数学原理与模型分析精品PPT课件

3.出差到外地时的交通图。
数学模型是运用数学的语言或工具，对部 分现实世界的信息（现象、数据等等）加以 翻译、归纳的产物。数学模型经过演绎、求 解以及推断，给出数学上的分析、预报、决 策或控制，再经过翻译和解释，回到现实世 界之中。
系统建模
数学建模(模型)概述
利用数学方法解决实际问题时，首先要进行 的工作是建立数学模型，然后才能在此模型的 基础上对实际问题进行理论求解、分析的研究 。
数学模型概念
一般地说，模型是我们所研究的客观事物有 关属性的模拟，它应当具有事物中我们关心 和需要的主要特性。 1.作战时主体作战地形模型； 2.在采煤开矿或打井时，描述本地区的地质结 构的地形图；
在上图中，乌龟从 A1 点开始先跑，跑到 A2 时兔子开 始追，当兔子追到 A2 点时，乌龟跑到了 A3 点；当兔 子在 A 点第二次追上乌龟时，乌龟跑到了 A 点；当兔 子在 A 点第三次追上乌龟时，乌龟跑到了 A 点……按 照这种逻辑，兔子永远也追不上乌龟。
设 兔 子 的 速 度 是 乌 龟 的 速 度 的 10 倍 ， 并 设
数学的三次危机
第一次危机—— 2 是无理数
希腊：毕达哥拉斯学派
❖ 信条：万物皆数 ❖ 其成员费洛罗斯曾宣称：人们所知道的一
切事物都包含数；因此，没有数就既不可 能表达，也不可能理解任何事物
❖ 毕氏学派所说的数指的是整数
❖ 每个数都赋予了特定的属性，最神圣的数 是10
❖ 利用数的理论解释天体运动
❖ 希腊：演绎数学——从实验转向推理
❖ 数学研究转向数学的内部：抽象代数；拓扑 几何；泛函分析
❖ 1900年Hilbert提出23个数学难题：哥德巴赫 猜想——偶数表示成两个奇素数之和
❖ 庞加莱猜想
❖ 2006年6月初，中科院外籍院士、哈佛大学 教授丘成桐透露了一条爆炸性新闻：百年数 学难题庞加莱猜想被彻底破解，中山大学 教 授朱熹平、清华大学兼职教授曹怀东完成 “封顶”之作。
❖ 庞加莱猜想是数学史上最伟大的问题之一， 是拓扑和几何的主流。
❖ 庞加莱猜想的研究对广义相对论和宇宙、黑 洞的研究以及实际的工程学应用等都可能有 着深远的影响，其证明方法跨越拓扑学、几 何学和微分方程等数学学科，它的重要性和 难度都是相当高的。
❖ 100多年来，庞加莱猜想这个数学游戏吸引 了许多杰出的数学家。这一猜想无疑是数学 研究中的王冠之一，先后有三位美国数学家 仅仅因为部分解决庞加莱猜想即获得菲尔兹 奖。2000年，位于美国麻省的克莱数学研究 所列出7项“千禧年数学难题”，并为每个 难题的破解设立百万美元巨奖，庞加莱猜想 即是7大难题之一。庞加莱猜想在数学上的 地位，由此可见一斑。
❖ 如果是，则N是M 的成员而不是N的成员；
❖ 如果不是其成员，则N 是N的成员，而不是 M的成员，于是N又是它本身的成员。
罗素 悖论的通俗例子
❖ 某村的一个理发师宣ຫໍສະໝຸດ ：他只给所有不给 自己刮脸的人刮脸。 ❖ 问题：理发师是否给自己刮脸？
❖ 若刮，则违背了自己的原则；
❖ 若不刮，那按照其原则，他就应该为 自己刮脸。
❖ 数学的起源与发展
❖ 数学：数（量）与（图）形——由自 然现象及生产实践中产生数字与图形
❖ 自然数、整数、有理数、无理数、复 数的定义
❖ 阿拉伯数学：河谷文明；埃及数学；
❖ 亚洲数学：中国数学、印度数学
❖ 中国数学：《》、《九章算术》、 《算经十书》
❖ 《九章算术》：分数运算、比例、代 数的解多元一次方程组、正负数、面 积体积的计算、刘徽的割圆术（极限 的思想）祖冲之的圆周率、杨辉三角 （宋朝《详解九章算术》）
解决办法：提出公理系统
❖ 目前公认的ZF公理系统，不会自相矛盾。 但是，第三次数学危机从整体看来还没有 解决到令人满意的程度。
❖ 数学的回归
❖ 数学建模——渗透到一些非传统领域： 社会学、经济学、生态学、体育学、 战争
❖ 数学的分析——稳定性分析等
❖ 数学引发的其他学科——计算机学科、 自动控制
❖ 庞加莱猜想是一个困惑数学界百年之久的难 题。1904年，法国数学家亨利·庞加莱提出 一个拓扑学上的猜想：在一个封闭三维空间， 假如每条封闭的曲线都能收缩成一点，这个 空间一定是一个圆球。
❖ 我们不妨想象：假如我们将一根橡皮带伸展 在苹果表面，然后就可以在既不扯断橡皮带， 也不脱离苹果表面的情况下，使它慢慢移动 并收缩为一个点；假如将同样的橡皮带伸展 在油炸圈饼表面，只要不扯断橡皮带或者不 脱离油炸圈饼表面，根本没有办法将它缩成 一点。因此，我们说苹果表面是“单连通 的”，而油炸圈饼表面不是。
S1=A1A2 ； S2=A2A3 ； S3=A3A4 ； S4=A4A5 … …
Si=AiAi+1。显然有
S2
1 10
S1; S3
1 10
S2 ; S4
1 10
S3
……
从而兔子第 n 次追上乌龟时乌龟与兔子的距离为
从而有
Sn
1 10
Sn1
(1 10
)2
Sn2
(1 10
)n1
S1
lim
n
Sn
lim( 1 n 10
❖ 发现了音乐定律：如果振动弦的长度可表 示成简单的整数比，这时发出的将是和音
证明：若 2 是有理数，则存在整数 p,q ，使 2 p ，
q
其中 p,q互质。则有
p2 2q2 ，
（1）
从而 p 一定为偶数。令 p 2m，代入(1)式，得到
4m2 2q2 ，
q2 2m2
从而 q 也为偶数，与 p,q互质矛盾，故 2 是无理数。
第二次危机：无限性
雅典时期希腊伊利亚学派的之 诺提出了四个著名的悖论：
1.两分法：运动不存在 2.阿基里斯永远追不上一只乌龟 3.飞箭：飞着的箭是静止的 4.运动场：空间和时间不能由不
可分割的单元组成
第二次危机
乌龟与兔子赛跑：如果乌龟先跑，则兔子永远追不上乌龟， 道理如下：
A1
S1
A2 S2 A3 S3 A4 S4 A5
)n1
S1
0
兔子追上乌龟所走过的路程为
S S1 S2 Sn
S1
1 10
S1
(1 10
) n1 S1
10 9
S1
第三次危机
❖ 事实：一个集合或者是它本身的成员， 或者不是它本身的成员
❖ 例子：所有集合本身是一个集合，但是， 所有人的集合不是一个人
罗素悖论
❖ 我们以M表示是它们本身的成员的所有集合 的集合，而以N表示不是它们本身成员的所 有集合的集合。现在问：集合N是否是它本 身的成员。