基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究

2007年7月系统工程理论与实践第7期　文章编号:100026788(2007)0720149207基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究张　译,靳雪翔,张　毅,姚丹亚(清华大学自动化系,北京100084)摘要:　以北京市公交系统为例,用二分图模型对其进行描述,分别构建出公交站点网络和公交线路网络,对二分图、公交站点网络和公交线路网络进行了度的分布、集聚系数以及平均路径长度等拓扑参数的计算,并与规则网络和随机网络进行了比较,发现北京市公交系统具有“小世界”网络的性质.最后深入地研究了公交线路网络与公交站点网络拓扑参数形成的机理.关键词:　公交网络;二分图;拓扑参数;“小世界”网络中图分类号:　N94;U12 文献标志码:　A T opological Analysis of Urban T ransit Netw orks Using Bipartite G raph M odelZHANG Y i ,J I N Xue 2xiang ,ZHANG Y i ,Y AO Dan 2ya(Department of Automation ,Tsinghua University ,Beijing 100084,China )Abstract :　Bipartite graph m odel has played an important role in the research of complex netw ork.It is well knownthat many real 2w orld complex netw orks can be represented using bipartite graph m odel.In this paper ,the bipartitegraph m odel was employed to m odel the urban transit system in Beijing.Then tw o different netw orks named transit 2linenetw ork and transit 2station netw ork are created respectively ,based on the bipartite graph m odel.The topologicalparameters of these three netw orks (bipartite graph m odel of transit system ,transit 2line netw ork and transit 2stationnetw ork ),including degree distribution ,clustering coefficients ,and average path length ,were calculated andcompared with the regular netw orks and random netw orks.Finally ,in order to explain why the topological parameterscome like that ,the statistical mechanisms for the transit stations netw ork and transit lines netw ork were researchedbased on the bipartite graph m odel.K ey w ords :　urban transit netw ork ;bipartite graph ;topological parameters ;“small 2w orld ”netw ork收稿日期:2006201212资助项目:国家自然科学基金(60374059);973国家重点基础研究发展计划(2006C B705500) 作者简介:张译,男,硕士研究生,主要研究方向为智能交通系统;靳雪翔,博士研究生,主要研究方向为智能交通系统;张毅,博士、教授、博士生导师,研究方向为智能交通系统,控制理论与方法,检测技术和控制系统等;姚丹亚,博士,副教授,研究方向为智能交通系统、检测技术和控制系统等.0　引言城市公共交通系统是与城市交通系统和社会经济环境相联系的、复杂的、开放的大系统[1].如何更好地改善这个大系统的性能,为更多的旅客提供更好的服务,是我国交通工程者们一直在探索的目标.我国公共交通部门和交通学科研究人员在公共交通领域内进行了许多研究工作,如:公交线网优化、客流分配技术、场站规划方法和公交系统评价方法等,取得了相当的研究成果.复杂网络理论是近年来发展起来的新理论,它从网络本身拓扑结构和网络中物理过程的复杂性出发,为研究系统的复杂性提供了一种新的理论基础[2～4].网络理论的研究大致可以分为三个阶段:规则网络、随机网络、复杂网络.这反映了人们对真实世界网络的认识过程.最开始,人们通常认为真实世界的网络具有规则的结构,比如二维的欧几里德格网[3];随着认识的深入,人们又提出了随机网络模型(RandomG raph )[5].在这种模型中,网络的节点之间的连接(边)是以某个概率随机产生的.随机网络模型在接下来的很长时期里被认为是最接近真实网络的模型.直到1998年Watts 和Strogatz 提出了“小世界”网络(Small 2w orld netw ork )模型[6],Barab ási 与Albert 提出了“无标度”网络(Scale 2free netw ork )模型[7],才彻底更新了人们对真实世界网络的认识.从目前的研究来看,对复杂网络的定义主要包含以下内容[8]:首先,它是大量真实复杂系统的拓扑抽象;其次,复杂网络至少在感觉上比规则网络和随机网络复杂,就目前而言,还没有一种简单的方法能生成完全符合真实统计特征的网络;最后,复杂网络是大量复杂系统赖以存在的拓扑基础.因此对它的研究有助于理解“复杂系统之所以复杂的本质”[8].钱学森给出了复杂网络的一个较严格的定义,即具有自组织、自相似、吸引子、小世界、无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络[9].二分图是图论里面的一种在理论研究和实际应用中都有重要意义的特殊模型.在二分图中,所有顶点被分成两个集合M 和N ,其中M 或N 中任意两个在同一集合中的点都不直接相连.实际生活中可以碰到很多可以用二分图来表示的网络,比如演员网络、论文作者网络、公司董事网络等都可以通过二分图来表示[10].目前关于复杂网络理论在城市公共交通的研究中的应用开始引起人们的研究兴趣.Latora 和Marchiopi (2002)研究了波士顿的地铁网络特性[11];Sienkiewicz (2005)研究了波兰21个城市的公交系统,采用两种网络模型对其进行分析[12].在国内,也有学者开始了这方面的研究,吴建军、高自友等(2005,2006)通过构建O 2D 网络分析了北京市的公交网络的“无标度”特性及“小世界”特性[13],并研究了公交网络的效率问题[14].赵金闪、狄增如等(2005)提出了三种网络模型来研究北京市公交网络特性[15],陈丽平(2005)对南京市公交网络进行了复杂网络特性的实证研究[16].本文以北京市公交系统为例,将其表示成二分图模型,并从该模型出发分别构建了公交站点网络和公交线路网络,计算出度的分布、集聚系数以及平均路径长度等拓扑参数,并与规则网络和随机网络相比较,得出北京市公交系统具有“小世界”网络性质的结论.最后在二分图模型的基础上,深入地研究了公交站点网络与公交线路网络的度分布形成的机理.本文第1节着重讨论公交系统网络模型的建立,第2节以北京市公交系统为例,分析其拓扑性质,第3节在二分图模型的基础上,研究网络拓扑参数形成的机理,最后第4节给出研究工作的主要结论.1　公交系统网络模型公交网络是由公交线路和站点组成的网络,如图1(a )所示即是两条具有交汇站点的线路组成的公交网络.一条公交线路要经过若干站点,同时一个停靠站点会有若干公交线路经过.公交线路与线路之间通过交汇的站点发生联系,站点与站点之间通过公交线路相联系.图1　公交系统的二分图模型　图2　公交站点网络与公交线路网络　111　公交二分图模型公交系统的二分图模型是一个包括两个节点集合的网络,分别包括公交线路节点集合和公交站点节点集合,如果某条公交线路经过某些站点,则将那些站点与该公交线路用一条无向直线相连.图1(b )所示是两条具有交汇站点的公交线路的二分图模型,其中顶层节点(A ;B )为公交线路节点,底层节点(A1,A2,…,A7;B1,B2,…,B7)是公交站点节点.112　公交站点网络与公交线路网络051系统工程理论与实践2007年7月由公交二分图可以分别构建公交站点网络和公交线路网络.公交站点网络是指以站点为节点,如果某两个站点在同一公交线路中,则这两个站点之间存在唯一的连接(边)而形成的网络,如图2(c );公交线路网络是指以公交线路为节点,线路之间的共同站点为连接(边)而形成的网络,如图2(b ).公交站点网络(图2(c ))是用来考察公交站点与站点之间的连通性的,这种连通性不需要考察公交站点之间的几何距离,仅仅考察拓扑意义上的连通关系,也即站点与站点之间的换乘次数.对于如图2(b )所示的公交线路网络,则主要关注线路与线路之间的连通关系.从乘客出行的角度来考虑,如果某乘客出行的起始站与终点站之间并无线路直连,必然要通过线路的换乘才能到达终点,因此公交线路之间的是否可换乘体现了公交线路之间的连通性.如果线路之间不具备较好的连通性,将会影响到站点之间的可达,这是由于站点之间是通过线路连接的.综上所述,分析公交站点网络和公交线路网络的连通性及其拓扑性质,并与公交系统自身的特点相结合,是非常有必要的.图3　北京市公交系统网络建模示例本文将以北京市公交系统为例,应用本节介绍的网络模型对其拓扑性质进行分析.北京市公交公司2003年一共拥有417条公交线路,其中夜班线路10条,日间线路407条,由于夜间车与日间车运行的时段不同,有必要将夜间车与日间车区别开来,故在此预先删去夜间班车线路.这407条日间班车线路共经过3095个不同的站点,我们先将其表示成由407个公交线路节点和3095个公交站点节点构成的二分图,然后如图2所示转化为相对应的公交线路网络和公交站点网络.图3取北京市二环以内的5条公交线路和50个公交站点为例,将其用二分图表示,再分别构建出公交线路网络和公交站点网络.图3中(a )是实际的公交网络图,(b )是其二分图模型(其中外环节点是公交站点节点,内环节点是公交线路节点),(c ),(d )分别是通过二分图构建出的公交站点网络和公交线路网络.2　公交系统拓扑性质分析由于公交站点网络和公交线路网络可以由公交二分图构建得出,因此在对公交网络的拓扑性质进行分析时有必要分别就公交二分图、公交站点网络和公交线路网络这三种模型的拓扑性质进行分析,这是因为从二分图出发构建的公交站点网络和公交线路网络的拓扑性质与二分图的拓扑性质有着紧密的联系.下面先简单介绍在复杂网络理论中常用的三个拓扑参数:对于一个给定的图或网络,称所有节点的集合为N ,所有连接(边)的集合为E ,于是我们将这个图表示为G (N ,E ),其中N ={1,2,…,n },E ={δij },i ,j 表示为节点i ,j ,而δij =1i ,j 之间有连接0i ,j 之间无连接.1)度的分布(Degree Distribution ):一个节点的度通常定义为该节点连接的所有连接(边)的总和.网络的度分布即为网络中节点的度的概率分布或频率分布(统称分布).一个节点的度k 通常定义为该节点连接的所有连接(边)的总和,写成数学表达式为:d (i )=∑j ∈G δij .(1) Barab ási 和Albert 研究发现世界上许多网络都具有“无标度”网络的性质,其典型的特征即为度的分布服从幂律分布(P ower Law )[7].幂律分布在“无标度”网络中具体表现为网络中大多数节点的度都非常低,而极少数节点又具有相当大的度[17].这与真实世界的许多网络是非常相似的,比如Internet 网络中,大多数计算机终端仅与服务器相连,其节点度多数为1,而某些大型服务器却具有相当大的度.2)平均路径长度(Average Path Length ):通常一个网络中任意两个节点i ,j 之间存在着一定的路径,在这所有的路径中最短的路径称为节点i ,j 之间的最短路径P ij .一个网络的平均路径长度定义为所有的节151第7期基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究点i ,j 之间的最短路径的平均值.即:L (G )=1N (N -1)∑i ,j ∈G i ≠j P ij .(2)对于“小世界”网络,其平均路径长度大于随机网络而小于规则网络[18].3)集聚系数(Clustering coefficient ):集聚系数是考察网络的集团化程度的重要拓扑参数,对于网络中每一个节点i ,找到其邻近的节点集合N i (某节点的邻近节点的个数等于该节点的度),如果N i 中存在的边的数量为E i ,则集聚系数定义为E i 与N i 中所有可能存在的连接(边)数的比值,即:C i =2E i N i (N i -1),(3)而平均集聚系数定义为所有节点的集聚系数的算术平均值.Watts 和Strogatz 研究发现许多真实世界的网络的平均集聚系数往往要比具有相同节点和连接数的随机网络大,表现出“小世界”网络性质[6].211　二分图拓扑参数分析对于城市公共交通网络的二分图模型,其公交线路节点的度对应为公交线路所经过的站点数,其公交站点节点的度对应为公交站点上所经过的公交线路数.如图1所示,线路A 经过的站点数为7,则其度为7;站点A1上所经过的线路数为1,则其度为1.本小节将主要分析公交二分图的节点度分布.我们计算出每条公交线路所经过的站点数并用直方图表示出来,得到公交二分图中公交线路节点的度的频率分布图,如图4所示.经过拟合发现,公交线路节点的度分布大致服从对数正态分布.图4　二分图中公交线路节点度的频率分布(直方图)　图5　二分图中公交站点节点的度分布　同时,我们对每个站点所经过的公交线路数的频率分布进行计算,得出公交二分图中公交站点节点的度在双对数坐标下的频率分布图,发现其大致服从幂律分布.图5表示了公交站点节点的度与其出现频率的关系,图6为其双对数坐标图.由图6可见在双对数坐标下,公交站点节点的度与其频率的关系基本成线性,这符合幂律分布的特点[17].212　公交站点网络拓扑参数分析通过对由二分图模型构建出的北京市公交站点网络的拓扑参数计算和分析发现,其度的累积频率分布(这里的累积频率指网络中度大于k 的节点的个数)在双对数坐标下明显地不同于随机网络的二项分布,也不同于常见的“无标度”网络的幂律分布.通过对其累积频率分布的拟合发现,形状大致服从对数正态分布.图7是公交站点网络度的累积分布用对数正态分布来进行拟合的结果.同时我们计算出公交站点网络的平均集聚系数和平均路径长度,并与具有相同节点和连接数的规则网络(以二维的欧几里德格网为例)及随机网络进行比较,比较结果如表1所示.由表1可以发现公交站点网络平均路径长度介于欧几里德格网和随机网络之间,具有典型的“小世界”网络的性质[6,18].公交站点网络特殊的地方在于其平均集聚系数达到017652,甚至高于一般的规则网络,这说明在北京市公交站点网络中,集聚的程度非常高.因为在定义的公交站点网络中,处于同一条公交线路中的站点都是相互连接的,这251系统工程理论与实践2007年7月样必然会导致整个网络的平均集聚系数达到比较高的水平.文献[19]研究了波士顿和维也纳的地铁网络,其地铁站点网络的定义与我们的公交站点网络的定义类似,其平均集聚系数甚至达到了0192.图6　二分图中公交站点节点的度分布(双对数坐标)　图7　拟合公交站点网络节点度的累积分布　213　公交线路网络拓扑参数分析同样对于公交线路网络,对其度的累积分布拟合发现大致服从对数正态分布,如图8所示.我们也计算了公交线路网络的平均集聚系数和平均路径长度,并且与相同节点数和连接数的规则网络和随机网络进行比较,如表2所示.可以看出,公交线路网络的平均集聚系数和平均路径长度均介于规则网络和随机网络之间,这充分说明公交线路网络也具有典型的“小世界”网络的性质.表1　公交站点网络的拓扑参数与规则网络、随机网络的比较平均集聚系数平均路径长度公交站点0.7652 2.5029规则网络0.75µ2随机网络0.0551 1.8083表2　公交线路网络的拓扑参数与规则网络、随机网络的比较平均集聚系数平均路径长度公交线路0.5725 1.7987规则网络0.75µ2随机网络0.2339 1.31893　网络度分布的形成机理分析在复杂网络理论中,研究节点度的分布是其中重要的组成部分.在城市公交系统的拓扑参数分析中,对于公交站点网络和公交线路网络,通常需要分别计算其度的分布.由于公交站点网络和公交线路网络都是由二分图模型所构建,因此它们的拓扑性质与二分图固有的拓扑性质必然存在着某种对应关系.本节正是应用二分图的相关理论来找出公交二分图的节点的度分布与公交站点网络、公交线路网络的节点的度分布之间的关系.对于一个二分图G (T ,B ,E ),T 为顶层节点集合,B 为底层节点集合,E 为网络中连接(边)的集合,对于一个给定的底层节点u ,其度为d (u ),这意味着节点u 与d (u )个顶层节点相连,如果两个底层节点与同一个顶层节点相连,则在底层节点网络中,这两个节点相互连接,对于顶层节点网络也有类似的情形.实际上,对于凡是能表示成二分图的网络来说,其底层节点网络与顶层节点网络的度分布往往与二分图底层节点和顶层节点的度的分布有关(注意区分二分图的底层节点和底层节点网络).因此,对于公交二分图模型,可以通过计算二分图的底层和顶层节点(分别为公交站点节点和公交线路节点)的度的分布得到公交站点网络和公交线路网络度大概的分布情况.351第7期基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究图8　拟合公交站点网络节点度的累积分布　图9　公交站点网络度的理论分布与实际分布的比较　对于底层节点u ,其在底层节点网络中的度定义为d B (u ),则该节点在底层节点网络中度为k 的概率可表示为[20]:P (d B (u )=k )～P d (u )=|T |∑t ≠u d (t )・k ,(4)其中|T |为顶层节点的个数.式(4)实际上表明了底层节点网络的度分布可以由二分图底层节点的度估计得出.当二分图中底层节点的度服从幂律分布时,可以证明底层节点网络的度也服从幂律分布.在公交二分图中,不妨将公交站点节点看作二分图的底层节点,其度的频率分布大致服从幂律分布(图6),按照文献[20]的观点,在公交站点网络(也即底层节点网络)中,其度的分布也应大致服从幂律分布.我们把式(4)代入到幂律分布中有:P (d B (u )=k )～P [d (u )=012743k ]～C ・(010117・k )-211,(5)其中|T |∑t ≠u d (t )≈|T |∑d (t)=01274,而C =110419为系数.式(5)给出了公交站点网络的度的理论概率分布.将式(5)对应的累积概率分布与公交站点网络度的累积概率分布进行对比,如图9所示.经过对比可以发现理论分布的形状与实际的分布形状比较相似,只是理论累积分布在形状上要相对内凹一些.对于公交二分图中公交线路节点,其度的分布服从对数正态分布,将式(4)代入到对数正态分布的分布函数中,有:P (k -ε<d B (u )<k +ε)～∫k +εk -ε12πσκ-1e -(ln κ-μ)22σ2d κ,(6)其中κ=|T |∑t ≠u d (t)・k ,ε>0.式(6)给出了公交线路网络的节点的度的理论概率分布.其仍然具有对数正态分布的形式,因此在公交线路网络中,节点度的分布也应该服从对数正态分布.由图8也可以比较出其与对数正态分布是基本上一致的.综上所述,利用二分图模型可以大致地估计公交站点网络和公交线路网络的度的分布.设二分图模型中,其公交站点节点的度的分布为f (x ),则由二分图转化的公交站点网络的节点度的分布为F (x ),则由式(5)有:F (x )～f (x ).(7) 同理,对于二分图中的公交线路,其节点度的分布为g (x ),则公交线路网络的节点度的分布为G (x )也满足关系G (x )～g (x ).这样可以将公交系统的拓扑性质的研究统一在二分图模型中,从而省去了分别计算公交站点网络和公交线路网络的度的分布的步骤,并减小了计算网络拓扑参数的计算量.451系统工程理论与实践2007年7月4　结论二分图模型在复杂网络的研究中具有非常重要的地位,本文以北京市公交系统为例,通过将其表示成二分图,发现其公交站点节点的度服从幂律分布,公交线路节点的度服从对数正态分布.在此基础上,通过构建公交站点网络和公交线路网络,计算和分析其拓扑参数,并与规则网络和随机网络比较,可以证明北京市公交系统具有“小世界”网络的性质.最后通过研究公交站点网络和公交线路网络度分布的形成机理,可以将对公交系统拓扑性质的研究最终归结为对其二分图的研究,从而可以简化相关分析工作.以上研究成果表明,在二分图基础上研究公交系统的拓扑性质是可行的,并为更深入地分析公交系统的复杂网络拓扑性质打下了良好的基础.参考文献:[1]　王炜.城市公共交通系统规划方法与管理技术[M].北京:科学出版社,2002.Wang Wei.Urban T ransit Planning and Administration[M].Beijing :Science Press ,2002.[2]　吴金闪,狄增如.从统计物理学看复杂网络研究[J ].物理学进展,2004,24(1):18-46.Wu Jinshan ,Di Z engru.C omplex netw orks in statistic physics[J ].Progress in Physics ,2004,24(1):18-46.[3]　Wang X iaofan ,Chen G uanrong.C omplex netw orks :small 2w orld ,scale 2free and bey ond [J ].Circuits and Systems Magazine ,IEEE ,2003,3:6-20.[4]　Albert R ,Barab ási A L.S tatistical mechanics of complex netw orks[J ].Review of M odern Physics ,2002,74:47-97.[5]　Erd s P ,R ényi A.On the ev olution of random graphs[J ].Publ Math Inst Hung Acad Sci ,1959,5:17-60.[6]　Duncan J Watts ,S teven H S trogatz.C ollective dynamics of small 2w orld netw orks[J ].Nature ,1998,393:440-442.[7]　Barab ási A L ,Albert R.Emergence of scaling in random netw orks[J ].Science ,1999,208:509-512.[8]　周涛,柏文洁,汪秉宏.复杂网络研究综述[J ].物理,2005,34(1):31-36.Zhou T ao ,Bai Wenjie ,Wang Binghong.A short review of complex netw orks[J ].Physics ,2005,34(1):31-36.[9]　http :ΠΠ Πnews.aspx ?newsid =1514.[10]　Newman M E J ,Watts D J ,S trogatz S H.Random graph m odels of s ocial netw orks [C ]ΠΠProceedings ,National Academy ofSciences ,US A ,2002,99(Suppl.1):2566-2572.[11]　Vito Latora ,Massim o Marchiori.Is the boston subway a small w orld netw ork ?[J ].Physica A ,2002,314:109.[12]　Julian S ienkiewicz ,Janusz A H olyst.Public transport systems in P oland[J ].Phys Rev E ,2005,72:046127.[13]　Wu Jianjun ,G ao Z iy ou ,Sun Huijun ,et al.Urban transit as a scale free netw ork[J ].M odern Physics Letter B ,2004,18:1043-1049.[14]　Wu Jianjun ,G ao Z iy ou ,Sun Huijun.C omplexity and efficiency of Beijing transit netw ork [J ].International Journal of M odernPhysics B ,2006,20(15):2129-2136.[15]　赵金山,狄增如,王大辉.北京市公共汽车交通网络几何性质的实证研究[J ].复杂系统与复杂性科学,2005,2(2):45-48.Zhao Jinshan ,Di Z engru ,Wang Dahui.Empirical research on public transport netw ork of Beijing [J ].C omplex Systems and C omplexity Science ,20052(2):45-48.[16]　陈丽平.加权复杂网络的效率———南京市公共交通网络的实证研究[R].全国大学生挑战杯竞赛二等奖获奖论文,2005.Chen Liping.E fficiency of complex weighted netw orks -An example of Nanjing urban transit netw ork [R ].2nd Prize Paper ,“Challenge Cup ”National C ontest of C ollege S tudents ’Scientific and T echnological W ork ,2005.[17]　胡海波,王林.幂律分布研究简史[J ].物理.2005,34(12):889-896.Hu Haibo ,Wang Lin.A brief history of power law distributions[J ].Physics ,2005:34(12):889-896.[18]　D orog ovtsev S N ,Mendes J F F.The shortest path to complex netw orks.2004,arX iv :cond 2mat Π0404593.[19]　K atherine A Seaton ,Lisa M Hackett.S tations trains and small 2w orld netw ork[J ].Physica A ,2005,339(3):635-644.[20]　Jean 2Loup G uillaume ,Matthieu Latapy.Bipartite graphs as m odels of complex netw orks[C]ΠΠFirst W orkshop on C ombinatorial andAlg orithmic Aspects of Netw orks ,2004,127-133.551第7期基于二分图的城市公交网络拓扑性质研究。