泛函分析
泛函分析简介
泛函分析简介什么是泛函分析泛函分析是数学的一个分支，主要研究无限维空间的线性算子及其性质。
它源于传统的分析学，特别是微分方程、积分方程和最优化理论等领域的发展。
通过研究空间中的点和函数，以及这些点和函数之间的映射关系，泛函分析提供了一种强大的工具用于解决各种实际问题。
在物理学、工程学、经济学和其他科学领域中，泛函分析有着广泛的应用。
泛函分析的基本概念线性空间线性空间（或称向量空间）是泛函分析的基础。
它由一组元素组成，这些元素可以通过向量加法和标量乘法进行组合。
形式上，若 (V) 是一个集合，满足以下条件，则 (V) 是一个线性空间：对于任意 (u, v V)，则 (u + v V)（封闭性）。
对于任意 (u V) 和标量 (c)，则 (c u V)（封闭性）。
存在零向量 (0 V)，使得对于任意 (u V)，有 (u + 0 = u)。
对于每个向量 (u V)，存在一个对应的负向量 (-u V)，使得 (u + (-u) = 0)。
向量加法满足交换律和结合律。
标量乘法满足分配律以及结合律。
拓扑空间拓扑空间是讨论连续性和极限的重要工具。
在泛函分析中，通常会结合线性空间与拓扑结构。
例如，一个拓扑向量空间需要具备以下性质：每个点都有邻域；任意多个开集的并集仍为开集；有限多个开集的交集仍为开集。
此时，可以引入收敛、限制、开集、闭集等概念，从而更深入地研究函数的性质。
巴拿赫空间与希尔伯特空间巴拿赫空间（Banach Space）是一类重要的完备线性空间，其定义为一个带有范数的线性空间，使得它是完备的。
也就是说，在这个空间中，每个柯西序列都收敛于某个元素。
范数是一个度量，用来描述向量之间的“距离”。
希尔伯特空间（Hilbert Space）则是一个完备的内积空间，是巴拿赫空间的一种特殊情况。
内积允许我们定义角度、正交性等概念，对于研究四维空间中的物理现象尤为重要。
主要定理与结果超平面定理与 Hahn-Banach 定理超平面定理指出，在有限维欧几里德空间中，任何非空闭子集至少可以由一个超平面相切。
泛函分析第一讲
线性算子和线性泛函
第二章 泛函分析
绪论
2.1 距离空间
第二章 泛函分析
一、距离空间的定义
lim
n
xn
x
0, N, 当 n 时N,有
dx, y x y
x y 0, x y 0当且仅当 x y
xy yx
xy xz zy
xn x
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.2 设 X ,d 是距离空间，对任意 x, y X ，源自定义x,y
d
1+d
x,xy, y ，则
X
,
也是距离空间.
证明 三角不等式 d(x, y) d(x, z) d(z, y)，
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
一、距离空间的定义
例2.1.3 空间l p p 1.
x0 X. 如果d (xn , x0 ) 0, n , 则称该点列 xn
收敛于 x0 , 并记为
lim
n
xn
x0
或
xn x0 n
定理1 距离空间 X ,d 中,收敛点列的极限是唯一的.
第二章 泛函分析
第一节 距离空间
二、距离空间中的收敛
例2.1.5 在Rn 中，点列的收敛为按坐标收敛.
♣ 泛函分析在微分方程、概率论、函数论、计算 数学、控制论、最优化理论、连续介质力学、量 子物理等以及一些工程技术学科都有重要作用.
第二章 泛函分析
绪论
二、泛函分析课程内容 1.空间 集合 + 一定的结构
距离空间 赋范线性空间 内积空间 Banach空间 Hilbert空间
数学物理学中的泛函分析及其应用
数学物理学中的泛函分析及其应用泛函分析是数学物理学中的一门重要学科，是研究函数空间及其上的映射的数学分析学科。
它涵盖了数学和物理很多领域中的重要论题，包括微积分，变分法，偏微分方程，量子力学等。
在科学研究和工程应用中，泛函分析发挥着极为重要的作用。
本文将介绍泛函分析及其应用。
一、泛函分析的概念泛函是一个映射，它把一个函数空间中的函数映射到一个标量域上的函数。
泛函分析是对这些映射的研究，它是基于函数空间的理论和方法。
泛函分析的目标是找出函数空间和其上的线性算子的基本性质和规律，研究它们的逼近和收敛性质以及存在性和唯一性等问题。
泛函分析的重要概念包括：线性空间、范数、内积、拓扑、紧算子、自伴算子等。
线性空间是指函数集合中的任意两个函数满足加法和数乘封闭性的集合。
范数是定义在线性空间上的一种实数函数，符合非负性、齐性和三角不等式。
内积是一个函数空间中的二元运算，它满足线性性和正定性。
拓扑是指函数空间中元素间的近似关系，定义了开集和闭集，并定义了连续性、紧性等概念。
紧算子是指将一个无限维线性空间中的元素映射到一个有限维线性空间的算子。
自伴算子是指满足自我共轭性质的线性变换。
二、泛函分析在物理学中的应用泛函分析在物理学中有着广泛的应用。
物理学中的方程和算子一般都具有函数变量，因此把物理问题转换为泛函问题，就可以运用泛函分析方法解决它们。
以下简单介绍几个物理学中泛函分析的应用：1.偏微分方程：泛函分析在偏微分方程中应用广泛，特别是在非线性偏微分方程的研究中。
例如，用变分法解决非线性偏微分方程的问题，就涉及到泛函分析中的极值问题和约束问题。
2.量子力学：量子力学中的波函数就是定义在函数空间上的一个元素，因此泛函分析在量子力学中也有着广泛的应用。
例如，量子力学的本征方程中的算子就是线性空间中的元素，因此可以利用泛函分析中的算子理论来解决这些问题。
3.碟形电机：泛函分析在碟形电机中应用广泛。
作为一种电子器件，碟形电机的设计和制造需要精确的电控理论。
泛函分析
( x) A
xB
反之亦然
( x) 表示以x为中心，以 为半径的小球。
第一章 距离空间
可分性：
定义：距离空间R称为可分的，是指在E中存在一 个稠密的可列子集。
第一章 距离空间
问题：
1、写出三维空间的几种距离
2、距离空间中的开集、闭集？
( x(t ), y(t )) [a x(t ) y(t ) dt]
2
b
1/ 2
第一章 距离空间
例5：l 2 表示满足 | xi |2 的实数列的全体，则其
i 1
中任意两点
x ( x1 , x2 ,, xn ), y ( y1 , y2 ,, yn )
n
（c), (d)说明，在赋范线性空间中，线性运算对范 数收敛是连续的。
第二章 赋范线性空间
2.3 有限维赋范线性空间
1、定义：若赋范线性空间E存在有限个线性无关
的元素 e1 , e2 ,, en ，使任意的 x E
都有
x xi ei
i 1
n
则称E为有限维赋范线性空间，称 {e1 , e2 ,, en }
n
( x, y ) [ | xi yi |2 ]1/ 2
1 ( x, y) max | xi yi |
1i n
i 1
第二章 赋范线性空间
例2： C[ a ,b ]
其中可定义范数
|| x || max | x(t ) |
a i b
并由它导出距离
( x, y) max | x(t ) y(t ) |
a i b
第二章 赋范线性空间
泛函分析学习心得
泛函分析学习心得在我学习泛函分析的过程中，我认为泛函分析是数学中非常重要的一个分支，它不仅有着广泛的应用，还对于理解数学的基本概念和思想有着重要的贡献。
下面是我在学习泛函分析的心得体会。
首先，泛函分析是研究无穷维空间中的向量和函数的性质和行为的数学学科。
相比于有限维空间，无穷维空间更为复杂和抽象，因此泛函分析需要引入一些新的概念和工具来描述和研究无穷维空间中的对象。
其中最基本的概念就是线性空间和赋范空间。
线性空间是指满足一定线性运算规则的集合，赋范空间是指在线性空间的基础上引入了范数的空间。
了解这些基本概念是理解泛函分析的核心，可以帮助我们更好地把握和理解泛函分析的核心思想。
其次，泛函分析的主要研究对象是泛函。
泛函是将一个向量或者函数映射到一个实数的映射。
通过研究泛函，我们可以了解和描述向量或者函数的性质和行为。
在泛函分析中，我们主要关注线性泛函和连续线性泛函。
线性泛函是指满足一定线性性质的泛函，连续线性泛函是指在赋范空间上满足一定连续性质的线性泛函。
学习泛函分析的关键就是理解和研究泛函的性质和行为，利用泛函来描述和分析无穷维空间中对象的特点。
此外，在泛函分析中还有一些重要的概念和工具，例如：内积、正交、完备性、紧算子、谱理论等。
这些概念和工具在泛函分析中起着关键作用，可以帮助我们深入理解和分析无穷维空间中的对象。
例如，内积可以用来定义向量的长度和角度，正交关系可以用来描述向量的互相垂直的关系，完备性可以用来刻画向量空间的完整性等等。
学习和掌握这些概念和工具对于理解泛函分析的基本原理和思想非常重要。
最后，在学习泛函分析过程中，练习和实践也非常重要。
泛函分析是一个非常抽象和理论性很强的学科，对于我们来说可能有一定的难度。
但是通过练习和实践，我们可以更好地理解和运用所学的知识。
可以通过做一些练习题、阅读一些经典的参考书籍、参加研讨会等方式来提升自己的泛函分析水平。
在实践中我们还可以体会到泛函分析的应用，并且可以与其他学科进行交叉的思考，提高自己的综合能力。
泛函分析
泛函分析论文（数学与计算机科学学院数11 赵洁 1060211014036）摘要：本文简单介绍泛函分析方法的基本理论，以及其在力学和工程的若干应用，包括泛函观点下的结构数学理论、直交投影法等。
关键字：泛函分析1.引言泛函分析是研究拓扑线性空间之间满足各种拓扑和代数条件的映射的分支学科。
它是20世纪30年代形成的。
从变分法、微分方程、积分方程、函数论以及量子物理等的研究中发展起来的，它运用几何学、代数学的观点和方法分析学的课题，可看作无限维的分析学。
2．泛函分析概述2.1泛函分析的产生十九世纪以来，数学的发展进入了一个新的阶段。
这就是由于欧几里得第五公社的研究，引出了非欧几何这门新的学科;对于代数方程求解的一般思考，最后建立并发展了群论;对数学分析的研究又建立了集合论。
这些新的理论都为用同一观点把古典分析的基本概念和方法一般化准备了条件。
本世纪初，瑞典数学家弗列特荷姆和法国数学家阿达玛发表的著作中，出现了把分析学一般化的萌芽。
随后，希尔伯特和海令哲来创了“希尔伯特空间”的研究。
到了二十年代，在数学界已经逐渐形成了一般分析学，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析学中许多新部门的形成，揭示出分析、代数、集合的许多概念和方法常常存在相似的地方。
这种相似在积分方程论中表现的更突出了。
泛函分析的产生正是和这种情况有关，都存在着类似的地方。
非欧几何的确立拓广了人们对空间的认知，n维空间几何的产生允许我们把多变函数用几何学的语言解释成多维空间的影响。
这样，就显示出了分析和几何之间相似的地方，同时存在着把分析几何化的一种可能性。
这种可能性要求把几何概念进一步推广，以至最后把欧式空间扩充成无穷维数的空间。
这时候，函数概念被赋予了更为一般的意义，古典分析中的概念是指两个数集之间所建立的某种对应关系。
在数学上，把无限维空间到无限维空间的变换叫做算子。
研究无限维线性空间上的泛函数和算子理论，就生了一门新的分析数学，叫做泛函分析。
泛函
泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。
泛函分析的起源
泛函分析的源头之一是变分法。18世纪形成的变分法的核心课题是研究形如
连续线性泛函
泛函分析的一个基本概念。围绕对它的研究形成的对偶理论至今仍是泛函分析中心课题之一。对它的研究最早可追溯到C.博莱特(1897)提出要用连续性条件来刻画一定函数类上的连续线性映射T:E→F。1903年阿达马在E是C[α，b]([α，b]上连续函数的全体)，F是实数域，当{?n}一致收敛于? 时，T?n→T?的情况下，将T 表示成一列积分的极限的形式。但这种表示不惟一，并且有极大任意性。后来在实l2空间上，弗雷歇和里斯独立地在T 是所谓强连续假设下给出简单而惟一的表示，即希尔伯特空间l2上的连续线性泛函表示定理。里斯在1909～1910年又相继给出C[α，b]、Lp[α，b]、lp(p>1)上的表示定理。在这些表示定理的证明中实质上已蕴含线性子空间（又称向量子空间）上连续线性泛函必可延拓到全空间的事实。E.黑利从1912年开始（中间经过第一次世界大战的中断），直到1921年用“赋范数列空间”(他并未用这个名称)代替具体的C[α，b]、Lp[α，b]、lp等而考虑较抽象形态的延拓问题。他使用了凸性以及在有限维空间情况下早为H.闵科夫斯基用过的术语，如支撑超平面等。
巴拿赫空间
在许多具体的无限维空间以及它们上面相应的收敛性出现之后，抽象形态的线性空间（向量空间）以及按范数收敛的出现就成为自然的了。1922～1923年，E.哈恩和巴拿赫（同时还有N.维纳）独立地引入赋范线性空间。当时的讨论事实上都限于完备的赋范线性空间。1922年哈恩从当时分析数学许多分支已达到的成果和方法中提炼出了共鸣定理。1927年H.施坦豪斯和巴拿赫用完备度量空间的第二纲性代替原来所谓“滑动峰”证明方法，给出现今常见的证明。1922～1923年巴拿赫又得到了压缩映射的不动点定理、开映射定理。1927年哈恩完全解决了完备赋范线性空间上泛函延拓定理的证明，并第一次引入赋范线性空间E的对偶空间（共轭空间）K（当时称为极空间）。两年后，巴拿赫用同样方法也得到同样结果（后来，他承认哈恩的优先权），并看到这个定理可以推广。这个推广形式在后来的局部凸拓扑线性空间理论中起了重要作用。1931年巴拿赫将他1923～1929年的工作以及当时主要成果写成《线性算子理论》一书，书中大部分讨论他1929年开始研究的弱收敛，这又成为局部凸拓扑线性空间理论出现的先导。在同一书中还发表了完备赋范线性空间上连续线性算子值域不是第一纲集便是全空间以及闭图像定理等重要结果。这时，作为完备赋范线性空间理论的独立体系已基本形成，它的许多结果已成为泛函分析应用中的强有力工具。人们为纪念他的功绩，把完备赋范线性空间称为巴拿赫空间。近年来，人们特别感兴趣的一个领域是研究巴拿赫空间的几何学。
什么是泛函分析及其应用
泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无穷维向量空间中的函数和函数序列。
泛函分析不仅具有广泛的理论意义，而且在工程、物理学和经济学等应用领域中也有着重要的实际应用。
泛函分析中经常用到的基本概念包括范数、内积和度量等。
范数是用来衡量向量的大小的一种数学工具，它满足非负性、齐次性和三角不等式等性质。
内积则是定义了向量空间中的两个向量之间的夹角和长度之间的关系，它是一种更加广义的概念，包括了点积、矩阵的迹和函数的积分等。
度量则是一种用来衡量向量空间中的元素之间距离的函数。
泛函分析的核心研究对象是线性空间中的函数。
线性空间是指满足线性结构和空间结构的集合。
在泛函分析中，我们关注的是函数的性质和行为，而不仅仅是函数的数值。
泛函是一种从函数空间到数域的映射，它对应于一个实数或复数。
泛函可以对函数空间中的函数进行排序和比较，并且可以通过泛函的性质和行为来推断函数的性质和行为。
泛函分析的应用非常广泛。
它在工程领域中可以用来解决控制系统、信号处理和图像处理等问题。
例如，在控制系统中，泛函分析可以用来描述系统的稳定性和性能指标，通过对控制器进行优化，实现对系统的最优控制。
在信号处理和图像处理中，泛函分析可以用来对信号进行分析和重构，提取信号中的信息并去除噪音。
在物理学中，泛函分析可以用来描述多体系统和量子力学问题。
例如，泛函分析可以用来研究无限维的希尔伯特空间中的粒子的运动和性质，并且可以通过泛函的极值性质来解决量子力学中的变分问题。
在经济学中，泛函分析可以用来解决经济学模型和经济学问题。
例如，在宏观经济学中，泛函分析可以用来描述经济系统的动态行为和稳定性，通过构建适当的泛函和约束条件，可以对经济系统进行最优化问题的求解。
总之，泛函分析是一门重要的数学分支，它研究的是向量空间中的函数和函数序列。
泛函分析不仅具有广泛的理论意义，而且在工程、物理学和经济学等应用领域中也有着重要的实际应用。
通过泛函分析的方法和工具，我们可以更好地理解和描述自然界和人类社会中的一系列现象和问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
浅议对Hilbert空间的学习
摘要：本文在由正交概念得到勾股定理、正交投影定理的基础上，将这些概念抽象推广到一般的赋范线性空间，建立了内积空间和Hilbert空间，并对Hilbert空间进行了进一步的研究。
关键字：内积空间；Hilbert空间；正交分解；投影定理
1引言
在数学领域，希尔伯特空间又叫完备的内积空间，是有限维欧几里得空间的一个推广，使之不局限于实的情形和有限的维数，但又不失完备性（而不像一般的欧几里得空间那样破坏了完备性）。
[1]
2 内积空间和Hilbert空间
2.1内积空间
2.1.1 内积空间的定义：设X是数域F（实或复数域）上的线性空间，若
，存在唯一的数，满足下列三条（内积公理）：
i) 对第一变元的线性性质：
ii) 共轭对称性：
iii) 正定性：
则称为x和y的内积，X为内积空间。
当F是实数域时，称X为实内积空间；F为复数域时，称X为复内积空间。
通常X指的是复内积空间。
当X为内积空间时，对有:
i)
ii)
2.1.2内积空间的性质
2.1.2.1 在内积空间U中，按内积导出的范数满足平行四边形公式
证明：
2.1.2.2判别定理
若赋范线性空间X的范数满足平行四边形公式
，则X可成为内积空间。
证明：
①当X为实赋范线性空间时，定义
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理；
②当X为复赋范线性空间时，定义
则由平行四边形公式验证其满足内积的三条公理。
注：若赋范线性空间X的范数不满足平行四边形公式，则X不能成为内积空间。
2.1.2.3内积的连续性
在内积空间U中，内积是两个变元的连函数，即当（按范数）时，数列。
2.2 希尔伯特（Hilbert）空间
定义:完备的内积空间X称为Hilbert空间，记作H.（即内积空间X按距离
是完备的，亦是Banach空间）。
此空间称为是一个希尔伯特空间，如果其对于这个范数来说是完备的。
这里的完备性是指，任何一个柯西列都收敛到此空间中的某个元素，即它们与某个元素的范数差的极限为0。
任何一个希尔伯特空间都是巴拿赫空间，但是反之未必。
任何有限维内积空间都是希尔伯特空间。
3 正交分解与投影定理
3.1 定义（正交性）
设X是内积空间，
（1）若，称与正交，记作；
（2）若，称x与正交，记作；
（3）若，称M与N正交，记作；
（4）X中与M正交的所有元素的全体称为M的正交补，记作，即
（5）设M为X的线性子空间，，使得
则称为在上的正交投影，（*）式称为关于的正交分解。
3.2性质
(1)设X是内积空间，，则
称为“商高定理”，即勾股定理。
(2)设L是内积空间X中的一个稠密子集，，若，则=0（零元素）。
(3)设X是内积空间，，则为X的闭线性子空间。
(4)设X是内积空间，为线性子空间，若为在上的投影，则
而且x0是M中使上式成立的唯一点。
3.3投影定理
设M是Hilbert空间中闭（完备）线性子空间，则，必存在唯一的
及，使得
投影定理是希尔伯特空间理论中的一个基本定理。
设M是希尔伯特空间H的凸闭子集，则对H中每个向量x，必存在M中唯一的最佳逼近元。
特别地，当M 是H的线性闭子空间时，z=x-y必与M正交，即对于线性闭子空间M，分解x=y+z 不仅唯一，而且z⊥y，这就是投影定理。
4 广义Fourier分析
傅里叶展开是古典分析中傅里叶级数或一般正交级数展开的推广。
傅里叶分析一个重要目的是将一个给定的函数表示成一族给定的基函数的和（可能是无穷和）。
这个问题可以在希尔伯特空间中更抽象地描述为：任何一个希尔伯特空间都有一族标准正交基，而且每个希尔伯特空间中的元素都可以唯一地表示为这簇基中的元素或其倍数的和。
在R3中，是三个相互正交的单位向量，
则对于，有唯一分解，其中
（由正交性可得），即通过正交性可得到α的唯一分解表达式。
同样在内积空间X中，由正交性也可以将X中的元素表示为唯一分解的形式，这将十分有意义。
4.1正交系及规范正交系
4.1.1定义
设在X空间中有一组非零的元素列（或点列），
①若，则称为正交系；
②若，则称为规范正交系（或标准正交系）。
4.1.2规范正交化定理（Gram-Schmidt）
设是X中的任一线性无关元素组，则通过Schmidt正交化方法可以构造一组规范正交基。
构造方法如下：
……………………………….
……………………………….
由此得到为X中的一个规范正交基
4.1.3性质
4.1.3.1设是U中的规范正交系，
则对于，x在M上的投影：，并且
通常称为Bessel不等式。
即x在M上的投影x0的长度。
推广：设是X中的规范正交系，则，有
4.1.3.2最佳逼近定理设是X中的规范正交系, ，则
对于任意一组数，恒有
证：设，则x在M上的投影为
又由投影性质知
该定理说明：X中的任意元x，当用作有限维线性组合去逼近时，以
为最好逼近元，其中线性组合系数称为Fourier系数。
可见在有限维线性子空间M中求U中x的最佳逼近元等同于求投影。
当时,称为x关于的广义Fourier级数
4.1.4规范正交系的完全性及完备性
4.1.4.1定义设是内积空间X中的规范正交系
① 若对于, 当且仅当时，（即），则
是完全的；
② 若对于, 都有则称是完备的。
此式称为巴塞弗（Parseval）等式，也称为广义“商高定理”。
4.1.4.2性质
定理：设是H空间中的规范正交系，则下列四个命题等价①是完全规范正交系；
② 设,则；
③ 对, Parseval公式
成立（即在H中规范正交性的完全性与完备性等价，但在X中不成立）；
④ 对于，有
成立。
5、结束语
通过泛函分析的学习，使我对客观世界有了更加深刻的认识，也使我在未来的科研工作中具备了更强有力数学武器。
结合对Hilbert空间现有的认识，我将会进一步深入学习泛函分析，尽可能的应用到生活中。
参考文献
[1] 胡适耕.应用泛函分析[M]. 北京：科学出版社，2003.8.
[2] 曹怀信.泛函分析引论[M]. 陕西师范大学出版社，2006.5.
[3] 程其襄,张奠宙等著.实变函数与泛函分析基础[M]. 高等教育出版社, 2003.12.
[4] 百度百科：Hilbert空间。
/view/310495.html.。