概率统计高考试题分析及备考建议
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧
高考数学概率与统计题型解析与答题技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的板块，它不仅考查学生的数学知识和技能，还培养学生的数据分析和推理能力。
对于很多同学来说，这部分内容既有一定的挑战性，又充满了得分的机会。
下面我们就来详细解析高考数学中概率与统计的常见题型以及相应的答题技巧。
一、概率题型1、古典概型古典概型是概率中最基础的题型之一。
它的特点是试验结果有限且等可能。
例如，从装有若干个红球和白球的袋子中摸球，计算摸到某种颜色球的概率。
答题技巧：首先，确定总的基本事件数和所求事件包含的基本事件数。
然后，利用古典概型的概率公式 P（A）＝所求事件包含的基本事件数÷总的基本事件数进行计算。
2、几何概型几何概型与古典概型不同，它的试验结果是无限的。
常见的有长度型、面积型、体积型几何概型。
比如，在一个区间内随机取一个数，求满足某个条件的概率。
答题技巧：对于几何概型，关键是要正确确定几何度量。
例如，长度型就计算长度，面积型就计算面积，体积型就计算体积。
然后，按照几何概型的概率公式 P（A）＝构成事件 A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）进行求解。
3、条件概率条件概率是指在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的概率。
题目中通常会给出一些条件，让我们计算在这些条件下的概率。
答题技巧：利用条件概率公式 P（A|B）＝ P（AB）÷P（B），先求出 P（AB）和 P（B），再计算条件概率。
4、相互独立事件与互斥事件相互独立事件是指一个事件的发生与否对另一个事件的发生概率没有影响；互斥事件则是指两个事件不能同时发生。
答题技巧：对于相互独立事件，它们同时发生的概率用乘法计算，即 P（AB）＝ P（A）×P（B）；对于互斥事件，它们至少有一个发生的概率用加法计算，即 P（A∪B）＝ P（A）＋ P（B）。
二、统计题型1、抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
高考概率统计热点题型分析与对策
—科教导刊（电子版）·2018年第08期/3月（中）—170高考概率统计热点题型分析与对策彭耿锋（佛山市南海区九江中学广东·佛山528203）摘要分析考纲，解读题型，通过近几年的高考概率统计题分析，在题型中寻找规律，明确高频考点，摸清考试规律，为高考题海战术指明了方向，备考增加信心，通过最近几年的高考试题分析，分析总结，明晰应考策略。
关键词概率统计中图分类号：G633.6文献标识码：A 通过近五年全国卷概率统计解答题分析，我们不难发现，解答题多以抽样问题为背景，以频数分布条形图、频率分布直方图、茎叶图、散点图等统计图表为载体，体现能力立意，将统计知识与概率知识、函数知识等相结合的综合题。
下面举例说明2013年至2017年全国高考（理科）卷中出现的热点解答题进行分析与研究。
热点题型一：独立重复事件与二项分布例题1.【2013全国1，理19】一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n 。
如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立。
（1）求这批产品通过检验的概率。
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X （单位：元），求X 的分布列及数学期望。
【考点直击】：独立重复事件、二项分布、数学期望【解答分析】：解决本题的关键在于取得产品的件数为4件优质品三件时，检验费用为800，对应的发生概率为只算前四次产品检验有三件优质的概率，也就是p (X=800)=C 34(12)3(12)=14，后面4件检验费用必然发生，概率为1。
【试题点睛】：本题将检验费用与概率统计相结合，若忽视检验费用与抽检概率之间的关系，很容易产生错误，抽检事件在高考中为常考题，背景很熟悉，但命题手法多变，如何解决此类问题，理解是关键，模型的识别是核心。
概率与统计板块第二轮复习备考建议
概率与统计板块第二轮复习备考建议广东省梅州市丰顺县丰顺中学(514300)马满芳广东省华南师范大学数学科学学院(510631)马佩雯摘要概率与统计板块是高考的一个重要考点.为了更好地为一线教师开展二轮复习,本文通过评析近3年新课标卷概率与统计考点,归纳了6种常考题型,剖析命题特点,提出了相应的备考建议.关键词高考;概率与统计;常见题型;分析;备考建议实施新课标以来,概率与统计板块变成了高考考查的热点和难点,不仅考查学生的基本知识,还考查学生的数据处理能力和应用意识,对其建模能力和探究意识也提出了一定的要求,学生对于解决此类问题的信心不够.在高三二轮复习中,有针对性地做好这部分内容的复习备考,可以做到事半功倍.一、2016-2018年全国新课标I卷高考考点及分析表1:全国I卷2016-2018年文理科概率与统计考点分布表2016年2017年2018年理科文科理科文科理科文科小题第4题:几何概型第3题:古典概型第2题:几何概型第4题:几何概型第3题:统计第10题:几何概型第3题:饼图大题第19题求概率分布列,数学期望第19题函数、柱形图、平均数第19题正态分布、二项分布、平均数与方差第19题相关系数;均值与标准差第20题求二项分布的最值,计算期望值第19题频率分布直方图;频率与均值*近三年《概率与统计》小题都在选择题里考查考点分析全国新课标I卷对概率与统计的考查比较稳定,基本为一小一大(2018年理科I卷是两小一大),分值17分-22分,难度中等偏难.在大数据的时代背景下加强概率与统计的考查可能会成为一种趋势.小题主要考查古典概型、几何概型(理科有时也会考查对立事件、相互独立事件概率及独立重复试验的概率).试题难度不大,要求较低;大题主要考查以频数分布表、频率直方图、柱状图、茎叶图、折线图等为载体,理科侧重考查随机变量的分布列及期望,文科侧重考查样本数字特征的应用.突出了对应用意识(理科常常涉及决策问题,文科常需对统计量进行说理)、数据处理能力及创新能力的考查.试题特点(1)题目较长,阅读量较大.(2)题目背景多为生产、生活实际问题.(3)数据多、关系复杂、运算量较大.从历年的概率与统计的试题来看,本模块考题阅读量大,理解难度高,对学生能力要求高,充分考查了考生的抽象概括能力、数据处理能力,还综合考查了运用求解能力、推理论证能力、应用意识等.全国新课标数学试题强调以能力立意,突出考查数学建模、数据分析等数学学科核心素养.文科2015年第19题、2016年第19题、2017年第19题;理科2015年第19题、2017年第19题、2018年第20题的试题难度较大,变成了高考的压轴题之一.二、几种常见题型概率与统计高考试题中概率知识与统计知识有一定的交汇性,经常以统计图表为载体,结合图表中的数据,运用频率估计概率的思想来计算概率.但从教材知识点的角度,下面对概率部分与统计部分的常考题型进行了归纳分析.(一)概率部分题型一事件及其概率事件及其概率是高考必考内容,经常是以选择题、填空题或者解答题的方式考查事件的关系和运算,以及古典概型、几何概型、条件概率.理科重点考查古典概型、几何概型、对立事件、相互独立事件概率及n次独立重复试验的概率,文科重点考查古典概型(列举法)、几何概型.表2:近三年事件及其概率考查情况表年份全国I卷全国II卷全国III卷2018理10、20(1)理8/文5理8/文52017理2/文4理18(1)/文11文182016理4/文3理10/文8、18选择题和填空题是必拿满分的题目,难度不大,主要考查基本概念与基本公式,在复习过程中需要回归教材,明确相关概念,理清各种概率模型及其适用范围,重视课本的例题以及习题.解答题在求概率时,应该先设出有关事件(用字母表示事件),再计算相关概率,最后再用文字作答,不能只有数学符号而没有对应的文字.例1(2014年高考全国I理科第5题)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.18B.38C.58D.78评析这道题是计数原理的直接应用,其实也是课本习题的变式.古典概型的考查一般是考查计数原理(理科)或者列举法(文科)或树形图.古典概型的考查经常与对立事件相结合,当正面问题比较复杂时,往往考虑其对立事件.题型二离散型随机变量的分布列、均值和方差表3:近三年离散型随机变量考查情况表年份全国I卷全国II卷全国III卷2018理20(2)2017理182016理19(1)(3)离散型随机变量是新课标理科卷(特别是(I)卷)解答题常考题型,文科不考.一般是两种形式的考查:一是利用随机事件的概率性质、公式求分布列,然后求期望和方差,如13年全国I卷理科19题.在解题过程中应注意:求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率,在求解时,要注意计数原理、古典概型等知识的应用.离散型随机变量ξ要找全找对,并理解ξ取每一个值的含义.在求离散型随机变量ξ对应概率时,先求简单易求的复杂的最后用间接法.二是结合统计图(表)考查,利用所求分布列、均值、方差等对实际问题作出判断、决策,此种考查方式是历年新课标理科卷解答题考查的重点、难点,如16年新课标I卷理科19题、17年新课标I卷理科19题、18年新课标理科I卷20题.解决此类题型,要加深对二项分布、超几何分布等不同模型的辨别与理解,如二项分布是有放回的抽样,每次试验事件A发生的概率是相同的;超几何分布是不放回的抽样,每次试验事件A发生的概率是不相同的.例2(2018年高考新课标I卷理科第20题)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立.(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p0.(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用.(i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX;(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验?解析(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C220p2(1−p)18,因此f′(p)=C220[2p(1−p)18−18p2(1−p)17]=2C220p(1−p)17(1−10p),令f′(p)=0,则p=0.1.当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0,p∈(0.1,1)时, f′(p)<0,所以f(p)的最大值点为p0=0.1.(2)(i)由(1)p=0.1.令y表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意Y∼B(180,0.1),所以X=20×2+25Y,所以E(X)=E(40+25Y)= 40+25×180×0.1=490(元).(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于E(X)>400,故应该对余下的产品作检验.评析此题以生产过程中抽检产品的实际问题为背景,考查了n次独立重复试验的概率、二项分布等知识点.此题的第一小问还涉及了利用导数求函数极值的内容.事实上,概率与统计中涉及其他知识,在这些年的高考中并不鲜见,如2013年全国II卷理19(分段函数),2015年全国I卷理18 (非线性回归、二次函数)等.在二轮复习中可以适度给出概率与统计和其他内容相结合的问题进行训练让学生感受和体验知识间的综合,但要保持适当的难度,毕竟主体是概率与统计而非函数.题型三正态分布表4:近三年正态分布考查情况表年份全国I卷全国II卷全国III卷20182017理192016正态分布仅对理科生考查.主要有两类考查方式:(1)对正态分布符号本身的认识和图像的了解,考查正态分布的一些基本性质尤其是3σ原则的运用,如2014年全国I卷理科18题.(2)考查对3σ原则的理解,考查正态分布的综合问题,如2017年全国I卷理科19题,该题主要考查服从正态分布、二项分布的随机变量与期望及标准差等知识.对于第一小问,学生需要理解3σ原则,即服从于正态分布N(µ,σ2)的随机变量通常只取(µ−3σ,µ+3σ)之间的值.只有理解这一原则,才能分析出题中的X服从二项分布,从而利用二项分布的概率、期望公式求解问题.(二)统计部分题型四抽样方式及简单识图应用近几年新课标卷立足于生产生活实际,主要以柱形图、折线图、扇形图等为载体,设计出很多贴近生活的设计图,从设计图出发作样本分析,以选择题的考查为主,难度不大,应注意生活中有关图表的认识,关键在于提高识图能力以及关注“边缘化知识”的复习,比如相关系数等.表5:近三年抽样方式及简单识图应用考查情况表年份全国I 卷全国II 卷全国III 卷2018理3/文32017文2理3/文32016理4/文4例3(2015年高考全国II 卷理科第3题)根据如图给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论中不正确的是()A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关解析A 项,从图中明显看出2008年二氧化硫排放量比2007年的二氧化硫排放量明显减少,且减少的最多,故A 正确;B 项,2004﹣2006年二氧化硫排放量越来越多,从2007年开始二氧化硫排放量变少,故B 正确;C 项,从2006年开始排放量总体呈逐渐下降趋势,故C 正确;D 项,2006年以来我国二氧化硫排放量与年份负相关.故选D 错误.题型五样本数字特征的应用表6:近三年样本数字特征的应用考查情况表年份全国I 卷全国II 卷全国III 卷2018文19文18(1)2017文2/文19(2)2016文19(2)(3)样本的数字特征的应用在文科解答题中是高频考点,主要考查方式分两类:一类是用样本估计总体,主要以折线图、茎叶图、频率直方图、频数分布表等图表为载体,考查学生“读”、“画”(绘制频率直方图、茎叶图)、“算”(能明明白白算出平均数、标准差、方差、中位数、众数等数字特征)另一类是从样本中提取或计算重要数据,如“三数”、标准差等,进行说理.例4(2014年高考全国I 卷文科第18题)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量表得如下频数分布表:质量指标值分组[75,85)[85,95)[95,105)[105,115)[115,125)频数62638228(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图:(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定?解析(1)这些数据的频率分布直方图如下:(2)质量指标值的样本平均数为¯x =80×6+90×26+100×38+110×22+120×8100=100,质量指标值的样本方差为s 2=(−20)2×0.06+(−10)2×0.26+02×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以,这种产品质量指标的平均数估计值为100,方差的估计值104.(3)依题意38+22+8100=68%<80%,所以该企业生产的这种产品不符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%“的规定.总结1、频率直方图的绘制方法:(1)求极差(即一组数据中最大值与最小值的差);(2)决定组距与组数;(3)将数据分组;(4)列频率分布表;(5)画频率分布直方图.2、频率分布直方图中的众数、中位数与平均数:1⃝最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数;2⃝平分频率分布直方图的面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标是中位数;3⃝平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和.题型六回归分析及独立性检验的考查表7:近三年回归分析及独立性检验考查情况表年份全国I 卷全国II 卷全国III 卷2018理19*/文18文18*2017文19(1)文19(2)(3)*2016理18/文18注:带*是考查独立性检验线性相关问题和独立性检验都是新课标卷文科、理科解答题常考题型.主要考查变量的相关关系、线性回归方程的求解、利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”.(1)线性相关问题在复习时,要注重体现、经历回归方程的思维分析过程.根据散点图判断回归模型是线性还是非线性,如果是线性则直接套公式,如果是非线性,则要通过数学变换将非线性关系转化为线性关系,利用最小二乘估计求出线性回归方程系数,求出线性回归方程,再通过数学变换还原求出非线性回归方程(如2015年高考新课标I 文理科卷).(2)独立性检验解题思路:1⃝根据样本数据制成2×2列联表;2⃝根据公式K 2=n (ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )计算K 2的观测值k ;3⃝比较k 与临界值的大小关系,作统计推断.注意:概率统计题的计算量比较大,回归分析的题目一定注意理解和用好公式,用好所提供的数据,有的时候,所提供的公式与实际计算的公式存在差异,这时需要利用最小二乘法的思想对公式进行适当变形.如2016新课标III 卷文科18题.三、高三二轮复习备考建议2013年-2018年全国新课标I 卷中概率统计部分试题都是中等偏难的试题,是高考命题的一个重点、热点,并且难度越来越大,综合性较强,对学生的数学核心素养提出了较高的要求.建议在复习中要做好以下几点:(1)重拾教材,加强基础概率与统计内容主要集中在必修3、选修2-3.而从近三年的全国卷来看,很多考题取材源于教材但高于教材,特别是填选题基本是教材中例题或习题的变式,通过适当的改造、拼接和组合而成,解答题的题型也可以从教材中找到模板,要充分发挥教材的导向作用.因此,在高三备考中要引导学生回归教材,重视教材,加强对基本概念、基本题型、基本方法的总结,形成良好的建模思想.概率与统计的解答题对文科生的答题书写提出了更高的要求.如计算古典概型的概率时要列举出所有的基本事件,不能遗漏或省略,否则扣分,有些考生往往就在此吃亏,还有求概率时要有相应的文字说明作答,用样本估计总体、用频率估计概率时要用大约、估计字眼等,所以在二轮的复习中除了基本知识打牢,也要规范学生的书写.(2)突出概率,重视统计明确概率问题的核心是概率计算,概率计算的核心是清楚事件的互斥、对立、独立等关系.排列组合是进行概率计算的工具,二轮复习再次强调概率中的三个基本问题:概率分布列、数学期望、方差,对相互独立事件的概率、超几何分布、二项分布等题型要熟练掌握.统计问题的核心是样本数据的收集和整理方法,重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征.注意随机数模拟求概率,随机数表法求概率的小题.同时要学会概率与频率分布直方图、正态分布、独立性检验与线性回归方程知识的综合应用.(3)利用考题加强思维能力和运算能力的训练在解题过程中要加强学生思维能力的训练.全国卷概率与统计的解答题具有以能力为立意、综合性强、思维量大的特点,并且实际背景新颖,对推理分析能力的要求较高.因此,教师要充分利用课堂教学,给学生充分的思维时间和空间,培养学生的思维能力,遇到新题型才能做到心中有数,沉着应试.同时,概率与统计为数据处理提供了强有力的工具,要培养学生数据分析、数据处理的能力.通过统计图、统计表来读图、识图,另外利用回归分析或独立性检验考查变量的相关关系,这些都对学生的数据处理能力提出了更高的要求.值得关注的是,概率与统计渗透了函数的知识,所以要通过高考真题、各地的模拟卷来加强学生的运算求解能力.(4)关注易错点,想对策在概率与统计板块的复习中,要准确理解概念、特别要明确概率计算的核心是事件之间的关系,统计问题的核心是样本数据的收集和整理,即随机抽样和用样本估计总体.易错点主要有:套公式计算出错;事件之间的关系理解不正确;频率分布直方图、茎叶图的基本概念理解不清;应用独立性检验方法解决问题时出现K 2值计算错误;除此之外,数列板块第二轮复习备考建议广东省华南师范大学数学科学学院(510631)林艳冬摘要本文先以2016—2018年高考全国新课标I卷为研究对象,分析文理科高考数列试题的命题规律与特点,并提出相对应的高考备考建议;评析了近3年全国I、II、III卷数列考点,归纳总结出6类常考题型,剖析命题特点,希望对给位老师有所帮助.关键词高考;数列;备考建议数列是高中数学的核心内容之一,也是高考命题的热点之一,新课标把数列放在了选择性必修的部分,和以往注重对解题技巧的考查相比,新课标更注重体现数列是特殊的函数的观点.随着高考对数列题目的前移,对数列的考查要求较低,要强化通性通法的复习与训练,不要加大数列难题的训练.一、全国新课标I卷近三年高考考点及分析为了更好的分析和把握近三年来我国高考中数列这一重点知识模块的考点,笔者整理了下表;表1:全国I卷文理科近三年数列的考点2018年2017年2016年选择题*第4题:等差数列基本量*第4题:等差数列基本量*第12题:前n项和*第3题:等差数列基本量填空题*第14题:求数列的通项公式*第15题:等比数列基本量；数列的单调性求最值大题#第17题:递推公式应用；求证等比；求通项公式#第17题:求通项公式；求前n项和；求证等差#第17题:求通项公式；求前n项和考点分析1.题型与分值全国新课标I卷对数列的考查,比较稳定.近三年理科卷基本上为两小题,分值10分,近三年文科卷为一大题,分值为12分.通过表一,我们不难发现数列是高考必考的内容,但近三年来难度有所以降低.理科卷的其中一题在前四题的位置,考察基本量的运算,难度较简单,另一题的考察较为灵活,难度中等.文科卷在第一道大题的位置,难度中等偏易.2.主要考察的内容近三年全国新课标I卷对数列主要考察的内容有:等差数列与等比数列,数列的通项公式,数列前n项和,数列的综合应用等.1⃝等差数列与等比数列,主要考察了等差和等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和,常考察基本量的运算,证明或判断等差或等比数列,运用数列是特殊函数这一性质解题.着重考察了函数与方程的思想,转化与化归的思想,求解与运算的能力.2⃝求数列的通项公式,近三年全国新课标I卷对通项公式的考察主要集中在定义法、公式法、构造法,难度较为简单,需要强化通性通法的训练,着重考察了分类讨论的思想,推理论证的能力,求解与运算的能力.理科生还存在较大的问题是二项分布、超几何分布分辨不清,使用排列组合公式时出错.所以教师在二轮复习时要做到以下几点:1⃝提高学生的数学阅读能力;2⃝提高对公式认识的深度;3⃝加强在教学中对事件分析,让学生透切理解事件之间的关系;4⃝让学生阅读课本,加深对频率分布直方图、茎叶图基本概念的理解;5⃝加强对超几何分布与二项分布的理解与应用;6⃝加强排列组合数公式的应用,让学生熟练掌握;7⃝加强对回归分析与独立性检验的基本思想的理解与应用.参考文献[1]赵萍.高中数学高效课堂·二轮复习精准备考·教师用书·文科[M].广州:广东高等教育出版社,2018.12,(第八章).[2]赵萍.高中数学高效课堂·二轮复习精准备考·教师用书·理科[M].广州:广东高等教育出版社,2018.12,(第八章).[3]余小芬,蒲葭露,刘成龙.2013～2018年高考数学全国卷“概率与统计”专题分析[J].中学数学,2018(15):42-45.。
23年新高考数学题目解析
23年新高考数学题目解析随着新高考制度的逐步推进和改革，数学题目也在不断变化和调整。
本文将对23年新高考数学题目进行解析，帮助考生更好地理解和掌握相关知识点。
一、题目特点总体来说，新高考数学题目更加注重考查考生的思维能力、应用能力和创新能力。
具体来说，题目难度适中，题型多样，涉及的知识点较为广泛。
同时，题目中也融入了一些生活元素和科技元素，使得题目更加贴近实际，更加具有时代感。
二、题目解析1. 三角函数题目题目：给定一个三角形的三个顶点坐标，要求考生求出三角形的面积以及三个顶点的坐标变换。
解析：这道题目主要考查考生对三角函数和坐标变换的理解和应用。
考生需要利用三角函数求出三角形的面积，并根据坐标变换的原理求出三个顶点的变换。
需要注意的是，题目中给出的坐标系可能不是标准的笛卡尔坐标系，需要考生根据实际情况进行转换。
2. 立体几何题目题目：给定一个三棱锥的三个顶点坐标，要求考生求出三棱锥的体积以及三个侧面的面积之和。
解析：这道题目主要考查考生对立体几何的理解和应用。
考生需要利用立体几何的原理求出三棱锥的体积和侧面积，并根据坐标变换的原理求出三个侧面的变换。
需要注意的是，题目中给出的坐标系可能不是标准的直角坐标系，需要考生根据实际情况进行转换。
3. 概率统计题目题目：给定一组数据，要求考生求出数据的平均数、方差、标准差以及数据的分布情况。
解析：这道题目主要考查考生对概率统计的理解和应用。
考生需要利用概率统计的原理求出数据的平均数、方差、标准差以及数据的分布情况，并根据实际情况进行计算和分析。
需要注意的是，题目中给出的数据可能存在异常值和偏态，需要考生进行适当的处理和分析。
三、备考建议1. 加强基础知识的学习和掌握，尤其是对数学概念、公式、定理的理解和应用。
2. 多做题，通过大量的练习来提高自己的解题能力和思维能力。
3. 关注时事和科技元素，将知识点与实际相结合，提高自己的应用能力和创新能力。
4. 学会总结和反思，及时发现自己的不足之处并加以改进。
文科高考数学重难点05 概率与统计(解析版)
重难点05 概率与统计【命题趋势】统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】热点一：“统计”背景下的“概率”问题这类问题一般将统计与概率相结合.以频率分布直方图或茎叶图为背景来考查概率知识，有时以表格为背景来考查概率知识，需要从统计图、表格获取信息、处理数据的能力，并根据得出的数据求概率.热点二：样本分析并通过样本分析作决策进行样本分析时从统计图表中获取数据，得出频率、平均数、方差，用样本频率估计概率、样本数字特征估计总体数字特征，有时需以此作出决策.热点三：线性回归分析根据最小二乘法得出回归直线方程，有时需适当换元转化为线性回归方程. 由于计算量很大，题目一般会给出的参考数据，但是注意数据设置的“障眼法”，这时就要认真领会题意，找出适用的参考数据加以计算.热点四：独立性检验寻找数据完成列联表，下面的解题步骤比较固定，按部就班完成即可.热点五：与函数相结合的概率统计题这类题也是近几年出现较多的一类题，其综合性强，理解题意后找准变量，构建函数关系式.【限时检测】（建议用时：35分钟）一、单选题1．（2021·广西钦州一中高三开学考试（文））点在边长为2的正方形内运动，P ABCD 则动点到顶点的距离的概率为（ ）P A 2PA <A ．B ．C ．D ．14124ππ【答案】C 【解析】分析：先根据题意得出PA 等于2 的临界值情况，再根据几何概型求解即可.详解：由题可知当PA=2时是以A 为圆心2为半径的四分之一圆，所以概率为P=，故选C21444r ππ=2．（2020·全国高三其他模拟（文））从某高中女学生中选取10名学生，根据其身高、体重数据，得到体重关于身高的回归方程，用来刻画回归效(cm)(kg)ˆ0.8585yx =-果的相关指数，则下列说法正确的是（ ）20.6R =A ．这些女学生的体重和身高具有非线性相关关系B ．这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的C ．身高为的女学生的体重一定为170cm 59.5kgD ．这些女学生的身高每增加，其体重约增加0.85cm 1kg 【答案】B【分析】因为回归方程为，且刻画回归效果的相关指数，所以，ˆ0.8585y x =-20.6R =这些女学生的体重和身高具有线性相关关系，A 错误；这些女学生的体重差异有60%是由身高引起的，B 正确；时，，预测身高为的女学生体重为,C 错170x =ˆ0.851708559.5y=⨯-=170cm 59.5kg 误；这些女学生的身高每增加，其体重约增加，D 错误．0.85cm 0.850.850.7225(kg)⨯=故选：B3．（2020·石嘴山市第三中学高三其他模拟（文））网络是一种先进的高频传输技5G 术，我国的技术发展迅速，已位居世界前列.华为公司2019年8月初推出了一款手5G 5G 机，现调查得到该款手机上市时间和市场占有率（单位：%）的几组相关对应数5G x y 据.如图所示的折线图中，横轴1代表2019年8月，2代表2019年9月……，5代表2019年12月，根据数据得出关于的线性回归方程为.若用此方程分析并预y x0.042y x a =+测该款手机市场占有率的变化趋势，则最早何时该款手机市场占有率能超过0.5%（精5G 确到月）（）A ．2020年6月B ．2020年7月C ．2020年8月D ．2020年9月【答案】C【分析】：，1(12345)35x =⨯++++=1(0.020.050.10.150.18)0.15y =⨯++++=点在直线上()3,0.1ˆˆ0.042y x a =+，ˆ0.10.0423a=⨯+ˆ0.026a =-ˆ0.0420.026yx =-令ˆ0.0420.0260.5y x =->13x ≥因为横轴1代表2019年8月，所以横轴13代表2020年8月，故选：C4．（2020·河南新乡市·高三一模（文））年的“金九银十”变成“铜九铁十”，全2020国各地房价“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆市”而行.下图是该地某小区年2019月至年月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图.（图中月11202011份代码分别对应年月年月）113:2019112020:11根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两y a =+ln y c d x =+个回归方程分别为，并得到以下一些0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+统计量的值：是（）A ．当月在售二手房均价与月份代码呈正相关关系y xB ．根据年月在售二手房均价约为万元/0.9369y =+20212 1.0509平方米C ．曲线的图形经过点0.9369y =+0.95540.0306ln y x =+()x yD ．回归曲线的拟合效果好于的拟合效0.95540.0306ln y x =+ 0.9369y =+果【答案】C【分析】对于A ，散点从左下到右上分布，所以当月在售二手房均价与月份代码呈正y x 相关关系，故A 正确；对于B ，令，由，16x =0.9369 1.0509y =+=所以可以预测年月在售二手房均价约为万元/平方米，故B 正确；20212 1.0509对于C ，非线性回归曲线不一定经过，故C 错误；()x y 对于D ，越大，拟合效果越好，故D 正确.2R 故选：C.5．（2020·全国高三专题练习（文））现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男､女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的（ ）A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱两理一文D ．样本中的女生偏爱两文一理【答案】D【分析】：由条形图知女生数量多于男生数量，故A 正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B 正确；男生偏爱两理一文，故C 正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D 错误.故选：D.6．（2021·全国高三专题练习（文））下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中为直角三角形，四边形为它的内接正方形，已知ABC :DEFC ，，在内任取一点，则此点取自正方形内的概率为（2BC =4AC =ABC :DEFC）A ．B ．C ．D ．12592949【答案】D【分析】解：，，4tan 22AC B BC === tan 2EFB FB ∴==，解得，22()2(2)EF FB BC EF EF ==-=-43EF =，，1142422ACB S AC BC ∴==⨯⨯=::4416339DEFC S =⨯=根据几何概型．164949P ==故选：D ．7．（2021·江西新余市·高三期末（文））2013年华人数学家张益唐证明了孪生素数猜想的一个弱化形式．孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数，使得是素数．素数对称为孪生素数．从15以p 2p +(,2)p p +内的素数中任取2个构成素数对，其中是孪生素数的概率为（）A ．B ．C ．D ．13141516【答案】C【分析】以内的素数有，，，，，，共个，任取两个构成素数对，则152********有：，，，，，，，，，，()2,3()2,5()2,7()2,11()2,13()3,5()3,7()3,11()3,13()5,7，，，，，共中取法，而是孪生素数的有，()5,11()5,13()7,11()7,13()11,1315()3,5，，其概率为.()5,7()11,1331155p ==故选：C.8．（2021·安徽阜阳市·高三期末（文））如图，根据已知的散点图，得到y 关于x 的线性回归方程为，则（ ）ˆ0.2y bx =+ˆb =A ．1.5B ．1.8C ．2D ．1.6【答案】D【分析】因为，所以，解得12345235783,555x y ++++++++====530.2b =+ ．1.6b = 故选：D .9．（2021·全国高三专题练习（文））在上随机取一个数，则事件“直线与[]1,1-k y kx =圆相交”发生的概率为（ ）22(x 13)25y -+=A ．B ．12513C ．D ．51234【答案】C【分析】直线与圆相交y kx =22(x 13)25y -+=555,1212d k ⎛⎫⇒∈- ⎪⎝⎭直线斜率时与圆相交，故所求概率.55,1212k ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭10512212P ==故答案选C10．（2021·全国高三专题练习（文））给出下列说法：①回归直线恒过样本点的中心，且至少过一个样本点；ˆˆˆy bx a =+(,)x y ②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；||r ③将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差不变；④在回归直线方程中，当解释变量增加一个单位时，预报变量平均减少ˆ20.5y x =-x ˆy0.5个单位.其中说法正确的是（ ）A ．①②④B ．②③④C ．①③④D ．②④【答案】B【分析】对于①中，回归直线恒过样本点的中心，但不一定过一个样本ˆˆˆy bx a =+(x y 点，所以不正确；对于②中，根据相关系数的意义，可得两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，||r 所以是正确的；对于③中，根据方差的计算公式，可得将一组数据的每个数据都加一个相同的常数后，方差是不变的，所以是正确的；对于④中，根据回归系数的含义，可得在回归直线方程中，当解释变量增ˆ20.5y x =-x 加一个单位时，预报变量平均减少0.5个单位，所以是正确的.ˆy 故选：B.11．（2020·江西吉安市·高三其他模拟（文））给出一组样本数据：1，4，，3，它们出m 现的频率分别为0.1，0.1，0.4，0.4，且样本数据的平均值为2.5，从1，4，，3中任取m 两个数，则这两个数的和为5的概率为（）A ．B ．C ．D ．12231314【答案】C【分析】由题意得，样本平均值为，解得，10.140.10.430.4 2.5m ⨯+⨯+⨯+⨯=2m =即这组样本数据为1，4，2，3，从中任取两个有，，，，，共6种情况，()1,4()1,2()1,3()4,2()4,3()2,3其中和为5的有，两种情况，()1,4()2,3∴所求概率为，2163P ==故选：C.12．（2020·全国高三专题练习（理））物流业景气指数反映物流业经济发展的总体LPI 变化情况，以作为经济强弱的分界点，高于时，反映物流业经济扩张；低于50%50%时，则反映物流业经济收缩。
浅谈高考概率解答题的备考策略
（） ｑ 的 值 ； １ 求 （） 随机 变量 的 数 学 期 望 喏 ； ２求
记分
０
２
６
１ ０
（ 求该 学 生得 ０分 的概 率 ； １ ）
（） 比较该 同学选择都在 Ｂ 投篮 ３试 处
得分 超过 ３ 与 选 择 上 述 方 式 投 篮 得 分 分 超 过 ３分 的概 率 的大 小 。 解 析 ：（） 该 同学 在 Ａ 处 投 中 为事 １记
ｚ： ，
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由分 布列 知 ： ０ 时 丽 ）Ｐ 百 ＝ ＝ ） ）
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０７ （ 一 ２ ００ ， 以 ， ０８ ．５ １ ｑ ） ．３ 所 ｑ ．。
喜喜喜｝ ＋＋： 。
Hale Waihona Puke （ ２ 酱的可能取值为 ｏ２６ １。 ，，， ０
（） ２当 ＝ ２时 ，
Ｐ ＝ （ Ｂ ＋ Ｂ）Ｐ Ａ Ｂ）Ｊ ４ Ｂ） 尸 Ａ Ｂ ＡＢ ＝ （ Ｂ ＋ （ Ｂ ｐ
次 ； 处每投进一球得 ３ ， 曰处每投 在 分 在
进一 球得 ２ ； 果前 两次得 分 之和超 过 ３ 分 如 分 即停 止投 篮 ， 投第三 次。某 同学在 Ａ 否则
处的命中率 ｑ为 ０ ５在 Ｂ处的命中率为 ．， ２
２ ，
该同学选择先在 Ａ处投一球 ， 以后都在
中， 误差在 土ｌ 之内称为合格测量 。 茗 某学
（记 ２ 为该生所得分数， 的分布 ） 求
列及数学期望 。 解析 ： ） （ 由题得 ： １ 该学生在 ５次测量
素， 笔者经过 多年实践总结出如下经验 ，
希望 对 读 者 有所 帮助 。
一
、
重视 教 材 ， 刻 理 解概 念 的 内涵 深
高中数学11.1概率
第十一章概率与统计一概率【考点阐述】随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．【考试要求】（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率．（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．【考题分类】（一）选择题（共8题）1.（福建卷理5）某一批花生种子，如果每1粒发牙的概率为45,那么播下4粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A.16625B.96625C.192625D.256625【标准答案】B【试题解析】由222444196 (2)55625 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【高考考点】独立重复实验的判断及计算【易错提醒】容易记成二项展开式的通项,当然这题因为数字的原因不涉及.【学科网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.2.（福建卷文5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为45，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是（）A.12125B.16125C.48125D.96125【标准答案】C【标准答案】由212334148 (2)55125 P C⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【高考考点】独立重复实验的判断及计算【易错提醒】容易记成二项展开式的通项.【学科网备考提示】请考生注意该公式与二项展开式的通项的区别,所以要强化公式的记忆.3.（江西卷理11文11）电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59的每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻的四个数字之和为23的概率为（）A．1180B．1288C．1360D．1480【标准答案】C.【标准答案】一天显示的时间总共有24601440⨯=种,和为23总共有4种,故所求概率为1360. 4. （辽宁卷理7文7）4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】：C 【解析】：本小题主要考查等可能事件概率求解问题。
高考数学2024概率与统计历年题目全集
高考数学2024概率与统计历年题目全集概率与统计是高中数学中一门重要的学科，也是高考数学考试的一部分。
在概率与统计中，我们需要通过概率的计算和统计的方法来分析和解决实际问题。
为了帮助同学们复习和准备高考数学考试，本文整理了高考数学2024概率与统计历年题目全集，希望能对同学们有所帮助。
1. 单项选择题1) 已知概率为P(A) = 0.2，P(B) = 0.4，事件A、B相互独立，求P(A并B)的值。
2) 一次抛掷一硬币，设正面向上的概率为p，反面向上的概率为q。
连续抛掷3次硬币，求正面朝上的次数不超过2次的概率。
3) 某音乐社有男生40人，女生60人。
从中随机抽取一人，求抽到女生的概率。
2. 典型案例题1) 某超市中购买了100个某品牌产品，其中有5个是次品。
现从中不放回地连续抽取3个产品，求至少有一个次品的概率。
2) 某餐厅的饭菜有4个主食和6个副食。
现从中选择2个饭菜，求至少有一个主食的概率。
3. 解答题1) 设事件A与事件B相互独立，且P(A) = 0.3，P(B) = 0.5。
求下列事件的概率：a) P(A并B)b) P(A或B)c) P(A的对立事件)2) 设P(A) = 0.4，P(B) = 0.3，P(A并B) = 0.1，求下列事件的概率：a) P(A的对立事件)b) P(B的对立事件)c) P(A或B)3) 有一批产品，其中20%是次品。
现从中不放回地连续抽取3个产品，求以下事件的概率：a) 已抽出的3个产品都是次品；b) 至少有一个次品。
（提示：利用组合数学中的排列、组合知识进行计算）本文仅列举了一部分高考数学2024概率与统计历年题目，希望能给同学们提供一些复习和备考的参考。
在备考过程中，同学们还需结合教材和课堂上的知识，多进行习题训练和模拟考试，提高解题能力和应试技巧。
祝同学们取得优异的高考成绩！。
高中数学经典概率与统计(解析版)
概率与统计统计与概率是高考文科中的一个重要的一环高考对概率与统计内容的考查一般以实际应用题出现,这既是这类问题的特点,也符合高考发展的方向.概率应用题侧重于古典概率,近几年的高考有以概率应用题替代传统应用题的趋势,该题出现在解答题第二或第三题的位置，可见概率统计在高考中属于中档题.虽为中档题，但是实际生活背景在加强，阅读量大，所以快速阅读考题并准确理解题意是很重要的.对于这部分，我们还应当重视与传统内容的有机结合. 为了准确地把握2020年高考概率统计命题思想与趋势，在最后的复习中做到有的放矢，提高复习效率，纵观近五年的全国文科I卷，我们看到近几年每年一考,多出现在19题，分值12分；从难度上看：以中档题为主，重基础，考查的重点为统计图表的绘制与分析、数字特征的计算与分析、概率计算、线性回归分析，独立性检验等知识点，一般都会以实际问题为载体，代替传统建模题目.本专题我们把这些热点问题逐一说明，并提出备考指南，希望同学们在复习时抓住重点、事半功倍.【热点预测以及解题技巧】1 .抽样方法是统计学的基础，在复习时要抓住各种抽样方法的概念以及它们之间的区别与联系.茎叶图也成为高考的热点内容，应重点掌握.明确变量间的相关关系，体会最小二乘法和线性回归方法是解决两个变量线性相关的基本方法，就能适应高考的要求.2.求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因.（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.3.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）一、单选题1．（2020·上海闵行区·高三二模）某县共有300个村，现采用系统抽样方法，抽取15个村作为样本，调查农民的生活和生产状况，将300个村编上1到300的号码，求得间隔数3002015k==，即每20个村抽取一个村，在1到20中随机抽取一个数，如果抽到的是7，则从41到60这20个数中应取的号码数是（ ） A ．45B ．46C ．47D ．48 【答案】C【分析】根据系统抽样的定义和性质即可得到结论.【详解】解：根据题意，样本间隔数3002015k ==，在1到20中抽到的是7， 则41到60为第3组，此时对应的数为7+2×20＝47.故选：C.【点睛】本题主要考查系统抽样的应用，样本间距是解决本题的关键，比较基础.2．（2020·上海松江区·高三其他模拟）已知6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，在0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数中，从中任取两数，则所取的两数之和为偶数的概率为( )A ．12B ．37C ．47D ．821【答案】B【分析】根据6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，将0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 计算出来，分清几个奇数，几个偶数， 得到从中任取两数的种数；所取的两数之和为偶数的种数，代入古典概型的概率公式求解.【详解】因为6260126(1)x a a x a x a x +=+++⋯+，0,a 1,a 2,a ,⋅⋅⋅6a 这7个数分别为：061,C =166,C =2615,C =3620,C =4615,C =566,C =661,C =. 4个奇数，3个偶数；从中任取两数共有：2721C =种；所取的两数之和为偶数的有：22439C C +=；∴所取的两数之和为偶数的概率为：93217=. 故选：B.【点睛】本题主要考查二项式系数和古典概型的概率，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3．（2019·上海杨浦区·高三一模）某象棋俱乐部有队员5人，其中女队员2人，现随机选派2人参加一个象棋比赛，则选出的2人中恰有1人是女队员的概率为（ ）A ．310B ．35C ．25D ．23【答案】B【分析】直接利用概率公式计算得到答案.【详解】11322563105C C P C ⨯=== ，故选：B 【点睛】本题考查了概率的计算，属于简单题.4．（2019·上海黄浦区·高三二模）在某段时间内，甲地不下雨的概率为1P （101P <<），乙地不下雨的概率为2P （201P <<），若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为（ ） A ．12PPB ．121PP -C ．12(1)P P -D ．12(1)(1)P P -- 【答案】D【分析】根据相互独立事件的概率，可直接写出结果.【详解】因为甲地不下雨的概率为1P ，乙地不下雨的概率为2P ，且在这段时间内两地下雨相互独立， 所以这段时间内两地都下雨的概率为()()1211P P P =--.故选D【点睛】本题主要考查相互独立事件的概率，熟记概念即可，属于基础题型.二、填空题5．（2020·上海奉贤区·高三一模）某工厂生产A 、B 两种型号的不同产品，产品数量之比为2:3.用分层抽样的方法抽出一个样本容量为n 的样本，则其中A 种型号的产品有14件.现从样本中抽出两件产品，此时含有A 型号产品的概率为__________. 【答案】1117【分析】先由分层抽样抽样比求B 种型号抽取件数，以及n ，再根据古典概型公式求概率. 【详解】设B 种型号抽取m 件，所以1423m =，解得：21m =，142135n =+=， 从样本中抽取2件，含有A 型号产品的概率2111414212351117C C C P C +==.故答案为：11176．（2019·上海市建平中学高三月考）一个总体分为A ，B 两层，其个体数之比为4：1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本.已知B 层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为 _____ ． 【答案】40【解析】设B 层中的个体数为n ，则211828nn C =⇒=，则总体中的个体数为8540.⨯=7．（2020·上海黄浦区·高三二模）某社区利用分层抽样的方法从140户高收入家庭、280户中等收入家庭、80户低收入家庭中选出100户调查社会购买力的某项指标，则中等收入家庭应选________户．【答案】56【分析】由分层抽样的计算方法有，中等收入家庭的户数占总户数的比例再乘以要抽取的户数，即可得到答案.【详解】该社区共有14028080500++=户.利用分层抽样的方法, 中等收入家庭应选28010056500⨯=户，故答案为：56 【点睛】本题考查分层抽样，注意抽取比例是解决问题的关键，属于基础题.8．（2020·上海高三其他模拟）某校三个年级中，高一年级有学生400人，高二年级有学生360人，高三年级有学生340人，现采用分层抽样的方法从高一年级学生中抽出20人，则从高三年级学生中抽取的人数为________.【答案】17【分析】由于分层抽样是按比例抽取，若设高三年级的学生抽取了x 人，则有40034020x=，求出x 的值即可【详解】解：设高三年级的学生抽取了x 人，则由题意得 40034020x=，解得17x =，故答案为：17 【点睛】此题考查分层抽样，属于基础题.9．（2016·上海杨浦区·复旦附中高三月考）如图所示，一家面包销售店根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，若一个月以30天计算，估计这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为________.【答案】9【分析】根据频率分布直方图计算出日销售量不少于150个的频率，然后乘以30即可.【详解】根据频率分布直方图可知，一个月内日销售量不少于150个的频率为()0.0040.002500.3+⨯=， 因此，这家面包店一个月内日销售量不少于150个的天数为300.39⨯=.故答案为9.【点睛】本题考查频率分布直方图的应用，解题时要明确频数、频率和样本容量三者之间的关系，考查计算能力，属于基础题.10．（2020·上海高三专题练习）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________．【答案】5.【解析】设数列的首项为1a ，则12015210102020a+=⨯=，所以15a =，故该数列的首项为5，所以答案应填：5．【考点定位】等差中项．11．（2020·上海浦东新区·高三一模）在7(2)x +的二项展开式中任取一项，则该项系数为有理数的概率为_________．（用数字作答）【答案】12【分析】根据二项展开式的通项，确定有理项所对应的r 的值，从而确定其概率. 【详解】7(2)x +展开式的通项为()77217722rr rr rr r T C x C x --+==，07,r r N ≤≤∈， 当且仅当r 为偶数时，该项系数为有理数，故有0,2,4,6r =满足题意，故所求概率4182P ==.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项．(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解．12．（2020·上海松江区·高三一模）从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，则学生甲被抽到的概率___.【答案】115【分析】基本事件总数801200n C =，学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，由此能求出学生甲被抽到的概率．【详解】解：从包含学生甲的1200名学生中随机抽取一个容量为80的样本，基本事件总数801200n C =， 学生甲被抽到包含的基本事件个数79112001m C C =，∴学生甲被抽到的概率79111991801200115C C m P n C ===． 故答案为：115． 【点睛】方法点睛：求概率常用的方法是：先定性（六种概率：古典概型的概率、几何概型的概率、独立事件的概率、互斥事件的概率、条件概率和独立重复试验的概率）,再定量.13．（2019·上海市建平中学高三月考）已知方程221x y a b+=表示的曲线为C ，任取a 、{}1,2,3,4,5b ∈，则曲线C 表示焦距等于2的椭圆的概率等于________. 【答案】825【分析】计算出基本事件的总数，并列举出事件“曲线C 表示焦距等于2的椭圆”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】所有可能的(),a b 的组数为：5525⨯=，又因为焦距22c =，所以1c =，所以1a b -=±， 则满足条件的有：()1,2、()2,3、()3,4、()4,5、()5,4、()4,3、()3,2、()2,1，共8组， 所以概率为：825P =.故答案为：825. 【点睛】方法点睛：计算古典概型概率的方法如下：（1）列举法；（2）数状图法；（3）列表法；（4）排列、组合数的应用.14．（2020·上海徐汇区·高三一模）小王同学有4本不同的数学书，3本不同的物理书和3本不同的化学书，从中任取2本，则这2本书属于不同学科的概率为______________（结果用分数表示）． 【答案】1115【分析】利用古典概型公式计算概率.【详解】共43310++=本不同的数，任取2本包含21045C =种方法，若从中任取两本，这2本书属于不同学科的情况有11111143433333C C C C C C ⋅+⋅+⋅=，所以这2本书属于不同学科的概率33114515P ==. 故答案为：111515．（2020·上海高三一模）近年来，人们的支付方式发生了巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工A 、B 两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况.发现样本中A ，B 两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A 、B 两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如下：依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率为______.【答案】310【分析】根据题意，计算出两种支付方式都使用过的人数，即可得到该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率．【详解】解：依题意，使用过A 种支付方式的人数为：18292370++=，使用过B 种支付方式的人数为：10242155++=，又两种支付方式都没用过的有5人，所以两种支付方式都用过的有()()7055100530+--=，所以该员工在该月A 、B 两种支付方式都使用过的概率30310010p ==． 故答案为：310． 【点睛】本题考查了古典概型的概率，主要考查计算能力，属于基础题．16．（2020·上海大学附属中学高三三模）一名工人维护甲、乙两台独立的机床，在一小时内，甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，则一小时内没有一台机床需要维护的概率为________【答案】0.42【分析】根据甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，利用独立事件和对立事件的概率求法求解.【详解】因为甲需要维护和乙需要维护相互独立，它们的概率分别为0.4和0.3，所以一小时内没有一台机床需要维护的概率为()()10.410.30.42-⨯-=,故答案为：0.42【点睛】本题主要考查独立事件和对立事件的概率，属于基础题.17．（2020·上海长宁区·高三三模）2021年某省将实行“312++”的新高考模式，即语文、数学、英语三科必选，物理、历史二选一，化学、生物、政治、地理四选二，若甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，则甲同学同时选择历史和化学的概率为________ 【答案】14【分析】甲同学从物理、历史二选一，其中选历史的概率为12，从化学、生物、政治、地理四选二，有6种选法，其中选化学的有3种，从而可得四选二，选化学的概率为12，然后由分步原理可得同时选择历史和化学的概率.【详解】解：由甲同学选科没有偏好，且不受其他因素影响，所以甲同学从物理、历史二选一选历史的概率为12，甲同学从化学、生物、政治、地理四选二有：化学与生物，化学与政治，化学与地理，生物与政治，生物与地理，政治与地理共6种不同的选法，其中选化学的有3种，所以四选二中有化学的概率为12， 所以由分步原理可知甲同学同时选择历史和化学的概率为111=224⨯， 故答案为：14 【点睛】此题考查古典概型概率以及独立事件概率乘法公式的求法，考查理解运算能力，属于基础题. 18．（2019·上海市七宝中学高三三模）一名信息员维护甲乙两公司的5G 网络，一天内甲公司需要维护和乙公司需要维护相互独立，它们需要维护的概率分别为0.4和0.3，则至少有一个公司不需要维护的概率为________【答案】0.88【分析】根据相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式直接求解即可．【详解】＂至少有一个公司不需要维护＂的对立事件是＂两公司都需要维护＂，所以至少有一个公司不需要维护的概率为10.30.40.88p =-⨯=，故答案为0.88．【点睛】本题主要考查概率的求法以及相互独立事件概率计算公式和对立事件的概率计算公式的应用． 19．（2019·上海金山区·高三二模）若生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别为0.01、0.02，每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率是________（结果用小数表示）【答案】0.9702【分析】利用对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式能求出经过两道工序后得到的零件不是废品的概率．【详解】生产某种零件需要经过两道工序，在第一、二道工序中生产出废品的概率分别0.01、0.02， 每道工序生产废品相互独立，则经过两道工序后得到的零件不是废品的概率：p ＝（1﹣0.01）（1﹣0.02）＝0.9702．故答案为0.9702．【点睛】本题考查概率的求法，考查对立事件概率计算公式和相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．三、解答题20．（2019·上海普陀区·）某城市自2014年至2019年每年年初统计得到的人口数量如表所示.（1）设第n 年的人口数量为n a （2014年为第1年），根据表中的数据，描述该城市人口数量和2014年至2018年每年该城市人口的增长数量的变化趋势；（2）研究统计人员用函数0.6544450()2000 4.48781x P x e -=++拟合该城市的人口数量，其中x 的单位是年.假设2014年初对应0x =，()P x 的单位是万.设()P x 的反函数为()T x ，求(2440)T 的值（精确到0.1），并解释其实际意义.【分析】（1）根据表中的数据可得从2014年到2019年人口增加的数量，逐年增多，从2017年后，增加的人数逐年减少，但人口总数是逐年增加的；（2）根据函数的表达式，以及反函数的定义，代值计算即可.【详解】（1）201520142135208253f f -=-=，201620152203213568f f -=-=，201720162276220373f f -=-=，201820172339227663f f -=-=，201920182385233946f f -=-=，由上述计算可知，该地区2014年至2019年每年人口增长数量呈先增后减的变化趋势，每一年任可总数呈逐渐递增的趋势；（2）因为0.65444.48781x e -+为单调递减函数，则()P x 为单调递增函数，则0(2440)T x =0()2440P x ⇒=， 代入000.6544450()200024404.48781x P x e -=+=+，解得08.1x =，即(2440)8.1T =， 其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，到2022年人口接近2440万.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有利用表格判断其变化趋势，利用题中所给的函数解析式，计算相关的量，反函数的定义，属于中档题目.。
“概率统计”的复习备考建议
教学导航２０２４年５月上半月㊀㊀㊀概率统计 的复习备考建议◉广东省河源市东源县广州大学附属东江中学㊀张㊀雷㊀㊀摘要:作为高考中的主干知识之一,概率统计部分的复习备考是高考复习中的一个重要环节．通过数学阅读能力培养㊁数学概念公式理解㊁数学思想方法提炼㊁知识内涵与解题规范㊁未涉及知识教学复习等层面的展开,剖析复习备考建议,全面提升数学能力与培养核心素养,优化复习备考效益．关键词:概率;统计;高考;备考;复习建议㊀㊀概率统计(含计数原理㊁排列组合与二项式定理等)模块知识是新高考数学试卷中的一个重要考查知识点,往往以 一大一小 (一个解答题,一个选择题或填空题)的形式来全面考查．此模块知识重在培养学生的阅读理解能力㊁理性数学思维方式以及解决问题的基本能力等．在高中数学课程体系中,概率统计模块知识贯穿于必修㊁选择性必修课程之中,成为高中数学中的一个重要主题,也是全面培养与提升学生数学学科核心素养㊁发展创新意识与应用意识等方面的重要媒介之一．特别地,在新教材㊁新课程㊁新高考的 三新 背景下,随着课程改革的不断深入,高考命题的创新引领,概率统计模块知识必将成为高考数学试卷中的核心知识和热点考点之一．鉴于此,结合概率统计模块自身的特点,高三复习备考中可以从以下一些细节与注意点入手,抛砖引玉,强化复习,提升能力．１重视数学阅读能力与理解能力的培养概率统计模块知识的考查成为新高考创新命题的一个亮点,特别是涉及命题的 反套路 理念,以及学生 四能 的全面提升等方面的考查,成为高考命题中的一个新思路与新方式．概率统计模块知识的考查往往依托现实生活中的阅读材料加以展开与考查,没有 套路 可循,这就对复习备考提出更高的要求,要求更加重视材料的阅读与理解能力,对于新的问题应用情境中的信息收集㊁信息加工与实际应用等提出更高的要求,要求教师要在平时的复习备考过程中,更加有针对性地进行这方面的训练,提升阅读理解能力等．而对于很多学生得分情况不理想,甚至谈起概率与统计解答题便产生恐惧心理,就需要更有针对性地进行数学阅读理解能力的培养,借助应用场景与阅读材料,增强材料的信息加工,文字语言与符号语言的相互转化等方面的能力．例１㊀位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第３１届世界大学生夏季运动会的核心场馆,它包含一座综合运动场㊁一座多功能体育馆㊁一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲㊁乙在内的６名同学到这４个场馆做志愿者,每人去１个场馆,每个场馆至少安排１个人,则甲㊁乙两人安排在相同场馆的方法种数为(㊀㊀)．A．９６㊀㊀㊀B．１４４㊀㊀㊀C．２４０㊀㊀㊀D．３６０解析:首先将６名同学分成４组．一种方式是甲㊁乙组成一组,再从另外４人任选２人组成一组,其余的一人一组;另一种方式是甲㊁乙与另外４人中的１人组成一组,其余的一人一组．然后再把４组人分到４个场馆．所以安排方法种数为(C２４＋C１４)A４４＝２４０．故选:C．点评:此类涉及应用的计数问题,关键在于阅读理解能力,根据志愿者活动安排,通过分组的分类讨论,结合排列组合的相关知识进行简单的计数与应用,进而确定相应的安排方法种数．２重视数学基本概念和基本公式的理解在数学复习备考过程中,对于概率统计模块知识,要更加重视对数学教材的回归与使用,真正起到数学教材的引领与指向功能．在回归教材与应用教材过程中,结合概率统计模块知识的基本特点,要特别重视概率与统计中相关的基本概念的理解,以及一些相关基本公式的理解与掌握,把握解题的 通性通法 ．特别要注意新教材中涉及全概率公式的应用等,并能熟练利用基本概念与基本公式来解决一些相关的应用问题,体现概念与公式的充分理解与把握等．例２㊀某射手射击三次,记事件A i＝ 第i次命中目标 (i＝１,２,３),P(A１)＝１６,P(A i＋１|A i)＝０３２０２４年５月上半月㊀教学导航㊀㊀㊀㊀３P (A i ),P (A i ＋１|A i )＝１４(i ＝１,２),则P (A ３)＝．解析:依题意知,P (A １)＝１６,结合对立事件的概率公式可得P (A １)＝１－P (A １)＝５６．结合P (A i ＋１|A i )＝３P (A i ),可得P (A ２|A １)＝３P (A １)＝１２．又P (A ２|A １)＝１４,利用全概率公式,可得P (A ２)＝P (A １)P (A ２|A １)＋P (A １)P (A ２|A １)＝１６ˑ１２＋５６ˑ１４＝７２４．又利用对立事件的概率公式,可得P (A ２)＝１－P (A ２)＝１７２４．而P (A ３|A ２)＝３P (A ２)＝７８,又P (A ３|A ２)＝１４,所以利用全概率公式,可得P (A ３)＝P (A ２)P (A ３|A ２)＋P (A ２)P (A ３|A ２)＝７２４ˑ７８＋１７２４ˑ１４＝８３１９２．点评:该综合应用问题以概率为问题场景,通过条件概率以及递推关系式的合理交汇与综合,综合对立事件的概率公式以及全概率公式等来综合与应用,实现问题的巧妙分析与解决．特别要注意的是,合理利用事件概率之间的递推关系式,要注意后继事件的概率往往受前一个事件的概率的影响,需要逐一分析与求解,这对应用问题具有现实意义与规律．３重视数学思想方法与技巧策略的提炼概率统计模块知识也离不开数学基本思想方法与技巧策略,成为聚焦数学核心素养,以及提升数学关键能力的一个重要场景．特别是以实际应用题为场景的概率统计问题,更是突出数学核心素养与关键能力的一个基本场所．基于此,在复习备考过程中,要全面把握数学基本思想方法的引领,指向数学基本技巧策略应用．要将数学的思想方法与技巧策略等贯穿在复习备考与数学解题过程中去,使得复习备考过程更加全面体现数学经验积累和数学思想升华．例３㊀为调查中某校学生每天学习的时间,采用样本比例分配的分层随机抽样,现抽取高一学生４００人,每天学习时间均值为８小时,方差为０．５,抽取高二学生６００人,每天学习时间均值为９小时,方差为０．８,抽取高三学生１０００人,每天学习时间均值为１０小时,方差为１,则估计该校学生每天学习时间的方差为(㊀㊀)．A．１．２５B ．１．３５C ．１．４５D．１．５５解析:依题知,所抽取的总人数为４００＋６００＋１０００＝２０００,则高一㊁高二㊁高三学生所抽取的人数的频率分别为４００２０００＝０．２,６００２０００＝０．３,１０００２０００＝０．５,所以该校学生每天学习时间的平均值为x ＝０．２ˑ８＋０．３ˑ９＋０．５ˑ１０＝９．３．结合分层随机抽样的样本方差公式,可得到s ２＝０．２ˑ[０．５＋(８－９．３)２]＋０．３ˑ[０．８＋(９－９．３)２]＋０．５ˑ[１＋(１０－９．３)２]＝１．４５．故选:C ．点评:在解决一些复杂的分层随机抽样问题时,首先要准确确定分层随机抽样的层数,以及确定与之相关的基本概念(样本总数㊁各层的样本数或频率等),进而熟练利用分层随机抽样的样本平均值㊁样本方差公式加以推理与运算,并结合实际问题的应用场景与现实实际来合理判断与决策等．４重视数学知识内涵与解题过程的规范概率统计模块知识的应用,是阅读材料与数学知识之间的联系与转化,也是对材料信息的再认识与再加工．在实际解决问题时,需要将对应的应用情境问题加以合理抽象,巧妙建模,利用数据分析与信息加工,并结合数学运算与逻辑推理等来分析与解决问题．基于此,在复习备考过程中,需要重视数学知识内涵的提炼,重视数学解题过程的规范㊁解题格式的训练,特别对于数学符号的使用要规范准确,语言表达精炼准确,逻辑推理严谨,数学运算正确．５重视未涉及知识的教学复习近两三年来高考没有考到的内容:正态分布㊁一元线性回归模型等相关问题．随着 教学评一体化 及人才选择培养体系的变革,这一部分内容将会成为来年高考的考点,需要教师与学生务必做好这些知识点的教学与复习,使得复习更加系统,更加全面,更加到位．近年高考中,概率统计模块知识的考查更加吻合«普通高中数学课程标准(２０２２修订)»,突出该模块中的基本概念㊁主干知识以及基本数学方法与技巧策略等方面的考查等,吻合教材的内容比例,全面考查知识的应用等,特别在通性通法的基础上,进行适度的综合与创新．Z１３。
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概率统计高考试题分析及备考建议韩永权一概率统计的重要性17世纪中叶，由于赌博业的发展，需要解决公平赌博问题，导致概率的研究，当时人们常常用骰子，纸牌等工具进行赌博，遇到许多无法解决的问题，就求助于数学家，如费马，巴斯卡，惠更斯等著名数学家参加了有关的讨论，由此发展引出古典概型19世纪末20世纪初，柯尔莫哥洛夫等人建立了概率论的公理化体系，奠定了概率论的严格数学基础，使得概率论作为一个数学分支得以迅速发展，目前，概率论在金融，保险，医药，工程技术，通信，地震，生物学，数学，物理学，化学，管理等各个领域都有广泛的应用。
统计学是通过收集数据和分析数据来认识未知现象的一门科学，它在政府管理，工业，农业，林业，商业，教育，军事，自然科学和社会科学等领域都有广泛的应用，在大数据的今天，统计学的基本思想和方法成为人们日常学习，工作和生活的必备修养。
《课标2017版》课程结构：高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。
高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程。
所以说：概率与统计在高中数学课程中地位很重要，相对于其他数学分支内容很独特。
21世纪以来，相关研究者和课程设计者逐渐达成共识，统计课程地位得到提升，成为普通高中数学课程改革中的重要一环，值得一提的是，新一轮修订中数学课程标准仍然将统计内容作为基本内容，其重要性得到进一步加强。
——曹一鸣，王万松.高中概率统计内容设置的国际比较——基于15个国家数学课程标准的研究[j].数学教育学报，1995(2):40-41数据统计是当代社会关注的热点之一，“大数据”已成为当前社会的热点词汇之一——赵彦云.对大数据统计设计的思考[j]统计研究，2015，32(6):3-10法国数学家拉普拉斯有句名言：“生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题”二概率与统计的学科特点概率是在总体被假设已知的情况下，研究从总体中抽取的样本的有关问题，这是关于随机现象规律演绎性的研究。
统计学主要是在样本可以获得的情况下，研究如何从样本得出关于总体的一些结论。
这是关于随机现象规律归纳性的研究。
演绎推理是从一般到特殊的推理，只要前提正确，推理有效，那么结论一定是正确的；而归纳推理是从特殊到一般的推理，即使前提正确，结论也未必正确。
因些，概率的结论具有确定性，而统计推断的结论具有或然性（随机性）（二）概率与统计的联系由于样本具有随机性，依据样本构造的推断量也具有随机性，例如频率，样本均值等，因此据此推断得到的统计结论具有或然性（随机性）度量随机的工具是概率。
因此，对于随机的结论需要借助于概率进行刻画，也就是说给统计推断的结论以概率形式的刻画，是推断统计科学性的体现。
从概率与统计的逻辑关系来看，概率是统计的理论基础，而统计是概率的应用。
（三）【考纲解读】课本的必修三与选修2-3说明: A.了解 B.理解 C.掌握（四）课标（实验）与课标（2017版）内容的变化1.删除的内容与原文科相比与原理科相比删除的内容 1.映射2.三视图3.系统抽样、茎叶图4.几何概型5.二元一次不等式组与简单线性规划问题6.推理与证明（其中数学归纳法移到必修数列中，作为必修选学）框图7.命题的四种形式、逻辑联结词：“或”，“且”映射三视图系统抽样、茎叶图几何概型二元一次不等式组与简单线性规划问题推理与证明（其中数学归纳法移到必修数列中，作为必修选学）框图命题的四种形式、逻辑联结词：“或”，“且”8.生活中的优化举例9.定积分与微积分基本定理考试内容要求层次A B C统计随机抽样简单随机抽样√分层抽样和系统抽样√用样本估计总体频率分布表、直方图、折线图、茎叶图√样本数据的基本数字特征（如平均数、标准差）√用样本的频率分布表估计总体分步，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征√变量的相关性线性回归方程√统计案例独立性检验独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其简单应用。
√回归分析回归分析的基本思想、方法及其简单应用。
√概率事件与概率随机事件的概率√随机事件的运算√两个互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型√几何概型几何概型√概率取有限值的离散型随机变量及其分布列√超几何分布√条件概率√事件的独立性√n次独立重复试验与二项分布√取有限值的离散型随机变量的均值、方差√正态分布√2.增加的内容3.弱化的内容(五) 需要注意几个问题：1.超几何分布与二项分布2.事件的和积公式3.全概率公式和贝叶斯公式三近年高考概率统计分析（一）近六年全国卷概率大题考查内容2019年Ⅱ卷 18 相互独立事件的概率文字语言153 2019年Ⅲ卷 18 频率分布直方图，求平均值 频率分布直方图 248 2020年Ⅰ卷 19 概率的计算 文字语言 206 2020年Ⅱ卷 18 回归分析 公式数据359 2020年Ⅲ卷 18 独立性检验22⨯列联表390考查内容 年份次数 回归直线方程 2015Ⅰ，2016年Ⅲ，2018年Ⅱ，2020年Ⅱ 4 统计图表求概率 2015年Ⅱ，2016年Ⅱ，2017年Ⅱ，2019年Ⅲ4 正态分布的应用 2014Ⅰ，2017年Ⅰ1 独立性检验 2018年Ⅲ，2019年Ⅱ，2020年Ⅲ3 二项分布2018年Ⅰ1 求分布列，概率计算 2016年Ⅰ，2017年Ⅲ，2019年Ⅰ，2020年Ⅰ5考查内容 年份 次数 回归分析 2015 1 独立性检验 20101 产品检验 2013、2014、2018、2019 4 比赛模型2020 1 二项分布、正态分布 20171 分段函数期望，决策2011、2012、20163（四）新课标(2010-2020)年全国1卷概率统计大题分析1.(2010新课标文理19)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由． )(2k k P >)0.050 0.010 0.001 k3.841 6.635 10.828)d )()()(()(2++++-=b c a d c b a bc ad n k2.（2011新课标理19）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方(分别称为A 配方和B 配方)做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果： A 配方的频数分布表指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 8 20 42 22 8B 指标值分组 [90，94) [94，98) [98，102) [102，106) [106，110] 频数 4 12 42 32 10(1)(2)已知用B 配方生产的一件产品的利润y(单位：元)与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤≤⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率)3.（2012新课标18）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。
（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式。
（2）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。
（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方差； （ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝 请说明理由。
4.(2013课标全国Ⅰ，理19)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立． (1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．5.(2014新课标18) 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和相本方差2s ，（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N u σ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求(187.8122.2)P Z <<(ii) 某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标位于区间(187.8,212.2)中的产品件数，种用（i ）的结果，求EX 附：15012.2≈，若2(,)Z N μσ, 则()0.6826P Z μσμσ-<<+=,(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=6.(2015新课标)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费i x 和年销售量i y (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.日需求量n 14 15 16 17 18 19 20频 数 20 20 16 16 15 13 10xyw281)(∑=-i i x x281)(∑=-i i w w∑=--81))((i i i y y x x ∑=--81))((i i iy y w w46.65636.8289.8 1.6 1469 108.8表中i i x w =,∑==18i i w w(Ⅰ)根据散点图判断，bx a y +=与x d c y +=哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程； (Ⅲ)已知这种产品的年利润z 与x 、y 的关系为x y z -=2.0根据 (Ⅱ)的结果回答下列问题：(i)年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少 (ii)年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？ 7.（2016新课标1）（19）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.（I ）求X 的分布列；（II ）若要求()0.5P X n ≤≥,确定n 的最小值；（III ）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在19n =与20n =之中选其一,应选用哪个？ 8.（2017理科19）为了监控某种零件的一条生产线的生产流程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm)，根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布),(2σμN 。