函数列一致收敛性三ppt课件
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函数列及其一致收敛性
函数列 nx(1 x )n }在区间 0,1]非一致收敛. { [
函数列及其一致收敛性
2 sup | f n ( x ) f ( x ) | . 1 n x[0,1]
显然， sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0. lim{
n x[0,1]
nx 函 数 列 { }在 区 间0， 一 致 收 敛 [ 1] . 1 n x
2){nx(1 x)n }
1 n0 n0 1 | f n0 ( x0 ) f ( x0 ) | [( ) ] 0 . 3 3 即函数列x n }在区间0,1)非一致收敛 { [ .
1
1
函数列 f n ( x ) 一致收敛于 f ( x ) 的 y
y f ( x)
几何意义：
0, N N , 对于序号大于N
成 立 ， 解 得n
l n l n , 取N [ ] lnx lnx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
1 , 证 明 其 在0,1)收 敛. ( 例2 设f n ( x ) n x 1 证 ：x (0,1), 有 lim 0, n n x
1 1 1 | f n ( x ) f ( x ) || 0| 0, 要使不等式 n x n x n
即 0, N N , n N , x I , 有 | f n ( x) f ( x) |
sup | f n ( x ) f ( x ) | .
xI
即lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
n xI
充分性 lim{sup | f n ( x ) f ( x ) |} 0.
数学分析课件一致收敛函数列与函数项级数的性质
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
对于一致收敛的函数列或函数项级数 ，在每个点的某个邻域内，函数列或 级数的每一项都是有界的。这意味着 在每个点的附近，函数列或级数的变 化范围是有限的。
性质三：局部连续性
总结词
局部连续性是指一致收敛的函数列或函 数项级数在每个点的邻域内都是连续的 。
VS
详细描述
对于一致收敛的函数列或函数项级数，在 每个点的某个邻域内，函数列或级数的每 一项都是连续的。这意味着在每个点的附 近，函数列或级数的值是平滑变化的，没 有突然的跳跃或断点。
03
一致收敛函数列与函数项 级数的应用
应用一：微积分学中的一致收敛概念
要点一
总结词
要点二
详细描述
理解一致收敛在微积分学中的重要性
一致收敛是数学分析中的一个重要概念，它描述了函数列 或函数项级数在某个区间上的收敛性质。在微积分学中， 一致收敛的概念对于研究函数的极限行为、连续性、可微 性和积分等性质至关重要。通过理解一致收敛，可以更好 地理解函数列和级数的收敛性质，从而更好地应用微积分 学中的相关定理和性质。
应用二：实数完备性的证明
总结词
利用一致收敛证明实数完备性
详细描述
实数完备性是实数理论中的重要性质，它表 明实数具有某些理想的完备性。利用一致收 敛的性质，可以证明实数完备性的一些重要 定理，如确界定理、区间套定理和闭区间套 定理等。这些定理在实数理论中起着至关重 要的作用，为实数性质的研究提供了重要的 理论支持。
05
一致收敛函数列与函数项 级数的扩展知识
扩展知识一：一致收敛的判定定理
01
柯西准则
对于任意给定的正数$varepsilon$，存在正整数$N$，使得当
$n,m>N$时，对所有的$x$，有$|f_n(x)-f_m(x)|<varepsilon$。
03第三讲 余项准则,一致收敛的例
| fn( x) f ( x) | , x D.
由上确界的定义, 对所有 n N , 也有
sup | fn( x) f ( x) | .
xD
这就得到了(6)式.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
定理13.2（余项准则）
函数列{ fn }在区间 D上一致收敛于 f 的充分必要条
件是:
lim sup |
n xD
fn( x)
f ( x) |
0.
(6)
充分性 由假设, 对任给 >0, 存在正整数N, 使得
当n N 时,有 sup | fn( x) f ( x) | .
(7)
xD
因为对一切 x D, 总有
1 ]上有
f
(x)
lim
n
fn(
x)
0.
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛fn ( x) 2n 2n2 x,
1 x 1,
2n
n
0,
1 x 1, n
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
第三讲
余项准则 一致收敛函数列的例
数学分析 第十三章 函数列与函数项级数
高等教育出版社
§1一致收敛性
函数列及其一致收敛性
函数项级数及其 一致收敛性
函数项级数的一致 收敛性判别法
一致收敛函数列与函数项级数级数的性质.ppt
又
lim
x x0
fN1( x) aN1
,
所以存在δ > 0 , 当0 < | x – x0 | <δ时，
| fN+1(x) – aN+1 | <ε/3
这样当0 < | x – x0 | <δ时，
| f (x) A|
| f ( x) f N 1( x) | | f N 1( x) aN 1 | | aN 1 A |
? lim
x x0
n1
un ( x)
n1
lim
x x0
un
(
x)
注：对函数序列{Sn ( x)}而言，应为
? lim
x x0
lim
n
Sn
(
x
)
lim
n
lim
x x0
Sn
(
x)
2.求导运算与无限求和运算交换次序问题
? d
dx n1 un ( x)
d n1 dx un ( x)
lim lim
x x0 n
fn
(
x)
lim
n
lim
x x0
fn(x) .
这表明在一致收敛的条件下，极限可以交换顺序．
证 先证数列 { an } 收敛．因为{ fn } 一致收敛，
故对任给的ε > 0 , 存在 N > 0 , 当 n > N 时，对任何 正整数 p ，对一切 x ∈(a , x0 )∪(x0 , b) 有
| fn(x) – f n+p(x) | <ε
从而
lim
x x0
|
函数项级数的一致收敛性及基本性质ppt课件
闭 区 间 [a,b]上 一 致 连 续 ，
.
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案 一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故 数 列nn q1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
.
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
.
故 幂 级 数 anxn在 [a,b]上 适 合 定 理3条 件 ， 从 n1
而 可 以 逐 项 求 导 ． 由 [a ,b ]在 ( R ,R )内 的 任 意 性 ，
即 得 幂 级 数 a n x n 在 ( R ,R )内 可 逐 项 求 导 . n 1
区间上的一致收敛性．
cos nx
1.
n1
2n
,
x ;
2. x2enx , 0 x .
n1
.
练习题答案 一1、 .取自然 N数 x．
二、一致收敛．
.
由 比 值 审 敛 法 可 知 级 数 nn 1 q 收 敛 ， n 1
于是 nn 1 q 0 (n ),
.
故 数 列nn q1有 界 ， 必 有 M0， 使 得
nn q 11M (n1,2,) x1
又 0x 1R ， 级 数a nx 1 n收 敛 ， n 1
由 比 较 审 敛 法 即 得 级 数 nn x a n 1收 敛 ． n 1 由 定 理4， 级 数 nnaxn1在 (R,R)内 的 任 意 n1
致收敛.
进一步还可以证明，如果幂级数anxn在收敛 n1
区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包 含端点．
.
定理5 如 果 幂 级 数 a n x n 的 收 敛 半 径 为 n1
R 0 ，则其和函数s(x) 在( R, R) 内可导，且
有逐项求导公式
s( x )
an xn
n1
na n x n1 ,
n1
逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收
敛半径．
.
证 先证级数 nanxn1在(R,R)内收敛． n1
函数列及其一致收敛性
对每一个x I， 0，N N ,n N , 有 | fn ( x) f ( x) | .
例1 设fn ( x) xn , 证明其在(0,1)收敛.
证：x (0,1),有 lim xn 0, n 0,要使不等式
| fn ( x) f ( x) || xn 0 | xn
成立， 解得n ln , 取N [ ln ]
lim{sup |
n xI
fn(x)
f
( x) |} 0.
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
证：必要性 函数列{ fn ( x)}在区间I一致收敛于极限函数f ( x)
即 0, N N ,n N ,x I , 有 | fn ( x) f ( x) |
sup | fn( x) f ( x) | .
的所有曲线 y fn( x) (n N ),
都落在曲线 y f ( x) 与
y f (x) 所夹的带状区域内. O
y f (x) y f (x)
a
y f (x) y fn(x)
bx
函数列及其一致收敛性
§9.2 函数项级数
定理1 (函数列的柯西一致收敛准则) 函数列{ fn( x)}
2) 0
1 3
0, N
N , n0
N , x0
(
1
)
1 n0
3
[0,1), 有
|
fn0 ( x0 )
f
(
x0
)
|
[(
1 3
)
1 n0
]n0
1 3
0.
即函数列{ xn }在区间[0,1)非一致收敛.
函数列 fn( x) 一致收敛于 f ( x) 的 y
第十一章111函数项级数的一致收敛ppt
1 1 x
二、一致收敛的定义 引例
例1
u
n 1
n
( x) x ( x 2 x) ( x 3 x 2 )
它的每一项都在 0 x 1 上连续，其n 次部分和为
0,0 x 1时 lim sn ( x) s ( x) n ，x 1时 1 S ( x) 在x 1不连续，因此，它不是0,1 上的 级数的和 连续函数。这个例子还告诉我们，上述级数的 每一项 都在 0,1 上可导，但它的和函数S ( x) 在 x 1 不可导。
说明: 对任意正数 r < 1,
级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
o
S ( x)
1 x
事实上, 因为在 [ 0, r ] 上 rn ( x) r n , 任给 > 0, 欲使
ln ln r , 只要 n , 因此取 N , 只要 n N , ln r ln r n 必有 rn ( x) r , 即级数在 [ 0, r ] 上一致收敛 .
X
,因此 x
在
sup Sn ( x) S ( x) sup x n c n 当n 时 0 x c 0 x c x S n ( x) 同理可知 1 n 2 x 2 在任一区间 c,1 ( c 为小于1 的任一正数)一致收敛,但在 0,1 非一致收敛.这说明了
u ( x ) u ( x ) u ( x ) u ( x )
n 1 n 0 1 0 2 0 n 0
收敛，我们就说函数项级数在 x0点收敛，否则就说它 在 x0 点发散。如果对 X 中任何一点 x ，级数 u ( x) 收 敛，就说函数项级数 u ( x) 在 X 上收敛（即在每一点 都收敛）。这时，对每一点 x X 级数 u ( x) 有和， 记此和为 S ( x) ，即
数学分析复习3一致收敛
如 un ( x )满足条件 : 定理4′
n1
⒈ u C [a , b], ⒉ ⒊
u ( x )在[a, b]上一致收敛于g( x ), u ( x )至少一点x 处收敛,
n1 n 0 n1 ' n
' n
则un ( x)在[a, b]一致收敛, 其和S ( x) C[a, b],
一、连续性 ⒈ 定理1. f n ( x )在I上连续, 且f n ( x )一致收敛于f ( x ),
则f ( x )在I上连续.
定理1′ 若un ( x ) C I , 则S ( x ) C I .
u ( x )在I上一致收敛于S ( x ),
n1 n
若un ( x ) C I , 则S ( x ) C I .
都有 un ( x ) a n ,
则 un ( x )在I上一致收敛.
a 称为是 u ( x )的优级数,强级数,控制级数
n1 n n1 n
2.Dirichlet和Abel判别法
a
n1
n
( x )bn ( x )
Dirichlet判别法
a
n1 n
n
( x )bn ( x )
cos nx 在（ ， ）一致收敛， 例1. Ⅰ.n 2 1 n S ( x )在(,)连续
xn Ⅱ. S ( x ) n cos nx 2 ,求 lim S ( x ) x 1 n 0 3 n x un ( x ) , 3 n 2 x 2时, | un ( x ) | , 在[2,2]一致收敛. 3
S ( x ), un ( x ) R[a , b], 定理3' 设 un ( x ) 一致收敛
n1
⒈ u C [a , b], ⒉ ⒊
u ( x )在[a, b]上一致收敛于g( x ), u ( x )至少一点x 处收敛,
n1 n 0 n1 ' n
' n
则un ( x)在[a, b]一致收敛, 其和S ( x) C[a, b],
一、连续性 ⒈ 定理1. f n ( x )在I上连续, 且f n ( x )一致收敛于f ( x ),
则f ( x )在I上连续.
定理1′ 若un ( x ) C I , 则S ( x ) C I .
u ( x )在I上一致收敛于S ( x ),
n1 n
若un ( x ) C I , 则S ( x ) C I .
都有 un ( x ) a n ,
则 un ( x )在I上一致收敛.
a 称为是 u ( x )的优级数,强级数,控制级数
n1 n n1 n
2.Dirichlet和Abel判别法
a
n1
n
( x )bn ( x )
Dirichlet判别法
a
n1 n
n
( x )bn ( x )
cos nx 在（ ， ）一致收敛， 例1. Ⅰ.n 2 1 n S ( x )在(,)连续
xn Ⅱ. S ( x ) n cos nx 2 ,求 lim S ( x ) x 1 n 0 3 n x un ( x ) , 3 n 2 x 2时, | un ( x ) | , 在[2,2]一致收敛. 3
S ( x ), un ( x ) R[a , b], 定理3' 设 un ( x ) 一致收敛
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由上例(2)知
un( x)
n1
x (x2
x)
(xn
xn1)
f
(x)
10,,|
x x
| 1 1
f
(
x)
10,,|
x x
|11在其收敛域上不连续.
进一步讨论和函数的性质只在收敛条件下进行不够。
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又如：若
un
(
x
)的部分和{
sn
(
x)
2n2
xe
n2
x
2
},
x
(0,1]
n1
s(x) 0, x(0,1] 连续,可积,
f
(x)？ f
( x0)
lim
n
fn( x0 )
结论是：不一定
如：lim xn n
f
(
x)
10,,|
x x
| 1 1
f (x)在x 1处不连续.
因此，保持连续性只有收敛的条件是不够的。
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2. 函数项级数的概念
(1) 定义5 设E上的函数列{un(x)},
对其各项依次用“+”连接起来的表达式
fn(x)
sin nx n
1 n
,
lim
n
sin nx n
0
{sinnnx }收敛域为(,)
极限函数 f (x) 0, x(,)
问题：(1) 函数列{ fn(x)}收敛域的判别; (2) 极限函数f (x)的分析性质(连续、可积、可导).
是不是所有的连续函数列的极限函数 在其收敛域上也连续。
即 lim x x0
由于 01kn1uk ( x)dx kn1[01uk ( x)dx]
01n1un( x)dx
01[lnim
n
uk
k 1
(
x)]dx
01[lnim sn( x)]dx
1
0
s(
x)dx
0,
n1[01un( x)dx]
lim n
01kn1uk
(
x)dx
lim
n
kn1[ 01uk
(
x)dx]
lim
n
记为
un( x) u1( x) u2( x) u3(x) un( x)
n1
称为E上的函数项无穷级数或简称为级数。
同时称
n
sn( x) u1( x) u2( x) un( x) ui(x) 部分和.
部分和实际是一个函数列.
i 1
特别地,
x0
E
,函数项级数
un
(
x0
)实际为一个数项级数.
fn( x)
f (x),n
即 lim n
fn(x)
f (x)
" N"定义
x D, 0,N(, x) N,当n N有 fn( x) f ( x)
(4) 定义4
函数列{ fn(x)}收敛点的全体集合,称为{ fn(x)}的收敛域.
例1 试求下列函数列的收敛域与极限函数
(1) fn( x) xn,n 1,2, x(,)
(2) 定义6
n1
当x0
E
,级数
un
(
x0
)收敛,则称x0为
un
(
x)收敛点.
当
即 un(
xln0i)m发 s散n(,x则n0)1称 lnxim0为 in1uui (nx(0x))存发在散.点n.1
n1
n1
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(3)
定义7
若级数
un( x)在D上收敛,则可确定一个新的
n1
函数s(x),x D.
n
xk
k 1
x(1 1
xn) x
பைடு நூலகம்
lim
n
sn
(
x)
lim
n
x(1 1
x x
n
)
在(1,1)内 xn收敛于
n1
x 1
x(,)
1
x
x
,
x
1
发散, x 1
x
(2) un( x) x ( x2 x) ( xn xn1) , x(,)
n1
解 sn( x) xn x(,)
lim
n
sn(
01sn
(
x)dx
lim(1 enn2 ) n
1
01n1un( x)dx n1[01un( x)dx]
为此引进一致收敛的概念
结论：即使和函数可积，求和函数的积分时也不能先
解 显然 x 1时, lim xn 0 n
{ x n }收敛域为(1,1]
x 1时,
lim xn不存在,
n
x 1时, lim xn 1
n
x 1时,
lim xn不存在,
n
极限函数
f
(
x)
10,,|
x x
| 1 1
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(2)
fn
(
x)
sin nx n
,
n
1,2,
x (,)
解 显然
uni ( x)
(4) 定义8
i 1
级数
un
(
x)收敛点的全体集合,
称为
un
(
x
)的收敛域.
n1
un( x)的收敛域本质上是{sn
(
x
n1
)}的收敛域.
n1
可通过部分和函数列讨论级数的收敛域与和函数.
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例2 试求下列级数的收敛域与和函数
(1) xn, x(,)
解
n1
sn( x)
记为:
un(
则称s( x)为函数列 un
x) s( x), x D n1
(
x)的和函数.
n1
即
lim
n
sn
(
x
)
s(
x)
" N"定义
x D, 0,N(, x) N,当n N有 sn( x) s( x)
若 un( x)收敛与s( x), x D
n1
余项
Rn(x) s(x) sn(x)
x)
lim n
xn
10,,|
x | 1 x1
收敛域 (1,1]
和函数
f
(
x)
10,,|
x x
| 1 1
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问题：(1) 函数项级数的收敛域与和函数； (2) 和函数的分析性质。
对有限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导,有很好的运算法则.
对无限个连续、可积、可导函数的和仍相应是 连续、可积、可导？
若数列{ fn(x)}在D上的每一点均收敛, 则称{ fn( x)}在D上收敛.上 页 下 页 返 回
(3) 定义3 若{ fn( x)}在D上收敛,则可确定一个新的
函数f (x),x D. 则称f (x)为函数列{ fn(x)}的极限函数.
记为:
lim
n
fn(x)
f (x), x D或x D,
第十三章 函数列与函数项级数
一、点态收敛的概念 二、一致收敛性及其判别法 三、一致收敛的函数列
与函数项级数的性质
§1 一致收敛性
一、函数列与函数项级数 二、函数列一致收敛性 三、函数项级数一致收敛性
一、函数列与函数项级数的的概念
收敛数列(数项级数)可表示、定义一个数； 试用函数列、函数项级数来表示、定义一个函数。
1. 函数列的定义: (1) 定义1 设函数f1( x), f2( x), , fn( x), 是定义在同 一个数集E上,则称其为E上的函数列. 记为: { fn(x)}或fn(x),n 1,2, 特别地取定x x0,则函数列{ fn(x)}为一个数列{ fn(x0)}.
(2) 定义2 若数列{ fn(x0)}收敛,则称{ fn(x)}在x0点收敛, 也称x0为{ fn(x)}的收敛点. 若数列{ fn(x0)}发散,则称{ fn(x)}在x0点发散.