重叠问题(容斥原理,包含与排除)
四年级奥数：等差数列求和、容斥问题(含与排除问题)的解题思路
四年级奥数：等差数列求和、容斥问题（含与排除问题）的解题思路在一列数中，如果任意两个相邻的数的差都相等，那么这个数列就是等差数列，等差数列中所有数的个数叫做项数，数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项，任意两个相邻数的差叫做公差，求所有数的和叫做等差数列求和。
在等差数列中，我们主要学习项数、首项、末项、公差与数列和之间的关系，它们的关系是：（1）求等差数列的和：和=（首项+末项）×项数÷2（2）求项数：项数=（末项-首项）÷公差+1（3）求末项：末项=首项+（项数-1）×公差（4）求首项：首项=末项-（项数-1）×公差例题1例题2等差数列中，末项=首项+公差×（项数-1）；首项=末项-公差×（项数-1）例题3项数=（末项-首项）÷公差+1例题4例题5等差数列求和，其实就是把原来的数列再倒过来排一下，然后求出两个数列的和，再除以2，即和=（首项+末项）×项数÷2。
容斥问题，即重叠问题，是指几个量之间的包含与排除关系。
重叠问题中有二次重叠和三次重叠。
容斥原理下面我们就通过一些具体的例子来说明例题1两个量之间的重叠问题中，如果是全部参与，则总人数等于分别参加两项的的人数和减去两项都参加的人数；两个量之间的重叠问题中，如果是部分参与，则总人数等于参加的人数加上没参加的人数。
例题2三个量的重叠问题中，如果是全部参与，则总人数等于参加三项的人数和减去同时参加两项的人数和，再加上同时参加三项的人数；三个量的重叠问题中，如果是部分参与，则总人数等于至少参加一项的人数与三项都没参加的人数之和。
例题3两个量的极值中，两项都参加的人最多，就是较少的一项，两项都参加的人数最少，就是求重叠部分；三个量的极值问题中，如果要不参加的最多，就是要参加的尽量少。
升第八讲容斥原理之重叠问题
第八讲：容斥原理之重叠问题导入文氏图■■■■■■■■■■■■■■■文氏图，也叫维恩图”是由英国著名数学家Venn发明的.维恩（公元1834 年8月4日「公元1923 年4月4日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔.他1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员.维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图.■他作出一系列・简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔.利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理.为了进一步明确起见，他还引入了一些数学难题作为实例.虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz ）已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作维恩图”另外, 维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作一一《机会逻辑》和《符号逻辑》，在19 世纪末20世纪初曾享有很高的声誉.除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能一一制作机器.他曾制作过一部板球发球机，当澳洲板球队在1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次.什么是容斥原理?这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子.我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳.如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量.瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳，两者各不相关.但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠.比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种，已知有7个人爱喝茶，10个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有17 个人呢？显然不能，因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算2次，计算人数的时候要把这一部分减去才行.比如，如果有3个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是7 + 10 - 3 = 14 人.这就是我们今天要来研究的问题一一有重叠的计数问题，即包含与排除问题•研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式.两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳，有20名参加了拔河，问：及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人？如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A+B 就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了•上述分析总结成公式就是：R总数=沖+丹一』、号重拄这个公式就是两个对象的容斥原理.练一练1、五年级有122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人•语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题，答对第一题的有33人，答对第二题的又38人，两题都答对的又15人，问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。
小学三年级奥数第19讲 重叠问题(含答案分析)
3、三年级有107个小朋友去春游，带矿泉水的有78人，带水果的有77人，每人至少带一种。三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
4、三（4）班排成每行人数相同的队伍入场参加校运动会，梅梅的位置从前数是第6个，从后数是第5个；从左数、从右数都是第3个。三（4）班共有学生多少人？
【思路导航】把等长的两块木板的一端钉起来，钉在一起的长度就是重叠部分，重叠的部分是16厘米，所以这两块木板的总长度是120＋16=136厘米，每块木板的长度是136÷2=68厘米。
练习3：
1.把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
【思路导航】根据题意，画出下图：
图中间重叠部分表示两道题都做对的人数，把做第一道题和做对第二道题的人数加起来得21＋18=39人，这39人比全班总人数36多出了39－36=3人，这多出的3人既在做对第一题的人数中算过，也在做对第二道题的人数中算过，即表示两道题都做对的人数。
练习4：
1.三（1）班有学生55人，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种。已知参加赛跑的有36人，参加跳绳的有38人。两项比赛都参加的有几人？
2、为庆祝“六一”，同学们排成每行人数相同的鲜花队，小华的位置从左数第2个，从右数第4个；从前数第3个，从后数第5个。鲜花队共多少人？
【例题3】把两块一样长的木板像下图这样钉在一起成了一块木板。如果这块钉在一起的木板长120厘米，中间重叠部分是16厘米，这两块木板各长多少厘米？
练习3：
1、把两段一样长的纸条粘合在一起，形成一段更长的纸条。这段更长的纸条长30厘米，中间重叠部分是6厘米，原来两段纸条各长多少厘米？
重叠问题
重叠问题一、两量重叠问题 在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算．求两个集合并集的元素的个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两个集合个数之和中减去重复计算的元素个数，即减去交集的元素个数，用式子可表示成：A B A B A B =+-(其中符号“”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“”读作“交”，相当于中文“且”的意思．)则称这一公式为包含与排除原理，简称容斥原理．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即阴影面积．包含与排除原理告诉我们，要计算两个集合A B 、的并集A B 的元素的个数，可分以下两步进行： 第一步：分别计算集合A B 、的元素个数，然后加起来，即先求A B +(意思是把A B 、的一切元素都“包含”进来，加在一起)；第二步：从上面的和中减去交集的元素个数，即减去C A B =(意思是“排除”了重复计算的元素个数)．二、三量重叠问题A 类、B 类与C 类元素个数的总和A =类元素的个数B +类元素个数C +类元素个数-既是A 类又是B 类的元素个数-既是B 类又是C 类的元素个数-既是A 类又是C 类的元素个数+同时是A 类、B 类、C 类的元素个数．用符号表示为：A B C A B C A B B C A C A B C =++---+．图示如下：知识点拨1．先包含——A B +重叠部分AB 计算了2次，多加了1次；在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图(韦恩图)来帮助分析思考．模块一：两量重叠问题【巩固】 把长38厘米和53厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长4厘米，焊接后这根铁条有多长？【巩固】 把长23厘米和37厘米的两根铁条焊接成一根铁条．已知焊接部分长3厘米，焊接后这根铁条有多长？例题精讲例题1 1两张长4厘米，宽2厘米的长方形纸摆放成如图所示形状．把它放在桌面上，覆盖面积有多少平方厘米？图中小圆表示A 的元素的个数，中圆表示B 的元素的个数，1．先包含：A B C ++重叠部分A B 、B C 、C A 重叠了2次，多加了1次． 2．再排除：A B C A B B C A C ++---【巩固】 芳草地小学四年级有58人学钢琴，43人学画画，37人既学钢琴又学画画，问只学钢琴和只学画画的分别有多少人？【巩固】 四年级科技活动组共有63人．在一次剪贴汽车模型和装配飞机模型的定时科技活动比赛中，老师到时清点发现：剪贴好一辆汽车模型的同学有42人，装配好一架飞机模型的同学有34人．每个同学都至少完成了一项活动．问：同时完成这两项活动的同学有多少人？【巩固】 实验二校一个歌舞表演队里，能表演独唱的有10人，能表演跳舞的有18人，两种都能表演的有7人．这个表演队共有多少人能登台表演歌舞？【巩固】 某班组织象棋和军棋比赛，参加象棋比赛的有32人，参加军棋比赛的有28人，有18人两项比赛例题3 3例题2 2实验小学四年级二班，参加语文兴趣小组的有28人，参加数学兴趣小组的有29人，有12人两个小组都参加．这个班有多少人参加了语文或数学兴趣小组？一个班48人，完成作业的情况有三种：一种是完成语文作业没完成数学作业；一种是完成数学作业没完成语文作业；一种是语文、数学作业都完成了．已知做完语文作业的有37人；做完数学作业的有42人．这些人中语文、数学作业都完成的有多少人？都参加了，这个班参加棋类比赛的共有多少人？【巩固】 47名学生参加数学和语文考试，其中语文得分95分以上的14人，数学得分95分以上的21人，两门都不在95分以上的有22人．问：两门都在95分以上的有多少人？【巩固】 某班共有46人，参加美术小组的有12人，参加音乐小组的有23人，有5人两个小组都参加了．这个班既没参加美术小组也没参加音乐小组的有多少人？【巩固】 四年级一班有45人，其中26人参加了数学竞赛，22人参加了作文比赛，12人两项比赛都参加了．一班有多少人两项比赛都没有参加？【巩固】 某次英语考试由两部分组成，结果全班有12人得满分，第一部分有25人做对，第二部分有19人有错，问两部分都有错的有多少人？例题4 4（第二届小学迎春杯数学竞赛)有100位旅客，其中有10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语．问既懂英语又懂俄语的有多少人？【巩固】 对全班同学调查发现，会游泳的有20人，会打篮球的有25人．两项都会的有10人，两项都不会的有9人．这个班一共有多少人？【巩固】 育才小学画展上展出了许多幅画，其中有16幅画不是六年级的，有15幅画不是五年级的，五、六年级共展出25幅画，其他年级的画共有多少幅？【巩固】 在从1至1000的自然数中，既不能被5除尽，又不能被7除尽的数有多少个?例题8 8例题6 6例题55在46人参加的采摘活动中，只采了樱桃的有18人，既采了樱桃又采了杏的有7人，既没采樱桃又没采杏的有6人，问：只采了杏的有多少人？ 甲、乙、丙三个小组学雷锋，为学校擦玻璃，其中68块玻璃不是甲组擦的，52块玻璃不是乙组擦的，且甲组与乙组一共擦了60块玻璃．那么，甲、乙、丙三个小组各擦了多少块玻璃？ 在1~100的全部自然数中，不是3的倍数也不是5的倍数的数有多少个？。
四年级第十一讲包含与排除及答案(附例题答案)
101中学坑班2013年春季四年级第十一讲包含与排除及答案一、 知识要点日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况，这类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。
在数学里，我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑，这些相同性质的对象便组成了一个“集合”，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。
名词解释：（1）由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 、B 的并集（又叫A 与B 的和）。
记作A B ，记号“ ”读作“并”，A B 读作“A 并B ”。
（2）A 、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于A ，又属于B 的元素，它们所组成的集合叫做A 和B 的交集，记作“A B ”，记号“ ”读作“交”，A B 读作“A 交B ”。
二、 典型例题例1、四（1）班同学中有37人喜欢打乒乓球，26人喜欢打羽毛球，21人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。
问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？解析：37+26-21=42人例2、四年级一班在期末考试中，语文得“优”的有15人，数学得“优”的有17人，老师请得“优”的同学都站起来，数了数有24人。
两科都得“优”的有几人？解析：15 + 17—24 = 8（人）或者15-（24-17）=8或者17-（24-15）=8例3、图新小学四年级二班有24人参加了美术小组，有18人参加了音乐小组，其中11人两个小组都参加，还有5人什么组都没参加。
这个班共有学生多少人？解析：24+18-11=31人 31+5=36人例4、某班学生参加音乐组的有11人，参加美术组的有8人，参加英语组的有12人，既参加音乐组又参加美术组的有5人，既参加音乐组又参加英语组的有3人，既参加美术组又参加英语组的有4人，三个组都参加的只有1人，问：至少参加一个组的有多少人？ 解析：11+8+12-5-4-3+1=20人例5、有82名参加数学与作文课外班的学生，其中参加作文班的有60人，参加数学班的有48人。
101四年级包含与排除
第十一课
包含与排除
随心教育
第十一课 包含与排除
【核心观点】 日常生活或数学问题中，在把一些数据按照某个标准分类时，常常出现其中的一部分 数据同时属于两种或两种以上不同的类别，这样在计算总数时就会出现重复计算的情况， 这 类问题就叫做重叠问题，容斥原理就是重叠问题的解题原理，也叫包含与排除原理。 在数学里， 我们把具有某种相同性质的对象放在一起考虑， 这些相同性质的对象便组成 了一个“集合” ，每个集合总是由一些成员组成的，集合中的这些成员叫做这个集合的元素。 （1）由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做集合 A、B 的并集（又叫 A 与 B 的和） 。记作 A B ，记号“ ”读作“并” ， A B 读作“A 并 B” 。 （2）A、B 两个集合公共的元素，也就是那些既属于 A，又属于 B 的元素，它们所组成的 集合叫做 A 和 B 的交集，记作“ A B ” ，记号“ ”读作“交” ， A B 读作“A 交 B” 。 【典型问题】 【问题 1】四（1）班同学中有 37 人喜欢打乒乓球，26 人喜欢打羽毛球，21 人既爱打乒乓 球又爱打羽毛球。问全班喜欢打乒乓球或羽毛球活动的有多少人？ 【解析】
张威，中国农业大学博士毕业，数学金牌教练，曾在多家大型教育机构担任数学部主管及 数学带头教师。14 年被特聘为随心教育集团教学总监及中小学数学教材研发组组长。 张老师被多项数学比赛邀请为教练（希望杯教练，希望杯冬令营主教练，希望数学等级考试 委员会委员，华罗庚金杯优秀教练，IMC 国际数学竞赛主教练） ，国际杯赛教练，带队教练 等，参与各类比赛命题及研讨工作，以及小升初命题及研讨工作。在中小学数学行业中有很 高的威望。 张老师对小学数学及各类数学活动， 比赛有深刻的研究， 所写的讲义及教材已被多个竞 赛及重点中学选用， 所以不少竞赛题及小升初真题源于随心教育的讲义， 如 13 年的北大附， 101，五中，清华附，人大附等多个学校的真题就是我们的四、五、六年级的讲义原题或改 改数。13 年的 IMC，希望杯，走美等各个杯赛题也都能在随心的讲义上发现原型及原题。 正因为张老师对重点难点的准确把握，对教学系统的全面熟知，讲课清晰明了，深入浅出， 所以教学成果非常显著。 他能在半年内改善学员对奥数的认识并快速提高成绩， 坚持跟张老 师学习一年以上的学员， 70%-90%的学员都能在杯赛中获奖。 其中张老师所带龙班学员 100% 的获奖率，大部分都是一二等奖水平，导引班 90-100%的获奖率，虎班获奖率为 40-70%。 很多北京市名列矛的学生（金银牌得主，仁华一二三班学员，尖子 A 班学员，竞赛 123 班 学员）都慕名跟随张老师，共同构成了一个水平很高的龙班和金牌学员班，五大杯赛（希望 杯，走美总决赛，迎春杯，华杯赛，IMC）都从龙班或金牌学员班里选拔学生组成北京代表 队或国家代表队参加全国或国际比赛。 为提随心教育的中学数学教研能力及教学水平，13 年人大附中初一年级前五名中的 2 名同学李同学及陈同学就来自随心的龙班。 2014 年的五大杯赛中（数学解题能力展示，走美，希望杯，华杯赛，IMC） ，张老师的学生 战果累累。一：2014 年数学解题能力展示 18 人获一等奖；二：走美 16 人获一等奖；三： IMC 国际数学竞赛 6 人获一等奖；四：2013 年有 3 名学员考入八中少年班（共录 30 人） ， 4 名考入人大附素质班（共 78 人）
4升5-8第八讲：容斥原理之重叠问题
第八讲:容斥原理之重叠问题一、导入文氏图文氏图，也叫“维恩图”,是由英国著名数学家 Venn 发明的．维恩（公元 1834 年 8 月 4 日─公元 1923 年 4 月 4 日）十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔．他 1883 年获得理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员．维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是发明了文氏图．他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形），将平面分为许多间隔．利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理．为了进一步明确起见,他还引入了一些数学难题作为实例．虽然在维恩之前，莱布尼茨（Leibniz）已系统地运用过这类逻辑图,但今天这种逻辑图仍称作“维恩图”另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献,他的著作-—《机会逻辑》和《符号逻辑》，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉．除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能——制作机器．他曾制作过一部板球发球机,当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们其中一位成员打空四次．什么是容斥原理？这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子．我们说吃掉了一斤瓜子，指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包含”着瓜子壳．如果要计算到底吃了多少,最简单的方法就是称一称瓜子壳，用原来的一斤“排除"掉瓜子壳的重量．瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳,两者各不相关．但本讲要学习的包含与排除问题要复杂一些，各部分之间会有重叠．比如一个办公室中每个人都至少爱喝茶或咖啡中的一种,已知有 7 个人爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能,因为可能有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡,如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加,会把既爱喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次,计算人数的时候要把这一部分减去才行．比如,如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡,那总的人数就应该是 7 + 10 − 3 = 14 人．这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题．研究这种问题通常需要画出示意图，这样的示意图又叫做文氏图，下面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式．两个量之间的重叠例1、某班有34名同学参加了学校的运动会，其中有17名参加了跳绳,有20 名参加了拔河,问:及参加了跳绳又参加了拔河的又多少人?如右图所示，如果要计算三个部分的总数,直接计算 A+B就会算多了，而多算的正好是共同部分，只要把多算的减掉就可以了．上述分析总结成公式就是：这个公式就是两个对象的容斥原理．17+20—34=37-34=3（人)答：即参加跳绳又参加拔河的同学有3人.练一练1、五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀，其中语文成绩优秀的有 65 人,数学优秀的有 87 人．语文、数学都优秀的有多少人？2、在一次数学测试中有两道题全班同学都至少答对一题,答对第一题的有33人，答对第二题的又38 人，两题都答对的又15 人,问全班又多少人？3、学校文艺组每人至少会演奏一种乐器。
13、容斥问题
容斥原理这一讲我们主要学习“包含”和“排除”有关的问题，这样的问题在生活中有不少，例如正常的爱好，有人喜欢足球，有人喜欢篮球，有人篮球足球都喜欢，有人都不喜欢。
这就是我们今天要来研究的问题——有重叠的计数问题，即包含与排除问题。
研究这种问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡图），这样的示意图又叫做文氏图。
+就会算多了，而多算的正好是部分如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算A B③，只要把多算的减掉就可以了。
上述分析总结成公式就是：、总数=、重叠A B A B A B+-这个公式就是两个对象的容斥原理。
例1、（1）一群小朋友共有50人，他们都喜欢吃辣椒或芥末中的一种或两种，喜欢吃辣椒的有36人，喜欢吃芥末的有20人，那么两种都喜欢吃的有多少人？（2）暑假里，小高和默默一起讨论金陵十八景。
他们发现十八景中的每一处都有人去过，而且有无处是两人都去过的。
如果小高去过其中的十二景，那么默默去过其中的几景？（3）在一群小朋友中，有12人看过动画片《黑猫警长》，有21人看过动画片《大闹天宫》，并且有8人是两部动画片都看过的。
已知每个小朋友至少都看过其中的一部，那么有几个小朋友只看过这两部动画片中的一部？练习1、四年级同学参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀。
其中语文优秀的有42人，数学优秀的有56人，语文、数学都优秀的有15人，请问四年级共多少名同学？例2、渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共305人参加。
有150名男生和90名女生参加长跑比赛，有120名男生和70名女生参加游泳比赛，有110名男生两项比赛都参加了。
请问：只参加游泳而没参加长跑的女生有多少人？练习2、某校参加数学竞赛的有120名男生、80名女生，参加语文竞赛的有120名女生、80名男生。
已知该校总共有260名学生参加竞赛，其中75名男生两科竞赛都参加了，请问只参加一科竞赛的女生有多少人？例3、三位基金经理投资若干支股票，张经理买过其中66支，王经理买过其中40支，李经理买过其中23支。
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包含与排除
例题1，(1)五年级一班参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，两项活动都参加的有13人，全班每人至少参加一项活动。
问这个班有多少人？
(2)三年级一班参加合唱队的有40人，参加舞蹈队的有20人，既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人。
这两队都没有参加的有10人。
请算一算，这个班共有多少人？
1，学校文艺组每人至少会演奏一种乐器，已知会拉手风琴的有24人，会弹电子琴的有17人，其中两种乐器都会演奏的有8人。
这个文艺组一共有多少人？
2,某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语文、数学双优的有12人，另外还有8人语文、数学均未获优。
这个班共有多少人？
3，第一小组的同学们都在做两道数学思考题，做对第一题的有15人，做对第二题的有10人，两题都做对的有7人，两题都做错的有2人。
第一小组共有多少人？
例题2，(1)五年级一班有42人，参加体育兴趣小组的有30人，参加文艺兴趣小组的有25人，全班每人至少参加一项活动。
问这个班两项活动都参加的有多少人？
(2)一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人。
两样都会的有多少人？
(3)3,某班有36个同学在一项测试中，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。
问多少个同学两题都答得不对？
1，五年级有122名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课取得优秀成绩。
其中语文成绩优秀的有65人，数学优秀的有87人。
语文、数学都优秀的有多少人？
2，一个俱乐部有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的有52人，这两种棋都不会下的有12人。
问这两种棋都会下的有多少人？
3，学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人？
例题3，(1)四年级一班有54人，订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人，订《小学生优秀作文》的有45人，每人至少订一种读物，订《数学大世界》的有多少人？
(2)全班46名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有10人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。
仅会打羽毛球的有多少人？
1，40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一题。
已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人。
只做对第一题的有多少人？
2，五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优。
已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
3，某班有66名同学，仅会打乒乓球的有28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有16人，不会打乒乓球又不会打羽毛球的有10人。
仅会打羽毛球的有多少人？
例题4，光明小学举办学生书法展览。
学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有10幅，其他年级参展的书法作品共有多少幅？
1，科技节那天，学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一、二年级参展的作品共有32件。
其他年级参展的作品共有多少件？
2，六（1）儿童节那天，学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三、四两个年级参展的画共有8幅。
其他年级参展的画共有多少幅？
3，实验小学举办学生书法展，学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五、六年级参展的书法作品共有20幅。
一、二年级参展的作品总数比三、四年级参展作品的总数少4幅。
一、二年级参展的书法作品共有多少幅？
例题5：在1到100的自然数中，既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个？
1，在1到200的全部自然数中，既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个？
2，在1到130的全部自然数中，既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个？
3，a,b是自然数，若a=b×b，则称a是完全平方数；若a=b×b×b，则称a是完全立方数。
在1至1000之间既不是完全平方数，也不是完全立方数的整数有多少个？
4．在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：①标签号为2的倍数，奖2支铅笔；②标签号为3的倍数，奖3支铅笔；③标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；④其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多
少支?
5.有一根长为180厘米的绳子，从一端开始每隔3厘米作一记号，每隔4厘米也作一记号，然后将标有记号的地方剪断．问绳子共被剪成了多少段?
例6，在一个炎热的夏日，几个小朋友去冷饮店，每人至少要了一样冷饮，其中有6人要了冰棍，6人要了汽水，4人要了雪碧，只要冰棍和汽水的有3人，只要冰棍和雪碧的有1人，只要汽水和雪碧的有1人。
问：共有多少个小朋友去了冷饮店？
1,五奥三班有54人，每人至少都爱好一种球类。
爱好乒乓球的有40人；爱好足球的有20人，爱好排球的有30人，既爱好乒乓球又爱好排球的有18人，既爱好乒乓球又爱好足球的有14人，既爱好足球又爱好排球的有12人。
问三种球都爱的有多少人？
2,一个工厂有一批工人，每人至少会一门技术。
其中会开铣床的有235人，会开车床的有218人，会开刨床的有207人。
既会开铣床又会开刨床的有63人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，三种都会的有19人。
这个工厂一共有多少名工人？
3,某班有46人，其中40人会骑车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，则这个班至少有多少人以上四项都会。