， 其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫