数学物理方法 课程教学大纲

数学物理方法课程教学大纲

一、课程说明

（一）课程名称：数学物理方法

所属专业：物理、应用物理专业

课程性质：数学、物理学

学分：5

（二）课程简介、目标与任务

这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。

这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。

（三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接

本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。

（四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编

参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著

2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著

3. 《物理中的数学方法》李政道著

4. 《数学物理方法》梁昆淼编

5. 《数学物理方法》郭敦仁编

6. 《数学物理方法》吴崇试编

二、课程内容与安排

第一部分线性空间及线性算子

第一章R3空间的向量分析

第一节向量的概念

第二节R3空间的向量代数

第三节R3空间的向量分析

第四节R3空间的向量分析的一些重要公式

第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析

第一节R3空间中的曲线坐标系

第二节曲线坐标系中的度量

第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式

第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式

第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式

第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间

第一节线性空间的定义

第二节线性空间的内积

第三节Hilbert（希尔伯特）空间

第四节线性算符

第五节线性算符的本征值和本征向量

第二部分复变函数

第四章复变函数的概念

第一节映射

第二节复数

第三节复变函数

第五章解析函数

第一节复变函数的导数

第二节复变函数的解析性

第三节复势

第四节解析函数变换

第六章复变函数积分

第一节复变函数的积分

第二节Cauchy（柯西）积分定理

第三节Cauchy（柯西）积分公式

第四节解析函数高阶导数的积分表达式

第七章复变函数的级数展开

第一节复变函数级数

第二节解析函数的Taylor（泰勒）展开

第三节Taylor展开的理论应用

第四节解析函数的Laurent（洛朗）展开

第八章留数定理

第一节留数定理

第二节留数的一般求法

第三节解析函数在无穷远点的留数

第四节留数定理在定积分中的应用

第五节Hilbert（希尔伯特）变换

第三部分积分变换与δ函数

第九章Fourier（傅里叶）变换

第一节Fourier级数

第二节Fourier变换

第三节Fourier变换的基本性质

第十章Laplace（拉普拉斯）变换

第一节Laplace变换

第二节Laplace变换基本性质

第三节Laplace变换的应用

第四节关于Laplace变换的反演

第十一章δ-函数

第一节δ-函数的定义

第二节δ-函数的性质

第三节δ-函数的导数

第四节三维δ-函数

第五节δ-函数的Fourier变换和Fourier级数展开

第四部分数学物理方程

第十三章波动方程、输运方程、Poisson（泊松）方程及其定解问题

第一节二阶线性偏微分方程的普遍形式

第二节波动方程及其定解条件

第三节输运方程及其定解条件

第四节Poisson方程及其定解条件

第五节Laplace方程和调和函数

第六节三类方程定解问题小结

第十四章分离变量法

第一节齐次方程齐次边界条件下的分离变量法

第二节Sturm—Liouville（斯特姆-刘维尔）本征值问题第三节非齐次方程齐次边界条件下的分离变量法

第四节非齐次边界条件下的分离变量法

第五节分离变量法小结

第十五章曲线坐标系下方程的分离变量

第一节球坐标系下方程的分离变量

第二节柱坐标系下方程的分离变量

第三节二阶线性常微分方程的级数解法

第十六章球函数

第一节Legendre（勒让德）多项式

第二节Legendre多项式的性质

第三节具有轴对称的Laplace方程的求解

第四节连带Legendre函数

第五节球函数

第十七章柱函数

第一节Bessel（贝塞尔）函数

第二节Bessel函数的递推关系

第三节柱函数的定义

第四节整数阶Bessel函数J n(x)的生成函数

第五节Bessel方程的本征值问题

第六节球Bessel函数

*第十八章Green（格林）函数法

第一节微分算子的基本解和Green函数的定义

第二节Laplace算子的基本解

第三节Laplace算子的Green函数

第四节Laplace算子的镜像Green函数法

第五节Helmhotz（霍姆赫兹）算子的基本解

第六节输运算子的Green函数

第七节波动算子的基本解