傅里叶积分
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第五章 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换
(一)实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换
周期为2l 的函数f (x)的傅立叶级数为：
f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin
k
l
x ............5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
bk
1l
l l
f
sin
k
l
d ,......5.1.5
对于定义在区间 ， 上的函数f (x)
解：rect t 2T
1,...... t 1 即t T 2T 2
0,...... t 1 即t T 2T 2
f(t)是偶函数，可按(5.2.8)展为余弦积分
f(t) h
-T O T t
f t Acostd,
0
其中
A
2
0
f
cosd
2
T
0
h
cosd
2h
s in T
A的图形如图5-2所示，是连续谱。即f (t)代表的脉冲电波， 含有一切频率(应除去 T的整数倍频率)，它到达无线电接收机
第一节讨论的是周期为2l的函数的傅里叶级数展开，下面讨论
定义在区间 ，上的函数 f x的情形。
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换 (二) 复数形式的傅里叶积分 (三) 傅立叶变换的基本性质
如何将定义在无穷区间上的函数展开？
方法：先将f (x)看成是周期为2l 的函数，再取2l 趋于无穷大时 的极限结果。最后f (x)可以用积分表示，称为傅里叶积分。
根据上面提出的方法，有
积分变换-1 傅立叶变换
1-2 傅立叶变换
傅里叶正弦积分公式： 2 f (t ) f ( ) sin d sin td 0 0 傅里叶正弦变换式（正弦变换）：
Fs ( ) f (t ) sin tdt 0 傅里叶正弦逆变换式：
f (t )
a bn n a n cos n t bn sin n t a n2 bn2 cos n t sin n t a2 b2 a n2 bn2 n n
an a b
2 n 2 n
sin n
bn a b
2 n 2 n
cos n
[解]
sin x g ( x) 2 1 x
1-2 傅立叶变换
傅里叶变换的物理意义——频
谱 1 非正弦的周期函数的频谱 2 非周期函数的频谱
1-2 傅立叶变换
1非正弦的周期函数的频谱
a0 f T (t ) (a n cos n t bn sin n t ) 2 n 1
1-2 傅立叶变换
1, 0 t 1 [例5]求函数 f (t ) 0, t 1 的正弦变换和余
弦变换。 [解] Fs ( ) Fs [ f (t )] ˆ
0
f (t ) sin tdt |
1 0
sin tdt
0
1
cos t
1 cos
1-1 傅立叶积分公式
如果 f T (t ) 是以T为周期的周期函数，并且在 T T , 上满足狄利克雷（Dirichlet）条件： 2 2 T T 即函数在 2 , 2 上满足： 1、连续或至多只有有限个第一类间断点；2、 至多只有有限个极值点。 T T 那么 f T (t ) 在 2 , 2 上的连续点t处，可以展开 成傅里叶级数。若t是的间断点，则 1 f T (t ) [ f (t 0) f (t 0)] 2
傅里叶积分变换
a. 线性性质
F f1 (t) f 2 (t) F1 ( ) F2 ( ) （1）
这个性质表明了函数线性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换 的线性组合。
证明：只需根据定义就可推出。 傅氏逆变换也具有类似的线性性质
F-1 F1() F2 () f1(t) f2 (t)
F ( ) (t) e jt dt 1
所以单位脉冲函数的频谱
F() 1
(t)及其频谱图表示在图1-11中。
图1-11
同样，当 f (t) (时t ，t0 )
F (。 ) e jt0
而f ( t )的振幅频谱为
F() 1
在物理学和工程技术中，将会出现很多非周期函数，它们 的频谱求法，可通过查用傅氏变换（或频谱）表来求得。
f (t) F-1 F ()
1
2
1
j
( )e jt d
1
( )e jt d
1
sin td
2
2
1 1 sin td
2 0
由于
sin
0
t d
0,
t 0;
cos t sin t
0
2 2
d
2
,
t 0;
e t , t 0
4．单位脉冲函数（狄拉克---Dirac函数）
设
0 ,
(t )
1
t 0 或 t , 0t
定义单位脉冲函数为
傅立叶积分
- 14 -
第一节
傅里叶积分
(1.1.8) 或 (1.1.9) 称为 f ( t ) 傅立叶积分的实数形式。
第 一 章 傅 里 叶 变 换
特别如果 f ( t ) 为偶函数， 1 f ( t ) ~ [ f ( )(cos wt cos w sin wt sin w )d ]dw
在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有 1 iw ( t ) f (t ) ~ [ f ( ) e d ]dw 2 1 [ f ( )(cos w( t ) i sin w( t ))d ]dw 2 注意到
f ( )sin w( t )d 为 w 的奇函数， 因此 1 [ f ( )cos w ( t )d ]dw (1.1.8) f (t ) ~ 2
注意到
f ( )cos w( t )d 为 w 的偶函数， 因此 1 f ( t ) ~ [ f ( )cos w( t )d ]dw (1.1.9) 0
-8-
(1.1.6)
1 T T ( w ) [ fT ( )e iw d ]e iwt 2 T 1 ( w ) [ f ( )e iw d ]e iwt 2
第 一 章 傅 里 叶 变 换
第一节
傅里叶积分
注意到
T
lim T ( w ) ( w )
(1.1.4) 式称为 f ( t ) 傅里叶级数的复数形式。如果将 (1.1.3) 式代入(1.1.4) 式， 我们有
-5-
cn e n
i
n t T
(1.1.4)
第一节
傅里叶积分
第一节
傅里叶积分
(1.1.8) 或 (1.1.9) 称为 f ( t ) 傅立叶积分的实数形式。
第 一 章 傅 里 叶 变 换
特别如果 f ( t ) 为偶函数， 1 f ( t ) ~ [ f ( )(cos wt cos w sin wt sin w )d ]dw
在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有 1 iw ( t ) f (t ) ~ [ f ( ) e d ]dw 2 1 [ f ( )(cos w( t ) i sin w( t ))d ]dw 2 注意到
f ( )sin w( t )d 为 w 的奇函数， 因此 1 [ f ( )cos w ( t )d ]dw (1.1.8) f (t ) ~ 2
注意到
f ( )cos w( t )d 为 w 的偶函数， 因此 1 f ( t ) ~ [ f ( )cos w( t )d ]dw (1.1.9) 0
-8-
(1.1.6)
1 T T ( w ) [ fT ( )e iw d ]e iwt 2 T 1 ( w ) [ f ( )e iw d ]e iwt 2
第 一 章 傅 里 叶 变 换
第一节
傅里叶积分
注意到
T
lim T ( w ) ( w )
(1.1.4) 式称为 f ( t ) 傅里叶级数的复数形式。如果将 (1.1.3) 式代入(1.1.4) 式， 我们有
-5-
cn e n
i
n t T
(1.1.4)
第一节
傅里叶积分
傅里叶积分
∫
+∞
-∞
f(t)e
-iω t
dt = ∫
+∞
-∞
f(x)e
-iω x
dx = ∫
+∞
0
e − x sin 2 xe -iω x dx
=
2 5 − ω 2 + 2iω
1.1.2 非正弦周期函数的频谱序列 以T为周期的函数的傅里叶级数的复数表达式为
fT (t ) = ∑ c n e
n =1
∞
i
2 nπ t T
求它的傅立叶级数的复指数形式.
1 τ2 1 τ2 Eτ ⇒ c0 = ∫ τ fT (t )dt = ∫ τ Edt = , − − T 2 T 2 T
1 ⇒ cn = T
=
∫τ
2 − 2
τ
fT (t )e
−i
2 nπ t T
E nπ sin τ nπ T
ι 2 nπ n −i t 1 2 E −1 − i 2Tπ t τ2 dt = ∫ τ Ee T dt = [ e ]τ − − 2nπ T 2 T i 2 T
简 单复习高 数知识： 周期为2l的函数f ( x )的傅里叶级数展开式： a0 ∞ nπ x nπ x f ( x ) = + ∑ (an cos ) + bn sin 2 n =1 l l a0 ∞ = + ∑ (an cos wn x +bnC ) 2 n =1 1 l an = ∫ f (ζ )cos wnζ d ζ , l −l nπ π (其 中 w n = , n = 0,1, 2.....∆w = ) l l 1 l bn = ∫ f (ζ )sin wnζ d ζ l −l
复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换
证：f t 1 F ejt d
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
2
1
2
2d
0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2
f ( )cos(t )d
j
f
(
) sin
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是 的偶函数,
定义
d
t
lim
0
d
t
0
t 0。 t 0
O
d t dt
lim 0
d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3
19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要 研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电 流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运 动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位 脉冲函数.
从 f t 1
2
f
5.2傅立叶积分与傅立叶变换
0()()()()()()2,)()()(cos sin )(1)k k f x x f x g x l f x g x T l g x k x k xg x a a b l l ππ∞<<∞→∞→=→∞∞∞++一实数形式的傅里叶变换设为定义在-上的函数，一般说来，它是定义在无穷区间上的，非周期的，不能展开为傅里叶级数，为研究这样的函数的傅里叶展开问题，采取如下办法：将非周期函数看作是某个周期函数于周期2时的极限情形。
周期非周期(-则的傅里叶级数展开式：＝1()k l f x ∞=→∞∑在时的极限形式就是所要寻找的非周期函数的傅里叶展开。
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换本节研究非周期函数的傅里叶展开、傅里叶变换及有关性质。
11kk k k k k l l l ωππωωωωπ+∆∆=-引入不连续参量=(k=0,1,2,...),=,则=下面仔细研究这一过程。
01()(cos sin )(2)k k k k k g x a a x b x ωω∞=++∑成为＝01()(cos )k k k k x k xg x a a l l ππ∞==+∑则(1)式：1()cos l k l kk a f d l l πξξξδ-=⎰其中：1()sin l k l k b f d l l πξξξ-=⎰1()cos();l k k l k a f d l ξωξξδ-=⎰其中：1()sin()(3)l k k l b f d l ξωξξ-=⎰001:lim ()lim lim ()02l ll ll l l l a if f d a f d l ξξξξ--→∞→∞→∞→∞=⎰⎰将(3)式代入(2)式，并取的极限，结果如何？对于有限，则＝余弦部分：11lim [()cos()]cos()l k k l l k f d x l ξωξξω∞-→∞=∑⎰1lim cos()k k l k a x ω∞→∞=∑1k l ωπ∆将=代入0k k k l l k πωωωω→∞∆→∴ ，，不连续变量(=)变成连续变量，记为对的求和变成对的积分。
简述傅里叶积分定理
简述傅里叶积分定理一、引言傅里叶积分定理是傅里叶分析的核心定理之一，它将信号在时域和频域之间的转换联系起来，被广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
本文将从定义、性质、应用等多个方面全面详细地阐述傅里叶积分定理。
二、定义傅里叶积分定理是指：如果函数f(t)和它的傅里叶变换F(ω)都绝对可积，那么它们之间存在一个相互逆的关系。
具体来说，函数f(t)可以表示为：f(t)=1/(2π)∫F(ω)e^(jωt)dω其中，j为虚数单位。
三、性质1.线性性：如果f1(t)和f2(t)的傅里叶变换分别为F1(ω)和F2(ω)，那么a1f1(t)+a2f2(t)的傅里叶变换为a1F1(ω)+a2F2(ω)，其中a1和a2为常数。
2.对称性：如果函数f(t)是实值函数，则它的傅里叶变换F(ω)具有共轭对称性，即F(-ω)=conj(F(ω))。
3.平移性：如果函数g(t)=f(t-t0)，那么它的傅里叶变换G(ω)=e^(-jωt0)F(ω)。
4.调制性：如果函数g(t)=f(t)e^(jω0t)，那么它的傅里叶变换G(ω)=F(ω-ω0)。
四、应用1.信号分析：傅里叶积分定理可以将信号在时域和频域之间进行转换，从而方便对信号进行分析和处理。
可以通过对声音信号进行傅里叶变换得到其频率分布，从而实现音频处理。
2.通信技术：傅里叶积分定理被广泛应用于通信技术中。
可以通过将数字信号转换为频域表示来进行调制和解调，从而实现高效的数据传输。
3.图像处理：在图像处理中，傅里叶积分定理也扮演着重要角色。
可以通过对图像进行傅里叶变换得到其频率分布，并利用这些信息实现图像增强、滤波等操作。
4.量子力学：在量子力学中，傅里叶积分定理也有着广泛的应用。
在薛定谔方程的求解过程中就需要使用到傅里叶积分定理。
五、总结傅里叶积分定理是傅里叶分析中的重要定理，它将信号在时域和频域之间进行转换联系起来，被广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。
傅里叶积分变换
§ 6.2 傅立叶（Fourier）积分变换
1.傅里叶积分变换的概念
2.单位脉冲函数
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
11 September 2018
13 13 目录
课程
第六章傅里叶积分变换
1. Fourier积分变换及逆变换
定义：
频谱函数
F ( w )e iwt dw ,
傅里叶积分公式三角结 构：
f ( x )e iwx dx e iwt dw为傅里叶积分公式 .
0
f ( x ) cos w( t x )dx dw .
1 1 iwx iwt iw ( t x ) dw f (t ) f ( x ) e dx e dw f ( x ) e dx 2 2 1 i dw . f ( x ) cos w ( t x ) dx dw f ( x ) sin w ( t x ) dx 2 2
n 设wn ,将系数代入得： l
整理后得复数形式的傅里叶级数：
f ( x)
iwn x ( c e n )
n -
1 其中： cn 2l
l
l
f ( )e iwn d（n 2,1,0,1,2） .
复变函数与积分变换
© 2009, Henan Polytechnic University
e 2 e 2i
i
d , d .
7 7 目录
第一+二节(傅里叶级数和积分)
代入展开式: 代入展开式 g(x) = a0 + ∑(ak cosωk x + bk sin ωk x) 即可. 然后取极限 l → ∞ 即可 对于系数a 如果 对于系数 0,如果 lim
l →∞ −l
∫
l
f (ξ )dξ 有限 则有 有限,则有
1 l lim a0 = lim ∫ f (ξ )dξ = 0 l →∞ l → ∞ 2l −l
kπx kπx f (x) = a0 + ∑ak cos + bk sin l l k =1
叫做周期函数f(x)的 的 叫做周期函数
傅里叶级数展开式 展开系数称为傅里叶系数 展开式, 展开系数称为傅里叶系数
满足:(1)处处连续或者在每个周期 狄里希利定理: 若函数f(x)满足 狄里希利定理: 若函数 满足 处处连续或者在每个周期 中只有有限个第一类间断点;(2)在每个周期中只有有限个极值 在每个周期中只有有限个极值 中只有有限个第一类间断点 则级数收敛,且 点,则级数收敛 且 则级数收敛
f ( x) 级数和 = 1 2 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} (连续点x) (间断点x )
7
(二) 奇函数及偶函数的傅里叶展开
若周期函数f(x)是奇函数 则傅里叶系数的计算公式可得 是奇函数,则傅里叶系数的计算公式可得 若周期函数 是奇函数 a0及ak都等于零 则展开式变为 都等于零,则展开式变为 则展开式变为: ∞ kπx f (x) = ∑bk sin l k=1 由于对称性,展开系数为 这里称为傅里叶正弦级数,由于对称性 展开系数为 由于对称性 展开系数为:
13
又 l →∞
∆ω k =
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第2章 分离变量法和积分变换法
➢ §1 齐次波动方程的第—边值问题 ➢ §2 齐次热传导方程的定解问题 ➢ §3 二维拉普拉斯方程 ➢ §4 非齐次定解问题的解法 ➢ §5 积分变换法 ➢ 习题二
§2 齐次热传导方程的定解问题
➢ 2.1 热传导方程的第二齐边值问题 ➢ 2.2 傅里叶积分 ➢ 2.3 齐次热传导方程的初值问题 ➢ 2.4 傅里叶积分解的物理意义
d ( ) cos( x)d
0
➢ 由于被积函数cos(-x)关于是偶函数,因此,上式可变形为
(x) 1
d ( ) cos( x)d
2
➢ 式(2.15)称为(x)的傅里叶积分。
(2.15)
2.2 傅里叶积分
➢ 可以证明，在(x)及(x)的连续点处， (x)的傅里叶积分 收敛于它在该点的函数值。
(2.11)
Cn
n
2 l
l ( ) cos n
0
l
d , n 0,1,2, .(2.12)
➢ 将(2.11), (2.12)代入 (2.10) 后, 级数(2.10)在形式
上既满足方程(2.1), 又满足边界条件(2.2)和初值条件
(2.3), 当函数φ(x)满足一定条件时, 级数(2.10)是收
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 由(2.5)和(2.6)可得特征值问题
X"(x) X (x) 0
X
' (0)
X
' (l )
0
(2.7) (2.8)
➢ 类似上一节求特征值的方法, 可得(2.7), (2.8)的全部
特征值为
n
n
l
2, n
0,1,2,
(2.9)
➢ 相应的特征函数为
X
n(Leabharlann ➢ 把u(x,t)= X(x)T(t) 代入齐次热传导方程(2.1)可得
➢即
T '(t) X "(x)
a2T (t) X (x)
T '(t) a2T (t) 0
(2.4)
X "(x) X (x) 0
(2.5)
➢ 由齐边值条件 (2.2)可得
➢
X'(0)T(t) =0, X'(l)T(t) =0 (2.6)
x)
c
os
nx
l
,
n
0,1,2,
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 由(2.4)和(2.9)可得
( na )2 t
Tn (t) Cne l
➢则
un
(x,
t)
(
Cne
na l
)2
t
cos
nx
l
,
n
0,1,2,
➢故
u( x, t )
C0
( na )2 t
n1
Cne
l
cos
nx
l
(2.10)
➢ 把(2.10)代入初值条件(2.3), 可得
(
( )ei d )eixd
2
➢ (2.17)称为指数型傅里叶积分公式。
(2.17)
➢ 由于函数 ( ) sin ( x)d 关于是奇函数,所以
0 lim i
A
d ( ) sin ( x)d
2 A
A
i
d ( ) sin ( x)d
2
(2.16)
➢ (2.15)+(2.16)，得
2.2 傅里叶积分
(x) 1
d
( )ei( x)d
2
1
敛的。因此，(2.10)确实代表定解问题(2.1)-(2.3)的
解。
2.2 傅里叶积分
傅里叶 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都
可用正弦函数的级数表示” 1822年发表“热的分析理论”，
首次提出“任何非周期信号都 可用正弦函数的积分表示”
2.2 傅里叶积分
➢ 为了求解无限长杆的齐次热传导方程的初值问题, 我们先引 入傅里叶积分的概念。
➢ 我们前面讨论的定解问题的变量x的取值范围为[0,l],如果考 虑无限长杆的热传导,也就是l+,则前面的(x)和(x)的 傅里叶级数展开及傅里叶级数展开的唯一性将不再继续成立, 如何处理无限长杆的热传导问题呢?
➢ 一般的,我们可以用如下方法处理这一问题:我们先定义一个 函数l(x),在(-l,l)上, l(x)= (x),在(-l,l)之外, l(x) 是一个周期为2l的周期函数,那么
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
(x)
u(x,0)
C0
n1
Cn
cos
nx
l
➢ 将φ(x)按余弦级数展开,可得
➢ 其中
(x)
0
2
n1n
cos nx
l
n
2 l
l ( ) cos n
0
l
d , n 0,1,2, .
➢ 由函数展开成傅里叶级数的唯一性，可得
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
C0
0
2
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 考虑一维热传导方程的第二齐边值问题
a u
t
2
2u x2
,
0 x l,
u 0, u 0,t 0
x x0
x xl
t 0
(2.1) (2.2)
u (x),0 x l t 0
(2.3)
➢ 其中 φ(x)为已知函数。
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
(x)
lim
l
l
(x)
lim
l
1
n1 l
l ( ) cos n
l
l
(
x)d
➢ 若记
(2.14)
1
l
, 1
l
, 2
2 l
, 2
2
1
l
, ,
n
n l
, n
n
n1
l
➢ 则(2.14)可写成
2.2 傅里叶积分
(x) lim 1
n 0
n1
n
l
l ( ) cosn (
x)d
1
2.2 傅里叶积分
ll
( (
x) x)
( (
x), x),
x x
(l (l
, ,
l l
) )
➢ 根据傅里叶级数展开的理论, l(x)可以在(-l,l)上进行级数 展开。
l (x)
a0 2
n1(an
cos nx
l
bn
sin
nx )
l
(2.13)
➢ 其中
2.2 傅里叶积分
an
1 l
bn
1 l
l
l l l
l l
( ) cos ( ) sin
n
l
n
l
d ,
n
d ,
0,1,2,
➢ 把an,bn代入级数(2.13),可得
l
(x)
1 2l
l
( )d
1
l
n1 l
l ( ) cos n ( x)d
l
l
➢
设(x)在(-∞,+∞)上绝对可积,即
(x)
dx
为有限值,则当
l+时,
2.2 傅里叶积分
➢ §1 齐次波动方程的第—边值问题 ➢ §2 齐次热传导方程的定解问题 ➢ §3 二维拉普拉斯方程 ➢ §4 非齐次定解问题的解法 ➢ §5 积分变换法 ➢ 习题二
§2 齐次热传导方程的定解问题
➢ 2.1 热传导方程的第二齐边值问题 ➢ 2.2 傅里叶积分 ➢ 2.3 齐次热传导方程的初值问题 ➢ 2.4 傅里叶积分解的物理意义
d ( ) cos( x)d
0
➢ 由于被积函数cos(-x)关于是偶函数,因此,上式可变形为
(x) 1
d ( ) cos( x)d
2
➢ 式(2.15)称为(x)的傅里叶积分。
(2.15)
2.2 傅里叶积分
➢ 可以证明，在(x)及(x)的连续点处， (x)的傅里叶积分 收敛于它在该点的函数值。
(2.11)
Cn
n
2 l
l ( ) cos n
0
l
d , n 0,1,2, .(2.12)
➢ 将(2.11), (2.12)代入 (2.10) 后, 级数(2.10)在形式
上既满足方程(2.1), 又满足边界条件(2.2)和初值条件
(2.3), 当函数φ(x)满足一定条件时, 级数(2.10)是收
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 由(2.5)和(2.6)可得特征值问题
X"(x) X (x) 0
X
' (0)
X
' (l )
0
(2.7) (2.8)
➢ 类似上一节求特征值的方法, 可得(2.7), (2.8)的全部
特征值为
n
n
l
2, n
0,1,2,
(2.9)
➢ 相应的特征函数为
X
n(Leabharlann ➢ 把u(x,t)= X(x)T(t) 代入齐次热传导方程(2.1)可得
➢即
T '(t) X "(x)
a2T (t) X (x)
T '(t) a2T (t) 0
(2.4)
X "(x) X (x) 0
(2.5)
➢ 由齐边值条件 (2.2)可得
➢
X'(0)T(t) =0, X'(l)T(t) =0 (2.6)
x)
c
os
nx
l
,
n
0,1,2,
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 由(2.4)和(2.9)可得
( na )2 t
Tn (t) Cne l
➢则
un
(x,
t)
(
Cne
na l
)2
t
cos
nx
l
,
n
0,1,2,
➢故
u( x, t )
C0
( na )2 t
n1
Cne
l
cos
nx
l
(2.10)
➢ 把(2.10)代入初值条件(2.3), 可得
(
( )ei d )eixd
2
➢ (2.17)称为指数型傅里叶积分公式。
(2.17)
➢ 由于函数 ( ) sin ( x)d 关于是奇函数,所以
0 lim i
A
d ( ) sin ( x)d
2 A
A
i
d ( ) sin ( x)d
2
(2.16)
➢ (2.15)+(2.16)，得
2.2 傅里叶积分
(x) 1
d
( )ei( x)d
2
1
敛的。因此，(2.10)确实代表定解问题(2.1)-(2.3)的
解。
2.2 傅里叶积分
傅里叶 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都
可用正弦函数的级数表示” 1822年发表“热的分析理论”，
首次提出“任何非周期信号都 可用正弦函数的积分表示”
2.2 傅里叶积分
➢ 为了求解无限长杆的齐次热传导方程的初值问题, 我们先引 入傅里叶积分的概念。
➢ 我们前面讨论的定解问题的变量x的取值范围为[0,l],如果考 虑无限长杆的热传导,也就是l+,则前面的(x)和(x)的 傅里叶级数展开及傅里叶级数展开的唯一性将不再继续成立, 如何处理无限长杆的热传导问题呢?
➢ 一般的,我们可以用如下方法处理这一问题:我们先定义一个 函数l(x),在(-l,l)上, l(x)= (x),在(-l,l)之外, l(x) 是一个周期为2l的周期函数,那么
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
(x)
u(x,0)
C0
n1
Cn
cos
nx
l
➢ 将φ(x)按余弦级数展开,可得
➢ 其中
(x)
0
2
n1n
cos nx
l
n
2 l
l ( ) cos n
0
l
d , n 0,1,2, .
➢ 由函数展开成傅里叶级数的唯一性，可得
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
C0
0
2
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
➢ 考虑一维热传导方程的第二齐边值问题
a u
t
2
2u x2
,
0 x l,
u 0, u 0,t 0
x x0
x xl
t 0
(2.1) (2.2)
u (x),0 x l t 0
(2.3)
➢ 其中 φ(x)为已知函数。
2.1 热传导方程的第二齐边值问题
(x)
lim
l
l
(x)
lim
l
1
n1 l
l ( ) cos n
l
l
(
x)d
➢ 若记
(2.14)
1
l
, 1
l
, 2
2 l
, 2
2
1
l
, ,
n
n l
, n
n
n1
l
➢ 则(2.14)可写成
2.2 傅里叶积分
(x) lim 1
n 0
n1
n
l
l ( ) cosn (
x)d
1
2.2 傅里叶积分
ll
( (
x) x)
( (
x), x),
x x
(l (l
, ,
l l
) )
➢ 根据傅里叶级数展开的理论, l(x)可以在(-l,l)上进行级数 展开。
l (x)
a0 2
n1(an
cos nx
l
bn
sin
nx )
l
(2.13)
➢ 其中
2.2 傅里叶积分
an
1 l
bn
1 l
l
l l l
l l
( ) cos ( ) sin
n
l
n
l
d ,
n
d ,
0,1,2,
➢ 把an,bn代入级数(2.13),可得
l
(x)
1 2l
l
( )d
1
l
n1 l
l ( ) cos n ( x)d
l
l
➢
设(x)在(-∞,+∞)上绝对可积,即
(x)
dx
为有限值,则当
l+时,
2.2 傅里叶积分