第46讲 直线的方程(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义

第46讲 直线的方程一、课程标准1、在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2、理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3、掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系. 二、基础知识回顾1. 当直线l 与x 轴相交时，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l 的倾斜角，并规定：直线l 与x 轴平行或重合时倾斜角为0°，因此倾斜角α的范围是0°≤α＜180°．2. 当倾斜角α≠90°时，tan α表示直线l 的斜率，常用k 表示，即k ＝tan α.当α＝90°时，斜率不存在．当直线过P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)且x 1≠x 2时，k ＝y 2－y 1x 2－x 1．3. 直线方程的几种形式三、自主热身、归纳总结1、 如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不通过( )A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限 【答案】C【解析】 由已知得直线Ax ＋By ＋C ＝0在x 轴上的截距－C A >0，在y 轴上的截距－CB >0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．故选C .2、 若过点M(－2，m)，N(m ，4)的直线的斜率等于1，则m 的值为( )A. 1B. 4C. 1或3D. 1或4 【答案】 A【解析】 由题意得4－mm －（－2）＝1，解得m ＝1.3、 直线x ＋(a 2＋1)y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤0，π4B. ⎣⎡⎭⎫3π4，π C. ⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎝⎛⎭⎫π2，π D. ⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 【答案】 B【解析】 由直线方程可得该直线的斜率为k ＝－1a 2＋1，又－1≤－1a 2＋1<0，所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4，π.4、过直线l ：y ＝x 上的点P (2,2)作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为________．【答案】：x －2y ＋2＝0或x ＝2【解析】：①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k (x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k ×2＝2，即⎪⎪⎪⎪ 1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0.综上可知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.5、过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程为________．【答案】4x ＋3y －13＝0【解析】设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0. 6、过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________． 【答案】2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0【解析】设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.四、例题选讲考点一 直线的斜率与倾斜角例1、（徐州一中模拟）(1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围是__________．【答案】 (1)B (2)(－∞，－3]∪[1，＋∞)【解析】(1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α，因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32，因此k ＝2cos α∈[1，3]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1，3]．又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3，即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3. (2)如图，因为k AP ＝1－02－1＝1， k BP ＝3－00－1＝－3， 所以k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)．变式：（1）若图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1＜k 2＜k 3B ．k 3＜k 1＜k 2C ．k 3＜k 2＜k 1D ．k 1＜k 3＜k 2（2）若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________． （3）已知点(－1,2)和⎝⎛⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是________．【答案】（1）D （2） 4 （3） ⎝⎛⎭⎫2π3，3π4【解析】（1）直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1＜0.直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2.故选D.（2）因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.（3）（3）点(－1,2)和⎝⎛⎭⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0同侧的充要条件是(－a －2＋1)⎝⎛⎭⎫33a ＋1＞0，解得－3＜a ＜－1，即直线l 的斜率的范围是(－3，－1)，故其倾斜角的取值范围是⎝⎛⎭⎫2π3，3π4.方法总结：1. 倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞； 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞增大到趋近于0(k≠0)．2. 斜率的两种求法(1) 定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tanα⎝⎛⎭⎫α≠π2求斜率． (2) 公式法：若已知直线上两点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点二 直线方程的求法例2、根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12； (3)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝1010(0<α<π)，从而cos α＝±31010， 则k ＝tan α＝±13.故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)由题设知截距不为0，设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.又直线过点(－3,4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0. (3)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0；当斜率存在时，设斜率为k ，则所求直线方程为y －10＝k (x －5)， 即kx －y ＋(10－5k )＝0.由点到直线的距离公式得|10－5k |k 2＋1＝5，解得k ＝34.故所求直线方程为3x －4y ＋25＝0.综上，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0.变式1、(1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．【解析】 (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0. ②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0(2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0 变式2、根据所给条件求直线的方程：(1)过点P(－2，4)且斜率k ＝3；(2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.【解析】 (1)由题设知，该直线可采用点斜式．直线l 的方程为y －4＝3(x ＋2)，即3x －y ＋10＝0.(2)由题设知直线在平面直角坐标系中的横、纵截距均不为0，故可设直线方程为x a ＋y12－a ＝1.∵直线过点(－3，4)，∴－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或9.故所求直线方程为4x －y ＋16＝0或x ＋3y －9＝0.方法总结：本题考查直线方程的几种形式，要注意选择性．过定点，且斜率已知，用直线的点斜式方程；在两坐标轴上的截距已知，一般用截距式，再将点的坐标代入得出直线方程．在求直线方程时，最后结果要化为一般式与斜截式，要当心斜率不存在、截距不存在的特殊情况． 考点三 直线方程的综合应用例3、 （辽宁阜新实验中学2019届模拟）(1)已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a 的值．(2)已知直线l 过点P (3,2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，如图所示，求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2,2)，直线l 1在y 轴上的截距为2－a ，直线l 2在x 轴上的截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2×(2－a )＋12×2×(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．故当四边形的面积最小时，实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0， 则直线l 的方程为y －2＝k (x －3)(k <0)， 可得A ⎝⎛⎭⎫3－2k ，0，B (0,2－3k )， 所以S △ABO ＝12(2－3k )⎝⎛⎭⎫3－2k ＝12⎣⎡⎦⎤12＋－9k ＋4－k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋2－9k ·4－k ＝12×(12＋12) ＝12，当且仅当－9k ＝4－k，即k ＝－23时，等号成立．故△ABO 的面积的最小值为12， 此时直线l 的方程为2x ＋3y －12＝0.变式1、过点P(4，1)作直线l 分别交x 轴，y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l 的方程． 【解析】 设直线l ：x a ＋yb ＝1(a>0，b>0)，∵直线l 经过点P(4，1)，∴4a ＋1b ＝1.(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b ＝4ab，∴ab≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立，∴当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.(2)∵4a ＋1b＝1，a>0，b>0，∴|OA|＋|OB|＝a ＋b ＝(a ＋b)·⎝⎛⎭⎫4a ＋1b ＝5＋a b ＋4ba≥5＋2a b ·4ba＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，∴当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0.变式2、已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【证明】 (1)直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2，1)．(2)直线l 的方程可化为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，故k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，且k >0， ∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0，1＋2k )，故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(4＋4)＝4，当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时取等号，故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.方法总结：(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”．(2)求解与直线方程有关的最值问题时，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．五、优化提升与真题演练1、（黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检）若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝55，则l 的斜率为( ) A ．－12 B.－12或－2 C.12或2D ．－2【答案】D【解析】∵sin θ＋cos θ＝55，① ∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝15，∴2sin θ cos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2＝95，易知sin θ＞0，cos θ＜0， ∴sin θ－cos θ＝355，②由①②解得⎩⎨⎧sin θ＝255，cos θ＝－55，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2.2、(多选)若直线过点A (1,2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l 方程可能为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0【答案】ABC【解析】当直线经过原点时，斜率为k ＝2－01－0＝2，所求的直线方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x ±y ＝k ，把点A (1,2)代入可得1－2＝k 或1＋2＝k ，求得k ＝－1或k ＝3，故所求的直线方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0；综上知，所求的直线方程为2x －y ＝0，x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.故选A 、B 、C.3、(多选)经过点B (3,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －7＝0C ．2x －y －2＝0D ．2x ＋y －10＝0【答案】AB【解析】由题意可知，所求直线的斜率为±1.又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)．所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.4、（江苏扬州中学2019届模拟）已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．【解析】(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)． (2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1， 则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，∴A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )．又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，∴k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k×(1＋2k )＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号．故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。