方差分析单因素模板
单因素方差分析完整实例
什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。
单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。
单因素方差分析相关概念•因素：影响研究对象的某一指标、变量。
•水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
•单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。
单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平a = 0.0!下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题单因素方差分析的基本理论⑴备择假设Hi,然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
2厂…j $）下进行了nj = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为山、》2、…r »则按题意需检验假设页：旳=“2 =…=川尸1 : \J “5不全相等为了便于讨论，现在引入总平均卩[Ho :屍="2 =…=毎=qI 闻:力屆…：吗不全为零因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值®是否相等，也就等价于检验各水平Aj的效应6是否都等于零。
样本产恥…佔吁/来自正态总体N （虬2）, 9与02未知，且设不同水平Aj 下的样本 之间相互独立，则单因素方差分析所需的检验统计量可以从总平方和的分解导出来。
01.单因素方差分析(简洁版)
6、延伸阅读
单因素方差分析也可以通过Analyze > Compare Means > One-Way ANOVA进行，将ALT送入Dependent List框 中，将Group送入Factor框中，其结果与本例的操作是一样的。 单因素方差分析适用于只有一个处理因素的完全随机设计，处理因素可以有2个及以上的处理水平，观察指 标为连续变量。适用条件包括： 1）观测指标满足独立性； 2）各组观测指标均来自正态分布总体； 3）各组观测指标方差相等。 在实际中由于方差分析具有稳健性，因此对正态性的条件要求不是很严格，但是对方差齐的要求比较严格。
Tests of Between-Subjects Effects表格给出了方差分析的结果。 在方差齐的条件下，Group一行结果显示，F值=68.810， P（Sig.）<0.001。
Multiple Comparisons表格给出了部分方法的多重比较结果， 分别列出了每个组和其他组比较的均数的差值（Mean Difference (I-J)）、标准误（Std. Error）、P值（Sig.）和均数 差值的95%置信区间（95% Confidence Interval）。检验水准α 设为0.05，组间差异有统计学意义的结果已用*标出。 不同多重比较方法的选择，需要结合研究设计和每个方法各自 的特点及适用条件。我们以Bonferroni法和Dunnett法的结果 为例，进行解读： (1)Bonferroni法结果显示，A组与B组的ALT水平相比，Mean Difference=-15.160 U/L，P（Sig.）<0.001；A组与C组相比， Mean Difference=1.133 U/L，P（Sig.）=1.000；B组与C组相 比，Mean Difference=16.293 U/L，P（Sig.）<0.001。
单因素、双因素方差分析表模板(9处理、3重复)
1g2g282.3979319.0735316.65363g313.7519307.702312.87093g+2g+1g342.2044286.8267306.90311g+1g+1g326.451281.5521296.17771g+2g261.4286315.1616290.57412g+1g272.5417298.304296.65931g+2g+3g324.7711276.5006279.6137ck274.7973313.2938287.51982683.5962721.9522684.73600000720169074090227207807000009992424174总差异10318.6水平差异1980.736(处理间)竖直差异105.8326105.8326误差8232.058337.884总自由度268216n(区组)=k（处理）=水平间自由度方差分析表误差e188337.884463.2158总变异2610318.62F检验0.534507无显著差异12.42599处理1g0002g0003g003g+2g+1g01g+1g+1g1g+2g2g+1g1g+2g+3gck 秩次距a，fe=18SSR0.05SSR0.01Sy LSR0.05LSR0.012 2.97 4.0712.4259936.9051950.573783 3.12 4.2512.4259938.7690952.810464 3.21 4.3612.4259939.8874354.177325 3.27 4.4512.4259940.6329955.295666 3.32 4.5112.4259941.2542956.041227 3.36 4.5612.4259941.7513356.662528 3.38 4.612.4259941.9998557.15956假设H 01：处理间无显著差异假设H 02：区组间无显著差异SSR 多重比较：FA大于F临界值，Ho不成立。
实验5——单因素方差分析(等例)
例 为研究中药三棱莪木对肿瘤重量的影响， 以便选定最佳抑癌作用剂量。今先将一批小白 鼠致癌，然后随机分成四组（每组十只）分别 实施三种剂量的药物注射及等量的生理盐水注 射，经过相同的实验期之后，测定四组鼠的肿 瘤重量如下:
四种处理方式下小白鼠肿瘤重量
盐水(A1 )
3.6 4.5 4.2 4.4 3.7 5.6 7.0 4.4 5.0 4.5
2 4
H1
:
2 1
,
2 2
,
2 3
,
2 4
不全相等
Test of Homogeneity of Variances
肿瘤 重量
Levene Statistic
.562
df1 3
df2 36
Sig. .644
P 0.644 0.05 接受原假设，认为方差具有齐性。
3）方差分析
F = 13.068 ，P≈0，拒绝原假设(四种处理的肿瘤 重量总体均数相等),结论:四种处的肿瘤重量总体均 数至少有部分不相等.
处 理方式
剂量1(A2 ) 剂量2(A3 ) 剂量3(A4 )
3.0 2.3 2.4 1.1
4.0 3.7 2.7 1.9 2.6 1.3
0.4 1.7 2.3 4.7
3.6 1.3 3.2 3.0 2.1 2.5
3.3 1.2 0.0 2.7
3.0 3.2 0.6 1.4 1.2 2.1
试问:四种不同处理方式对癌症抑制作用是否有显著差 别?如果有,进一步判断哪种剂量下其抑制作用最强?
处理因素取值有4个:1表示盐水、2表示剂量1、 3表示剂量2、4表示剂量3。
2. SPSS程序选项
1) Analyze → Compare Means → One-Way ANOVA
单因素试验的方差分析
其中
r n i
2r
2
S S A X iX n i ii
i 1j 1
i 1
组间平方和（系
如果H0 成立，则SSA 较小。 统离差平方和）
反映的是各水平平均值偏离总平均值的偏离程度。
其中
1 r ni
ni1 j1
ij,
ni
i ij
j1
r ni
2 r ni
2
由P106定理5.1可推得：
S S 2 T~2 n 1 ,S S 2 A ~2 r 1 ,S S 2 E ~2 n r
将 分别SS记2T 作, SS2A
,
SSE
2
的自d由fT度,dfA,dfE
则 FSSA dfA~Fr1,nr
SSE dfE
（，称记作均S S 方A 和d f）A M S A ,S S Ed fE M S E
j1
i1
同一水平 下观测值 之和
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重（单位：500g）于下表，试作方差分析。
饲料
增重
A
51
40
43
48
B
23
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ25
26
C
23
28
解：T1 51404348182, T2 232526 74, T3 232851
F0.012,610.92
1 5 .0 3
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
输入原始数 据列，并存 到A，B，C 列；
各水平数据放同一列
各水平数据 放在不同列
单因素方差分析
其中交叉项
ni s ⎤ ⎡ 2∑∑ (xij − xi )( xi − x ) = 2∑ ⎢( xi − x )∑ (xij − xi )⎥ = 2∑ ( xi − x )(ni xi − ni xi ) = 0 i =1 j =1 i =1 ⎣ j =1 i =1 ⎦ s ni s
记 S E = ∑∑ (xij − xi )
素水平的差异对结果影响的大小 响越显著 比值越大 这种影
2
接下去就是如何确定一个合理的界限值
2
以便当
SA 大于这个界限值时就认为该因素对结果的影响显 2 SE
著 从而拒绝 H 0 故
2
⎧SA ⎫ 取 H 0 的拒绝域为W = ⎨ 2 > c ⎬ ⎩SE ⎭ ⎧ S A2 s −1 ⎫ > k⎬ W =⎨ 2 ⎩SE n − s ⎭
i =1 j =1
6.4 在由 ST2 刻
ST2 的大小刻划了全部试验结果的离散程度
划的离散性中 来
既有随机因素所引起的
也可能有因素 A
水平的差异所引起的 如果能设法将这两者合理地区分开 问题就容易解决了
1 定义 xi = ni
∑ xij (i = 1,2,L, s )
i =1
ni
6.5
称为水平 Ai 时的样本平均值 考虑 ST2 的如下分解
H 0 : u1 = u 2 = L = u s
是否成立 正态总体 N (u1 , σ 2 )的样本 结为随机波动 若 H 0 成立
6.2
则各水平下的样本可以看成来自同一 而试验结果的差异只能归 若 H 0 不成立 则表明因素 A 不同水平 亦即因素 A 对结果是
下的随机变量总体间存在差异 有影响的
S = ∑∑ (xij − x ) = ∑∑ (xij − xi + xi − x )
单因素方差分析完整实例.doc
单因素方差分析完整实例.doc单因素方差分析是统计学中常用的分析方法之一，用于比较结果在一个分类变量（即因素）的不同组别之间的差异。
下面将通过一个实例来介绍单因素方差分析的具体应用。
实例介绍：某公司招聘了25名新员工，并在这些员工入职一个月后进行了一次工作满意度调查。
调查结果显示，他们对公司的工作满意度总体得分为80分，但是有些员工对公司的工作并不满意。
公司希望了解员工的不满意来源，并查看不同部门、教育程度和薪水水平对工作满意度是否有影响。
公司收集了员工的部门、教育程度和薪水水平等信息，并对这些因素对工作满意度的影响进行了单因素方差分析。
实例步骤：1.数据整理首先，将员工的部门、教育程度和薪水水平等信息整理成表格形式。
随机抽取10名员工的数据如下：| 员工编号 | 部门 | 教育程度 | 薪水水平 | 工作满意度得分 || :------: | :--: | :------: | :------: | :------------: || 1 | A | 大学 | 高薪 | 85 || 2 | B | 高中 | 中薪 | 83 || 3 | C | 硕士 | 中薪 | 78 || 4 | A | 高中 | 低薪 | 77 || 5 | B | 大学 | 高薪 | 93 || 6 | C | 大学 | 中薪 | 80 || 7 | A | 高中 | 中薪 | 72 || 8 | B | 大学 | 中薪 | 85 || 9 | C | 硕士 | 高薪 | 89 || 10 | A | 高中 | 高薪 | 75 |2.数据分析进行单因素方差分析时需要分别计算各组数据的均值和方差。
2.1 计算各组均值首先，按照不同部门计算均值：| 部门 | 员工数 | 工作满意度均值 || :--: | :----: | :------------: || A | 4 | 77.25 || B | 3 | 87.00 || C | 3 | 82.33 || 总计 | 10 | 82.00 |由上述计算结果可得出不同因素组别的均值。
单因素方差分析报告完整实例
什么是单因素方差分析单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试验结果有无显著性影响的方法。
单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性影响的一种统计方法。
单因素方差分析相关概念●因素：影响研究对象的某一指标、变量。
●水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组别。
●单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。
单因素方差分析示例[1]例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的现象，以致减少了药效。
下表列出了5种常用的抗生素注入到牛的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。
现需要在显著性水平α = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。
设各总体服从正态分布，且方差相同。
在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比，抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水平。
假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。
这就是单因素试验。
试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合的百分比的均值有无显著的差异。
即考察抗生素这一因素对这些百分比有无显著影响。
这就是一个典型的单因素试验的方差分析问题。
单因素方差分析的基本理论[1]与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实际情况提出原假设H0与备择假设H1，然后寻找适当的检验统计量进行假设检验。
本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方差分析问题。
在上例中，因素A（即抗生素）有s（=5）个水平，在每一个水平下进行了n j = 4次独立试验，得到如上表所示的结果。
这些结果是一个随机变量。
表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为,则按题意需检验假设不全相等为了便于讨论，现在引入总平均μ其中：再引入水平A j的效应δj显然有，δj表示水平A j下的总体平均值与总平均的差异。
利用这些记号，本例的假设就等价于假设不全为零因此，单因素方差分析的任务就是检验s个总体的均值μj是否相等，也就等价于检验各水平A j的效应δj是否都等于零。
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实例1. 对某种型号的电池进行抽查，随机抽取了来自
A,B,C三个工厂的产品，测得其寿命（h )见下表，设各
工厂所生产的电池的寿命服从有相同方差的正态分布，
问这三个工厂所生产的电池的平均寿命有无显著差异？
电池的寿命（h）
A1
A2
A3
37 60 95
69
47 86 98
100
此实例中， 指标：电池的寿命； 因素： 生产电池的工厂； 水平： 工厂A1、A2、A3
方差分析就是解决这些问题的一种有效方法。
1.起源
ANOVA 由英国统 计学家R.A.Fisher首 创，为纪念Fisher，
以F命名，故方差分析 又称 F 检验 （F
test）。
2.什么是方差分析(ANOVA)
(analysis of variance)
1）、引例 用上例 ＊研究问题：各肥料品种是否有差异。 ＊问题转化：各肥料品种是否有差异体现为各 肥料品种对小麦亩产量的影响否有显著差异。
的条件。用 A，B，C 表示 3、水平：因素所处的状态，一般用A1、A2、 A3、… Ar 。一般将因子控制在几个不同的状态上，每一个
状态称为因素的一个水平.
单因素方差分析：众多因素中仅有一个因素的 的水平有多个，其余因素只有一个水平。
多因素方差分析：多个因素有多个水平。
【例】为了比较四种肥料对小麦亩产量的影
在此试验中，除生产电池的工厂这一因子外，其 它因子不变，这是一个单因素试验。
试验的目的是为了考察不同厂家生产的电池平均 寿命是否有显著差异。如果有显著差异，表明生产工 厂这一因子对电池寿命的影响是显著的.
实例2. 为了比较各个工作日进入某一商场的顾客人数，
测得各工作日下午4时~5时进入商场的顾客人数如下表，
零售业
行业
旅游业
航空公司
家电制造业
57
68
31
44
66
39
49
51
49
29
21
65
40
45
34
77
34
56
40
58
53
51
44
（一）图形分析
80
子样平均值的折线
60
被投诉次数
40
20
0
0
零1售业 旅2游业 航3空公司 家4 电制造 5
不同行业被投诉次数的散点图
行业
1、从散点图上可以看出 ＊不同行业被投诉的次数是有明显差异的 ＊即使是在同一个行业，不同企业被投诉的次
2）、什么是方差分析 检验多个母体平均数是否相等
＊手段：分析数据的误差判断各母体均值是否相等
3.方差分析的基本原理
【例】为了对几个行业的服务质量进行评价 ，消费者协会在四个行业分别抽取了不同的 企业作为样本。最近一年中消费者对总共23 家企业投诉的次数如下表
观测值
1 2 3 4 5 6 7
消费者对四个行业的投诉次数
记 X1 为肥料A1下的小麦亩产量， m1为平均亩 产量； X2 为肥料A2下的小麦亩产量， m2为平 均亩产量； X3 为肥料A3下的小麦亩产量， m3 为平均亩产量； X4 为肥料A4下的小麦亩产量，
m4为平均亩产量；问题转化为
H0: m1 = m2 = m3 = m4 H1: m1 m2 m3 m4不全等
响，取一片土壤肥沃程度和水利灌溉条件差
不多的土地分成16块，肥料品种A1、A2、 A3 、A4，每种肥料施在四块土地上，得亩产：
因素：肥料
指标：亩产
肥料品种
水平：
A1 A2
品种
A3
A4
四种肥料的亩产量
亩产量（观察值） 981 964 917 669 607 693 506 358 791 642 810 705 901 703 792 883
问各个工作日对顾客人数有无显著影响？
工作日
顾客人数
周一 86 96 78 66 100
周二 77 102 54 98
周三 69 91 86 74 82 78 84
周四 78 77 90 84 72 74
周五 84 88 94 102 96
在此实例中， 指标：顾客人数；
因子： 工作日；
水平： 周一、周二、周一、周四、周五
§ 方差分析----单因素方差分析
一、 基本概念 二、 单因素方差分析的数学模型 三、 单因素方差分析的假设检验 四、 参数估计问题
日常生活中经常发现，影响一个事物的 因素很多，希望找到影响最显著的因素
如：某种农作物的收获量 受作物品种、肥料种类及数量等的影响； 选择不同的品种、肥料种类及数量进行试 验， 看哪一个影响大？并需要知道起显著作用 的因素在什么时候起最好的影响作用。
现在正是开始本节内容……
方差分析
单因素
两因素
➢已讨论了两个方差相等的正态总体对均值比较 的假设检验问题 ➢对有相同方差的多个正态总体均值进行比较的 假设检验问题？？ 方差分析就是解决这类问题的有效方法
一、基本概念
指标、因素、水平 1、指标：试验结果值称为指标，一般表示为
数值，用 X 表示。
2、因素（因子）：试验中需考察的可以控制
假设如下：
1）每个部分总体都服从正态分布，即：
Aj
~
N
(
μ
j
,
σ
2 j
)，
j 1,2, , s
2）部分总体的方差都相等，即：
σ
2 1
σ
2 2
σ
2 s
σ2
3）不同的部分总体下的样本是相互独立的。
数也明显不同 ＊家电制造被投诉的次数较高，航空公司被 投诉的次数较低 2、行业与被投诉次数之间有一定的关系 ＊如果行业与被投诉次数之间没有关系，那么 它们被投诉的次数应该差不多相同，在散点图 上所呈现的模式也就应该很接近
方差分析的思想
1、仅从散点图上观察还不能提供充分的证据证明不 同行业被投诉的次数之间有显著差异 ＊这种差异也可能是由于抽样的随机性所造成的 2、需要有更准确的方法来检验这种差异是否显著， 也就是进行方差分析 ＊所以叫方差分析，因为虽然我们感兴趣的是均值， 但在判断均值之间是否有差异时则需要借助于方差 ＊这个名字也表示：它是通过对数据误差来源的分析 判断不同母体的均值是否相等。因此，进行方差分析 时，需要考察数据误差的来源。
在此试验中，除工作日这一因子外，其它因子不 变，这是一个单因素试验。
试验的目的是为了考察不同工作日顾客的人数是 否有显著差异。如果有显著差异，表明工作日这一因 子对顾客人数的影响是显著的.
二、单因素方差分析的数学模型
假设前提：
设在单因素试验中， •影响指标的因子A 有 s 个水平A1， A2 ，…，As •将每个水平Aj下要考察的指标作为一个总体称为部 分总体，仍记为Aj ，则共有s个部分总体