统计学第11讲 单因素方差分析
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单因素方差分析（one-wayANOVA）
单因素方差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（one-wayANOVA）单因素⽅差分析（⽅）单因素⽅差分析概念是⽅来研究⽅个控制变量的不同⽅平是否对观测变量产⽅了显著影响。
这⽅，由于仅研究单个因素对观测变量的影响，因此称为单因素⽅差分析。
例如，分析不同施肥量是否给农作物产量带来显著影响，考察地区差异是否影响妇⽅的⽅育率，研究学历对⽅资收⽅的影响等。
这些问题都可以通过单因素⽅差分析得到答案。
（⽅）单因素⽅差分析步骤第⽅步是明确观测变量和控制变量。
例如，上述问题中的观测变量分别是农作物产量、妇⽅⽅育率、⽅资收⽅；控制变量分别为施肥量、地区、学历。
第⽅步是剖析观测变量的⽅差。
⽅差分析认为：观测变量值的变动会受控制变量和随机变量两⽅⽅的影响。
据此，单因素⽅差分析将观测变量总的离差平⽅和分解为组间离差平⽅和和组内离差平⽅和两部分，⽅数学形式表述为：SST=SSA+SSE。
第三步是通过⽅较观测变量总离差平⽅和各部分所占的⽅例，推断控制变量是否给观测变量带来了显著影响。
（三）单因素⽅差分析原理总结在观测变量总离差平⽅和中，如果组间离差平⽅和所占⽅例较⽅，则说明观测变量的变动主要是由控制变量引起的，可以主要由控制变量来解释，控制变量给观测变量带来了显著影响；反之，如果组间离差平⽅和所占⽅例⽅，则说明观测变量的变动不是主要由控制变量引起的，不可以主要由控制变量来解释，控制变量的不同⽅平没有给观测变量带来显著影响，观测变量值的变动是由随机变量因素引起的。
（四）单因素⽅差分析基本步骤1、提出原假设：H0——⽅差异；H1——有显著差异2、选择检验统计量：⽅差分析采⽅的检验统计量是F统计量，即F值检验。
3、计算检验统计量的观测值和概率P值：该步骤的⽅的就是计算检验统计量的观测值和相应的概率P值。
4、给定显著性⽅平，并作出决策（五）单因素⽅差分析的进⽅步分析在完成上述单因素⽅差分析的基本分析后，可得到关于控制变量是否对观测变量造成显著影响的结论，接下来还应做其他⽅个重要分析，主要包括⽅差齐性检验、多重⽅较检验。
概率论与数理统计_单因素试验方差分析ppt课件
r i1
Ti2 ni
T2 n
r
SSE
i1
ni
T 2 X ij n j1
r2 i
i1 i
ni
其中 T i X ij , j1 同一程度 下观测值 之和
r
T Ti i1
所以观测 值之和
例2 P195 2 以 A、B、C 三种饲料喂猪，得一个月后每猪 所增体重〔单位：500g〕于下表，试作方差分析。
1 1 4 9 7 1 1 4 0 6 .8 3
S S T S S A S S E 1 1 4 9 7 1 0 4 7 2 . 1 1 1 0 2 4 . 8 9
MSA934.732467.36 MSE 90.17615.03
* * FMSA467.3631.10 MSE 15.03
F 0 .0 1 2 ,6 1 0 .9 2F 0 .0 5 2 ,6 5 .1 4
列方差分析表
方差来源 平方和 自在度 均方和 F 值
F 值临介值
组间
934.73 2
467.36
F0.052,65.14
31.10**
F0.012,610.92
组内 90.17 6
15.03
总和 1024.89 8
不同的饲料对猪的体重的影响极有统计意义。
例2的上机实现步骤
1、输入原始数据列，并存到A，B，C列；
n
i
2 i
0
i1
所以，
ErSSA1
EnSSEr
即H0不成立时，S S A r 1 有大于1的趋势。 SSE n r
所以H0为真时的小概率事件应取在F值较大的一侧。
实验目的——实验结果。
可控要素——在影响实验结果的众多要素中，可人为 控制的要素。
单因素方差分析
2.0
0.7
1.5
0.9
0.9
0.8
1.1
-0.3
-0.2
0.7
1.3
1.4
概率论与数理统计
3
❖ 前言 方差分析的思想
➢ 我们可以计算出各组的均值与方差，但是如何通过这些数据 结果来判断呢？这就需要进行方差分析.
➢ 在实际问题中, 影响一个数值型随机变量的因素一般会有很多, 例如影响农作物产量的因素就有种子品种，肥料、雨水等; 影 响化工产品的产出率的因素可能有原料成分、剂量、催化剂 、反应温度、机器设备和操作水平等；影响儿童识记效果的 因素有教学材料、教学方法等. 为了找出影响结果(效果)最显 著的因素, 并指出它们在什么状态下对结果最有利, 就要先做 试验, 方差分析就是对试验数据进行统计分析, 鉴别各个因素 对对我们要考察的指标（试验指标）影响程度的方法．
概率论与数理统计
7
❖ 1.单因素试验的方差 概念
➢ 推断三种治疗方案是否存在差异的问题，就是要辨别治 疗方案的差异主要是由随机误差造成的，还是由不同方 案造成的，这一问题可归结为三个总体是否有相同分布 的讨论．根据实际问题的情况，可认为血红蛋白的增加 值服从正态分布，且在安排试验时，除所关心的因素（ 这里指的是这里方案）外，其它试验条件总是尽可能做 到一致，这就使我们可以近似的认为每个总体的方差相 同，即xi～N(μi，σ2) i = 1，2，3．
概率论与数理统计
❖2. 单因素方差分析的数学模型
➢ 单因素方差分析问题的一般提法为： ➢ 因素A有m个水平A1, A2, …, Am, 在Ai水平下, 总体Xi～N(μi,
σ2), i = 1, 2, …, m．其中μi和σ2均未知, 但方差相等, 希望 对不同水平下总体的均值进行比较． 设xij表示第i个总体的第j个观测值(j = 1, 2, …, ni, i = 1, 2, …, m), 由于Xij～N(μi, σ2), i = 1, 2, …, m．单因素方差分 析模型常可表示为：
单因素方差分析课件
将原始数据减去1000，列表给出计算过程 表8.1.2 例2的计算表
水平
数据（原始数据-1000）
m
Ti
2
Ti
yi2j
j 1
A1 73 9 60 1 2 12 9 28 194 37636 10024
A2 107 92 -10 109 90 74 122 1 585 342225 60355
A3 93 29 80 21 22 32 29 48 354 125316 20984 1133 505177 91363
单因素试验的方差分析的数学模型
首先，我们作如下假设：
1. Xi ~ N i , 2 , i 1, 2,...a 具有方差齐性。
2. X1, X 2 ,...X a 相互独立，从而各子样也相互独立。
由于同一水平下重复试验的个体差异是随机误差， 所以设：
Xij i ij , j 1, 2,..., r, i 1, 2,..., a. 线性统计模型
j 1
xi
41 33 38 37 31 39 37 35 39 34 40 35 35 38 34
120 105 108 114 99
40 35 36 38 33
53
xij 546
i1 j 1
53
xij 15 36.4
i1 j 1
纵向个体间的差异称为随机误差（组内差异），由试验造 成；横向个体间的差异称为系统误差（组间差异），由因素的 不同水平造成。
集装箱类 型
最大抗压强度
平均抗压强 度
1
655.5 788.3 734.3 721.6 679.4 699.4 713.08
2
789.2 772.5 786.9 686.1 732.1 774.8 756.93
单因素方差分析
计算均方值：均方值是指每个观测值的平均值与其标准差的乘积，用于 衡量观测值的离散程度。
计算组间均方：组间均方是各组均值与总均值之差的平方和除以自由度， 用于衡量各组均值之间的离散程度。
计算组内均方：组内均方是各组观测值与组均值之差的平方和除以该组 的自由度，用于衡量观测值在各组内部的离散程度。
计算F值
检查数据是否符合正态分布
确定数据类型：连续型、离 散型或混合型
判断数据是否存在异常值 了解数据分布的对称性
检验数据是否满足前提假设
数据的独立性：确保各组数据之间相互独立，无关联性。 数据的正态性：各组数据应符合正态分布，满足方差分析的前提假设。 数据的方差齐性：各组数据的方差应大致相等，满足方差分析的前提假设。 数据的完整性：确保所有数据均已收集并可用于分析，无缺失值。
原理：比较不同组的均值是 否存在显著差异
前提条件：数据符合正态分 布、方差齐性、独立性等
结果解释：通过F检验和p值 判断各组间是否存在显著差
异
前提假设
每个观察值都是独立的 每个观察值来自随机样本 每个观察值服从正态分布 每个观察值的方差相等
Part Three
单因素方差分析的 步骤
观察数据分布情况
单因素方差分析的 应用场景
不同组间均值比较
不同产品在不同 地区的销售量比 较
不同品牌汽车在 不同行驶距离下 的油耗比较
不同学历人群的 工资水平比较
不同治疗方法对 同一病症的治疗 效果比较
不同处理效果比较
农业实验：比较 不同施肥处理对 农作物产量的影 响
医学研究：分析 不同药物治疗对 疾病疗效的差异
F检验的局限性
前提假设：数据需要满足正态分布、独立同分布等前提假设 样本量：样本量过小可能导致检验效能不足 异常值：异常值可能对F检验的结果产生影响 多重比较：F检验只能比较两组数据，无法进行多重比较
计算组间均方：组间均方是各组均值与总均值之差的平方和除以自由度， 用于衡量各组均值之间的离散程度。
计算组内均方：组内均方是各组观测值与组均值之差的平方和除以该组 的自由度，用于衡量观测值在各组内部的离散程度。
计算F值
检查数据是否符合正态分布
确定数据类型：连续型、离 散型或混合型
判断数据是否存在异常值 了解数据分布的对称性
检验数据是否满足前提假设
数据的独立性：确保各组数据之间相互独立，无关联性。 数据的正态性：各组数据应符合正态分布，满足方差分析的前提假设。 数据的方差齐性：各组数据的方差应大致相等，满足方差分析的前提假设。 数据的完整性：确保所有数据均已收集并可用于分析，无缺失值。
原理：比较不同组的均值是 否存在显著差异
前提条件：数据符合正态分 布、方差齐性、独立性等
结果解释：通过F检验和p值 判断各组间是否存在显著差
异
前提假设
每个观察值都是独立的 每个观察值来自随机样本 每个观察值服从正态分布 每个观察值的方差相等
Part Three
单因素方差分析的 步骤
观察数据分布情况
单因素方差分析的 应用场景
不同组间均值比较
不同产品在不同 地区的销售量比 较
不同品牌汽车在 不同行驶距离下 的油耗比较
不同学历人群的 工资水平比较
不同治疗方法对 同一病症的治疗 效果比较
不同处理效果比较
农业实验：比较 不同施肥处理对 农作物产量的影 响
医学研究：分析 不同药物治疗对 疾病疗效的差异
F检验的局限性
前提假设：数据需要满足正态分布、独立同分布等前提假设 样本量：样本量过小可能导致检验效能不足 异常值：异常值可能对F检验的结果产生影响 多重比较：F检验只能比较两组数据，无法进行多重比较
单因素方差分析(详细版) ppt课件
异常值的处理方法分为2种： (1) 保留异常值： 1）采用非参数Kruskal-Wallis H检验； 2）用非最极端的值来代替极端异常值（如用第二大的值代替）； 3）因变量转换成其他形式； 4）将异常值纳入分析，并坚信其对结果不会产生实质影响。 (2) 剔除异常值： 直接删除异常值很简单，但却是没有办法的办法。当我们需要删掉异常值时，应报告异常值大小及其对结果的影响，最好分别报告删除异常值前后的 结果。而且，应该考虑有异常值的个体是否符合研究的纳入标准。如pp果t课其件不属于合格的研究对象，应将其剔除，否则会影响结果的推论。 12
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
本例数据箱线图无圆点或星号，因此无异常值。
假如数据中存在异常值和极端异常值，其箱线图 如右：
箱线图是一种比较简单和流行的异常值检验方法， 当然同样存在一些更为复杂的方法，这里不过多 介绍。
ppt课件
11
如何处理数据中存在的异常值
导致数据中存在异常值的原因有3种： (1) 数据录入错误：首先应该考虑异常值是否由于数据录入错误所致。如果是，用正确值进行替换并重新进行检验； (2) 测量误差：如果不是由于数据录入错误，接下来考虑是否因为测量误差导致（如仪器故障或超过量程）； (3) 真实的异常值：如果以上两种原因都不是，那最有可能是一种真实的异常数据。这种异常值不好处理，但也没有理由将其当作无效值看 待。目前它的处理方法比较有争议，尚没有一种特别推荐的方法。 需要注意的是，如果存在多个异常值，应先把最极端的异常值去掉后，重新检查异常值情况。这是因为有时最极端异常值去掉后，其他异 常值可能会回归正常。
(6) 点击ppOt课K件，输出结果。
9
根据如下输出的箱线图，判断每个组别内是否存在异常值。
ppt课件
10
SPSS中将距离箱子边缘超过1.5倍箱身长度的数 据点定义为异常值，以圆点表示；
单因素方差分析
例如：考察4种不同教法对立定跳远成绩的影响 试验中唯一的可控制因素——教法 因素的不同水平 ——4中不同的教法
1.2 单因素方差分析
1.2.2 单因素方差分析的前提条件
➢ 方差的齐同性是进行方差分析的前提。
➢ 从不同总体中抽出的各组样本间毫无关系，即设k个总体
相互独立。
1.2.3 单因素方差分析的检验步骤 1.提出假设
2）实验条件
称为组间差异（Between Groups），即不同的处理造成的差异。 用各组平均值与总平均值离差的平方和表示，记作 。SR
(2) 方差分析的检验统计量
2. 方差分析的分类
单因素方差分析 多因素方差分析 有交互作用的多因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.1 基本概念
因素：可控制的试验条件。 水平：因素变化的各个等级。 单因素试验:试验中只有一个因素在变化，其他可控制的条件 不变。 双因素试验：试验中变化的因素有两个。 多因素试验：实验中变化的因素多于两个。
常使用LSD（Least-Significant difference）法，即最小 显著差数法。
统计量:
临界值：
T
xi x j
n n MS
E
1
1
i
j
LSD
t 2 n k
MS
E
1 ni
1 nj
例[9-2]
对例[9-1]中各水平间差异显著性检验。
MS E
1 ni
1 nj
SE nk
1 ni
体育统计
体育统计
1.1 方差分析概述
方差分析是通过分析样本数据各项差异的来源以检验两 个以上总体平均数是否有显著性差异的方法。
早在上个世纪20年代英国统计学费歇（R.A.Fisher, 1890～1962）首先将该方法用到农业试验中，经过近百 年的发展，其内容已十分丰富。
1.2 单因素方差分析
1.2.2 单因素方差分析的前提条件
➢ 方差的齐同性是进行方差分析的前提。
➢ 从不同总体中抽出的各组样本间毫无关系，即设k个总体
相互独立。
1.2.3 单因素方差分析的检验步骤 1.提出假设
2）实验条件
称为组间差异（Between Groups），即不同的处理造成的差异。 用各组平均值与总平均值离差的平方和表示，记作 。SR
(2) 方差分析的检验统计量
2. 方差分析的分类
单因素方差分析 多因素方差分析 有交互作用的多因素方差分析
1.2 单因素方差分析
1.2.1 基本概念
因素：可控制的试验条件。 水平：因素变化的各个等级。 单因素试验:试验中只有一个因素在变化，其他可控制的条件 不变。 双因素试验：试验中变化的因素有两个。 多因素试验：实验中变化的因素多于两个。
常使用LSD（Least-Significant difference）法，即最小 显著差数法。
统计量:
临界值：
T
xi x j
n n MS
E
1
1
i
j
LSD
t 2 n k
MS
E
1 ni
1 nj
例[9-2]
对例[9-1]中各水平间差异显著性检验。
MS E
1 ni
1 nj
SE nk
1 ni
体育统计
体育统计
1.1 方差分析概述
方差分析是通过分析样本数据各项差异的来源以检验两 个以上总体平均数是否有显著性差异的方法。
早在上个世纪20年代英国统计学费歇（R.A.Fisher, 1890～1962）首先将该方法用到农业试验中，经过近百 年的发展，其内容已十分丰富。
单因素方差分析 PPT课件
解：
ssA
5 i1
1 m
10 l1
2 xil
1 510
5 i1
10 l1
2 xil
22.865
fA 51 4
ssE
5 i1
10 l1
x
2 il
1 510
5 i1
10 xil 2 l1
53.055
fE 510 5 45
s 2A
ssA fA
22.865 4
5.71
1 m
m L1
xiL
2
fE km k
m
有km个数据，但存在 k个约束条件，即有 k个 xiL xi 0 L1
3.总离差平方和ssT、自由度fT
• 它反映了全部数据的波动程度。
k m
2
ssT
xiL x
i1 L1
k m
2 km
2
xiL xi
xi x
i1 L1
试验次数
1
2
34
水平
A1
38
36
35 31
A2
20
24
26 30
A3
21
22
31 34
样本 X1 X2
试验数据 X11，X12，..X1L…X1m X21,X22,…X2L,…X2m
.
Xi
Xi1,Xi2,…XiL…Xim
.
.Xk
Xk1,Xk2,…XkL,…Xkm
样本平均值
x1
x2
xi
xk
m
xiL
L1
因素A第i个水平平均值为
xi
1 m
m
xiL
L1
1.因素A离差平方和 ssA、自由度fA
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第12章 连续变量的统计推断 （二）――单因素方差分析
12.1 方差分析入门
12.1 方差分析入门
12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4
为什么要进行方差分析 方法原理 单因素方差分析的应用条件 单因素方差分析的SPSS实现
12.1.1 为什么要进行方差分析
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理 方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验 条件下样本均值间的差异
诸 ij 相互独立且 ij ~ N(0, 2) ，i， 2 为未知
研究因素的影响是否显著，归结为k个总体是 否具有相同的均值，即检验假设：
H0：1 2 L k .
单因素方差分析的基本原理
所有数据的偏差平方和 SST k
ni
( yij y)2
i1 j1
总平方和=组间平方和+组内平方和
影响观测变量的因素称为控制因素，或 者控制变量；
控制变量的不同类别，称为控制变量的 不同水平。
12.1.2 方法原理
方差分析就是从观测变量的方差入手， 研究诸多控制变量中哪些是对观测变 量有显著影响的，其不同水平及各水 平的搭配是如何影响观测变量的；
方差分析认为，影响观测变量值变化 的有两类：
方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具 有统计意义的一种方法。例如
医学界研究几种药物对某种疾病的疗效； 农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作
物产量的影响 不同饲料对牲畜体重增长的效果等
都可以使用方差分析方法去解决
12.1.2 方法原理
方差分析的相关概念：
上述农作物产量、广告效果等最终效果 的变量被称为观测因素，或称为观测变 量；
服从自由度为 k-1 和n-k 的F 分布。对于 给定样本， SST确定，如果原假设成立， SSB偏小，由分解知SSW偏大，故F偏小。
单因素方差分析的基本原理
反之，如果F偏大，在 SST确定的情形下， SSB偏大，由分解知SSW偏小，从而原假 设不成立。因此可以使用F统计量来判断 假设是否成立。
Cars.sav数据表
单因素方差分析的基本原理
该问题是考察产地这一因素的变化对汽 车耗油量是否有显著性影响。因此，这 个问题属于单因素方差分析。
通常把产地看作一个因素，记为A因素， 它有3个不同水平记为A1，A2，A3.
耗油量称为试验指标，记为y，第 i 产地 在第 j 次试验下的耗油量用yij表示。
单因素方差分析的基本原理
单因素方差分析用来研究一个控制变量 的各个水平是否对观测变量产生显著影 响；
例子：
不同施肥量是否对农作物产量带来显著影响； 考察地区差异是否影响妇女生育率；
都可以通过单因素方差分析得到结论；
单因素方差分析的基本原理
例12.3 打开SPSS自带文件Cars.sav，其 中变量mpg的含义为每加仑汽油可以行 驶的里程数(简单理解为耗油量)，现在希 望比较产自美国，日本，欧洲的汽车， 考察其每千米耗油量有无差异。
12.1.2 方法原理
在下述条件下，可以将分布的差异变成均值 的差异：
观测变量总体服从正态分布； 观测变量各总体方差应该相同；
总之，方差分析从观测变量的方差入手，检验 均值是否显著差异，分析控制变量是否给观测 变量显著影响，进而对控制变量各水平对观测 变量影响程度进行分析；
方差分析可分为单因素、多因素方差和协方差 分析
k
k ni
SST SSB SSw ni ( yi y)2
( yij yi )2
i1
i1 j1
组间平方和是由A发生变化引起的，反映 总体均数之间的差异。
组内平方和是由随机因素引起的差异。
单因素方差分析的基本原理
理论上，SST 有自由度 n-1，SSB有自由 度 k-1，SSW 有自由度 n-k，在正态分布 的假设下, 如果各组均值相等(原假设)， 则统计量 F MSB SSB /(k 1) MSW SSW /(n k)
总变异(Total)
SST
n-1
12.1.3单因素方差分析的应用条件
可比性
若资料中各组均数本身不具可比性则不适用 方差分析。
正态性
即偏态分布资料不适用方差分析。 对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方
单因素方差分析的基本原理
一般地，单因素方差分析
问题是：设某个因素A有k
A A … A 水平
试验号
12
k
个不同水平A1，… ，Ak. 每个水平下重复进行ni次
1 y11 y21 … yk1
试验，得到ni（i=1,2, … ,k） 2 y12 y22 … yk2
个试验指标。总样本量
N=sum(ni)
… … ………
问因素A的变化对试验指 标y是否有显著性影响
… y1,n1 y2,n2 … yk,nk
单因素方差分析的基本原理
设 i 表示在水平Ai下试验指标y的真实平均值，
则在Ai下每次试验结果yij应该是在真实平均值 的左右随机波动，这个随机波动记为 ij 方差分析模型为
yij i ij , i 1,..., k, j 1,..., ni
根据F分布计算p值：p=Sig.=P(F>F值) 若p<alpha，拒绝原假设，认为因素A对
试验指标有显著性影响。通常当p<0.01 时，称有非常的显著影响。
单形成 方差分析表(Analysis of Variance Table)
变异来源
偏差平方和 自由度
均方
F值
(Sum of Squares) (df) (Mean Square)
(F)
P值 (Sig.)
组间变异
(Between Groups)
SSB
组内变异
(Within Groups)
SSW
k-1 MSB=SSB/(k-1) MSB/MSW P(F>F值) n-k MSW=SSW/(n-k)
一类是控制变量的不同水平带来的影响； 一类是随机因素的影响，主要指抽样误差；
12.1.2 方法原理
方差分析认为：如果观测变量在控制变 量各个水平上波动大，则控制变量对观 测变量有重大影响，波动不大则是随机 因素造成的；
衡量是否产生明显波动是通过检验观测 变量在控制变量各水平上的分布是否出 现了显著差异来实现的，如果有差异就 有波动，反之没有；
12.1 方差分析入门
12.1 方差分析入门
12.1.1 12.1.2 12.1.3 12.1.4
为什么要进行方差分析 方法原理 单因素方差分析的应用条件 单因素方差分析的SPSS实现
12.1.1 为什么要进行方差分析
在科学实验中常常要探讨不同实验条件或处理 方法对实验结果的影响。通常是比较不同实验 条件下样本均值间的差异
诸 ij 相互独立且 ij ~ N(0, 2) ，i， 2 为未知
研究因素的影响是否显著，归结为k个总体是 否具有相同的均值，即检验假设：
H0：1 2 L k .
单因素方差分析的基本原理
所有数据的偏差平方和 SST k
ni
( yij y)2
i1 j1
总平方和=组间平方和+组内平方和
影响观测变量的因素称为控制因素，或 者控制变量；
控制变量的不同类别，称为控制变量的 不同水平。
12.1.2 方法原理
方差分析就是从观测变量的方差入手， 研究诸多控制变量中哪些是对观测变 量有显著影响的，其不同水平及各水 平的搭配是如何影响观测变量的；
方差分析认为，影响观测变量值变化 的有两类：
方差分析是检验多组样本均值间的差异是否具 有统计意义的一种方法。例如
医学界研究几种药物对某种疾病的疗效； 农业研究土壤、肥料、日照时间等因素对某种农作
物产量的影响 不同饲料对牲畜体重增长的效果等
都可以使用方差分析方法去解决
12.1.2 方法原理
方差分析的相关概念：
上述农作物产量、广告效果等最终效果 的变量被称为观测因素，或称为观测变 量；
服从自由度为 k-1 和n-k 的F 分布。对于 给定样本， SST确定，如果原假设成立， SSB偏小，由分解知SSW偏大，故F偏小。
单因素方差分析的基本原理
反之，如果F偏大，在 SST确定的情形下， SSB偏大，由分解知SSW偏小，从而原假 设不成立。因此可以使用F统计量来判断 假设是否成立。
Cars.sav数据表
单因素方差分析的基本原理
该问题是考察产地这一因素的变化对汽 车耗油量是否有显著性影响。因此，这 个问题属于单因素方差分析。
通常把产地看作一个因素，记为A因素， 它有3个不同水平记为A1，A2，A3.
耗油量称为试验指标，记为y，第 i 产地 在第 j 次试验下的耗油量用yij表示。
单因素方差分析的基本原理
单因素方差分析用来研究一个控制变量 的各个水平是否对观测变量产生显著影 响；
例子：
不同施肥量是否对农作物产量带来显著影响； 考察地区差异是否影响妇女生育率；
都可以通过单因素方差分析得到结论；
单因素方差分析的基本原理
例12.3 打开SPSS自带文件Cars.sav，其 中变量mpg的含义为每加仑汽油可以行 驶的里程数(简单理解为耗油量)，现在希 望比较产自美国，日本，欧洲的汽车， 考察其每千米耗油量有无差异。
12.1.2 方法原理
在下述条件下，可以将分布的差异变成均值 的差异：
观测变量总体服从正态分布； 观测变量各总体方差应该相同；
总之，方差分析从观测变量的方差入手，检验 均值是否显著差异，分析控制变量是否给观测 变量显著影响，进而对控制变量各水平对观测 变量影响程度进行分析；
方差分析可分为单因素、多因素方差和协方差 分析
k
k ni
SST SSB SSw ni ( yi y)2
( yij yi )2
i1
i1 j1
组间平方和是由A发生变化引起的，反映 总体均数之间的差异。
组内平方和是由随机因素引起的差异。
单因素方差分析的基本原理
理论上，SST 有自由度 n-1，SSB有自由 度 k-1，SSW 有自由度 n-k，在正态分布 的假设下, 如果各组均值相等(原假设)， 则统计量 F MSB SSB /(k 1) MSW SSW /(n k)
总变异(Total)
SST
n-1
12.1.3单因素方差分析的应用条件
可比性
若资料中各组均数本身不具可比性则不适用 方差分析。
正态性
即偏态分布资料不适用方差分析。 对偏态分布的资料应考虑用对数变换、平方
单因素方差分析的基本原理
一般地，单因素方差分析
问题是：设某个因素A有k
A A … A 水平
试验号
12
k
个不同水平A1，… ，Ak. 每个水平下重复进行ni次
1 y11 y21 … yk1
试验，得到ni（i=1,2, … ,k） 2 y12 y22 … yk2
个试验指标。总样本量
N=sum(ni)
… … ………
问因素A的变化对试验指 标y是否有显著性影响
… y1,n1 y2,n2 … yk,nk
单因素方差分析的基本原理
设 i 表示在水平Ai下试验指标y的真实平均值，
则在Ai下每次试验结果yij应该是在真实平均值 的左右随机波动，这个随机波动记为 ij 方差分析模型为
yij i ij , i 1,..., k, j 1,..., ni
根据F分布计算p值：p=Sig.=P(F>F值) 若p<alpha，拒绝原假设，认为因素A对
试验指标有显著性影响。通常当p<0.01 时，称有非常的显著影响。
单形成 方差分析表(Analysis of Variance Table)
变异来源
偏差平方和 自由度
均方
F值
(Sum of Squares) (df) (Mean Square)
(F)
P值 (Sig.)
组间变异
(Between Groups)
SSB
组内变异
(Within Groups)
SSW
k-1 MSB=SSB/(k-1) MSB/MSW P(F>F值) n-k MSW=SSW/(n-k)
一类是控制变量的不同水平带来的影响； 一类是随机因素的影响，主要指抽样误差；
12.1.2 方法原理
方差分析认为：如果观测变量在控制变 量各个水平上波动大，则控制变量对观 测变量有重大影响，波动不大则是随机 因素造成的；
衡量是否产生明显波动是通过检验观测 变量在控制变量各水平上的分布是否出 现了显著差异来实现的，如果有差异就 有波动，反之没有；