中考数学函数综合讲义 附答案

第 1 题图
2. 如 图 ， 已 知 实 数 m 是 方 程 x2 8x 16 0 的 一 个 实 数 根 ， 抛 物 线 y 1 x2 bx c 交 x 轴于点 A(m，0)和点 B，交 y 轴于点 C(0，m)． 2
（1）求抛物线的函数关系式． （2）设点 D 为线段 AB 上的一个动点，过 D 作 DE∥BC 交
第 2 题图
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3. 如图，在平面直角坐标系中，点 A，B，C 在 x 轴上，点 D，E 在 y 轴上，OA=OD=2， OC=OE=4，DB⊥DC，直线 AD 与经过 B，E，C 三点的抛物线交于 F，G 两点，与其对 称轴交于点 M，P 为线段 FG 上的一个动点（与 F，G 不重合）， PQ∥y 轴与抛物线交于点 Q． （1）求经过 B，E，C 三点的抛物线的解析式． （2）是否存在点 P，使得以 P，Q，M 为顶点的三角形与△AOD 相似？若存在，求出 满足条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若抛物线的顶点为 N，连接 QN，试探究四边形 PMNQ 的形状：①能否成为菱形？ ②能否成为等腰梯形？若能，请直接写出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
-2)，B(2，2)． （1）求抛物线的解析式． （2）线段 MN 在线段 AB 上移动（点 M 不与点 A 重合，点 N 不与点 B 重合），且
MN 2 ．若点 M 的横坐标为 m，过点 M 作 x 轴的垂线与 x 轴交于点 P，过点 N
作 x 轴的垂线与抛物线交于点 Q，则以 P，M，Q，N 为顶点的四边形能否为平行四 边形？若能，求出 m 的值；若不能，请说明理由．
P ( 4 m ，1 m) 在直线 MG 上．当 m 为何值时，在抛物线 C3 上存在点 Q，使得以 M， 33
N，P，Q 为顶点的四边形为平行四边形？
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5. 如图，抛物线 y ax2 bx c 与 y 轴交于点 C(0，-2)，与直线 y x 交于点 A(-2，
第 3 题图
4. 已知抛物线 C1： y x2 ．如图 1，平移抛物线 C1 得到抛物线 C2，C2 经过 C1 的顶点 O
和 A(2，0)，C2 的对称轴分别交 C1，C2 于点 B，D． （1）求抛物线 C2 的解析式． （2）探究四边形 ODAB 的形状并证明你的结论． （3）如图 2，将抛物线 C2 向下平移 m 个单位（m>0）得到抛 物线 C3，C3 的顶点为 G，与 y 轴交于点 M．点 N 是点 M 关于 x 轴的对称点，点
第 5 题图
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【参考答案】
1．（1） B(3，0)，C (0，2) ； y 2 x2 4 x 2 （2）① S m2 3m，(0 m 3) ； 33
存 在 最 大 值 ， S 的 最 大 值 为 9 ， △ OBE 是 等 腰 三 角 形 ． ② 存 在 ， 4
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函数综合（一）（讲义）
1. 如图，在平面直角坐标系中，直线 y 2 x 2 与 x 轴、y 轴分别交于 B，C 两点， 3
经过 B，C 两点的抛物线与 x 轴的另一交点为 A(-1，0)． （1）求 B，C 两点的坐标及该抛物线的函数关系式． （2）P 是线段 BC 上的一个动点（与点 B，C 不重合），过点 P 作直线 l∥y 轴，交该抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，设点 P 的横坐标为 m，△BCE 的面积为 S． ①求 S 与 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围；说明 S 是否存在最大值， 若存在，请求出 S 的最大值，并判断此时△OBE 的形状． ②Q 是线段 AC 上的一个动点（与点 A，C 不重合），且 PQ∥x 轴，试问在 x 轴上是否存在点 R，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在， 求出点 R 的坐标；若不存在，请说明理由．
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函数综合篇 一、综述
函数综合问题，以考查存在性问题为主．通常从研究坐标、表达式入手，结合背 景图形的几何信息，通过函数特征与几何特征的相互转化解决问题． 二、能力储备 1. 函数处理框架
研究坐标、表达式，分析背景图形． 梳理条件、整合信息．
通常需要借助横平竖直线段长将函数特征与几何特征结合在一起进行研究． 设计方案求解．常见处理思路： ①根据几何特征表达点坐标，代入函数表达式求解； ②由函数表达式设出点坐标，借助几何特征求解； ③函数表达式联立求解． 2. 存在性问题——平行四边形 ①三定一动②两定两动 以定线段作边或对角线，确定分类；常借助对应边相等、坐标间关系及中点坐标 公式建等式求解． ③三动点或四动点往往有不变特征，如两边始终平行，满足相等即可． 3. 存在性问题——等腰直角三角形 从直角入手，确定分类．常构造弦图模型解决问题． 4. 存在性问题——菱形 通常转化为等腰三角形存在性处理，亦可借助菱形性质解决． 5. 存在性问题——梯形 ①等腰梯形存在性通常直接表达两腰长，利用两腰相等建等式； 两腰不易表达，借助对称性和中点坐标公式联立求解． ②直角梯形存在性关键是利用好直角． 6. 存在性问题——相似三角形 ①目标三角形确定：先研究目标三角形的边角关系，根据对应关系分类，借助比 例关系建等式． ②目标三角形不确定：从角度、对应关系入手，结合不变特征分析，根据对应关 系分类，借助比例关系建等式． 7. 存在性问题——全等三角形[6] ①目标三角形确定：先研究目标三角形的边角关系，根据对应关系分类，借助边、 角相等建等式． ②目标三角形不确定：从角度、对应关系入手，结合不变特征分析，根据对应关 系分类，借助边、角相等建等式．
AC 于 E，又过 D 作 DF∥AC 交 BC 于 F，当四边形 DECF 的面积最大时，求点 D 的坐 标． （3）设△AOC 的外接圆为⊙G，若 M 是⊙G 的优弧 ACO 上的一个动点，连接 AM，OM， 则在 y 轴左侧的抛物线上是否存在点 N，使得∠NOB=∠AMO？若存在，求出点 N 的 坐标；若不存在，请说明理由．