江西省南昌市十所省重点中学命制2015届高三第二次模拟突破冲刺数学(文)试题(十) Word版含答案

南昌市十所省重点中学2015年二模突破冲刺交流试卷（10）高三数学（文科）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ ）A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =2. 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( )A. 充分不必要条件.B. 必要不充分条件.C. 充要条件.D. 既不充分也不必要条件. 3. 设集合 A ＝{ x |－3≤2 x －1≤3}，集合 B 为函数 y ＝lg( x －1)的定义域，则 A ∩B ＝（ ） A. (1,2) B. ［1,2］ C. ［1,2) D. (1,2］ 4. 设 a ， b 是两个非零向量，（ ） A. 若|a +b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B. 若a ⊥b ，则|a +b |＝|a |－|b |C. 若|a +b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD. 若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a +b |＝|a |－|b |5．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为（ ）A ．15 B ．25 C ．45 D ．56. 设函数 f ( x )＝cos ωx ( ω＞0)，将 y ＝ f ( x )的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 ω的最小值等于( )A. B. 3 C. 6 D. 97. 若正数 x ， y 满足 x +3 y ＝5 xy ，则3 x +4 y 的最小值是（ ）A. B. C. 5 D. 68. 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值是（ ）A. －1B.C.D. 49. 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的各顶点都在同一个球面上，则该几何体的侧视图的面积为 （ ）A.B.C.D.10. 设平面点集 A ＝{( x ， y )|( y － x )( y －1x)≥0}， B ＝{( x ， y )|( x －1) 2+( y －1) 2≤1}，则 A ∩ B 所表示的平面图形的面积为（ ）A. B. C. D.11. 设函数 f ( x )＝( x －3) 3+ x －1，{ a n }是公差不为0的等差数列， f ( a 1)+ f ( a 2)+…+ f ( a 7)＝14，则 a 1+ a 2+…+ a 7＝（ ）A. 0B. 7C. 14D. 2112. 设函数y=在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数K,定义函数(),()(),()k f x f x K f x K f x K≤⎧=⎨>⎩ 取函数()2xf x -= ，当 12K =时，函数f K (x)的单调递增区间为 ( )A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (-∞,-1)D. (1,+∞） 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 当函数 y ＝sin x x (0≤ x ＜2π)取得最大值时， x ＝ _______.14. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ，则第10行第3个数（从左往右数）为_______．15. 已知双曲线 E 的中心为原点， F (3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A ， B 两点，且 AB 的中点为N (－12，－15)，则 E 的方程为_______16. 设函数 f ( x )＝ x 2－1，对任意 x ∈[，＋∞)， f()－4 m 2f ( x )≤ f ( x －1)＋4 f ( m )恒成立，则实数 m 的取值范围是______ ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7,373=-=S S 。

（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n b n a n +⋅=24，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

18.（本小题满分12分）移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再 从该6人中随机选两人，求这两人获得相等优惠金额的概率.19. （本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且12PA AB AD CD ===，//AB CD ， 90ADC ∠=︒.(1) 在侧棱PC 上是否存在一点Q ，使//BQ 平面PAD ？证明你的结论； (2) 求证：平面PBC ⊥平面PCD .套餐套餐套餐1235PAD .20.（本小题满分14分）已知椭圆C 过点M ，点(F 是椭圆的左焦点，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，且PF 、MF 、QF 成等差数列．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .21.（本小题满分12分）设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠. 曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0.（1）求b 的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-，求a 的取值范围.四．选做题（22.23两选一） 22．（10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知：曲线C 的极坐标方程为：cos a ρθ= (0)a >，直线的参数方程为：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数）（1） 求曲线C 与直线的普通方程；（2） 若直线与曲线C 相切，求a 值。

23．（10分）选修4-5：不等式选讲设函数()f x =()f x 的定义域为R ，试求实数a 的最大值。

高三数学交流卷答案（文科）一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是（ D ）A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D．z =2. 在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的( B )A. 充分不必要条件.B. 必要不充分条件.C. 充要条件.D. 既不充分也不必要条件. 3. 设集合 A ＝{ x |－3≤2 x －1≤3}，集合 B 为函数 y ＝lg( x －1)的定义域，则 A ∩ B ＝（ D ） A. (1,2) B. ［1,2］ C. ［1,2) D. (1,2］ 4. 设 a ， b 是两个非零向量，（ C ） A. 若|a +b |＝|a |－|b |，则a ⊥b B. 若a ⊥b ，则|a +b |＝|a |－|b |C. 若|a +b |＝|a |－|b |，则存在实数λ，使得b ＝λaD. 若存在实数λ，使得b ＝λa ，则|a +b |＝|a |－|b |5．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为（ B ） A ．15 B ．25 C ．45 D 6. 设函数 f ( x )＝cos ωx ( ω＞0)，将 y ＝ f ( x )的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则 ω的最小值等于( C )A. B. 3 C. 6 D. 97. 若正数 x ， y 满足 x +3 y ＝5 xy ，则3 x +4 y 的最小值是（ C ）A. B. C. 5 D. 68. 执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值是（ D ）A. －1B.C.D. 49. 一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的各顶点都在同一个球面上，则该几何体的侧视图的面积为 （ D ）A. B.C.D.10. 设平面点集 A ＝{( x ， y )|( y － x )( y －1x)≥0}， B ＝{( x ， y )|( x －1) 2+( y －1) 2≤1}，则 A ∩ B 所表示的平面图形的面积为（D ）A. B. C. D.11. 设函数 f ( x )＝( x －3) 3+ x －1，{ a n }是公差不为0的等差数列， f ( a 1)+ f ( a 2)+…+ f ( a 7)＝14，则 a 1+ a 2+…+ a 7＝（C ）A. 0B. 7C. 14D. 2112. 设函数y=在(-∞,+∞)内有定义，对于给定的正数K,定义函数(),()(),()k f x f x K f x K f x K≤⎧=⎨>⎩ 取函数()2xf x -= ，当 12K =时，函数f K (x)的单调递增区间为 ( C )A. (-∞,0)B. (0,+∞)C. (-∞,-1)D. (1,+∞） 二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 当函数 y ＝sin x x (0≤ x ＜2π)取得最大值时， x ＝_56π__. 14. 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第 n 行有 n 个数，且两端的数均为1n，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如 ，则第10行第3个数（从左往右数）为__1360___．15. 已知双曲线 E 的中心为原点， F (3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A ， B 两点，且 AB 的中点为N (－12，－15)，则 E 的方程为22145x y -=16. 设函数 f ( x )＝ x 2－1，对任意 x ∈[ ，＋∞)， f ()－4 m 2f ( x )≤ f ( x －1)＋4 f ( m )恒成立，则实数 m 的取值范围是_(,)-∞⋃+∞_ ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.（12分）设{}n a 为等差数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知7,373=-=S S 。

（3）求数列{}n a 的通项公式；（4）设n b n a n +⋅=24，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

17、（1）3n a n =- (2)(1)212n n n n T +=-+18.（本小题满分12分）移动公司在国庆期间推出4G 套餐，对国庆节当日办理套餐的客户进行优惠，优惠方案如下：选择套餐一的客户可获得优惠200元，选择套餐二的客户可获得优惠500元，选择套餐三的客户可获得优惠300元. 国庆节当天参与活动的人数统计结果如图所示，现将频率视为概率.(1) 求某人获得优惠金额不低于300元的概率；(2) 若采用分层抽样的方式从参加活动的客户中选出6人，再 从该6人中随机选两人，求这两人获得相等优惠金额的概率. 18. （本小题满分12分）解（1）设事件A =“某人获得优惠金额不低于300元”，则1501005()501501006P A +==++.…4分（2）设事件B =“从这6人中选出两人，他们获得相等优惠金额”， ……………5分由题意按分层抽样方式选出的6人中，获200元优惠的1人，获500元优惠的3人，获300元优惠的2人,分别记为112312,,,,,a b b b c c ，从中选出两人的所有基本事件如下：11a b ，12a b ，13a b ，11a c ，12a c ，12b b ，13b b ，11b c ，12b c ，23b b ，21b c ，22b c ，31b c ，32b c ，12c c ，共15个. ……………9分其中使得事件B 成立的为12b b ，13b b ，23b b ，12c c ，共4个 ……………10分 则4()15P B =. ……………12分19. （本小题满分12分）四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，且12PA AB AD CD ===，//AB CD ， 90ADC ∠=︒.(1) 在侧棱PC 上是否存在一点Q ，使//BQ 平面PAD ？证明你的结论； (2) 求证：平面PBC ⊥平面PCD .套餐套餐套餐123519. (1) 解：当Q 为侧棱PC 中点时，有//BQ 平面PAD .证明如下：如图，取PD 的中点E ，连AE 、EQ.Q 为PC 中点，则EQ 为PCD ∆的中位线，∴//EQ CD 且12EQ CD =.//AB CD 且12AB CD =，∴//EQ AB 且EQ AB =，∴四边形ABQE 为平行四边形，则//BQ AE . ∵BQ ⊄平面PAD ，AE ⊂平面PAD ，∴//BQ 平面PAD …………6分(2) 证：∵PA ⊥底面ABCD ，∴PA CD ⊥. ∵AD CD ⊥，PA AD A =，∴CD ⊥平面PAD . ∵AE ⊂平面PAD ，∴CD AE ⊥.∵PA AD =，E 为PD 中点，∴AE PD ⊥. ∵CD PD D =，∴AE ⊥平面PCD . ∵//BQ AE ，∴BQ ⊥平面PCD .∵BQ ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD . …………12分20.（本小题满分14分）已知椭圆C过点M，点(F 是椭圆的左焦点，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点，且PF 、MF 、QF 成等差数列．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A .20. 解：(1)设椭圆C 的方程为22221(0,0)x y a b a b+=>>， …………1分由已知，得222261412a b a b ⎧⎪⎪+=⎨⎪-=⎪⎩ 解得2242a b ⎧=⎨=⎩ ∴椭圆的标准方程为22142x y += ……4分(2)证明：设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，由椭圆的标准方程为22142x y +=，可知122PF x ==+， ……5分同理222QF x =+，22MF ==+， ………7分 2MF PF QF =+，122(24()22x x ∴+=++，122x x ∴+=. …8分 (ⅰ)当12x x ≠时，由221122222424x y x y ⎧+=⎨+=⎩得222212122()0x x y y -+-=，1212121212y y x xx x y y -+∴=--+. 设线段PQ 的中点为(1,)N n ，由121212PQ y y k x x n-==--， 得线段PQ 的中垂线方程为2(1)y n n x -=-， ……………11分(21)0x n y ∴--=，该直线恒过一定点1(,0)2A . ……………12分 (ⅱ)当12x x =时，(1,P，Q或P，(1,Q ，线段PQ 的中垂线是x 轴，也过点1(,0)2A .综上，线段PQ 的中垂线过定点1(,0)2A . ……………14分 21.（本小题满分12分）设函数()21ln 2a f x a x x bx -=+-，a R ∈且1a ≠. 曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为0.（1）求b 的值；（2）若存在[)1,x ∈+∞，使得()1af x a <-，求a 的取值范围.21.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）()()1af x a x b x'=+--， ……………2分由曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()10f '=，得()10f '=，………3分 即()10a a b +--=，1b =. ……………4分 （Ⅱ）由1b =，得[)1,x ∈+∞. [)1,x ∈+∞ ()()()()()211111x a x a a x x a a f x a x x x x---⎡⎤--+⎣⎦'=+--==(1)a ≠ ………5分 令()0f x '=，得11x =，21a x a =-. 且21111a a a a --=-- ……………6分 ① 当12a ≤时，11a a≤-，在[)1,+∞上，()f x 为增函数， ()()()min 111122a a f x f ---==-=，令121a a a --<-，即2210a a +-<，解得11a <. ……………8分 ② 当11a <<时，1a >，()()()2min ln 112111a a a a a f x f a a a a a a ⎛⎫==++> ⎪-----⎝⎭不合题意，无解. ……10分 ③ 当1a >时，在[)1,+∞上，()0f x '≤，()f x 为减函数，()()()max 111122a a f x f ---==-= ()1121a a f a --=<-恒成立，则符合题意. ……………11分综上，a 的取值范围是()()11,+∞. ……………12分四．选作题（22.23两选一）22．（10分）选修4-4：极坐标与参数方程选讲已知：曲线C 的极坐标方程为：cos a ρθ= (0)a >，直线的参数方程为：1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ （t 为参数）（3） 求曲线C 与直线的普通方程；（4） 若直线与曲线C 相切，求a 值。