复变函数07教学大纲
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。
教学内容第一章复数与复变函数复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。
复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。
（一）教学内容1．复数发展史略；2．复数的定义及运算。
复数的定义、复数的表示式及代数运算、复数的模和辐角、共轭复数。
3．平面上的点集。
平面点集、邻域、聚点、孤立点、内点、外点、边界点、边界、开集、闭集、有界集、曲线、连续曲线、简单曲线、简单闭曲线、光滑曲线、逐段光滑曲线、区域、闭区域、单连通区域、复连通区域、聚点原理、有限复盖定理、闭区域套定理。
复变函数教学大纲
《复变函数》课程教学大纲课程编号：适用专业：彝文专业数学与应用数学（彝汉）学时数：40学分数：3.0执笔者：胡鹏编写日期：2014年8月一、课程性质和目的（一）教学性质《复变函数》课程是数学与应用数学专业函授生的一门必修课。
它在数学学科众多分支（如微分方程、计算数学、解析数论、微分几何、拓扑学、泛函分析…）及其它领域（如流体力学、弹性力学、电学、工程技术…）有着广泛应用。
另外，它的某些内容与中学数学教育还有着密切联系。
通过本课程的学习,使学生系统掌握复变函数的基本理论与方法,从而增强分析问题与解决问题的能力。
开设本课程，主要是使学生在学习与掌握复变函数的基本理论与方法的基础上，一方面对于学生建立良好的数学基础及学习其它课程有所帮助，另一方面，使学生具备一定的解决实际问题的能力，再就是使学生对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增强做好中学数学教育工作的能力。
学习复变函数课程需要数学分析课程的有关知识，同时它也为泛函分析与数学物理方程等后继课的学习做好了必要的准备。
（二）教学目的了解并掌握复变函数的基本理论和基本方法，对解析函数、柯西积分定理、柯西积分公式、解析函数的泰勒展开与罗朗展开、留数理论、保形变换、解析开拓、调和函数等有较深入的了解，重点了解怎么利用复变函数知识解决一些数分中无法解决的积分问题。
二、教学内容与学时分配第一章复数与复变函数（一）教学内容复数的表示，复数的性质与运算，平面图形的复数表示，区域与约当曲线，复变函数的概念，复变函数的极限与连续性，复球面，无穷远点与扩充复平面。
（二）教学目的1.1．熟练掌握复数的模与幅角、复数的三种表示、复数的基本性质，掌握复数的乘幂与方根的求法，会用复数表示平面图形，会用复数解决一些简单的几何问题。
1.2．理解平面点集的几个基本概念，理解区域与约当曲线的概念，了解约当定理，会区分单连通区域与多连通区域。
1.3．充分理解复变函数、多值函数、反函数等概念，理解复变函数的几何表示，会求简单平面图形的变换象（或原象），理解复变函数的极限，掌握极限的等价刻划定理，理解复变函数的连续性及其等价刻划定理，熟悉有界闭集上连续函数的性质。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一教学大纲说明（一）课程的性质、地位、作用和任务《复变函数》是数学与应用数学（教师教育）专业的一门重要的专业限选课程，它是重要的基础课程。
本课程的任务是使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数相关知识的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
（二）课程教学的目的和要求在学习本课程之前，学生已经学过数学分析。
本课程本质上是复分析的基本内容。
通过本课程的学习，使学生掌握复分析的基本思想，加深对数学分析、解析几何以及高等代数的理解，培养学生的数学素质，为进一步学习近代数学理论打下良好的基础。
掌握：解析函数概念及几个与解析函数相关的等价命题、残数理论及其应用、最大模原理及其应用。
理解：复积分、复级数理论。
了解：复几何的基本思想。
（三）课程教学方法与手段本课程的教学以课堂教学为主，辅以习题练习与自学相结合的方法进行。
基本知识与重要内容如基本定理与重要定理从叙述到详细证明，应用等由教师讲授，其它由学生自学。
为了贯彻少而精的原则，本大纲在内容选取上注意突出基本理论与基本方法。
对与数学分析中平行的概念和结果，既指出其相似之处，更强调其不同之点。
对本课程所具有的新内容，包括其证明方法，在课程教学中教师都将给予较详尽的讲解。
有*号的内容，可视教学情况而取舍。
（四）课程与其它课程的联系本课程的先行课程是数学分析，而本课程所讨论的内容和研究方法是其它许多数学理论的基础。
例如在微分几何、偏微分方程、动力系统、计算数学、近代物理、工程技术等理论中都有广泛的应用。
（五）教材与教学参考书教材：钟玉泉编，《复变函数论》，高等教育出版社，2004年第三版教学参考书：余家荣编，《复变函数》，高等教育出版社，1988年第二版二课程的教学内容、重点和难点第一章复数与复变函数教学内容：复数及其表示、几何上的应用，复平面点集，复变函数，复球面与无穷远点重点：复平面点集，复变函数难点：复球面与无穷远点第二章解析函数教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼条件、初等解析函数、初等多值函数重点：解析函数的概念与柯西-黎曼条件难点：支点的概念与初等多值函数第三章复变函数的积分教学内容：复积分的概念及其简单性质、柯西积分定理、柯西积分公式及其推论、解析函数与调和函数的关系、*平面向量场——解析函数的应用（一）重点：柯西积分定理、柯西积分公式及其推论难点：柯西积分公式及其推论第四章解析函数的幂级数表示法教学内容：复级数的基本性质、幂级数、解析函数的泰勒展式、解析函数零点的孤立性及唯一性定理重点：解析函数零点的孤立性及唯一性定理难点：解析函数的泰勒展式与唯一性定理第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点教学内容：解析函数的罗朗展式、解析函数的孤立奇点、解析函数在无穷远点的性质、*平面向量场——解析函数的应用（二）重点：解析函数的罗朗展式难点：解析函数的孤立奇点，解析函数在无穷远点的性质第六章残数理论及其应用教学内容：残数、用残数定理计算定积分、辐角原理及其应用重点：用残数定理计算定积分难点：辐角原理及其应用*第七章保形变换教学内容：解析变换的特性、线性变换、某些初等函数所构成的保形变换重点：线性变换难点：某些初等函数所构成的保形变换三建议学时分配。
复变函数-教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：16183703课程名称：复变函数英文名称：Complex Variables课程类别：专业课学时：48学分：3适用对象: 数学与应用数学考核方式：考查先修课程：《数学分析》、《解析几何》、《高等代数》二、课程简介本课程是数学与应用数学专业的一门专业选修课. 课程主要讲授单复变函数的一些基本知识，分别从导数、积分、级数、留数、映射五个方面来刻画解析函数的性质及其应用。
首先从复数域开始，引入复变函数，再给出解析函数的概念，再以它为研究对象，介绍解析函数的导数、积分、解析函数的幂级数表示法，解析函数的罗朗展式与孤立奇点，留数理论及其应用。
《复变函数论》主要讲单复变中的解析函数理论：内容包括解析函数的概念、性质、柯西一黎曼条件。
柯西积分定理及柯西积分公式。
解析函数的泰勒展式和罗朗展式。
利用留数理论求积分，保形映射等内容。
This course is a specialized elective course in mathematics an applied mathematics. The course mainly introduces some basic knowledge of single complex functions describing the properties and applications of analytical functions from five aspects: derivative, integral, series, residue and mapping, respectively. First of all, from the complex domain, the complex variable function is introduced, and then the concept of analytic function is given. Taking it as the research object, we introduce the derivative, integral, power series representation, Laurent expansions, isolated singularity, residue theory of analytic function and its application. The theory of complex variable mainly focuses on the analytic function theory of simple complex variables: the content includes the concept and property of analytic function, Cauchy-Riemann condition. Cauchy integral theorem and Cauchy integral formula.Taylor Expansion and Roland Expansion of Analytic Functions. Using the theory of residue for integration, conformal mapping and other contents.三、课程性质与教学目的复变函数论是数学系各专业的一门重要课程，同时又是数学分析的后继课。
复变函数教学大纲
《复变函数》课程教学大纲一、课程说明1.课程基本情况课程名称：复变函数英文名称：Functions of Complex Variable课程编号：2411211开课专业：大学本科数学与应用数学专业开课学期：第4学期学分/周学时：3/3课程类型：专业主干课2.课程性质《复变函数》是高等师范院校数学与应用数学专业的一门必修专业课，是数学分析的后续课程。
它在数学学科众多分支中都有着广泛的应用。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，提高分析问题和解决问题的能力，培养学生独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
3．本课程的教学目的和任务本课程要注意师范性。
在内容的选取上应突出基本理论和基本方法，把重点放在单复变函数的微分、积分、级数展开式和保形变换上。
使学生掌握复分析的基本理论和近代复分析的基本思想，加深对数学分析及中学有关内容的理解，并为学习后继课程奠定必要的数学基础。
在教学中，应注意基本概念讲解正确清楚，基本理论阐述系统简明，基本运算能力的训练严格要求。
基本论证方法思路清晰，论证严谨。
注意本课程和其它课程的联系，特别是与数学分析的衔接，相应内容在处理方法上的异同。
在基本运算方面，应通过适当的例题和习题，加强习题课和练习，使学生掌握主要方法。
4．本课程与相关课程的关系、教材体系特点及具体要求本课程是《数学分析》的提高、抽象和研究对象在复域内的进一步拓宽，它在数学学科众多分支（如概率论、微分几何、泛函分析、数学物理方程和拓扑学）中都有着广泛的应用，因此它也为这些后继课程奠定必要数学基础。
5．教学时数及课时分配二教材及主要参考书1. 钟玉泉. 复变函数论 (第三版). 北京：高等教育出版社，2003年.2. 范宜传、彭清泉. 复变函数习题集. 北京：人民教育出版社，1983年.2. 余家荣. 复变函数. 北京：人民教育出版社，1979年.3. 钟玉泉. 复变函数学习指导. 北京：高等教育出版社，1995年.4. 王玉玉, 王健波. 复变函数论（第三版）. 北京：中国时代经济出版社，2008年.三教学方法和教学手段说明以教师讲解为主的课堂教学方式四成绩考核办法本课程以教务处的相关文件规定进行考核。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、课程性质:学科专业课二、教学的目的要求：目的：通过本课程的学习，使学生初步掌握复变函数的基本理论与方法，并且培养学生和用它们解决实际问题的能力，为学生学习有关后继课程以及进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
要求：1、熟练掌握复变函数的各种表示方法及其运算，理解复变函数的概念，知道复变函数的极限、连续的概念。
2、理解复变函数导数、复变函数解析的概念，熟悉复变函数解析的充要条件，了解调和函数与解析函数的关系，了解初等解析函数的定义及主要性质。
3、理解复变函数积分的定义，了解其性质，会求复变函数的积分，理解柯西（Cauchy）积分原理，掌握Cauchy积分公式与高阶导数公式，知道解析函数无限次可导的性质。
4、理解复变项级数收敛、发散及绝对收敛等概念，了解幂级数收敛圆的概念，掌握简单的幂级数收敛半径的求法，知道幂级数在收敛圆内的一些基本性质，了解Taylor定理。
三、学分和学制：共计3学分，学制一学期。
四、授课对象：初等教育系小学教育专业理科专科生。
五、教学环节及总学时安排:课程讲授:54学时课堂讨论及其他实践活动:可根据教学内容适当安排六、教学手段与教法建议：以讲授式为主，适当配以多媒体教学等手段，并采取课堂辅导和课下作业相结合的方式以期达更好的效果。
七、考核方式：期末闭卷考试，平时可结合课堂测验和课下作业等多种考核方式八、教学内容：第一章复数与复变函数（12学时）教学要求：1、了解复数定义及其几何意义；2、熟练掌握复数的运算；3、了解复平面点集的几个基本概念；4、了解区域与若尔当曲线；5、理解复变函数；6、理解复变函数的极限与连续。
教学重点：复变函数及其极限与连续教学难点：区域与若尔当曲线教学内容：第一节复数（4学时）一、复数域二、复平面三、复数的模与辐角四、复数的乘幂与方根五、共轭复数六、复数在几何上的应用第二节复平面上的点集（2学时）一、平面点集的几个基本概念二、区域与诺尔当曲线第三节复变函数（2学时）一、复变函数的概念二、复变函数的极限与极限第四节复球面与无穷远点（4学时）一、复球面二、扩充复平面上的几个概念复习参考题：习题1、2；习题7、8；习题10、11；习题17。
复变函数教学大纲
《复变函数》教学大纲（课程编号：）一、教学目的和任务通过本课程的教学，使学生掌握复变函数论的基本理论和方法，获得独立地分析和解决些有关的理论和实际问题的能力。
为进一步学习其他课程，并为将来从事教学、科研及其他实际工作打好基础。
通过基本概念的正确讲解，基本理论的系统阐述，基本运算能力的严格训练，使学生受到严格的思维训练，为初步掌握数学思维方法打下基础。
研究复变数之间的相互依赖关系是复变函数这门课程的主要任务。
本课程要求学生理解复平面上的区域以及复变函数的极限与连续等概念，掌握解析函数的理论和方法。
二、本课程的基本要求复变函数论是统计学专业的一门专业必修课程，是数学分析的后续课程。
它的理论和方法，对于其它数学学科，对于物理、力学及工程技术中某些二维问题，都有广泛的应用。
学完本课程后，应达到下列要求：1、明确复变函数课程的学习目的和基本要求。
2、掌握复变函数论的基本理论和方法。
3、加强学生逻辑思维能力、抽象思维能力的训练。
4、了解本课程中规定的有关知识点的内涵与外延，熟悉其内容要点和它们之间的区别与联系，并能够根据不同的要求，做出正确的解释、说明和论述。
5、初步具有独立地分析和解决某些有关的理论和实际问题的能力。
三、课程内容、重点和要求第一章复数与复变函数教学内容：复数,复平面上的点集,复变函数,复平面与复球面。
本章重点：复数的运算和各种表示法；复变函数以及映射的概念。
教学要求：理解复数的概念，掌握复数的表示方法；掌握复数的四则运算及乘幂与方根；了解复平面上点集的基本概念，理解区域与约当曲线的概念；理解复变函数的概念，掌握复变函数极限与连续性；了解复球面与无穷远点的概念。
第二章解析函数教学内容：解析函数的概念与柯西-黎曼方程，初等解析函数，初等多值函数。
本章重点：解析函数的概念；函数解析性的判别。
教学要求：理解解析函数的概念，掌握柯西－黎曼条件；理解初等解析函数：指数函数和三角函数的概念，了解双曲函数的概念；理解初等多值函数：根式函数和对数函数的概念，了解幂函数、指数函数和反函数的概念。
复变函数课程教学大纲
《复变函数》课程教学大纲（Functions of One Complex Variable）一、课程编号：040419二、课程类型：限选课学时/学分：32/2适用专业：工科各类专业先修课程：高等数学三、课程性质与任务本课程是一门基础数学必修(或限选)课。
它是继工科高等数学课程之后的又一门数学基础课。
通过本课程的学习，学生不仅能学到复变函数的基本理论和方法，同时还可以巩固和复习工科高等数学的基础知识，为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础，并从中培养学生逻辑思维能力、抽象思维能力与数学运算能力。
四、教学主要内容及学时分配主要内容：1.复数与复变函数复数的各种表示方法及其运算，复变函数的概念，复变函数的极限、连续的概念。
2. 解析函数复变函数导数、复变函数解析的概念，复变函数解析的充要条件，初等解析函数（指数函数、三角函数、对数函数、幂函数）的定义及主要性质。
3.复变函数的积分复变函数积分的定义及其性质，复变函数积分的计算，柯西－古萨积分基本定理，柯西积分公式与高阶导数公式，解析函数具有无限次可导的性质。
调和函数的概念及其与解析函数的关系，共轭调和的概念。
4. 级数复数项级数收敛、发散与绝对收敛等概念，幂级数收敛圆的概念以及简单的幂级数收敛圆半径的求法，幂级数在收敛圆内的一些基本性质。
泰勒定理，几个初等函数如z e ,z sin 、)1ln(z +、n z )1(+的麦克劳林展开式。
罗朗级数的概念及其收敛域特征，函数在其孤立奇点附近展开为罗朗级数。
5. 留数孤立奇点的概念、分类及判别方法，留数的概念及计算留数的法则和留数定理，利用留数求一些特殊类型的实函数积分值。
6. 共形映射共形映射的概念。
五、教学基本要求1.掌握复数的代数运算，三种表示方式以及相互之间的转换。
了解区域和复变函数的概念，以及复变函数的极限和连续的概念，掌握它们的基本运算性质。
2.掌握解析函数的概念以及复变函数解析的充要条件，并熟练掌握几类初等函数的性质及相关运算。
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《复变函数》教学大纲说明1．本大纲适用数学与应用数学本科教学2．学科性质：复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。
复变函数论主要研究解析函数。
解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。
复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。
保形映照是复变函数几何理论的基本概念。
；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。
3．教学目的：复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。
复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。
4．教学基本要求：通过本课程的学习，要求学生达到：1．握基本概念和基本理论；2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映照等）；2．固和加深理解微积分学的有关知识。
5．教学时数分配：本课程共讲授 72 学时（包括习题课），学时分配如下表：教学时数分配表章节教学内容教学时数第一章复数与复变函数共计 8§ 1复数2§ 2复平面上的点集2§ 3复球面与无穷远点2§ 4复变函数2第二章解析函数共计 12§ 1解析函数的概念与C—R条件4§ 2初等解析函数4§ 3初等多值函数4第三章复变函数的积分共计 10§ 1复积分的概念及其简单性质2§ 2柯西定理4§ 3柯西积分公式及推论4第四章解析函数的幂级数表示共计 8§ 1复级数的基本性质2§ 2幂级数2§ 3解析函数的幂级数表示2§ 4解析函数零点的孤立性及唯一性定理2第五章解析函数的罗朗展式与孤立奇点共计 8§ 1解析函数的罗朗展式2§ 2解析函数的孤立奇点2§ 3解析函数在无穷远点的性质2§ 4整函数与亚纯函数2第六章留数理论及其应用共计 14§ 1留数计算及基本定理4§ 2用留数基本定理计算实积分6§ 3辐角原理及应用4第七章保形变换共计 12§ 1解析函数的映照性质及最大模原理4§ 2线性变换及其应用4§ 3初等函数所构成的保形变换4以上是二年制脱产数学本科的教学时数。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲一、《复变函数》课程说明（一）课程代码：（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables（三）开课对象：数学教育专科学生（四）课程性质：考试复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。
已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。
先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。
（五）教学目的：通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。
（六）教学内容：本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。
（七）教学时数学时数：72学时分数：4学分（八）教学方式教师课堂讲授为主。
（九）考核方式和成绩记载说明考核方式为考试。
严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。
综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。
二、讲授大纲与各章的基本要求第一章复数与复变函数教学要点：通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。
1、使学生掌握复数各种表示方法及其运算。
2、使学生了解区域的概念。
3、使学生了解复球面与无穷远点。
4、使学生理解复变函数概念。
教学时数：6学时教学内容：第一节复数一、复数域、复平面二、复数的模与辐角三、乘幂、方根、共轭复数第二节复平面上点集一、平面点集的几个基本概念二、区域、约当曲线第三节复变函数一、复变函数二、复极限、复连续第四节复球面和无穷远点一、复球面二、扩充复平面上的几个概念考核要求：1、复数1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用）2、复平面上点集2.1 平面点集的几个基本概念（领会）2.2 区域、约当曲线（领会）3、复变函数3.1 复极限、复连续（识记）4、复球面和无穷远点4.1 无穷远点（识记）第二章解析函数教学要点：1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。
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复变函数论
（Functions of Complex Variable）
《复变函数论》是面向数学与应用数学专业开设的一门专业基础课，其主要研究对象是解析函数。
复变函数论建立在数学分析的基础上，是数学分析的推广和发展；复变函数论又称复分析或解析函数论。
因此它不仅在内容上与数学分析有许多类似之处，而且在研究问题的方面与逻辑结构方面也非常类似。
《复变函数论》是一门古老而富有生命力的学科。
早在19世纪，Cauchy、Weierstrass 及Riemann等人就已经给这门学科奠定了坚实的基础。
复变函数论不但是我们所学数学分析的理论推广，而且作为一种强有力的工具，已经被广泛的应用于自然科学的众多领域，如理论物理、空气动力学、流体力学、弹性力学以及自动控制学等，目前也被广泛应用于信号处理、电子工程等领域。
《复变函数论》作为一门学科，有其自身的特点和研究方法与研究工具，在学习过程中，应注意与数学分析的比较，从而加深理解，同时也须注意复变函数本身的特点，并掌握它自身所固有的理论和方法，抓住要点，融会贯通。
一．教学目的与要求
这门课与数学专业的许多其它课程有着广泛的联系。
其中函数及其运算和初等解析函数是中学数学有关内容的深化，同时复变函数在工程、力学等方面有着广泛的应用。
这是一门重要的专业基础课。
该课程的教学内容分为以下六个部分：（1）复数与复变函数；（2）函数的可微性——解析函数；（3）利用积分研究函数——柯西积分定理与公式；（4）利用级数（泰乐级数与洛朗级数）研究复函数；（5）残数计算及其应用；（6）研究复函数的几何性质——保形变换。
通过合理安排教学内容，从更高的一个层次开展教学，使整个教学活动化抽象为具体，也使整个内容易教易学，提高本课程教学效率与水平。
教学目的：在复变函数论的学习过程中，使学生逐步提高数学修养，掌握数学研究的基本思想方法，最终使学生的数学思维能力得到根本的提高，同时极大的扩展学生的学习思路，使他们了解更多的应用知识。
二．教学重点与难点
教学重点：解析函数的概念及基本性质；解析函数的求导公式与求导法则；柯西－黎曼条件（C-R条件）；复变函数积分的定义及基本性质；单连通区域内的柯西积分定理；不定积分概念；多连通区域内的柯西积分定理；柯西积分公式、高阶导数公式；平均值公式；柯西不等式、刘维尔定理、摩勒拉定理；复数项及复函数项级数、一致收敛及其判别准则、维尔斯特拉斯定理；解析函数零点的孤立性、唯一性定理及最大模原理；罗朗级数的定理与收敛域、解析函数罗朗展开式的系数公式、收敛域；解析函数的孤立奇点（包括无穷远点）的分类、三类奇点的特征与性质；留数的定义及计算方式、留数定理；辐角原理、儒歇定理；保形映射的概念；初等函数的保形映射；分式线性函数。
教学难点：函数可导与解析的判别法；多值函数（比如复对数函数、复幂函数等）；牛顿-莱布尼茨类似的解析函数的积分计算公式的应用；柯西积分定理、柯西积分公式及其应用。
洛朗展式及应用；留数定理；辐角原理、儒歇定理，最大模定理，许瓦兹引理的证明；导数的几何意义，求保形映射。
三．教学方法与手段
基础数学的课堂教学应是启发式为主，结合讨论式教学；《复变函数论》是数学分析课在复数里的推广，所以应注意与数学分析的联系与比较区别。
四．教学内容与目标
教学内容教学目标学时分配
（总54学时）1．复数与复变函数 6
1.1复数及其表示方法、运算了解 1 1.2 复平面、复数的模与辐角. 了解 1.5
1.3 复平面上的点集.区域.区曲线. 掌握 2
1.4 无穷远点与扩充复平面. 了解 1.5 2．解析函数 6
2.1函数概念.极限与连续. 了解 1
2.2复变函数的导数定义. 掌握 0.5
2.3解析函数的概念及基本性质. 掌握 1
2.4解析函数的求导公式与求导法则. 掌握 1 2.5柯西－黎曼条件（C-R条件）. 掌握 1 2.6指数函数. 掌握 0.5
2.7多值函数初步. 了解 1
3 .复变函数积分 10
3.1复变函数积分的定义及基本性质. 了解 2
3.2单连通区域内的柯西积分定理. 掌握 2
3.3不定积分概念. 掌握 1
3.4多连通区域内的柯西积分定理. 掌握 1
3.5柯西积分公式，高阶导数公式；掌握 2
平均值公式
3.6柯西不等式，刘维尔定理，代数基本掌握 2
定理的证明，摩勒拉定理.
4. 解析函数的幂级数表示法 8
4.1复数项及复函数项级数，
一致收敛及其判别准则，
维尔斯特拉斯定理. 掌握 2
4.2幂级数的收敛圆，
收敛半径公式，幂级数在
收敛圆内表示解析函数. 掌握 2
4.3解析函数在一点邻域内展开成泰勒级数，掌握 1.5
4.4解析函数零点的孤立性，
唯一性定理及最大模原理. 掌握 2.5
5. 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 6
5.1罗朗级数的定理与收敛域，
解析函数罗朗展开式的系数公式、
收敛域. 掌握 2.5
5.2解析函数的孤立奇点（包括无穷远点）
的分类，三类奇点的特征与性质. 掌握 2.5
5.3整函数与亚纯函数的概念. 了解 1
6.残数理论及其应用 8
6.1留数的定义及计算方式，
在无穷远点的留数. 掌握 2 6.2留数定理. 掌握 2 6.3利用留数定理计算实积分. 掌握 2
6.4辐角原理，儒歇定理. 掌握 2
7.保形变换 8 7.1导数的几何意
义，保形映射的概念. 了解 2 7.2初等函数的保形映射掌握 3.
7.3分式线性函数. 掌握 3
总复习2
五．考试范围和题型：
1.考试范围和分数比例
（1）复数与复变函数6% （2）解析函数与调和函数24% （3）复变函数的积分理论18% （4）解析函数的级数表示20% （5）残数及其应用20% （6）保形变换12% 2．考试题型与分数比例
（1）选择题15% （2）填空题15% （3）计算题45% （4）证明题25% 六．教材与教学参考资料：
1．教材：选用《复变函数论》高等教育出版社，钟玉泉编（2001年）
2．参考书：
（1）《复变函数》高等教育出版社，余家荣编，（2000年）
（撰写人：方明亮审核人：戴婉仪、朱艳丽）。