第46讲 直线的方程(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
新高考数学一轮复习课件 直线的方程

第一节 直线的方程
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(2)当-1≤k<0 时,34π≤θ<π, 当 0≤k≤1 时,0≤θ≤π4. 因此 θ 的取值范围是0,π4∪34π,π.]
第一节 直线的方程
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
考点二 直线方程的求法 1.经过两条直线 l1:x+y=2,l2:2x-y=1 的交点,且直线的 一个方向向量 v=(-3,2)的直线方程为________.
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
4 . 过 点 P(2,3) 且 在 两 轴 上 截 距 相 等 的 直 线 方 程 为 __________________.
3x-2y=0 或 x+y-5=0 [当纵、横截距为 0 时,直线方程为 3x-2y=0;
当截距不为 0 时,设直线方程为ax+ay=1,则2a+3a=1,解得 a= 5,直线方程为 x+y-5=0.]
当 k=0 时,直线为 y=1,符合题意, 故 k 的取值范围是[0,+∞).
第一节 直线的方程
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走进教材·夯实基础 细研考点·突破题型 课时分层作业
(3)由题意可知 k≠0,再由 l 的方程,得 A-1+k2k,0,B(0,1+ 2k).
(1)A (2)(-∞,- 3]∪[1,+∞) [(1)由题意,在 Rt△BCD 中, ∠BCD=π2,BC= 3AB= 3CD,
∴tan∠CBD= 33,∴∠CBD=π6,∴直线 BC 的倾斜角为π3,故 kBC=tanπ3= 3.故选 A.
第一节 直线的方程
2024年高考数学一轮复习(新高考版《直线的方程》课件ppt

(2)直线 2xcos α-y-3=0α∈π6,π3的倾斜角的变化范围是
A.π6,π3
√B.π4,π3
C.π4,π2
D.π4,23π
直线2xcos α-y-3=0的斜率k=2cos α. 由于 α∈π6,π3,所以12≤cos α≤ 23, 因此 k=2cos α∈[1, 3]. 设直线的倾斜角为 θ,则有 tan θ∈[1, 3]. 由于θ∈[0,π), 所以 θ∈π4,π3,即倾斜角的变化范围是π4,π3.
跟踪训练3 (1)直线l的方程为(a+1)x+y+3-a=0(a∈R),直线l过定点 _(_1_,__-__4_)_,若直线l不经过第三象限,则实数a的取值范围是_[_3_,__+__∞__)_.
直线l:(a+1)x+y+3-a=0可化为a(x-1)+x+y+3=0, 令xx-+1y+=30=,0, 解得xy==1-,4, ∴直线l过定点(1,-4), ∵直线l可化为y=-(a+1)x+a-3, 又直线l不经过第三象限, ∴- a-a3+≥10,<0, 解得 a≥3.
第
二 部 分
探究核心题型
题型一 直线的倾斜角与斜率
例 1 (1)若直线 l 过点 P(1,0),且与以 A(2,1),B(0, 3)为端点的线段
有公共点,则直线 l 的斜率的取值范围是
A.[- 3,1]
C.-
33,1
√B.(-∞,- 3]∪[1,+∞)
D.-∞,-
33∪[1,+∞)
如图,当直线 l 过点 B 时,设直线 l 的斜率为 k1,则 k1= 03--10=- 3;当直线 l 过点 A 时, 设直线 l 的斜率为 k2,则 k2=12--01=1,所以 要使直线 l 与线段 AB 有公共点,则直线 l 的 斜率的取值范围是(-∞,- 3]∪[1,+∞).
直线的方程课件-2025届高三数学一轮复习

3
2
.
[易错题]已知点 A (3,4),则经过点 A 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为
4 x -3 y =0或 x + y -7=0
.
[解析] 设直线在 x 轴、 y 轴上的截距均为 a .(讨论截距是否为0)
①若 a =0,即直线过点(0,0)及(3,4),
2025届高考数学一轮复习讲义
平面解析几何之 直线的方程
一、知识点讲解及规律方法结论总结
1. 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角
直线的斜率
(1)定义式:把一条直线的倾斜角α的正切值叫做
定义:当直线l与x轴相交时,
这条直线的斜率,斜率通常用小写字母k表示,
我们以x轴为基准,x轴正向
π
k=tan
α
即③
(α≠
D. 8
5−1
=-2,则线段 lAB : y -1=-2( x -4), x ∈[2,4],即
2−4
y =-2 x +9, x ∈[2,4],故2 x - y =2 x -(-2 x +9)=4 x -9, x ∈[2,4].设 h ( x )
1
1
1
1
差为0.1的等差数列,且直线 OA 的斜率为0.725,则 k 3=(
图1
A. 0.75
B. 0.8
D )
图2
C. 0.85
D. 0.9
[解析] 如图,连接 OA ,延长 AA 1与 x 轴交于点 A 2,则 OA 2=4 OD 1.因为 k 1, k 2,
2
k 3成公差为0.1的等差数列,所以 k 1= k 3-0.2, k 2= k 3-0.1,所以tan∠ AOA 2=
《直线的方程(一)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】

1
x
–2
–1
O
–1
1
x
求经过(−5,0), (3, −3)两点的直线方程.
y
解:由经过两点的斜率公式计算,
3
2
可得: =
−3−0
3−(−5)
=
3
− ,
8
1
先求出直线的斜率,
A
–5
–4
–3
–2
–1
O
1
2
3
x
–1
3
8
所以该直线的点斜式为: − 0 = − ( + 5)
即3 + 8 + 15 = 0.
定义概念
如果已知直线上一点(0, 0),斜率为,方程 − 0 = ( − 0 )称
为直线方程的点斜式.
(0 , 0 )
点斜式方程能不能表示平面内所有的直线?
答:不能,当斜率不存在时,不能使用点斜式.
y
那这个时候直线的方程是什么?
l
P
.
答:当直线的斜率不存在时,直线的方程是
= 0 .
O
x
求出经过点P(1,2)且满足下列条件的直线的方程,并画出图像:
3
(1)倾斜角为
(2)与x轴垂直
(3)与x轴平行
解:(1)斜率 = 3 所以 − 2 = 3 (x+1),
化简得 3 − + 3 + 2 = 0.
y
4
直接套用–2
2
点斜式方程.
1
3
–1 O
的坐标(, )满足什么条件?
答:设(, )是直线上不同于点的任意一点,
由直线的斜率得:则
2021年高考数学一轮总复习 8.1 直线与方程教案 理 新人教A版

2021年高考数学一轮总复习 8.1 直线与方程教案理新人教A版高考导航知识网络8.1 直线与方程典例精析题型一 直线的倾斜角【例1】直线2xcos α-y -3=0,α∈[π6,π3]的倾斜角的变化范围是( )A.[π6,π3]B.[π4,π3]C.[π4,π2]D.[π4,2π3]【解析】直线2xcos α-y -3=0的斜率k =2cos α,由于α∈[π6,π3],所以12≤cos α≤32,k =2cos α∈[1,3].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,3],由于θ∈[0,π),所以θ∈[π4,π3],即倾斜角的变化范围是[π4,π3],故选B.【点拨】利用斜率求倾斜角时,要注意倾斜角的范围.【变式训练1】已知M(2m +3,m),N(m -2,1),当m ∈ 时,直线MN 的倾斜角为锐角;当m = 时,直线MN 的倾斜角为直角;当m ∈ 时,直线MN 的倾斜角为钝角.【解析】直线MN 的倾斜角为锐角时,k =m -12m +3-m +2=m -1m +5>0⇒m <-5或m >1;直线MN 的倾斜角为直角时,2m +3=m -2⇒m =-5;直线MN 的倾斜角为钝角时,k =m -12m +3-m +2=m -1m +5<0⇒-5<m <1.题型二 直线的斜率【例2】已知A(-1,-5),B(3,-2),直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的2倍,求直线l 的斜率.【解析】由于A(-1,-5),B(3,-2),所以kAB =-2+53+1=34, 设直线AB 的倾斜角为θ,则tan θ=34,l 的倾斜角为2θ,tan 2θ=2tan θ1-tan2θ=2×341-(34)2=247.所以直线l 的斜率为247.【点拨】直线的倾斜角和斜率是最重要的两个概念,应熟练地掌握这两个概念,扎实地记住计算公式,倾斜角往往会和三角函数的有关知识联系在一起.【变式训练2】设α是直线l 的倾斜角,且有sin α+cos α=15,则直线l 的斜率为( )A.34B.43C.-43D.-34或-43【解析】选C.sin α+cos α=15⇒sin αcos α=-1225<0⇒sin α=45,cos α=-35或cos α=45,sin α=-35(舍去),故直线l 的斜率k =tan α=sin αcos α=-43.题型三 直线的方程【例3】求满足下列条件的直线方程.(1)直线过点(3,2),且在两坐标轴上截距相等; (2)直线过点(2,1),且原点到直线的距离为2.【解析】(1)当截距为0时,直线过原点,直线方程是2x -3y =0;当截距不为0时,设方程为x a +ya =1,把(3,2)代入,得a =5,直线方程为x +y -5=0.故所求直线方程为2x -3y =0或x +y -5=0. (2)当斜率不存在时,直线方程x -2=0合题意;当斜率存在时,则设直线方程为y -1=k(x -2),即kx -y +1-2k =0,所以|1-2k|k2+1=2,解得k =-34,方程为3x +4y -10=0.故所求直线方程为x -2=0或3x +4y -10=0.【点拨】截距可以为0,斜率也可以不存在,故均需分情况讨论.【变式训练3】求经过点P(3,-4),且横、纵截距互为相反数的直线方程. 【解析】当横、纵截距都是0时,设直线的方程为y =kx.因为直线过点P(3,-4),所以-4=3k ,得k =-43.此时直线方程为y =-43x.当横、纵截距都不是0时,设直线的方程为x a +y-a=1,因为直线过点P(3,-4),所以a =3+4=7.此时方程为x -y -7=0. 综上,所求直线方程为4x +3y =0或x -y -7=0. 题型四 直线方程与最值问题【例4】过点P(2,1)作直线l 分别交x 、y 轴的正半轴于A 、B 两点,点O 为坐标原点,当△ABO 的面积最小时,求直线l 的方程.【解析】方法一:设直线方程为x a +yb =1(a >0,b >0),由于点P 在直线上,所以2a +1b =1.2a ·1b ≤(2a +1b 2)2=14, 当2a =1b =12时,即a =4,b =2时,1a ·1b 取最大值18, 即S △AOB =12ab 取最小值4,所求的直线方程为x 4+y2=1,即x +2y -4=0.方法二:设直线方程为y -1=k(x -2)(k <0),直线与x 轴的交点为A(2k -1k ,0),直线与y 轴的交点为B(0,-2k +1),由题意知2k -1<0,k <0,1-2k >0.S △AOB =12(1-2k) ·2k -1k =12[(-1k )+(-4k)+4]≥12[2(-1k)·(-4k)+4]=4. 当-1k =-4k ,即k =-12时,S △AOB 有最小值,所求的直线方程为y -1=-12(x -2),即x +2y -4=0.【点拨】求直线方程,若已知直线过定点,一般考虑点斜式;若已知直线过两点,一般考虑两点式;若已知直线与两坐标轴相交,一般考虑截距式;若已知一条非具体的直线,一般考虑一般式.【变式训练4】已知直线l :mx -(m2+1)y =4m(m ∈R).求直线l 的斜率的取值范围. 【解析】由直线l 的方程得其斜率k =mm2+1. 若m =0,则k =0;若m >0,则k =1m +1m≤12m ·1m=12,所以0<k≤12;若m <0,则k =1m +1m =-1-m -1m≥-12(-m)(-1m)=-12,所以-12≤k<0.综上,-12≤k≤12.总结提高1.求斜率一般有两种类型:其一,已知直线上两点,根据k =y2-y1x2-x1求斜率;其二,已知倾斜角α或α的三角函数值,根据k =tan α求斜率,但要注意斜率不存在时的情形. 2.求倾斜角时,要注意直线倾斜角的范围是[0,π).3.求直线方程时,应根据题目条件,选择合适的直线方程形式,从而使求解过程简单明确.设直线方程的截距式,应注意是否漏掉过原点的直线;设直线方程的点斜式时,应注意是否漏掉斜率不存在的直线.。
高教版(2021)中职数学基础模块下册《直线的一般式方程》课件

++=0 (, 不全为零)根据要求可以相互转化.
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的一般式方程
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的一般式方程
1.书面作业:完成课后习题和学习与训练;
2.查漏补缺:根据个人情况对课题学习复习与回顾;
(1) = 2 + 3;
(2) + 2 =
2
− (
3
− 1).
4. 求满足下列各条件的直线的一般式方程.
(2)在轴上的截距为−3,且与轴平行.
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的一般式方程
【例题】 将方程 − 2 =
1
(
2
+ 1)化为直线的一般式方程,并分别求出该直
线在轴与轴上的截距.
为−3,轴上的截距为 4.
方法二:由直线的一般式方程++=0,转化为斜截式方程
3
1
= − − ,所以直线的斜率为− = − = −3,在轴上的截
距为− = −
−4
1
=4
数学是打开科学大门的钥匙。
直线的一般式方程
练习
3. 在方程 + + = 0中,当、、满足什么条件时,方程表示的
数学是打开科学大门的钥匙。
(1)
直线的一般式方程
③ = 0且 ≠ 0
方程 +=0可整理成 = −
, (3)
��
此时,方程(3)表示经过(− ,0)且平行于轴的一条直线.
任何一个关于,的二元一次方程 ++=0(,不全为零),
最新-2021版高考数学全国、理科一轮复习课件:第46讲 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 精品

为 90°.
课前双基巩固
3.直线方程的五种方程
_y_-__y_0=__k_(_x_-__x0)
y_=___k_x_+__b
________
截距式 一般式
________
[答案] -1
[解析] kAB=21- -12=-1.
课前双基巩固
8.[2016·天津卷改编] 过原点且斜率为12 的直线方程为________.
[答案] y=12x
[解析] 利用点斜式可得直线方程 为 y=12x.
课堂考点探究
探究点一 直线的倾斜角和斜率
例 1 (1)[2016·合肥三模] 直线 2ax+(a2+1) y-1=0 的倾斜角的取值范围为( )
★★☆
真题再现
■ [2016-2011]课标全国真题再现
1.[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知点 A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线 y=ax+b(a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则 b 的取值范围是( )
A.(0,1)
B.1-
22,12
C.1-
22,13
D.13,12
A.-1<k<15
B.k>1
或
1 k<2
C.k<15或 k>1 D.k>12或 k<-1 (2)经过 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点, 则直线 l 的倾斜角 α 的取值范围为________.
课堂考点探究
[答案] (1)D (2)0,π4 ∪3π4 ,π
第46讲、空间几何体的结构特征、表面积(教师版)2025高考数学一轮复习讲义

第46讲空间几何体的结构特征、表面积与体积知识梳理知识点一:构成空间几何体的基本元素—点、线、面(1)空间中,点动成线,线动成面,面动成体.(2)空间中,不重合的两点确定一条直线,不共线的三点确定一个平面,不共面的四点确定一个空间图形或几何体(空间四边形、四面体或三棱锥).知识点二:简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台1、棱柱:两个面互相平面,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.(1)斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;(2)直棱柱:侧棱垂直于底面的棱柱;(3)正棱柱:底面是正多边形的直棱柱;(4)平行六面体:底面是平行四边形的棱柱;(5)直平行六面体:侧棱垂直于底面的平行六面体;(6)长方体:底面是矩形的直平行六面体;(7)正方体:棱长都相等的长方体.2、棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥.(1)正棱锥:底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心;(2)正四面体:所有棱长都相等的三棱锥.3、棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分叫做棱台,由正棱锥截得的棱台叫做正棱台.简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.知识点三:简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球1、圆柱:以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.2、圆柱:以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥.3、圆台:用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分叫做圆台.4、球:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称为球(球面距离:经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度).知识点四:组合体由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.知识点五:表面积与体积计算公式表面积公式表面积柱体2直棱柱底=+S ch S 2(斜棱柱底''=+S c l S c 为直截面周长)2222()圆锥=+=+S r rl r r l πππ锥体12正棱锥底'=+S nah S 2()圆锥=+=+S r rl r r l πππ台体1()2正棱台上下'=+++S n a a h S S 22)圆台(''=+++S r r r l rl π球24=S R π体积公式知识点六:空间几何体的直观图1、斜二测画法斜二测画法的主要步骤如下:(1)建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox ,Oy ,建立直角坐标系.(2)画出斜坐标系.在画直观图的纸上(平面上)画出对应图形.在已知图形平行于x 轴的线段,在直观图中画成平行于''O x ,''O y ,使45'''∠= x O y (或135 ),它们确定的平面表示水平平面.(3)画出对应图形.在已知图形平行于x 轴的线段,在直观图中画成平行于'x 轴的线段,且长度保持不变;在已知图形平行于y 轴的线段,在直观图中画成平行于'y 轴,且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,纵减半”.(4)擦去辅助线.图画好后,要擦去'x 轴、'y 轴及为画图添加的辅助线(虚线).被挡住的棱画虚线.注:4.2、平行投影与中心投影平行投影的投影线是互相平行的,中心投影的投影线相交于一点.必考题型全归纳题型一:空间几何体的结构特征例1.(2024·安徽·高三校联考阶段练习)已知几何体,“有两个面平行,其余各面都是平行四边形”是“几何体为棱柱”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由棱柱定义知棱柱有两个面平行,其余各面都是平行四边形,故满足必要性;但有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱,例如两个底面全等的斜棱柱拼接的几何体不是棱柱,如图所示:,故不满足充分性,故选:B例2.(2024·全国·高三对口高考)设有三个命题;甲:底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;乙:底面是矩形的平行六面体是长方体;丙:直四棱柱是平行六面体.以上命题中真命题的个数为()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B【解析】由平行六面体的定义可得底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;命题甲正确;底面是矩形的平行六面体的侧棱不一定垂直于底面,故该几何体不一定为长方体,命题乙错误;直四棱柱的底面不一定为平行四边形,故直四棱柱不一定是平行六面体,命题丙错误;正确的命题只有一个.故选:B例3.(2024·全国·高三专题练习)下列命题:①有两个面平行,其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱;②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱;③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面,所得图形不可能是矩形;④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱.其中正确命题的个数为()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】①如图1,满足有两个面平行,其他各面都是平行四边形,显然不是棱柱,故①错误;ABB A与底面垂直,但不是直棱柱,②错误;②如图2,满足两侧面11ACC A为矩形,③如图3,四边形11即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面,所得图形可能是矩形,③错误;④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱,因为两底面不一定是正方形,④错误.故选:A变式1.(2024·新疆·统考模拟预测)下列命题中正确的是()A.有两个平面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.B.各个面都是三角形的几何体是三棱锥.C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体.D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线.【答案】D【解析】如图所示的几何体满足两个平面平行,其余各面都是平行四边形,但它不是棱柱,A错;正八面体的各面都是三角形,不是三棱锥,B错;如果两个平行截面与圆柱的底面平行,则是旋转体,如果这两个平行截面与圆柱的底面不平行,则不是旋转体.C错;根据圆锥的定义,D正确.故选:D.变式2.(2024·全国·高三专题练习)下列说法正确的是()A.三角形的直观图是三角形B.直四棱柱是长方体C.平行六面体不是棱柱D.两个平面平行,其余各面是梯形的多面体是棱台【答案】A【解析】对A,根据直观图的定义,三角形的直观图是三角形,故A对;对B,底面是长方形的直四棱柱是长方体,故B错;对C,平行六面体一定是棱柱,故C错;两个平面平行,其余各面是梯形的多面体,当侧棱延长后不交于同一点时,不是棱台,故D 错;故选:A变式3.(2024·全国·高三专题练习)给出下列命题:①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线;②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥;③棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是()A.0B.1C.2D.3【答案】A【解析】①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;③错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.故选:A.变式4.(2024·全国·高三专题练习)如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是()A.是棱台B.是圆台C.不是棱柱D.是棱锥【答案】D【解析】对A,侧棱延长线不交于一点,不符合棱台的定义,所以A错误;对B,上下两个面不平行,不符合圆台的定义,所以B错误;对C,将几何体竖直起来看,符合棱柱的定义,所以C错误;对D ,符合棱锥的定义,正确.故选:D .【解题方法总结】空间几何体结构特征的判断技巧(1)紧扣结构特征是判断的关键,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定.(2)说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可.题型二:空间几何体的表面积例4.(2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知某圆锥的母线长、底面圆的直径都等于球的半径,则球与圆锥的表面积之比为()A .8B .163C .316D .18【答案】B【解析】设圆锥的母线长为l ,底面圆的半径为r ,球的半径为R ,则2l r R ==,即2R r =,2l r =,球的表面积2214π16πS R r ==,圆锥的表面积22222ππ2ππ3πS rl r r r r =+=+=,则212216π163π3S r S r ==.故选:B.例5.(2024·河南郑州·统考模拟预测)在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后,剩余部分几何体如图所示.已知正六棱柱的底面正六边形边长为3cm ,高为4cm ,内孔半径为1cm ,则此几何体的表面积是()2cm.A.726πB.728π+C.726π+D.606π+【答案】C【解析】所求几何体的侧面积为()234672cm ⨯⨯=,上下底面面积为()()22136π22πcm 22⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭,挖去圆柱的侧面积为()22π48πcm⨯=,则所求几何体的表面积为()()2726πcm +.故选:C .例6.(2024·安徽安庆·安庆一中校考三模)陀螺起源于我国,最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺立体结构图.已知,底面圆的直径12cm AB =,圆柱体部分的高6cm BC =,圆锥体部分的高4cm CD =,则这个陀螺的表面积(单位:2cm )是()A .(144π+B .(144π+C .(108π+D .(108π+【答案】C【解析】由题意可得圆锥体的母线长为l ==所以圆锥体的侧面积为112π2⋅⋅=,圆柱体的侧面积为12π672π⨯=,圆柱的底面面积为2π636π⨯=,所以此陀螺的表面积为()()272π36π108cm ++=+,故选:C.变式5.(2024·西藏拉萨·统考一模)位于徐州园博园中心位置的国际馆(一云落雨),使用现代科技雾化“造云”,打造温室客厅,如图,这个国际馆中3个展馆的顶部均采用正四棱锥这种经典几何形式,表达了理性主义与浪漫主义的对立与统一.其中最大的是3号展馆,其顶部所对应的正四棱锥底面边长为19.2m ,高为9m ,则该正四棱锥的侧面面积与底面面积之比约为()13.16≈)A .2B .1.71C .1.37D .1【答案】C【解析】如图,设H 为底面正方形ABCD 的中心,G 为BC 的中点,连接PH ,HG ,PG ,则PH HG ⊥,PG BC ⊥,所以13.16PG ===≈,则144226.322 1.3719.2PBCABCDBC PGS PG S AB BC AB ⨯⨯⨯==≈≈⨯正方形△,故选:C.变式6.(2024·湖南长沙·高三校联考阶段练习)为了给热爱朗读的师生提供一个安静独立的环境,某学校修建了若干“朗读亭”.如图所示,该朗读亭的外形是一个正六棱柱和正六棱锥的组合体,正六棱柱两条相对侧棱所在的轴截面为正方形,若正六棱锥的高与底面边长的比为2:3,则正六棱锥与正六棱柱的侧面积的比值为()A.8B.24C .19D .127【答案】B【解析】设正六边形的边长为a,由题意正六棱柱的高为2a,因为正六棱锥的高与底面边长的比为2:3,所以正六棱锥的高为2 3 a,正六棱锥的母线长为,正六棱锥的侧面积21162S=⨯;正六棱柱的侧面积226212S a a a=⋅⋅=,所以12SS=.故选:B.变式7.(2024·河北·统考模拟预测)《九章算术》是我国古代的数学名著.其“商功”中记载:“正四面形棱台(即正四棱台)建筑物为方亭.”现有如图所示的烽火台,其主体部分为一方亭,将它的主体部分抽象成1111ABCD A B C D-的正四棱台(如图所示),其中上底面与下底面的面积之比为1:16,方亭的高为棱台上底面边长的3倍.已知方亭的体积为3567m,则该方亭的表面积约为()2.2≈1.7≈1.4≈)A.2380m B.2400m C.2450m D.2480m【答案】C【解析】设方亭相应的正四棱台的上底面边长11A B a=,则4AB a=,棱台的高3h a=,所以(2213165673V a a a=⨯+=,解得3a=,所以正四棱台的上底面边长为3m,下底面边长为12m,棱台的高为9m,2=,由于各侧面均为相等的等腰梯形,所以()1142ABB Aa aS+=所以方亭的表面积22222216417450m 4S a a a a =++⨯=+≈.故选:C变式8.(2024·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)仿钧玫瑰紫釉盘是收藏于北京故宫博物院的一件明代宣德年间产的瓷器.该盘盘口微撇,弧腹,圈足.足底切削整齐.通体施玫瑰紫釉,釉面棕眼密集,美不胜收.仿钧玫瑰紫釉盘的形状可近似看成是圆台和圆柱的组合体,其口径为15.5cm ,足径为9.2cm ,顶部到底部的高为4.1cm ,底部圆柱高为0.7cm ,则该仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积约为()(参考数据:π的值取3 4.6≈)A .2143.1cm B .2151.53cm C .2155.42cm D .2170.43cm 【答案】D【解析】方法1:设该圆台的母线长为l ,高为h ,两底面圆的半径分别为R ,r (其中R r >),则215.5cm R =,29.2cm r =,()4.10.7 3.4cm h =-=,所以()46m .c l ==≈,故圆台部分的侧面积为()()21π3(7.75 4.6) 4.6170.43cm S R r l =+≈⨯+⨯=.故选:D方法2(估算法):若按底面直径为15.5cm ,高为3.4cm 的圆柱估算圆台部分的侧面积得()2315.5 3.4158.1cm S '≈⨯⨯=,易知圆台的侧面积应大于所估算的圆柱的侧面积,故此仿钧玫瑰紫釉盘圆台部分的侧面积大于2158.1cm ,对照各选项可知只有D 符合.故选:D【解题方法总结】(1)多面体的表面积是各个面的面积之和.(2)旋转体的表面积是将其展开后,展开图的面积与底面面积之和.(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理.题型三:空间几何体的体积例7.(2024·广东梅州·统考三模)在马致远的《汉宫秋》楔子中写道:“毡帐秋风迷宿草,穹庐夜月听悲笳.”毡帐是古代北方游牧民族以为居室、毡制帷幔.如图所示,某毡帐可视作一个圆锥与圆柱的组合体,圆锥的高为4,侧面积为15π,圆柱的侧面积为18π,则该毡帐的体积为()A .39πB .18πC .38πD .45π【答案】A【解析】设圆柱的底面半径为r ,高为h ,圆锥的母线长为l ,因为圆锥的侧面积为15π,所以15πrl π=,即15rl =.因为2224l r =+,所以联立解得3r =(负舍).因为圆柱的侧面积为18π,所以218πrh π=,即2318πh π⨯=,解得3h =,所以该毡帐的体积为221π4π39π3r r h ⨯+=.故选:A.例8.(2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)若某圆锥的侧面展开图是一个半径为2)A B .8C .27D .27【答案】C【解析】设圆锥底面半径为r ,因为母线长为2l =,则半圆弧长π2πl ===底面周长2πr =,所以1r =,圆锥的高为PO =如图,设O B x '=,则EB =,设OO h '=,则PO h '=-,因为PO O BPO OA''=,∴11x =所以)13h x -=,∴23x =,)2429V h ==⨯,故选:C .例9.(2024·山东青岛·高三统考期中)已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上,球的体积为36π,则该正四棱锥的体积最大值为()A .18B .643C .814D .27【答案】B【解析】如图,设正四棱锥的底面边长2AB a =,高PO h =,外接球的球心为M ,则OD =,因为球的体积为34π36π3R =,所以球的半径为3R =,在Rt MOD △中,222MD OD OM =+,即22232(3)a h =+-,所以正四棱锥的体积为2211249(3)333V Sh a h h h ⎡⎤==⨯=--⎣⎦整理得3224(0)3V h h h =-+>,则2282(4)V h h h h '=-+=--,当04h <<时,0V '>,当4h >时,0V '<,所以3224(0)3V h h h =-+>在(0,4)上递增,在(4,)+∞上递减,所以当4h =时,函数取得最大值3226444433-⨯+⨯=,故选:B变式9.(2024·湖北武汉·高三统考开学考试)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式,宋代称为最尖,清代称攒尖,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑、园林建筑.下面以四角攒尖为例,如图,它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥.已知正四棱锥的底面边长为5米,则其体积为()立方米.A .B .24C .D .72【答案】B【解析】如图所示,在正四棱锥P ABCD -中,连接,AC BD 于O ,则O 为正方形ABCD 的中心,连接OP ,则底面边长AB =6BD ==,132==BO BD .又5BP =,故高4OP ==.故该正四棱锥体积为(214243V =⨯⨯=.故选:B变式10.(2024·广东河源·高三校联考开学考试)最早的测雨器记载见于南宋数学家秦九韶所著的《数书九章》(1247年).该书第二章为“天时类”,收录了有关降水量计算的四个例子,分别是“天池测雨”、“圆罂测雨”、“峻积验雪”和“竹器验雪”.如图“竹器验雪”法是下雪时用一个圆台形的器皿收集雪量(平地降雪厚度=器皿中积雪体积除以器皿口面积),已知数据如图(注意:单位cm ),则平地降雪厚度的近似值为()A .91cm 12B .31cm 4C .95cm 12D .97cm 12【答案】C【解析】如图所示,可求得器皿中雪表面的半径为204015cm 4+=,所以平地降雪厚度的近似值为()2221π2010151015953cmπ2012⨯⨯++⨯=⨯.故选:C变式11.(2024·浙江·校联考模拟预测)如图是我国古代量粮食的器具“升”,其形状是正四棱台,上、下底面边长分别为20cm 和10cm,侧棱长为.“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平,这叫“平升”.则该“升”的“平升”约可装()31000cm 1L =()A .1.5LB .1.7LC .2.3LD .2.7L【答案】C【解析】根据题意画出正四棱台的直观图,其中底面ABCD 是边长为20的正方形,底面1111D C B A 是边长为10的正方形,侧棱1C C =记底面ABCD 和底面1111D C B A 的中心分别为O 和1O ,则1O O 是正四棱台的高.过1C 作平面ABCD 的垂线,垂足为E ,则E AC ∈且11C E O O ,11C E O O =,所以1111111022OE O C A C ====,112022OC AC ===,故CE OC OE =-=所以棱台的高110h C E ==,由棱台的体积公式得3311((400100200)10 2.310cm 2.3L 33V S S h '=+=++⨯≈⨯=.故选:C .【解题方法总结】求空间几何体的体积的常用方法公式法规则几何体的体积,直接利用公式割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,或者把不规则的几何体补成规则的几何体等体积法通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法,特别是三棱锥的体积题型四:直观图例10.(2024·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测)已知用斜二测画法画梯形OABC 的直观图O A B C ''''如图所示,3O A C B ''''=,C E O A ''''⊥,8OABC S =,//C D y '''轴,C E ''=,D ¢为O A ''的三等分点,则四边形OABC 绕y 轴旋转一周形成的空间几何体的体积为.【答案】48π【解析】在直观图中,1C D E ''''=,所以在还原图中,2CD =,如图,在直观图中,3O A C B ''''=,D ¢为O A ''的三等分点,所以在还原图中,3OA CB =,D 为OA 的三等分点,又在直观图中,//C D y '''轴,所以在还原图中,//CD y 轴,则CD OA ⊥,所以()11244822OABC S CD OA CB CB CB =⨯+=⨯⨯==,则2CB =,故6OA =,123OD OA ==,所以四边形OABC 是等腰梯形,所以四边形OABC 绕y 轴旋转一周所形成的空间几何体的体积等于一个圆台的体积减去一个圆锥的体积,即()22211152π8ππ44662π2248π3333V =⨯+⨯+⨯-⨯⨯=-=.故答案为:48π.例11.(2024·全国·高三对口高考)若正ABC 用斜二测画法画出的水平放置图形的直观图为A B C ''' ,当A B C '''ABC 的面积为.【答案】【解析】A B C ''' 是正ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图,如图所示,设B C a ''=,则A B C ''' 的面积为1sin 452a O A ⋅⋅⋅'︒='O A a ∴='',ABC ∴ 的面积为11222S a OA a O A a ''=⋅=⋅⋅==故答案为:例12.(2024·四川成都·高三统考阶段练习)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,边A B ''与C D ''平行于x '轴.已知四边形A B C D ''''的面积为21cm ,则原平面图形的面积为2cm .【答案】【解析】根据题意得45B A D '''∠= ,原四边形为一个直角梯形,且CD C D ''=,AB A B ''=,2AD A D ''=,())()21sin 45124A B C D S A B C D A D A B C D A D cm ''''=+⋅=''''''''''''+⋅= 梯形,则()A B C D A D ''''''+⋅=所以,()()())211222ABCD S AB CD AD A B C D A D A B C D A D cm '''''''''''=+⋅=+⋅=+⋅='梯形.故答案为:变式12.(2024·全国·高三专题练习)如图,A O B ''' 是用斜二测画法得到的△AOB 的直观图,其中23O A O B ''''==,,则AB 的长度为.【答案】【解析】把直观图A O B '''V 还原为AOB ,如图所示:根据直观图画法规则知,2,2236OA O A OB O B ''''====⨯=,所以AB 的长度为AB ==故答案为:.变式13.(2024·上海浦东新·高三上海市川沙中学校考期末)有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示).45,1,ABC AB AD DC BC ∠===⊥ ,则这块菜地的面积为【答案】22+【解析】过A 作AE BC ⊥于E ,在直观图中, 45ABC ∠= ,1AB AD ==,DC BC ⊥,所以1,2EC BE ==,12BC ∴=+,故原平面图形的上底为1,下底12+,高为2,所以这块菜地的面积为1(11222S =⨯+⨯=故答案为:22+.变式14.(2024·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试)我们知道一条线段在“斜二测”画法中它的长度可能会发生变化的,现直角坐标系平面上一条长为4cm 线段AB 按“斜二测”画法在水平放置的平面上画出为A B '',则A B ''最短长度为cm (结果用精确值表示)【解析】如图1所示,可以将平面内所有长为4的线段平移至图中O 点为起点,则它们的终点形成以O 为圆心,半径为4的圆周.以两条互相垂直的直径为坐标轴,建立平面直角坐标系.然后在斜二测画法下画出该圆的直观图,如图2,形成一个椭圆,由斜二测的性质可知,在图2,该椭圆长半轴为4,且经过点A ',易知122OA OA '==且45xO y '︒∠=,所以A ',设椭圆的方程为:222116x y b +=,将A '代入得:222116b +=,解得b ==由椭圆的性质可知,椭圆上的点中,短轴端点到原点的距离b 最小,即7即为所求.故答案为:7.变式15.(2024·陕西延安·校考一模)如图,梯形ABCD 是水平放置的一个平面图形的直观图,其中=45∠ ABC ,1AB AD ==,DC BC ⊥,则原图形的面积为.【答案】22+【解析】因为1AB AD ==,=45∠ ABC ,DC BC ⊥,所以12BC =+,12A D A B ''=''=,,12B C =+''所以()112222222S A D B C A B '''⎛⎫=+⋅=⨯+⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭'''.故答案为:22+.变式16.(2024·全国·高三专题练习)如图,用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形,则原来图形的面积是.【答案】【解析】由直观图可知,在直观图中,,由斜二测画法的特点,知该平面图形的直观图的原图形如图所示所以原图图形为平行四边形,底面边长为1,位于y 轴的对角线长为,所以原来图形的面积为1S =⨯=.故答案为:【解题方法总结】斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系:2S =4S 直原.题型五:展开图例13.(2024·山东青岛·统考三模)已知圆锥的底面半径为1,侧面展开图为半圆,则该圆锥内半径最大的球的表面积为.【答案】43π/43π【解析】设圆锥母线长为l ,由题意2π1πl ⨯=,2l =,圆锥内半径最大的球与圆锥相切,作出圆锥的轴截面PAB ,截球得大圆为圆锥轴截面三角形的内切圆O ,,D E 是切点,如图,易知PD 是圆锥的高,O 在PD 上,由2,1PA BD ==得π6BPD ∠=,因此π3ABP ∠=,所以1π26OBD DBP ∠=∠=,πtan 63OD BD =,所以圆锥内半径最大的球的表面积为24π4π(33S =⨯=,故答案为:4π3.例14.(2024·全国·高三专题练习)如图,在直三棱柱111ABC A B C -的侧面展开图中,B ,C 是线段AD 的三等分点,且AD =.若该三棱柱的外接球O 的表面积为12π,则1AA =.【答案】【解析】由该三棱柱的外接球O 的表面积为12π,设外接球得半径为r ,则24π12πr =,解得r =,由题意,取上下底面三角形得中心,分别为,E F ,EF 得中点即为外接圆圆心O ,作图如下:则OC r ==,EF ⊥平面ABC ,12EF AA OF ==,CF ⊂Q 平面ABC ,OF CF ∴⊥,在等边ABC 中,2sin 6013CF BC =⋅⋅= ,在Rt OFC △中,OF ,12AA OF ==故答案为:例15.(2024·上海普陀·高三统考期中)2022年4月16日,神舟十三号载人飞船返回舱在东风着陆场预定区域成果着陆.如图,在返回过程中使用的主降落伞外表面积达到1200平方米,若主降落伞完全展开后可以近似看着一个半球,则完全展开后伞口的直径约为米(精确到整数)【答案】28【解析】设主降落伞展开后所在球体的半径为R ,由题可得221200R π=,解得14R ≈,故完全展开后伞口的直径约为28米.故答案为:28.变式17.(2024·山东淄博·统考一模)已知圆锥的底面半径为1,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的体积为.【解析】∵圆锥的底面半径为1,∴侧面展开图的弧长为2π,又∵侧面展开图是半圆,∴侧面展开图的半径为2,即圆锥的母线长为2,故圆锥的高为=2113V π=⋅变式18.(2024·安徽·蚌埠二中校联考模拟预测)如图,在三棱锥P -ABC 的平面展开图中,CD AB ∥,AB AC ⊥,22AB AC ==,CD =,cos BCF ∠65=,则三棱锥-P ABC 外接球表面积为.【答案】14π【解析】由题意可知,DC AC ⊥,CD CF =AD AE ==,BC =在 BCF 中,2222cos 10BF CF BC CF BC BCF =+-⋅∠=,则BE BF ==因为222AB BE AE +=,所以AB BE ⊥,在三棱锥P -ABC 外接球的球心为O ,PC AC ⊥,PB AB ⊥,记PA 中点为O ,OC OB OA OP ===,即三棱锥P -ABC 外接球的球心为点O ,半径222PA AD R ===,所以外接球表面积为14π.故答案为:14π变式19.(2024·全国·高三专题练习)已知三棱锥P -ABC 的底面ABC 为等边三角形.如图,在三棱锥P -ABC 的平面展开图中,P ,F ,E 三点共线,B ,C ,E三点共线,cos 26PCF ∠=,PC =PB =.【答案】【解析】由题意可知,△CEF 为等边三角形,所以60CEF EFC ∠=∠= ,则120PFC ∠= ,由cos 26PCF ∠=可知sin 26PCF ∠=,在△PCF中,由正弦定理得:sin 3sin1202PC PCF PF ∠===.在△PCE 中,由余弦定理得:()()221333EF EF EF EF =++-+⋅,解得1EF =或4EF =-(舍去),所以1AB BC CE ===,则4PE =,2BE =,在△PBE 中,由余弦定理得21642412PB =+-⨯=,所以PB =.故答案为:变式20.(2024·安徽黄山·统考一模)如图,在四棱锥P -ABCD 的平面展开图中,正方形ABCD 的边长为4,ADE V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形,90HDC FAB ∠=∠=︒,则该四棱锥外接球被平面PBC 所截的圆面的面积为.【答案】365π【解析】该几何体的直观图如下图所示分别取,AD BC 的中点,O M ,连接,OMPM2,4,PO OM PM ==== 222,OP OM PM OP OM∴+=∴⊥又PO AD ⊥ ,所以由线面垂直的判定定理得出PO ⊥平面ABCD 以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0)A B C -,(2,0,0),(0,0,2)D P -设四棱锥P ABCD -外接球的球心()0,2,N a PN NA = ,()224244a a ∴+-=++,解得0a =设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z = (2,4,2),(2,4,2),(0,2,2)PB PC NP =-=--=- 20.020.0x y z PB n x y z PC n ⎧+-=⎧=⇒⎨⎨-+-==⎩⎩ ,取2z =,则(0,1,2)n = 四棱锥P ABCD -外接球的球心到面PBC的距离为cos ,5n NP d NP n NP NP n NP⋅=⋅=⋅==又NP PBC 所截的圆的半径r =所以平面PBC 所截的圆面的面积为2365r ππ=.故答案为:365π变式21.(2024·山西大同·高三统考阶段练习)如图,在三棱锥-P ABC 的平面展开图中,1AC =,AB AD ==AB AC ⊥,AB AD ⊥,30CAE ∠=︒,则三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为.【答案】7π【解析】还原出如图所示的三棱锥B PAC -,AB AC ⊥ ,AB AD ⊥,AB ∴⊥平面PAC ,设平面PAC 的截面圆心为O ',半径为r ,球心为O ,球半径为R ,在PAC △中,由余弦定理可得2222cos3013211PC AC AP AC AP =+-⋅⋅=+-⨯⨯ ,则1PC =,这由正弦定理得22sin 30PC r ==,1r =,122OO AB '== ,2R ∴==,∴外接球的表面积2472S ππ⎫==⎪⎪⎝⎭.故答案为:7π.【解题方法总结】多面体表面展开图可以有不同的形状,应多实践,观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系,一定先观察立体图形的每一个面的形状.题型六:最短路径问题例16.(2024·福建福州·高一福建省福州屏东中学校考期末)如图,一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4,一只小虫从圆锥的底面圆上的点P 出发,绕圆锥爬行一周后回到点P 处,若该小虫爬行的最短路程为).A .3B .27C .81D .3【答案】C 【解析】作出该圆锥的侧面展开图,如图所示:该小虫爬行的最短路程为1PP ,。
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第46讲 直线的方程一、课程标准1、在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素;2、理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式;3、掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 二、基础知识回顾1. 当直线l 与x 轴相交时,把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线l 的倾斜角,并规定:直线l 与x 轴平行或重合时倾斜角为0°,因此倾斜角α的范围是0°≤α<180°.2. 当倾斜角α≠90°时,tan α表示直线l 的斜率,常用k 表示,即k =tan α.当α=90°时,斜率不存在.当直线过P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)且x 1≠x 2时,k =y 2-y 1x 2-x 1.3. 直线方程的几种形式三、自主热身、归纳总结1、 如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax +By +C =0不通过( )A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限 【答案】C【解析】 由已知得直线Ax +By +C =0在x 轴上的截距-C A >0,在y 轴上的截距-CB >0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.故选C .2、 若过点M(-2,m),N(m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( )A. 1B. 4C. 1或3D. 1或4 【答案】 A【解析】 由题意得4-mm -(-2)=1,解得m =1.3、 直线x +(a 2+1)y +1=0的倾斜角的取值范围是( )A. ⎣⎡⎦⎤0,π4B. ⎣⎡⎭⎫3π4,π C. ⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎝⎛⎭⎫π2,π D. ⎣⎡⎭⎫π4,π2∪⎣⎡⎭⎫3π4,π 【答案】 B【解析】 由直线方程可得该直线的斜率为k =-1a 2+1,又-1≤-1a 2+1<0,所以倾斜角的取值范围是⎣⎡⎭⎫3π4,π.4、过直线l :y =x 上的点P (2,2)作直线m ,若直线l ,m 与x 轴围成的三角形的面积为2,则直线m 的方程为________.【答案】:x -2y +2=0或x =2【解析】:①若直线m 的斜率不存在,则直线m 的方程为x =2,直线m ,直线l 和x 轴围成的三角形的面积为2,符合题意;②若直线m 的斜率k =0,则直线m 与x 轴没有交点,不符合题意;③若直线m 的斜率k ≠0,设其方程为y -2=k (x -2),令y =0,得x =2-2k ,依题意有12×⎪⎪⎪⎪2-2k ×2=2,即⎪⎪⎪⎪ 1-1k =1,解得k =12,所以直线m 的方程为y -2=12(x -2),即x -2y +2=0.综上可知,直线m 的方程为x -2y +2=0或x =2.5、过点A (1,3),斜率是直线y =-4x 的斜率的13的直线方程为________.【答案】4x +3y -13=0【解析】设所求直线的斜率为k ,依题意k =-4×13=-43.又直线经过点A (1,3),因此所求直线方程为y -3=-43(x -1),即4x +3y -13=0. 6、过点P (6,-2),且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________. 【答案】2x +3y -6=0或x +2y -2=0【解析】设直线方程的截距式为x a +1+y a =1,则6a +1+-2a =1,解得a =2或a =1,则直线的方程是x2+1+y 2=1或x 1+1+y1=1,即2x +3y -6=0或x +2y -2=0.四、例题选讲考点一 直线的斜率与倾斜角例1、(徐州一中模拟)(1)直线2x cos α-y -3=0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6,π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6,π3 B.⎣⎡⎦⎤π4,π3 C.⎣⎡⎦⎤π4,π2D.⎣⎡⎦⎤π4,2π3(2)直线l 过点P (1,0),且与以A (2,1),B (0,3)为端点的线段有公共点,则直线l 斜率的取值范围是__________.【答案】 (1)B (2)(-∞,-3]∪[1,+∞)【解析】(1)直线2x cos α-y -3=0的斜率k =2cos α,因为α∈⎣⎡⎦⎤π6,π3,所以12≤cos α≤32,因此k =2cos α∈[1,3].设直线的倾斜角为θ,则有tan θ∈[1,3].又θ∈[0,π),所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4,π3,即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4,π3. (2)如图,因为k AP =1-02-1=1, k BP =3-00-1=-3, 所以k ∈(-∞,-3]∪[1,+∞).变式:(1)若图中的直线l 1,l 2,l 3的斜率分别为k 1,k 2,k 3,则( )A .k 1<k 2<k 3B .k 3<k 1<k 2C .k 3<k 2<k 1D .k 1<k 3<k 2(2)若点A (4,3),B (5,a ),C (6,5)三点共线,则a 的值为________. (3)已知点(-1,2)和⎝⎛⎭⎫33,0在直线l :ax -y +1=0(a ≠0)的同侧,则直线l 倾斜角的取值范围是________.【答案】(1)D (2) 4 (3) ⎝⎛⎭⎫2π3,3π4【解析】(1)直线l 1的倾斜角α1是钝角,故k 1<0.直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角,且α2>α3,所以0<k 3<k 2,因此k 1<k 3<k 2.故选D.(2)因为k AC =5-36-4=1,k AB =a -35-4=a -3.由于A ,B ,C 三点共线,所以a -3=1,即a =4.(3)(3)点(-1,2)和⎝⎛⎭⎫33,0在直线l :ax -y +1=0同侧的充要条件是(-a -2+1)⎝⎛⎭⎫33a +1>0,解得-3<a <-1,即直线l 的斜率的范围是(-3,-1),故其倾斜角的取值范围是⎝⎛⎭⎫2π3,3π4.方法总结:1. 倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0,π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时,k 的值由0增大到+∞; 当α∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,k 也是关于α的单调函数,当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时,k 的值由-∞增大到趋近于0(k≠0).2. 斜率的两种求法(1) 定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k =tanα⎝⎛⎭⎫α≠π2求斜率. (2) 公式法:若已知直线上两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),一般根据斜率公式k =y 2-y 1x 2-x 1(x 1≠x 2)求斜率.考点二 直线方程的求法例2、根据所给条件求直线的方程. (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为1010; (2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12; (3)直线过点(5,10),且到原点的距离为5.【解析】(1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.设倾斜角为α,则sin α=1010(0<α<π),从而cos α=±31010, 则k =tan α=±13.故所求直线方程为y =±13(x +4),即x +3y +4=0或x -3y +4=0.(2)由题设知截距不为0,设直线方程为x a +y12-a =1.又直线过点(-3,4),从而-3a +412-a =1,解得a =-4或a =9.故所求直线方程为4x -y +16=0或x +3y -9=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x -5=0;当斜率存在时,设斜率为k ,则所求直线方程为y -10=k (x -5), 即kx -y +(10-5k )=0.由点到直线的距离公式得|10-5k |k 2+1=5,解得k =34.故所求直线方程为3x -4y +25=0.综上,所求直线方程为x -5=0或3x -4y +25=0.变式1、(1)若直线经过点A (-5,2),且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍,则该直线的方程为________________.(2)若直线经过点A (-3,3),且倾斜角为直线3x +y +1=0的倾斜角的一半,则该直线的方程为________________.(3)在△ABC 中,已知A (5,-2),B (7,3),且AC 的中点M 在y 轴上,BC 的中点N 在x 轴上,则直线MN 的方程为________________.【解析】 (1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为y =kx ,将(-5,2)代入y =kx 中,得k =-25,此时,直线方程为y =-25x ,即2x +5y =0. ②当横截距、纵截距都不为零时, 设所求直线方程为x 2a +ya=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a =-12,此时,直线方程为x +2y +1=0.综上所述,所求直线方程为x +2y +1=0或2x +5y =0.(2)由3x +y +1=0得此直线的斜率为-3,所以倾斜角为120°,从而所求直线的倾斜角为60°,故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (-3,3),所以所求直线方程为y -3=3(x +3),即3x -y +6=0. (3)设C (x 0,y 0),则M ⎝⎛⎭⎫5+x 02,y 0-22,N ⎝⎛⎭⎫7+x 02,y 0+32.因为点M 在y 轴上,所以5+x 02=0,所以x 0=-5.因为点N 在x 轴上,所以y 0+32=0,所以y 0=-3,即C (-5,-3), 所以M ⎝⎛⎭⎫0,-52,N (1,0), 所以直线MN 的方程为x 1+y-52=1,即5x -2y -5=0.[答案] (1)x +2y +1=0或2x +5y =0(2)3x -y +6=0 (3)5x -2y -5=0 变式2、根据所给条件求直线的方程:(1)过点P(-2,4)且斜率k =3;(2)直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12.【解析】 (1)由题设知,该直线可采用点斜式.直线l 的方程为y -4=3(x +2),即3x -y +10=0.(2)由题设知直线在平面直角坐标系中的横、纵截距均不为0,故可设直线方程为x a +y12-a =1.∵直线过点(-3,4),∴-3a +412-a =1,解得a =-4或9.故所求直线方程为4x -y +16=0或x +3y -9=0.方法总结:本题考查直线方程的几种形式,要注意选择性.过定点,且斜率已知,用直线的点斜式方程;在两坐标轴上的截距已知,一般用截距式,再将点的坐标代入得出直线方程.在求直线方程时,最后结果要化为一般式与斜截式,要当心斜率不存在、截距不存在的特殊情况. 考点三 直线方程的综合应用例3、 (辽宁阜新实验中学2019届模拟)(1)已知直线l 1:ax -2y =2a -4,l 2:2x +a 2y =2a 2+4,当0<a <2时,直线l 1,l 2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,求实数a 的值.(2)已知直线l 过点P (3,2),且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ,B 两点,如图所示,求△ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程.【解析】(1)由题意知直线l 1,l 2恒过定点P (2,2),直线l 1在y 轴上的截距为2-a ,直线l 2在x 轴上的截距为a 2+2,所以四边形的面积S =12×2×(2-a )+12×2×(a 2+2)=a 2-a +4=⎝⎛⎭⎫a -122+154,当a =12时,面积最小.故当四边形的面积最小时,实数a 的值为12.(2)依题意知直线l 的斜率k 存在且k <0, 则直线l 的方程为y -2=k (x -3)(k <0), 可得A ⎝⎛⎭⎫3-2k ,0,B (0,2-3k ), 所以S △ABO =12(2-3k )⎝⎛⎭⎫3-2k =12⎣⎡⎦⎤12+-9k +4-k ≥ 12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+2-9k ·4-k =12×(12+12) =12,当且仅当-9k =4-k,即k =-23时,等号成立.故△ABO 的面积的最小值为12, 此时直线l 的方程为2x +3y -12=0.变式1、过点P(4,1)作直线l 分别交x 轴,y 轴正半轴于A ,B 两点,O 为坐标原点.(1)当△AOB 面积最小时,求直线l 的方程; (2)当|OA|+|OB|取最小值时,求直线l 的方程. 【解析】 设直线l :x a +yb =1(a>0,b>0),∵直线l 经过点P(4,1),∴4a +1b =1.(1)4a +1b=1≥24a ·1b =4ab,∴ab≥16,当且仅当a =8,b =2时等号成立,∴当a =8,b =2时,△AOB 的面积最小,此时直线l 的方程为x 8+y2=1,即x +4y -8=0.(2)∵4a +1b=1,a>0,b>0,∴|OA|+|OB|=a +b =(a +b)·⎝⎛⎭⎫4a +1b =5+a b +4ba≥5+2a b ·4ba=9,当且仅当a =6,b =3时等号成立,∴当|OA|+|OB|取最小值时,直线l 的方程为x 6+y3=1,即x +2y -6=0.变式2、已知直线l :kx -y +1+2k =0(k ∈R).(1)证明:直线l 过定点;(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.【证明】 (1)直线l 的方程可化为y =k (x +2)+1,故无论k 取何值,直线l 总过定点(-2,1).(2)直线l 的方程可化为y =kx +2k +1, 则直线l 在y 轴上的截距为2k +1,要使直线l 不经过第四象限,则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0,1+2k ≥0,故k 的取值范围是k ≥0.(3)依题意,直线l 在x 轴上的截距为-1+2kk ,在y 轴上的截距为1+2k ,且k >0, ∴A ⎝⎛⎭⎫-1+2k k ,0,B (0,1+2k ),故S =12|OA ||OB |=12×1+2k k ×(1+2k )=12⎝⎛⎭⎫4k +1k +4≥12×(4+4)=4,当且仅当4k =1k ,即k =12时取等号,故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为x -2y +4=0.方法总结:(1)含有参数的直线方程可看作是直线系方程,这时要能够整理成过定点的直线系,即能够看出“动中有定”.(2)求解与直线方程有关的最值问题时,先求出斜率或设出直线方程,建立目标函数,再利用基本不等式求解最值.五、优化提升与真题演练1、(黑龙江哈尔滨市第六中学2019届质检)若θ是直线l 的倾斜角,且sin θ+cos θ=55,则l 的斜率为( ) A .-12 B.-12或-2 C.12或2D .-2【答案】D【解析】∵sin θ+cos θ=55,① ∴(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ=15,∴2sin θ cos θ=-45,∴(sin θ-cos θ)2=95,易知sin θ>0,cos θ<0, ∴sin θ-cos θ=355,②由①②解得⎩⎨⎧sin θ=255,cos θ=-55,∴tan θ=-2,即l 的斜率为-2.2、(多选)若直线过点A (1,2),且在两坐标轴上截距的绝对值相等,则直线l 方程可能为( )A .x -y +1=0B .x +y -3=0C .2x -y =0D .x -y -1=0【答案】ABC【解析】当直线经过原点时,斜率为k =2-01-0=2,所求的直线方程为y =2x ,即2x -y =0;当直线不过原点时,设所求的直线方程为x ±y =k ,把点A (1,2)代入可得1-2=k 或1+2=k ,求得k =-1或k =3,故所求的直线方程为x -y +1=0或x +y -3=0;综上知,所求的直线方程为2x -y =0,x -y +1=0或x +y -3=0.故选A 、B 、C.3、(多选)经过点B (3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为( )A .x -y +1=0B .x +y -7=0C .2x -y -2=0D .2x +y -10=0【答案】AB【解析】由题意可知,所求直线的斜率为±1.又过点(3,4),由点斜式得y -4=±(x -3).所求直线的方程为x -y +1=0或x +y -7=0.4、(江苏扬州中学2019届模拟)已知直线l :kx -y +1+2k =0(k ∈R).(1)证明:直线l 过定点;(2)若直线l 不经过第四象限,求k 的取值范围;(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ,交y 轴正半轴于点B ,O 为坐标原点,设△AOB 的面积为S ,求S 的最小值及此时直线l 的方程.【解析】(1)证明:直线l 的方程可化为y =k (x +2)+1,故无论k 取何值,直线l 总过定点(-2,1). (2)直线l 的方程为y =kx +2k +1, 则直线l 在y 轴上的截距为2k +1,要使直线l 不经过第四象限,则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0,1+2k ≥0,解得k ≥0,故k 的取值范围是[)0,+∞.(3)依题意,直线l 在x 轴上的截距为-1+2kk ,在y 轴上的截距为1+2k ,∴A ⎝⎛⎭⎫-1+2k k ,0,B (0,1+2k ).又-1+2kk <0且1+2k >0,∴k >0.故S =12|OA ||OB |=12×1+2k k×(1+2k )=12⎝⎛⎭⎫4k +1k +4≥12(4+4)=4, 当且仅当4k =1k ,即k =12时,取等号.故S 的最小值为4,此时直线l 的方程为x -2y +4=0.。