三角函数的周期性 PPT
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备战高考数学复习知识点讲解课件33---三角函数的周期性、奇偶性与对称性
三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法 (1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象 的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令 ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，解得 x＝ （2k＋21ω）π－2φ，k∈Z，即对称轴方程；令 ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得 x＝kπω－φ， k∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为 0)．对于 y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx ＋φ)，可以利用类似的方法求解(注意 y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
解析：因为
y＝2
23sin
2x＋12cos
2x＝2sin2x＋π6，所以
T＝22π＝π.
2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设函数 f(x)＝cosωx＋π6在[－π，π]的图象大致如图， 则 f(x)的最小正周期为( )
10π
7π
A. 9
B. 6
√C.43π
D.32π
解析：由题图知，函数 f(x)的最小正周期 T 满足 0－(－π)<T<π－－49π，即 π<T<139π，即 π<|2ωπ|<139π，即1138<|ω|<2.因为函数 f(x)的图象过点－49π，0， 所以 cos－49πω＋π6＝0，所以－49πω＋π6＝π2＋kπ(k∈Z)，解得 ω＝－94k－34 (k∈Z)，又1138<|ω|<2，所以 k＝－1，ω＝32，所以 T＝2ωπ＝43π.
角度 2 对称性
(1)函数 f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线 x＝π3
对称，它的最小正周期为 π，则函数 f(x)图象的一个对称中心是( )
三角函数的图象与性质 (共44张PPT)
(
)
3 3 A.－2，2 3 3 3 3 C. － ， 2 2
解析： 当 故
π π 1 π π 5π x∈0，2 时， 2x－ ∈－ 6， 6 ， sin2x－6 ∈－2，1， 6
上是减函数 － π ， 0 C．在[0，π]上是增函数，在
)
π π π π D．在2，π和－π，－2上是增函数，在－2，2 上是减函数
3．(2015· 皖南八校模拟)函数 f(x)＝cos 2x＋2sin x 的最大值与最小值 的和是 A．－2 3 C．－ 2
4．求函数 y＝cos x＋sin
2
π x|x|≤4 的最大值与最小值．
π 2 2 解：令 t＝sin x，∵|x|≤ ，∴t∈－ ， . 4 2 2
∴y＝－t
2
1 2 5 ＋t＋1＝－t－2 ＋ ， 4
1－ 2 1 5 2 ∴当 t＝ 时，ymax＝ ，当 t＝－ 时，ymin＝ . 2 4 2 2 ∴函数 y＝cos x＋sin
sin 2x＞0， 解析：由 2 9－x ≥0，
π kπ＜x＜kπ＋ ，k∈Z， 2 得 －3≤x≤3.
π π ∴－3≤x＜－ 或 0＜x＜ . 2 2 ∴函数 y＝lg(sin 2x)＋ 9－x
2
π π 的定义域为－3，2 ∪0，2 .
2
π 1－ 5 x通法]
1．三角函数定义域的求法 求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借 助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．三角函数值域的不同求法 (1)利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；
《三角函数的应用》三角函数PPT教学课件(第1课时)
根据图象过点（0.005，311），代入U=311sin(100πt+φ)，可得φ=2kπ，k∈Z． 所以U=311sin(100πt)，t∈[0，+∞)．
归纳小结
问题9 对于一个周期性现象，你该如何利用三角函数来刻画？在本节课中， 涉及哪些数学思想？
答案：利用三角函数刻画周期性现象，就是要找出这一现象中哪两个变量满 足“当其中一个变量增加相同的常数时，另一个变量的值重复出现”，然后通过 数学建模，求出这两个变量之间满足的三角函数关系．
s 3cos( g t ), t ∈[0,∞).
l3
（1）当l=25时，求沙漏的最大偏角（精确到0.0001rad）； （2）已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确到 0.1cm）?
新知探究
4．建模解模
解：（1）∵ s 3cos( g t ) ，∴可得s的最大值为3．
时，i
－5
；
当 t 1 时，i 0．
60
新知探究
4．建模解模
练习1 如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不 计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平 衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周 期摆动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（ 单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
φ为初相． 问题8 根据图象3（2），你能说出电流的的最大值A，周期T，初始状态（
t=0）的电流吗？由这些值，你能进一步完成例2的解答吗？ 答案： 由图可知，A=5，T= 1 s，初始状态的电流为4.33A．
50
新知探究
4．建模解模
解：由图3（2）可知，电流最大为5A，因此A=5；
电流变化的周期T= 1 s，即 2π = 1 s，解得ω=100π；
三角函数的周期性+课件-2022-2023学年高一上学期数学苏教版(2019)必修第一册
即
1
1
π T
π
2sin2x＋6＋2 ＝2sin2x＋6对任意的
即
T
2sinu＋2 ＝2sin
1 π
u，其中 u＝ x＋ .
2 6
T
∵y＝2sin u 的周期为 2π，∴ ＝2π，
2
∴T＝4π，
1
π
∴f(x)＝2sin2x＋6的周期为
4π.
x 均成立.
所以f(x)＝－f(－x)＝－f(2－x)＝－sin(2－x)＋x－2＝sin(x－2)＋x－2.
答案
sin(x－2)＋x－2
课堂小结：
1.周期函数的概念
2.最小正周期的概念和求法：公式法和定义法
3.三角函数的最小正周期
π
3
＝f673π＋ ＝f ＝f－ ＝f ＝sin ＝
，
3
3 3 3 3
3 2
所以
2
f
020π 2 021π
3
3
＋f
＝
3 3 2 ＋ 2 ＝ 3.
规律方法
当函数值的出现具有一定的周期性时，可以首先研究它在一个周期内
的函数值的变化情况，再给予推广求值.
5π
f 3 ＝(
【迁移1】
(变换条件)若将例3中的“偶函数”改为“奇函数”，其他条件不变，
结果如何？
解
5π
5π
2π
2π
π
π
π
三角函数的周期性公开课获奖课件百校联赛一等奖课件
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它旳周期，但它是否还有更 小旳周期呢？ 我们能够经过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小旳周期，故最小正周期
为2π.
9
复合函数旳周期性
3. y= sin2 x 旳周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它旳周期，但它旳最小正周 期是否为2π？ 能够经过作图鉴定，分别列表作图如下.
k
24
三角函数旳周期性
六、高考史上旳周期大错题
中学教材上旳周期函数，一般都是简朴和详细旳函数. 有关最 小正周期旳求法，也是某些感性旳成果；没有系统和完整“最 小正周期”旳系统研究. 然而，伴随“抽象函数”旳不断升温，对周期函数周期旳考点 要求越来越高.
π 2
则x0 +3π=
π 3π 2
f
( x0 )
f
π 2
sin
π 2
sin
2 3
•
π 2
1
3 2
f (x0
3π)
f π 2
3π sin 7π
2
sin 2 • 7π 1 3 2
3 2
f (x0 )
所以3π不是sinx + sin 32x旳最小正周期.
经过作图、直观看到，sinx+sin 2 x 旳最小正周期为6π，即sin x
倍角法鉴定最麻烦 y sin2 x 1 2 cos x
2
18
周期函数在高考中
1. 求正弦函数旳周期
【例2】 （1） y =2cos2x+1旳最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|旳最小正周期为
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小旳周期，故最小正周期
为2π.
9
复合函数旳周期性
3. y= sin2 x 旳周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它旳周期，但它旳最小正周 期是否为2π？ 能够经过作图鉴定，分别列表作图如下.
k
24
三角函数旳周期性
六、高考史上旳周期大错题
中学教材上旳周期函数，一般都是简朴和详细旳函数. 有关最 小正周期旳求法，也是某些感性旳成果；没有系统和完整“最 小正周期”旳系统研究. 然而，伴随“抽象函数”旳不断升温，对周期函数周期旳考点 要求越来越高.
π 2
则x0 +3π=
π 3π 2
f
( x0 )
f
π 2
sin
π 2
sin
2 3
•
π 2
1
3 2
f (x0
3π)
f π 2
3π sin 7π
2
sin 2 • 7π 1 3 2
3 2
f (x0 )
所以3π不是sinx + sin 32x旳最小正周期.
经过作图、直观看到，sinx+sin 2 x 旳最小正周期为6π，即sin x
倍角法鉴定最麻烦 y sin2 x 1 2 cos x
2
18
周期函数在高考中
1. 求正弦函数旳周期
【例2】 （1） y =2cos2x+1旳最小正周期为 （2） y =|sinx + cosx|旳最小正周期为
第5节 三角函数的图象与性质课件
3．[思想方法]换元思想在求单调区间上的应用 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的单调区间的确定，其基本思想是把 ωx ＋φ 看作一个整体，比如：由 2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2(k∈Z)解出 x 的范围， 所得区间即为增区间．若函数 y＝Asin(ωx＋φ)中 A＞0，ω＜0，可用诱导公 式将函数变为 y＝－Asin(－ωx－φ)，则 y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数 的减区间，减区间为原函数的增区间．对函数 y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx ＋φ)等单调性的讨论同上．
所以 2kπ<x≤π3＋2kπ(k∈Z)，
所以函数的定义域为x2kπ＜x≤π3＋2kπ，k∈Z.
3．函数 y＝ sin x－cos x的定义域为________． 答案：x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z 解析：方法一：要使函数有意义，必须使 sin x－cos x≥0.利用图象，在同一 坐标系中画出[0，2π]上 y＝sin x 和 y＝cos x 的图象，如图所示．在[0，2π] 内，满足 sin x＝cos x 的 x 为π4，54π，再结合正弦、余弦函数的周期是 2π，所 以原函数的定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
特训点2 三角函数的单调性(师生互动类)
典例 1 (1)(2020·河北省衡水中学高三临考模拟)已知函数 f(x)的图象可看作
是由函数 g(x)＝sin 2x 的图象向右平移π8个单位长度得到的，则函数 f(x)的一
个单调递减区间为( )
A.－π4，π4
B.π4，78π
C.－π8，38π
D.－58π，－π8
方法二：sin x－cos x＝ 2sinx－π4≥0，将 x－π4视为一个整体，由正弦函数 y ＝sin x 的图象和性质可知 2kπ≤x－π4≤π＋2kπ(k∈Z)，解得 2kπ＋π4≤x≤2kπ ＋54π(k∈Z)．所以定义域为x2kπ＋π4≤x≤2kπ＋54π，k∈Z.
第五章 第四节 三角函数的图象与性质 课件(共63张PPT)
，解
得 ω＝32 .
法二：由题意，得 f(x)max＝fπ3
2．(必修 4P35 例 2 改编)若函数 y＝2sin 2x－1 的最小正周期为 T，最大
值为 A，则( )
A．T＝π，A＝1
B．T＝2π，A＝1
C．T＝π，A＝2
D．T＝2π，A＝2
A [T＝22π ＝π，A＝2－1＝1.]
3．(必修 4P40 练习 T4 改编)下列关于函数 y＝4cos x，x∈[－π，π]的单 调性的叙述，正确的是( )
求三角函数单调区间的两种方法 (1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个 角 u(或 t)，利用复合函数的单调性列不等式求解．(如本例(1)) (2)图象法：画出三角函数的正、余弦曲线，结合图象求它的单调区间． [注意] 要注意求函数 y＝A sin (ωx＋φ)的单调区间时 ω 的符号，若 ω<0， 那么一定先借助诱导公式将 ω 化为正数．同时切莫漏掉考虑函数自身的定义 域．
又当 x∈[0，π2
]时，f(x)∈[－
2 2
，1]，所以π2
≤ω2π
－π4
≤5π4
，解得
3 2
≤ω≤3，故选 B.
π
π
π
优解：当 ω＝2 时，f(x)＝sin (2x－ 4 ).因为 x∈[0，2 ]，所以 2x－ 4 ∈
π [－ 4
，3π4
π ]，所以 sin (2x－ 4
)∈[－
2 2
，1]，满足题意，故排除 A，C，
B．[kπ，kπ＋π2 ](k∈Z)
C．[kπ＋π6 ，kπ＋23π ](k∈Z)
D．[kπ－π2 ，kπ](k∈Z)
(2)函数 y＝tan x 在－π2，32π 上的单调减区间为__________．
高一数学必修四课件第章三角函数的周期性
研究三角函数周期性的意义
理解周期性现象
三角函数是描述周期性现象的重要数 学模型，研究其周期性有助于深入理 解这类现象的本质。
简化计算过程
拓展数学知识体系
三角函数周期性是数学分析、复变函 数等后续课程的基础内容之一，掌握 好这部分内容有助于后续课程的学习 。
利用三角函数的周期性，可以将复杂 的问题转化为简单的问题进行处理， 从而简化计算过程。
高一数学必修四课件第章三 角函数的周期性
汇报人：XX 2024-01-20
contents
目录
• 三角函数周期性概述 • 正弦函数与余弦函数的周期性 • 正切函数与余切函数的周期性 • 三角函数周期性的应用 • 三角函数周期性的拓展与延伸
01 三角函数周期性 概述
周期函数定义
周期函数的定义
对于函数$y = f(x)$，如果存在一个正数$T$，使得对于任意$x$都有$f(x + T) = f(x)$，则称$y = f(x)$为周期函数，$T$为它的周期。
相位差
正切函数和余切函数的图像之间存在相位差，即cot(x) = tan(π/2 - x)。这表明在相同的周期内，正切函数和余切 函数的图像可以通过平移相互转换。
周期性应用
由于正切函数和余切函数具有周期性，因此在实际应用中 可以利用这一性质解决一些与周期性相关的问题，如波动 、振动等。
04 三角函数周期性 的应用
期性的关系。
利用三角函数周期性建立振动和 波动问题的数学模型，进行定量
计算。
在信号处理中的应用
将信号分解为不同频 率的正弦波或余弦波 ，实现信号的频谱分 析。
通过三角函数周期性 对信号进行滤波、降 噪等处理，提高信号 质量。
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ys in2x1co2sx 2
因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x 的周期也是π. sin2x 的周期，由cosx 的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负 得正”所致.
因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n – 1时，sin m x 的最小正周期是2 π.
L2πL 2π
例如 sin 2x的最小正周期为 2 π π 2
sin x 的最小正周期为 2 π 4 π
2
1
2
正弦函数的周期性
3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ) 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式 y = sin(ωx+ φ)
它的最小正周期与 y = sin ω x 的最小正周期相同，都是 L 2 π
(2) sin x 的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可 知， 它是最小正周期为2π的周期函数.
【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，
还可确定，loga x，sinx， 期函数.
，1 sin(sinx)都是最小正周期2π的周
sin x
大家应该也有点累了，稍作休息
3. y= sin2 x 的周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周 期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2 π.
复合函数的周期性
4. sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性
y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
sinxcoxs 2sinx(π) 4
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般 情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情 况将会如何？
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
sin x 的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁 依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
后者周期都不变，亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同，
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】
(1) 2
sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期
2 2
与sinx的最小正周期相同，都是2π.
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
三角函数的周期性
三角函数的周期性
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期 二、复合函数的周期性 三、周期函数的和函数 四、周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题 六、高考史上的周期大错题
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、 三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性.
2
【解答】 (sinx)5 5(sinx)2
最小正周期为π.
q
【说明】 正弦函数sinx 的幂复合函数 (sin x ) p
当 q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.
三角函数的周期性
三、周期函数的和函数
两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？
正弦函数的周期性
1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有 向线段MP. 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位 置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时， 正弦线的即时位置包括变化方向不会重 现因.此，正弦函数 y =sinx的最小正周期 2π.
Байду номын сангаас
复合函数的周期性
5. 幂复合函数举例
【例1】 求 y =| sinx |的最小正周期.
【解答】 y|sinx| sin2x
最小正周期为π.
5
【例2】 求 y (sin x) 3 的最小正周期.
5
【解答】 (sinx)3 3 (sinx)5 最小正周期为2π.
2
【例2】 求 y (sin x) 5 的最小正周期.
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
依据上表，作sinx+sin2x 的图
象如右.
从图上看到，函数的最小正周
期为2π. 由sinx，sin2x 的最小正
大家有疑问的，可以询问和交
复合函数的周期性
2. y= sin3 x 的周期性
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更 小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期 为2π.
复合函数的周期性
因为 cos2x 的周期是π，故 sin2x 的周期也是π. sin2x 的周期，由cosx 的2π变为sin2x的π.就是因为符号法“负负 得正”所致.
因此，正弦函数 sinx 的幂复合函数sin m x，当m=2n时，sin m x 的最小正周期为π；m = 2n – 1时，sin m x 的最小正周期是2 π.
L2πL 2π
例如 sin 2x的最小正周期为 2 π π 2
sin x 的最小正周期为 2 π 4 π
2
1
2
正弦函数的周期性
3. 正弦函数 y=sin(ωx+ φ) 的周期性
对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后，成形式 y = sin(ωx+ φ)
它的最小正周期与 y = sin ω x 的最小正周期相同，都是 L 2 π
(2) sin x 的定义域为［2kπ，2kπ+π］，值域为［0，1］，作图可 知， 它是最小正周期为2π的周期函数.
【说明】 从基本函数的定义域，值域和单调性出发，通过作图，
还可确定，loga x，sinx， 期函数.
，1 sin(sinx)都是最小正周期2π的周
sin x
大家应该也有点累了，稍作休息
3. y= sin2 x 的周期性
对于y = sin2x =(sinx)2，L=2π肯定是它的周期，但它的最小正周 期是否为2π？ 可以通过作图判定，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin2x 的最小正周期为π，不是2 π.
复合函数的周期性
4. sin2n x 和sin2n-1 x 的周期性
y = sin2x 的最小正周期为π，还可通过另外一种复合方式得到.
sinxcoxs 2sinx(π) 4
和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般 情况. 对于另一种情况，当相加的两个函数的最小正周期不相同，情 况将会如何？
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
sin x 的最小正周期为2π，sin2x的最小正周期是π，它们之间谁 依赖谁，或依赖一个第三者？ 列表如下.
后者周期变为 2π ( 0)
而在以下的各种变换中，如
(1)初相变换 sin ωx → sin( ωx+φ)；
(2)振幅变换 sin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)；
(3)纵移变换 Asin( ωx +φ) → Asin( ωx+φ)+m；
后者周期都不变，亦即 Asin( ωx +φ) +m与sin(ωx)的周期相同，
都是
2π
而对复合函数 f (sinx)的周期性，由具体问题确定.
复合函数的周期性
1. 复合函数 f(sinx) 的周期性
【例题】 研究以下函数的周期性：
(1) 2 sinx ； (2) sin x
【解答】
(1) 2
sinx 的定义域为R，值域为
1 2
,
2
，作图可知，
它是最小正周期为2π的周期函数.
如 y sin3x π 的最小周期与 y = sin(3x)相同，都是 2 π
2
3
于是，余弦函数 ycox ssinπxsin xπ的最小正周期
2 2
与sinx的最小正周期相同，都是2π.
三角函数的单调性
二、复合函数的周期性
将正弦函数 y = sin x 进行周期变换x→ ωx，sinx →sinωx
三角函数的周期性
三角函数的周期性
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期 二、复合函数的周期性 三、周期函数的和函数 四、周期函数在高考中 五、高考史上的周期大难题 六、高考史上的周期大错题
三角函数的周期性
一、正弦函数的周期
三角函数，以正弦函数 y = sin x 为代表，是典型的周期函数. 幂函数 y = xα 无周期性，指数函数 y = ax 无周期性，对数函数 y =logax无周期，一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、 三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d 也无周期性. 周期性是三角函数独有的特性.
2
【解答】 (sinx)5 5(sinx)2
最小正周期为π.
q
【说明】 正弦函数sinx 的幂复合函数 (sin x ) p
当 q 为奇数时，周期为2π；q 为偶数时，周期为π.
三角函数的周期性
三、周期函数的和函数
两个周期函数，如 sin x 和 cosx ，它们最小正周期相同，都是 2π. 那么它们的和函数，即 sinx + cos x的最小正周期如何？
正弦函数的周期性
1. 正弦函数 y=sinx 的最小正周期
在单位圆中，设任意角α的正弦线为有 向线段MP. 动点P每旋转一周，正弦线MP的即时位 置和变化方向重现一次. 同时还看到，当P的旋转量不到一周时， 正弦线的即时位置包括变化方向不会重 现因.此，正弦函数 y =sinx的最小正周期 2π.
Байду номын сангаас
复合函数的周期性
5. 幂复合函数举例
【例1】 求 y =| sinx |的最小正周期.
【解答】 y|sinx| sin2x
最小正周期为π.
5
【例2】 求 y (sin x) 3 的最小正周期.
5
【解答】 (sinx)3 3 (sinx)5 最小正周期为2π.
2
【例2】 求 y (sin x) 5 的最小正周期.
正弦函数的周期性
2. y=sin(ωx) 的最小正周期
设ω>0，y =sin(ωx)的最小正周期设为L . 按定义 y = sin ω(x+L) = sin(ωx+ ωL) = sin ωx . 令ωx = x' 则有 sin (x' + ωL) = sin x' 因为sinx最小正周期是2π，所以有
表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2π.
周期函数的和函数
1. 函数 sinx+sin2 x 的周期性
依据上表，作sinx+sin2x 的图
象如右.
从图上看到，函数的最小正周
期为2π. 由sinx，sin2x 的最小正
大家有疑问的，可以询问和交
复合函数的周期性
2. y= sin3 x 的周期性
对于y = sin3x =(sinx)3，L=2π肯定是它的周期，但它是否还有更 小的周期呢？ 我们可以通过作图判断，分别列表作图如下.
图上看到，y = sin3x 没有比2π更小的周期，故最小正周期 为2π.
复合函数的周期性