几何证明中常见的辅助线的方法
初中几何辅助线大全-最全
三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：分析：欲证 AD ＝BC ，先证分别含有AD ，BC 的三角形全等，有几种方案：△ADC 与△BCD ，△AOD 与△BOC ，△ABD 与△BAC ，但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。
证明：分别延长DA ，CB ，它们的延长交于E 点， ∵AD ⊥AC BC ⊥BD （已知） ∴∠CAE ＝∠DBE ＝90° （垂直的定义） 在△DBE 与△CAE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠)()()(已知已证公共角AC BD CAE DBE E E∴△DBE ≌△CAE （AAS ）∴ED ＝EC EB ＝EA （全等三角形对应边相等） ∴ED －EA ＝EC －EB 即：AD ＝BC 。
（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。
）二 、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。
三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。
分析：要证BD ＝2CE ，想到要构造线段2CE ，同时CEAE FABCDE17-图O与∠ABC 的平分线垂直，想到要将其延长。
证明：分别延长BA ，CE 交于点F 。
∵BE ⊥CF （已知）∴∠BEF ＝∠BEC ＝90° （垂直的定义）在△BEF 与△BEC 中，∵ ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠)()()(21已证公共边已知BEC BEF BE BE ∴△BEF ≌△BEC （ASA ）∴CE=FE=21CF （全等三角形对应边相等） ∵∠BAC=90° BE ⊥CF （已知）∴∠BAC ＝∠CAF ＝90° ∠1＋∠BDA ＝90°∠1＋∠BFC ＝90° ∴∠BDA ＝∠BFC在△ABD 与△ACF 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠∠=∠)()()(已知＝已证已证AC AB BFC BDA CAF BAC∴△ABD ≌△ACF （AAS ）∴BD ＝CF （全等三角形对应边相等） ∴BD ＝2CE四、取线段中点构造全等三有形。
初中数学做辅助线的方法总结
初中数学做辅助线的方法总结
在初中数学中，做辅助线是解题的重要方法之一。
以下总结了几
种常见的做辅助线的方法：
1. 对称性辅助线法：当一个图形或方程式具有对称性时，可以
画出一条对称轴或一些对称线，从而利用对称性来简化问题。
例如，
在求三角形的中线长度相等定理时，可以描绘出三角形的垂直平分线，并在中点处作垂线，得到两个相等的直角三角形。
2. 垂线辅助线法：当一个角、线段或线段的垂线很难直接操作时，可以画出一条垂线，将问题转化为一个直角三角形问题。
例如，
在求一条线段的垂线长度时，可以先画出一条垂线与该线段相交，并
组成一个直角三角形。
3. 平移辅助线法：当一个几何图形或方程式涉及到平移时，可
以通过向图形或方程式添加平移线或平移量来使问题变得简单。
例如，在证明平行四边形对角线平分的定理时，可以平移一个平行四边形，
使其成为一个重合的平行四边形，从而使问题变得简单。
4. 分割辅助线法：当一个图形或方程式很复杂时，可以通过将
其分解成几个简单的部分来解题。
例如，在求多边形面积时，可以将
多边形分割成几个三角形或梯形，并将它们的面积相加，从而得到多
边形的面积。
总之，做辅助线的方法不只有以上四种，还可以根据具体问题的
不同情况选用其他的方法。
需要注意的是，在使用辅助线时，要注意
画出清晰的图形，并理解各种辅助线的作用，才能有效地解决问题。
5种方法证全等
五种辅助线助你证全等湖北省黄石市下陆中学宋毓彬在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF．∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60°∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60°在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC∴△DOC≌△FOC，CF=CD∴AC=AF+CF=AE+CD．二、中线倍长三角形问题中涉及中线（中点）时，将三角形中线延长一倍，构造全等三角形是常用的解题思路．例2．已知三角形的两边长分别为7和5，那么第三边上中线长x的取值范围是（）．分析：要求第三边上中线的取值范围，只有将将中线与两个已知边转移到同一个三角形中，然后利用三角形的三边关系才能进行分析和判断．解：如图2所示，设AB=7，AC=5，BC上中线AD=x．延长AD至E，使DE = AD=x．∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD∠ADC=∠EDB（对顶角）∴△ADC≌△EDB∴BE=AC=5∵在△ABE中AB-BE＜AE＜AB+BE即7-5＜2x＜7+5 ∴1＜x＜6三、作平行线当三角形问题中有相等的角或等腰等条件时，可通过作平行线将相等的角转换到某一个三角形中得到另外的等腰三角形或相等的角，从而为证明全等提供条件．例3．如图3，在等腰△ABC中，AB=AC，在AB上截取BD，在AC延长线上截取CE，且使CE=BD．连接DE交BC于F．求证：DF=EF．分析：要证DF=EF，必须借助三角形全等．而现有图形中没有全等三角形．由等腰三角形条件，可知∠B=∠ACB，作DH∥AE，可得∠DHB=∠ACB．则△DBH为等腰三角形．证明：作DH∥AE交BC于H．∴∠DHB=∠ACB，∵AB=AC，∴∠B=∠ACB∴∠DHB=∠B，DH=BD∵CE=BD ∴DH= CE又DH∥AE，∠HDF=∠E∠DFH=∠EFC（对顶角）∴△ DFH≌△EFC（AAS）∴DF=EF四、补全图形在一些求证三角形问题中，延长某两条线段（边）相交，构成一个封闭的图形，可找到更多的相等关系，有助于问题的解决．例4．如图4，在△ABC中，AC=BC，∠B=90°，BD为∠ABC的平分线．若A点到直线BD的距离AD为a，求BE的长．分析：题设中只有一条已知线段AD，且为直角边，而要求的BE为斜边．要找到它们之间的关系，需设法构造其他的全等三角形．证明：延长AD、BC相交于F．由BD为∠ABC的平分线，BD⊥AF．易证△ADB≌△FDB ∴FD= AD=a AF=2a ∠F=∠BAD又∠BAD+∠ABD=90°，∠F+∠FAC=90°∴∠ABD=∠FAC∵BD为∠ABC的平分线∴∠ABD=∠CBE∴∠FAC=∠CBE，而∠ECB=∠ACF=90°，AC=BC∴△ACF≌△BCE（ASA）∴BE=AF=2a五、利用角的平分线对称构造全等角的平分线是角的对称轴，在证明全等过程中不仅提供了两个相等的角，还有一条公共边，利用角的平分线在角的两边上截取相等的线段，或向两边作垂线，对称构造出全等三角形是常用的证明方法．例5．如图5，在四边形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A+∠C=180°．证明：AD=CD．分析：由角的平分线条件，在BC上截取BE=BA，可构造△ABD≌△EBD，从而AD=DE．则只要证明DE=CD．证明：在BC上截取BE=BA，连接DE．由BD平分∠ABC，易证△ABD≌△EBD∴AD=DE ∠A=∠BED又∠A+∠C=180°，∠BED+∠DEC=180°∴∠DEC=∠C，∴DE=CD∴AD=CD。
几何证明题辅助线基本方法
几何证明题辅助线基本方法几何证明题是数学中的一种重要题型，需要通过逻辑推理和几何知识来证明给定的几何关系。
在解决几何证明题时，辅助线是一种常用的策略，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程。
本文将介绍几何证明题中常用的辅助线基本方法。
1. 平行辅助线法当我们需要证明两条线段平行时，可以在图形中引入一条辅助线来构建平行关系。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在平行关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条辅助线。
3. 利用平行线的性质进行推理，证明所需的平行关系。
2. 相等辅助线法当我们需要证明两个线段相等时，可以通过引入一条相等的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有相等关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条相等的辅助线。
3. 利用等边、等角等性质进行推理，证明所需的相等关系。
3. 垂直辅助线法当我们需要证明两条线段垂直时，可以通过引入一条垂直的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能具有垂直关系的线段。
2. 在相应的位置引入一条垂直的辅助线。
3. 利用垂直线的性质进行推理，证明所需的垂直关系。
4. 同位角辅助线法当我们需要证明两条直线的同位角相等时，可以通过引入同位角的辅助线来简化证明过程。
具体步骤如下：1. 观察图形，找到可能存在同位角的直线。
2. 在相应的位置引入同位角的辅助线。
3. 利用同位角的性质进行推理，证明所需的同位角相等关系。
5. 其他辅助线方法除了上述介绍的常用辅助线方法外，还可以根据具体的几何证明题目选择其他辅助线的方法。
例如，可以利用中位线、角平分线、内切圆、外接圆等辅助线，根据题目要求灵活运用。
综上所述，几何证明题辅助线基本方法包括平行辅助线法、相等辅助线法、垂直辅助线法、同位角辅助线法等。
通过合理引入辅助线，可以帮助我们简化问题、构建更简洁的证明过程，提高解题效率。
在实际解题中，我们需要综合运用不同的辅助线方法，根据题目要求灵活选择适合的策略。
全等三角形画辅助线的方法
全等三角形画辅助线的方法以全等三角形画辅助线的方法为标题，写一篇文章。
全等三角形是指具有相同形状和大小的三角形。
在几何学中，我们可以使用一些方法来画辅助线，以帮助我们证明两个三角形是全等的。
本文将介绍几种常见的辅助线方法。
一、SAS判据法SAS（边角边）判据法是全等三角形的一个常见判定方法。
当两个三角形的两边和夹角分别相等时，可以利用这个方法来证明它们是全等的。
在画辅助线时，我们可以先根据已知条件画出两个已知边长相等的线段，然后再连接这两个线段的端点，形成一个三角形。
接下来，我们要证明这个三角形与另一个三角形全等。
为此，我们可以通过画出这两个三角形的高线，并证明它们相等，从而得出这两个三角形全等的结论。
二、ASA判据法ASA（角边角）判据法也是全等三角形的一个常见判定方法。
当两个三角形的一个角和两个边分别相等时，可以利用这个方法来证明它们是全等的。
在画辅助线时，我们可以先根据已知条件画出两个已知角度相等的角，然后再连接这两个角的端点，形成一个三角形。
接下来，我们要证明这个三角形与另一个三角形全等。
为此，我们可以通过画出这两个三角形的高线，并证明它们相等，从而得出这两个三角形全等的结论。
三、SSS判据法SSS（边边边）判据法是全等三角形的另一种常见判定方法。
当两个三角形的三条边分别相等时，可以利用这个方法来证明它们是全等的。
在画辅助线时，我们可以根据已知条件直接画出两个已知边长相等的线段，然后再连接这两个线段的端点，形成一个三角形。
接下来，我们要证明这个三角形与另一个三角形全等。
为此，我们可以通过证明这两个三角形的内角相等，从而得出它们全等的结论。
四、AAS判据法AAS（角角边）判据法是全等三角形的另一种常见判定方法。
当两个三角形的两个角和一条边分别相等时，可以利用这个方法来证明它们是全等的。
在画辅助线时，我们可以根据已知条件画出两个已知角度相等的角，然后再连接这两个角的端点，形成一个三角形。
接下来，我们要证明这个三角形与另一个三角形全等。
几何证明题辅助线基本方法
几何证明题辅助线基本方法几何证明题辅助线方法是解决几何问题的基本策略之一。
通过引入辅助线，可以简化问题，使证明过程更加清晰和易于理解。
本文将介绍几何证明题中常用的辅助线方法。
垂直、平行辅助线方法当给定几何图形中存在垂直或平行线段时，可以通过引入垂直或平行辅助线来简化证明过程。
这些辅助线可以将问题中的角度或长度关系转化为更易于理解和证明的形式。
例如，当一个问题中涉及到两条平行线段之间的关系时，可以通过引入一条垂直辅助线将问题转化为两个相似三角形的比较问题。
中位线辅助线方法中位线辅助线方法是在一个三角形中引入中位线来简化证明过程。
中位线是连接一个三角形的一个顶点和对位边中点的线段。
通过引入中位线，可以将原问题转化为两个相似三角形的比较问题。
中位线辅助线方法在证明三角形的性质和关系时特别有用。
例如，在证明三角形的垂心、重心等性质时，可以使用中位线辅助线方法来简化证明过程。
旁切辅助线方法旁切辅助线方法是在一个圆和一个与之相切的直线或线段之间引入一条辅助线来解决问题。
通过引入旁切辅助线，可以将问题转化为关于切点、切线以及圆的性质和关系的证明问题。
旁切辅助线方法在证明圆的性质和关系时特别有用。
例如，在证明切线与半径垂直、切线之间的夹角等性质时，可以使用旁切辅助线方法来简化证明过程。
相似三角形辅助线方法相似三角形辅助线方法是通过引入辅助线，将原问题转化为相似三角形的比较问题。
通过比较相似三角形的边长或角度，可以得出原问题的结论。
相似三角形辅助线方法在证明三角形的比较性质时特别有用。
例如，在证明一个三角形是等腰三角形、直角三角形或全等三角形时，可以使用相似三角形辅助线方法来简化证明过程。
结论几何证明题中的辅助线方法是解决问题的基本策略之一。
通过引入不同类型的辅助线，可以简化问题，使证明过程更加清晰和易于理解。
在解决几何证明题时，我们可以根据问题的性质选择适当的辅助线方法。
万唯中考数学几何辅助线方法
万唯中考数学几何辅助线方法
万唯中考数学几何辅助线方法主要涉及以下几种：
1. 构造法：通过添加一些辅助线，将复杂的几何图形转化为简单的图形，便于分析和求解。
例如，在三角形中添加高线、中线、角平分线等。
2. 反证法：通过假设某个命题不成立，然后利用已知条件进行推理，得出矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
这种方法常用于证明一些难以直接证明的命题。
3. 代数法：通过将几何问题转化为代数问题，利用代数方法求解。
这种方法需要一定的代数基础，例如，利用方程组、不等式等求解。
4. 坐标法：通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，利用代数方法求解。
这种方法需要一定的代数和解析几何基础，例如，利用函数、方程、向量等求解。
5. 面积法：通过利用面积关系证明或求解几何问题。
这种方法需要掌握一些基本的面积公式和性质，例如，三角形面积公式、平行四边形面积公式等。
以上是万唯中考数学几何辅助线方法的一些主要方法，具体应用要根据实际情况而定。
几何证明题辅助线经典方法
几何证明题辅助线经典方法
引言
几何证明题是数学中常见的题型，也是学生们认识几何图形、发现几何规律的重要手段。
辅助线是解决几何证明题时常用的方法之一，本文将介绍几种经典的辅助线方法。
方法一：画垂直平分线
对于某些几何图形中的线段，我们可以通过画垂直平分线来辅助证明。
垂直平分线将线段分成两等分，从而在几何证明过程中起到重要的辅助作用。
方法二：画过顶点的高
在证明三角形相等或等腰三角形时，辅助线中的高是常见的方法之一。
通过画一条从顶点到对边的垂线，我们可以将几何图形转化为更容易处理的形式，从而证明所需结论。
方法三：画过顶点的中位线
在证明平行四边形或矩形时，辅助线中的中位线是一种常见的
方法。
通过画一条从顶点到对边中点的线段，我们可以将问题简化，并且利用矩形或平行四边形的性质得到所需结论。
方法四：画三角形的内切圆
在证明三角形的某些性质时，画三角形的内切圆是一种常见的
辅助线方法。
内切圆与三角形的各边均相切，通过利用内切圆的性质，我们可以得到有关三角形的一些重要结论。
方法五：画过顶点的角平分线
在证明两角相等或证明某些三角形相似时，画过顶点的角平分
线是一种常见的辅助线方法。
通过将角细分为两等分，我们可以得
到有关角度的一些重要关系，从而得到所需结论。
结论
辅助线方法在解决几何证明题时起到了重要的作用。
以上介绍
的几种经典辅助线方法仅是其中的一部分，通过熟练掌握这些方法，并结合具体问题，我们可以更好地解决几何证明题，提高数学水平。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
长
连结CE.
中
B D
C线
思考：若AB=3,AC=5
求AD的取值范围？
E
• 例8、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的平分 线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF
分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用 点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。
E
过点D作DE⊥AB,垂足为E
B
C
D
构造了 全等的直角三角形且距离相等
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例5:如图,△ABC中, ∠C =90o,AC=BC, A AD平分∠BAC,求证:AB=AC+DC.
过点D作DE⊥AB,垂足为E
构造了:
E
全等的直角三角形且距离相等
B
C D
思考:
若AB=15cm,则△BED的周长是多
4.已知在△ABC中，∠C=2∠B, ∠1=∠2
求证:AB=AC+CD
A
E
12
B
D
C
在AB上取点E使得AE=AC，连接DE
F
或延长AC至点F,使得CF=CD，连接DF
Ⅴ.“周长问题”的转化
借助“角平分线性
质”
5.如图,△ABC中,∠C=90o,AC=BC,AD平分∠ACB,
DE⊥AB.若AB=6cm,则△DBE的周长是多少?
1.连结
典例2:如图,AB=AE,BC=ED, ∠B=∠E,AM⊥CD, 求证:点M是CD的中点.
A
连结AC、AD
构造全等三角形
B
E
CMD
1.连结
典例3:如图,AB=AC,BD=CD, M、N分别是BD、CD
的中点，求证：∠AMB＝ ∠ANC
连结AD
A
构造全等三角形
B
C
M
N
D
2.角平分线上点向两边作垂线段
BE+BD+DE
C D
BE+BD+CD
BE+BC
A
B
E
BE+AC
BE+AE
AB
感谢下 载
专题学习
----几何证明中常见 “添辅助线”方法
1.连结
目的:构造全等三角形或等腰三角形 适用情况:图中已经存在两个点—A和B 语言描述:连结AB 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
1.连结
典例1:如图,AB=AD,BC=DC,求证:∠B=∠D.
B
A
C
D
1.连结AC ,构造全等三角形.
目的:构造直角三角形,得到距离相等 适用情况:图中已经存在一个点X和一条线MN 语言描述:过点X作XY⊥MN 注意点:双添---在图形上添虚线
在证明过程中描述添法
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,△ABC中, ∠C =90o,BC=10,BD=6,A AD平分∠BAC,求点D到AB的距离.
B
A
求证:BC=AB+CD.
解法2. 延长BE和CD交于点F
E
构造了:全等的直角三角形
C
DF
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例4:如图,OC 平分∠AOB, ∠OEP +∠ODP =180o,
求证: PD=PE.
A
过点P作PF⊥OA于F,PG ⊥OB于G. F
D
构造了: 全等的直角三角形且距离相等 O
F
E
D
A
B
C
2．如图1，AD是△ABC的中线，AB=3,AC=5，求中线AD的取值范 围。
3.如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D， 交BC于点C。求证：AD+BC=AB
D
1 2
A
E
C截
长
4 3
补
F
B短
在AB上取点F使得AF=AD,连接EF
截长 补短
C P G EB
3.中线延长一倍
目的:构造全等三角形,将相关线段聚成三角形 适用情况:图中已经存在一条线段MN 和中线 【或中点】 语言描述:延长AD到E,使DE=AD,连接CE.
注意点:双添---在图形上添虚线 在证明过程中描述添法
例7.已知，如图AD是△ABC的中线，
求证 AD ： 1(AB A)C 2
少?
2.角平分线上点向两边作垂线段
典例6:如图,四边形ABCD中, ∠A= ∠D =90o,
BE、CE均是角平分线, B
A
求证:BC=AB+CD.
F
过点E作EF⊥BC，垂足为F.
E
构造了:
全等的直角三角形且距离相等 C
D
2.角平分线上点向两边作垂线段
2.如图,四边形ABCD中, ∠A= ∠D
=90o,BE、CE均是角平分线,
线段与角求相等，先找全等试试看。 图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 线段计算和与差，巧用截长补短法。 三角形里有中线，延长中线=中线。 想作图形辅助线，切莫忘记要双添。
课外练习 ；【拓展题】
1.如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF. 求证:BC∥EF