2015年普通高等学校招生全国统一考试 广 东 卷(理科)

2015年普通高等学校招生全国统一考试广 东 卷(理科)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}，N ＝{x |(x －4)(x －1)＝0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1,4} B ．{－1，－4} C ．{0} D ．∅解析：选D.∵ M ＝{x |(x ＋4)(x ＋1)＝0}＝{－4，－1}，N ＝{x |(x －4)(x －1)＝0}＝{1,4}，∴ M ∩N ＝∅.2．若复数z ＝i (3－2i )(i 是虚数单位)，则z ＝( ) A ．2－3i B ．2＋3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：选A.∵ z ＝i (3－2i )＝3i －2i 2＝2＋3i ，∴ z ＝2－3i . 3．下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x解析：选D.A 选项定义域为R ，由于f (－x )＝1＋(－x )2＝1＋x 2＝f (x )，所以是偶函数．B选项定义域为{x |x ≠0}，由于f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，所以是奇函数．C 选项定义域为R ，由于f (－x )＝2－x ＋12－x ＝12x ＋2x ＝f (x )，所以是偶函数．D 选项定义域为R ，由于f (－x )＝－x＋e －x ＝1ex －x ，所以是非奇非偶函数．4．袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )A.521B.1021C.1121D ．1 解析：选B.从15个球中任取2个球共有C 215种取法，其中有1个红球，1个白球的情况有C 110·C 15＝50(种)，所以P ＝50C 215＝1021. 5．平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是( ) A ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 B ．2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0 C ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0 D ．2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0解析：选A.∵ 所求直线与直线2x ＋y ＋1＝0平行，∴ 设所求的直线方程为2x ＋y ＋m＝0.∵ 所求直线与圆x 2＋y 2＝5相切，∴ |m |1＋4＝5，∴ m ＝±5.即所求的直线方程为2x＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0.6．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2，则z ＝3x ＋2y 的最小值为( )A ．4 B.235 C ．6D.315第6题图解析：选B.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≥8，1≤x ≤3，0≤y ≤2表示的平面区域为如图所示的阴影部分，作直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移直线l 0，当经过点A 时，z 取得最小值．此时⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，4x ＋5y ＝8，∴ A ⎝⎛⎭⎫1，45，∴ z m i n ＝3×1＋2×45＝235. 7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝54，且其右焦点为F 2(5,0)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 23＝1B.x 29－y 216＝1C.x 216－y 29＝1D.x 23－y 24＝1 解析：选C.∵ e ＝c a ＝54，F 2(5,0)，∴ c ＝5，∴ a ＝4，b 2＝c 2－a 2＝9，∴ 双曲线C 的标准方程为x 216－y29＝1.8．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A ．至多等于3 B ．至多等于4 C ．等于5 D ．大于5解析：选B.n ＝2时，可以；n ＝3时，为正三角形，可以；n ＝4时，为正四面体，可以；n ＝5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长相等，不可能．第Ⅱ卷二、填空题(本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上)(一)必做题(9～13题)9．在(x －1)4的展开式中，x 的系数为________．解析：T r ＋1＝C r 4·(x )4－r ·(－1)r .令r ＝2，则C 24(－1)2＝6. 答案：610．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.解析：因为等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，所以5a 5＝25，即a 5＝5.所以a 2＋a 8＝2a 5＝10.答案：1011．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b＝________.解析：在△ABC 中，∵ sin B ＝12，0<B <π，∴ B ＝π6或B ＝56π.又∵ B ＋C <π，C ＝π6，∴B ＝π6，∴ A ＝π－π6－π6＝23π.∵ a sin A ＝b sin B ，∴ b ＝a sin B sin A ＝1.答案：112．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．(用数字作答)解析：A 240＝40×39＝1 560. 答案：1 56013．已知随机变量X 服从二项分布B (n ，p )．若E (X )＝30，D (X )＝20，则p ＝________.解析：由E (X )＝30，D (X )＝20，可得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝30，np (1－p )＝20，解得p ＝13.答案：13(二)选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．(坐标系与参数方程选做题)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎫22，7π4，则点A 到直线l 的距离为________． 解析：由2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2，得2ρ⎝⎛⎭⎫22sin θ－22cos θ＝2，∴ y －x ＝1.由点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，7π4得点A 的直角坐标为(2，－2)，∴ d ＝|2＋2＋1|2＝522. 答案：52215．(几何证明选讲选做题)如图，已知AB 是圆O 的直径，AB ＝4，EC 是圆O 的切线，切点为C ，BC ＝1.过圆心O 作BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD ＝________.15题图解析：∵ AB 为直径，∴ ∠BCA ＝90°.由OP ∥BC ，得OP ＝12BC ＝12，AC ＝16－1＝15，∴ CP ＝P A ＝152.∵ EC 为⊙O 的切线，∴ ∠DCP ＝∠ABC ＝∠AOP . 又∵ ∠APO ＝∠CPD ，∴ △DCP ∽△AOP ，∴ AP DP ＝OP PC， ∴ DP ＝152，∴ OD ＝152＋12＝8.答案：8三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sinx ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解：(1)若m ⊥n ，则m ·n ＝0.由向量数量积的坐标公式得22sin x －22cos x ＝0，∴ tan x ＝1.(2)∵ m 与n 的夹角为π3，∴ m ·n ＝|m |·|n |cos π3，即22sin x －22cos x ＝12， ∴ sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12. 又∵ x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴ x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4， ∴ x －π4＝π6，即x ＝5π12.到的年龄数据为44，列出样本的年龄数据；(2)计算(1)中样本的均值x 和方差s 2；(3)36名工人中年龄在x －s 与x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是多少(精确到0.01%)?解：(1)36人分成9组，每组4人，其中第一组的工人年龄为44，所以它在组中的编号为2，所以所有样本数据的编号为4n －2(n ＝1,2，…，9)， 其年龄数据为：44,40,36,43,36,37,44,43,37.(2)由均值公式知：x ＝44＋40＋…＋379＝40，由方差公式知：s 2＝19[(44－40)2＋(40－40)2＋…＋(37－40)2]＝1009.(3)因为s 2＝1009，s ＝103，所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数等于年龄在区间[37,43]上的人数， 即40,40,41，…，39，共23人．所以36名工人中年龄在x －s 和x ＋s 之间的人数所占的百分比为2336×100%≈63.89%.18．(本小题满分14分)如图，三角形PDC 所在的平面与长方形ABCD 所在的平面垂直，PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3.点E 是CD 边的中点，点F ，G 分别在线段AB ，BC 上，且AF ＝2FB ，CG ＝2G B.第18题图(1)证明：PE ⊥FG ； (2)求二面角P -AD -C 的正切值；(3)求直线P A 与直线FG 所成角的余弦值．解：法一：(1)证明：在△PCD 中，∵ E 为CD 的中点，且PC ＝PD ，∴ PE ⊥C D. 又∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，PE ⊂平面PCD ，∴ PE ⊥平面ABC D.又∵ FG ⊂平面ABCD ，∴ PE ⊥FG .(2)由(1)知PE ⊥平面ABCD ，且AD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥A D. 又∵ 四边形ABCD 是长方形，∴ AD ⊥C D.又∵ PE ∩CD ＝E ，∴ AD ⊥平面PCD ，∴ AD ⊥PD ， ∴ ∠PDE 为二面角P -AD -C 的平面角．∵ AB ＝CD ＝6，∴ DE ＝3.在Rt △PED 中，PE ＝PD 2－DE 2＝42－32＝7，∴ tan ∠PDE ＝PE DE ＝73，∴ 所求二面角P -AD -C 的正切值为73.第18题图(1)(3)如图(1)，连接AC ，在△ABC 中，∵ AF ＝2FB ，CG ＝2GB ， ∴ FG ∥AC .由异面直线所成角的定义：知直线P A 与直线FG 所成角的大小等于∠P AC 的大小． 在Rt △PDA 中，P A ＝PD 2＋AD 2＝5，AC ＝AB 2＋BC 2＝35，PC ＝4，∴ cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC ＝25＋45－162×5×35＝9525，∴ 直线P A 与直线FG 所成角的余弦值为9525.法二：在△PCD 中，∵ E 为CD 的中点，且PC ＝PD ， ∴ PE ⊥CD.又∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，且平面PCD ∩平面ABCD ＝ CD ，PE ⊂平面PCD ，∴ PE ⊥平面ABCD.取AB 的中点H ，连接EH .第18题图(2)∵ 四边形ABCD 是长方形，∴ EH ⊥C D.如图(2)，以E 为原点，EH ，EC ，EP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，∵ PD ＝PC ＝4，AB ＝6，BC ＝3，AF ＝2FB ，CG ＝2GB ，∴ E (0,0,0)，P (0,0，7)，F (3,1,0)，G (2,3,0)，A (3，－3，0)，D (0，－3,0)，C (0,3,0)．(1)证明：∵ EP →＝(0,0，7)，FG →＝(－1,2,0)， 且EP →·FG →＝(0,0，7)·(－1,2,0)＝0，∴ EP →⊥FG →， 即EP ⊥FG .(2)∵ PE ⊥平面ABCD ，∴ 平面ABCD 的法向量为EP →＝(0,0，7)．设平面ADP 的法向量为n ＝(x 1，y 1，z 1)，AP →＝(－3,3，7)，DP →＝(0,3，7)，由于⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n ＝0，DP →·n ＝0，即⎩⎨⎧－3x 1＋3y 1＋7z 1＝0，3y 1＋7z 1＝0，令z 1＝3，则x 1＝0，y 1＝－7， ∴ n ＝(0，－7，3)． 由图可知二面角P -AD -C 是锐角，设为α，则cos α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·EP →|n ||EP →|＝3747＝34，∴ sin α＝74，tan α＝73.(3)∵ AP →＝(－3,3，7)，FG →＝(－1,2,0)，设直线P A 与直线FG 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·FG →|AP →||FG →|＝3＋69＋9＋7×5＝9525. ∴ 直线P A 与FG 所成角的余弦值为9525.19．(本小题满分14分)设a >1，函数f (x )＝(1＋x 2)e x －a . (1)求f (x )的单调区间；(2)证明：f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y ＝f (x )在点P 处的切线与x 轴平行，且在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行(O 是坐标原点)，证明：m ≤3a －2e－1.解：(1)f (x )的定义域为R ，由导数公式知f ′(x )＝2x e x ＋(1＋x 2)e x ＝(x ＋1)2e x ，x ∈R . ∵ 对任意x ∈R ，都有f ′(x )≥0，∴ f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间．(2)证明：由(1)知f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，且f (0)＝1－a <0，f (a －1)＝a e a －1－a ＝a (e a －1－1)． ∵ a >1，∴ a －1>0，∴ a －1>0，∴ e a －1>1，∴ e a －1－1>0，故f (a －1)>0， ∴ ∃x 0∈(0，a －1)使得f (x 0)＝0.又∵ f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数， ∴ f (x )在(－∞，＋∞)上仅有一个零点．(3)证明：f ′(x )＝(x ＋1)2e x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝－1，∴ 点P ⎝⎛⎭⎫－1，2e －a ，∴ k OP ＝a －2e. 又∵ f (x )在点M (m ，n )处的切线与直线OP 平行，∴ f ′(m )＝k OP ，即(m ＋1)2e m ＝a －2e.而要证m ≤3a －2e －1，只需证(m ＋1)3≤a －2e ，而(m ＋1)2e m ＝a －2e，只需证(m ＋1)3≤(m ＋1)2e m ，只需证m ＋1≤e m . 构造函数h (x )＝e x －x －1，x ∈R ，h ′(x )＝e x －1. 令h ′(x )>0，解得x >0；令h ′(x )<0，解得x <0，∴ h (x )＝e x －x －1在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，∴ h (x )≥h (0)＝0，∴ e x ≥x ＋1，即m ＋1≤e m ，∴ m ≤3a －2e－1，得证．20．(本小题满分14分)已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ， B.(1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4，∴ 圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)． (2)设M (x ，y )，∵ A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点，∴ 由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴ MC 1→·MO →＝0.又∵ MC 1→＝(3－x ，－y )，MO →＝(－x ，－y )， ∴ 由向量的数量积公式得x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，∴ 设直线l 的方程为y ＝mx ，当直线l 与圆C 1相切时，d ＝|3m －0|m 2＋1＝2，解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)．又∵ 直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点，∴ 53<x ≤3.∴ 点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．(3)由题意知直线L 表示过定点(4,0)，斜率为k 的直线，把直线L 的方程代入轨迹C 的方程x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，化简得：(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0，其中53<x ≤3，记f (x )＝(k 2＋1)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2，其中53<x ≤3.若直线L 与曲线C 只有一个交点，令f (x )＝0.当Δ＝0时，解得k 2＝916，即k ＝±34，此时方程可化为25x 2－120x ＋144＝0，即(5x －12)2＝0，解得x ＝125∈⎝⎛⎦⎤53，3，∴ k ＝±34满足条件． 当Δ>0时，①若x ＝3是方程的解，则f (3)＝0⇒k ＝0⇒另一根为x ＝0<53，故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意．②若x ＝53是方程的解，则f ⎝⎛⎭⎫53＝0⇒k ＝±257⇒另外一根为x ＝6423，53<6423≤3，故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． ③若x ＝3和x ＝53均不是方程的解，则方程在区间⎝⎛⎭⎫53，3上有且仅有一个根，只需f ⎝⎛⎭⎫53·f (3)<0⇒－257<k <257.故在区间⎝⎛⎦⎤53，3上有且仅有一个根，满足题意． 综上所述，k 的取值范围是－257≤k ≤257或k ＝±34.21．(本小题满分14分)数列{a n }满足：a 1＋2a 2＋…＋na n ＝4－n ＋22n －1，n ∈N *.(1)求a 3的值；(2)求数列{a n }的前n 项和T n ；(3)令b 1＝a 1，b n ＝T n －1n ＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋13＋…＋1n a n (n ≥2)．证明：数列{b n }的前n 项和S n 满足S n <2＋2ln n .解：(1)令n ＝1⇒a 1＝1；令n ＝2⇒a 1＋2a 2＝2⇒a 2＝12；令n ＝3⇒a 1＋2a 2＋3a 3＝4－54⇒a 3＝14.(2)当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝4－n ＋12n －2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＋na n ＝4－n ＋22n －1.②②－①，得na n ＝n ＋12n －2－n ＋22n －1＝n 2n －1，∴ a n ＝12n －1.又∵ 当n ＝1时，a 1＝1也适合a n ＝12n －1，∴ a n ＝12n －1(n ∈N *)，易证数列{a n }是等比数列，首项a 1＝1，公比q ＝12.∴ 数列{a n }的前n 项和T n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2－12n －1.(3)证明：∵ b 1＝a 1＝1，∴ S 1<2＋2ln 1成立．又∵ b 2＝a 12＋⎝⎛⎭⎫1＋12a 2， b 3＝a 1＋a 23＋1＋12＋13a 3，…，b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1n＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a n ， ∴ 数列{b n }的前n 项和S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a 1＋⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n a 2＋...＋1＋12＋ (1)a n＝1＋12＋…＋1na 1＋a 2＋…＋a n＝1＋12＋…＋1n ⎝⎛⎭⎫2－12n 1<2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n ， 构造函数h (x )＝ln 1x －1x ＋1，x >0，h ′(x )＝1－x x2，令h ′(x )>0，解得0<x <1；令h ′(x )<0，解得x >1，∴ h (x )＝ln 1x －1x＋1，x >0在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，∴ h (x )≤h (1)＝0，∴ ln 1x －1x＋1≤0，x >0(仅当x ＝1时取等号)，即ln x ≥1－1x.又∵ ln n ＝ln nn －1＋ln n －1n －2＋...＋ln 2>⎝⎛⎭⎫1－n －1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－n －2n －1＋...＋⎝⎛⎭⎫1－12 ＝12＋13＋ (1)， ∴ 2⎝⎛⎭⎫1＋12＋…＋1n <2＋2ln n ，∴ S n <2＋2ln n .。