上海复旦附中2018-2019年自招真题数学试卷(含答案)
2018年上海中学自主招数学试卷-含答案详解
2018年上海中学自主招数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知x2+ax−12能分解成两个整数系数的一次因式的积，则整数a的个数有( )A. 0B. 2C. 4D. 62. 如图，D、E分别为△ABC的底边所在直线上的两点，BD=EC，过A作直线l，作DM//BA 交l于M，作EN//CA交l于N.设△ABM面积为S1，△ACN面积为S2，则( )A. S1>S2B. S1=S2C. S1<S2D. S1与S2的大小与过点A的直线位置有关3. 设p1、p2、q1、q2为实数，则p1p2=2(q1+q2)，若方程甲：x2+p1x+q1=0，乙：x2+ p2x+q2=0，则( )A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定4. 设a=121+223+325+⋯+100722013，b=123+225+327+⋯+100722015，则以下四个选项中最接近a−b的整数为( )A. 252B. 504C. 1007D. 2013二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）5. 已知1a +1b=1a+b，则ba+ab的值等于______ ．6. 有______个实数x，可以使得√120−√x为整数．7. 如图，△ABC中，AB=AC，CD=BF，BD=CE，用含∠A的式子表示∠EDF，则∠EDF=______．8. 在直角坐标系中，抛物线y=x2+mx−34m2(m>0)与x轴交于A，B两点.若A，B两点到原点的距离分别为OA，OB，且满足1OB −1OA=23，则m的值等于_______．9. 定圆A的半径为72，动圆B的半径为r，r<72且r是一个整数，动圆B保持内切于圆A且沿着圆A的圆周滚动一圈，若动圆B开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r共有______个可能的值．10. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有一船不空也不满，则学生共有______人．11. 对于各数互不相等的正整数组(a1,a2,…a n)(n是不小于2的正整数)，如果在i<j时有a i>a j，则称a i与a j是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6)的逆序数为2，则(a6,a5,a4,a3,a2,a1)的逆序数为______．12. 若n为正整数，则使得关于x的不等式1121<nx+n<1019有唯一的整数解的n的最大值为______．三、解答题（本大题共2小题，共16.0分。
上海复旦大学附中2018-2019学年第二学期高三期末考试数学试卷(7页)(2021年整理)
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卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，第1-6题每题填对得4分，第7-12题每天填对得5分，否则一律得零分。
1.不等式13x >的解集为________2. 一个单位共有职工200人,其中不超过45岁的有120人,超过45岁的有80人．为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工________________人．3.已知110002111000n n n n a n n n+⎧≥⎪⎪=⎨-⎪≤<⎪⎩()n *∈N ,则lim n n a →∞=________ 4.一个等差数列的前4项之和是40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则项数n =________5。
若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的体积为________6。
若22sin cos cos 0ααα⋅-=，则cot α=________7.已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．8.已知点O 为ABC ∆的外心,且4,2ACAB ==,则·AO BC = ．9.甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中任想一个数字,记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字把乙猜的数字记为b ，且*,{|09,}a b n n n ∈≤≤∈N ，若||1a b -≤，则称甲乙“心有灵犀",现任意找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为________10.在ABC ∆中，点D 在BC 上，且2,::3::1DC BD AB AD AC k ==，则实数k 的取值范围是__________．11.已知函数()sin f x x x =-是R 上的单调增函数,则关于x 的方程211sin 2cos488x x x x -+=的实根为________ 12。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
上海市复旦附中2018-2019学年高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____．3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______．4.函数y=1x +2的单调区间是_____．5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x =________.6.已知符号函数sgn（x）1,00,01,0x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．7.函数3()log (81)xf x =+的值域为_______.8.已知a＞0，b＞0，则224442a ab b a b ++++的最小值为_____．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x 的取值范围_____．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ⎧∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()5f =_____．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r，使得集合(){x,y }Ar <⊆，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x 2+y 2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④()(22{,|01}x y x y <+-<．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.已知函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 3＜x 1＜x 2D.x 2＜x 3＜x 115.已知非空集合M 满足：若x ∈M ，则11x-∈M ，则当4∈M 时，集合M 的所有元素之积等于A.0B.1C.－1D.不确定16.已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，则下列结论正确的是（）A.f（x）的图象关于x=1对称B.f（x）的最大值与最小值之和为2C.方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D.当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1三．解答题（共5小题，满分76分）17.设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；:q 实数x 满足260x x --≤.（1）若1a =，p 且q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.已知函数y=f （x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．19.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|=-++f x x x .（1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．21.已知函数2()lg()1f x a x =+-，a R ∈．(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象公共点个数，并说明理由；(3)当[)1,2x ∈时，函数(2)x y f =的图象始终在函数lg(42)x y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．上海市复旦附中2018-2019学年高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【分析】由2a ∈{1，4，a}，得到2a =1或2a =4，或2a =a ，由此求出实数a 的取值，根据互异性验证后可得所求集合．【详解】∵实数a 满足：2a ∈{1，4，a }，∴2a =1或2a =4，或2a =a，解得a =﹣2或a =2或a =﹣1或a =1或a =0，当a =1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当a =﹣1，或a =±2，或a =0时，满足题意．∴实数a 的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为{﹣1，﹣2，2，0}．【点睛】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用．2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0和对数的真数大于0得到关于变量x 的不等式组，解不等式组后可得定义域．【详解】由题意得2030x x +≥⎧⎨->⎩，解得23x -≤<．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为[﹣2，3）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是构造关于自变量的的不等式（组），是基础题．3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b ≠0，则ab ≠0”【详解】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是“若b ≠0，则ab ≠0”.故答案为“若b ≠0，则ab ≠0”.4.函数y=1x+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案．【详解】由题意得函数1y 2x=+的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又函数1y x =在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，所以函数1y 2x=+的单调减区间是(),0∞-和()0,∞+．故答案为（-∞，0）和（0，+∞）．【点睛】本题考查函数单调区间的求法，属于基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础，同时还应注意函数的单调区间不能并在一起．5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x =________.【答案】()1x x -【分析】设0x <，则0x ->，代入0x ≥的解析式，由函数的奇偶性即可求解.【详解】设0x <，则0x ->，由0x ≥时，()()1f x x x =+，所以()()()1f x x x -=--，又函数为偶函数，即()()f x f x -=，所以()()()()11f x x x x x =--=-.故答案为：()1x x -【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.6.已知符号函数sgn（x）1,00,01,0x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．【答案】11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】根据x 的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合．【详解】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x =1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=12，即当x＞0时，函数f（x）的零点是12；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=12-，即当x＜0时，函数f（x）的零点是12-．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x 的零点的集合为：11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．故答案为11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题．7.函数3()log (81)xf x =+的值域为_______.【答案】(0,)+∞【详解】由指数函数的性质可知：80,811x x >∴+>，据此可知：()()3log 810xf x =+>，函数的值域为()0,∞+.8.已知a＞0，b＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．【答案】4【分析】由题意构造出基本不等式的形式，然后根据基本不等式求解即可．【详解】由题意得222444(2)44(2)222a ab b a b a b a b a b a b+++++==+++++，∵0,0a b >>，∴20a b +>，∴4(2)42a b a b ++≥=+，当且仅当422a b a b +=+，即22a b +=时等号成立．∴224442a ab b a b++++的最小值为4．故答案为4．【点睛】应用基本不等式求最值时，需要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等”，若不满足此条件，则要通过“拼、凑”等方法进行变形，使得满足所需条件．本题考查“构造思想”与基本不等式的运用，属于基础题．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x 的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【分析】根据y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数可由f（x）＜f（2x﹣2）得到x＞2x﹣2，解不等式可得x 的取值范围．【详解】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法，解题时注意转化思想方法的运用，属于简单题．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ⎧∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()5f =_____．【答案】1【分析】根据函数的解析式可推导出f（5）=f（3）=f（1），由此可得所求结果．【详解】由题意得()()()()()2552332111f f f f f =-==-===．故答案为1．【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r，使得集合(){x,y }A r <⊆，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x 2+y 2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④()(22{,|01}x y x y <+-<．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【分析】弄清开集的定义是解决本题的关键，解答本题时根据新定义进行计算后判断，即所选的集合需要满足：存在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆，且圆的内部均在该集合内．【详解】对于①，集合A={（x，y）|x 2+y 2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y }A r =<⊆，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y）|x+y+2＞0}，对于A 中的任一点（x 0，y 0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足()B {x,y |}A r =<⊆，故②是开集．对于③，集合A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y }A r =<⊆，故该集合不是开集．对于④，集合A=()(22{,|01}x y x y <+-<表示以点(为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A 中的任一点（x 0，y 0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足()B {x,y |}A r =<⊆，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为①③．【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3由x 2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3．因为{|13}x x ＜＜{|23}x x ＜＜-，所以“1＜x＜3”是“﹣2＜x＜3”的充分不必要条件，即“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解题时可转化为两集合间的包含关系求解，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．14.已知函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 3＜x 1＜x 2D.x 2＜x 3＜x 1【答案】B【分析】将函数的零点看作两函数图象交点的横坐标，画出函数的图象，利用数形结合，判断出函数的零点的大小即可．【详解】函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，在坐标系中画出y=3x ，y=log 3x，y=sinx 与y=﹣x的图象，如下图所示：由图形可知x 1＜0，x 2＞0，x 3=0，所以x 1＜x 3＜x 2．故选B．【点睛】求函数零点的常用方法有：（1）解函数对应的方程()0f x =，得到函数的零点；（2）将函数的零点转化为两函数图象的交点的横坐标，画出函数的图象，根据数形结合求解．15.已知非空集合M 满足：若x ∈M ，则11x-∈M ，则当4∈M 时，集合M 的所有元素之积等于A.0 B.1C.－1D.不确定【答案】C【详解】试卷分析：依题意，得当4∈M 时，有11143M =-∈-，从而131413M =∈+，14314M =∈-，于是集合M 的元素只有4，13-，34所有元素之积等于4×（13-）×34=-1考点：元素与集合关系的判断16.已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，则下列结论正确的是（）A.f（x）的图象关于x=1对称B.f（x）的最大值与最小值之和为2C.方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D.当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【答案】C【分析】根据函数为奇函数和x∈[0，1）时的解析式，可求出当x∈（﹣1，0]时函数的解析式，再根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，再画出y=lg|x|的图象，结合图象对四个选项作出判断即可．【详解】由函数f（x）是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =．又当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，所以，当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1），则f（﹣x）=2﹣x ﹣1=﹣f（x），∴()12x f x =-﹣．又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数．画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A 不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B 不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f （x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f （x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C 正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以2()(2) 21x f x f x -=-=-．故D 不正确．故选C．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性，以及函数零点个数的判断，考查转化能力和运算能力，解题时借助函数的图象求解是关键，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；:q 实数x 满足260x x --≤.（1）若1a =，p 且q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,3（2）(]0,1【分析】（1）解一元二次不等式得,p q ，根据p 且q 为真求解，（2）由推出关系列式求解，【小问1详解】由22430x ax a -+<得()(3)0x a x a --<，而0a >，故3a x a <<，当1a =时，:13p x <<，由260x x --≤得23x -≤≤，故:23q x -≤≤，当p 且q 为真时，x 的取值范围为()1,3，【小问2详解】由题意得p 是q 的充分不必要条件，而:3p a x a <<，:23q x -≤≤，(,3)a a 是[2,3]-的真子集，故0233a a a >⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，解得01a <≤，故a 的取值范围为(]0,118.已知函数y=f （x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．【答案】（1）2(2)3f -=-；（2）（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）；和【分析】（Ⅰ）利用函数的奇偶性以及函数的解析式可求得f（﹣2）的值；（Ⅱ）利用函数的奇偶性以及分段函数的解析式可写出f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数f（x）的零点转化为方程的根，解方程可得函数的零点．【详解】（Ⅰ）∵函数()f x 为奇函数，∴()()212222233f f ⎛⎫-=-=--⨯+=-⎪⎝⎭．（Ⅱ）当x＞0时，函数()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增，∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（Ⅲ）当0x >时，由()0f x =，得21203x -+=，解得x =，是函数()f x 的零点．又函数()f x 为奇函数，∴也为函数()f x 的零点．综上可得函数()f x和．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性的应用、分段函数函数值的求法以及函数的零点的求法，解题时注意函数图象对称性的应用，考查计算能力和转化应用的能力，属于基础题．19.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|=-++f x x x .（1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）[8,7]-（2）(,5]-∞【详解】试卷分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时x 的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；（2）由题意，将不等式转化为()2a x f x ≤+，可构造新函数()()2g x x f x =+，则问题再转化为()min a g x ≤，由（1）可得()()min 05g x g ==，即5a ≤，从而问题可得解.试卷解析：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-；当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<；当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤.综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.（2）（方法一）由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号，所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.（方法二）设()2g x x a =-+，则()()max 0g x g a ==，当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【详解】试卷分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．21.已知函数2()lg()1f x a x =+-，a R ∈．(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象公共点个数，并说明理由；(3)当[)1,2x ∈时，函数(2)x y f =的图象始终在函数lg(42)x y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a =.(2)函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象有2个公共点；说明见解析.(3)(3)-+∞.【详解】分析：（1）由题意可得()()0f x f x +-=，解出1a =；（2）要求方程1lglg21x x x +=-解的个数，即求方程22101x x --=-在定义域D 上的解的个数，令()2211x F x x =---，利用零点存在定理判断即可；（3）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()lg 42x y =-的图象的上方，必须使24221x x a +>--在[)1,2x ∈上恒成立，令2x t =，则[)2,4t ∈，上式整理得()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立，分类讨论即可.详解：（1）因为()f x 为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有()()0f x f x +-=，即22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，22111a a x x ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，显然1x ≠，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有1x ≠-.上面等式左右两边同时乘以()()11x x -+得()()212121a x a x x ⎡⎤⎡⎤-+⋅+-=-⎣⎦⎣⎦，化简得()()2221430a x a a ---+=，.上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩，解得1a =.（2）由（1）知1a =，所以()2lg 11f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，即()1lg 1x f x x +=-，由101x x +>-得1x <-或1x >，所以函数()f x 定义域()(),11,D =-∞-⋃+∞.由题意，要求方程1lglg21x x x +=-解的个数，即求方程22101x x --=-在定义域D 上的解的个数.令()2211x F x x =---，显然()F x 在区间(),1-∞-和()1,+∞均单调递增，又()22112210343F --=--=-<-，323212105252F -⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭-且32322150122F ⎛⎫=--=< ⎪⎝⎭，()22221101F =--=>.所以函数()F x 在区间32,2⎛⎫--⎪⎝⎭和3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点，即方程22101x x --=-在定义域D 上有2个解，所以函数()y f x =与函数lg2x y =的图象有2个公共点.（附注：函数11x y x +=-与2x y =在定义域()(),11,D =-∞-⋃+∞上的大致图象如图所示）（3）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()lg 42x y =-的图象的上方，必须使24221x x a +>--在[)1,2x ∈上恒成立，令2x t =，则[)2,4t ∈，上式整理得()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立.方法一：令()()256g t t a t a =+-+-，[)2,4t ∈.①当522a -≤，即1a ≥时，()g t 在[)2,4上单调递增，所以()()()min 2425610g t g a a a ⎡⎤==+-+-=≥>⎣⎦，恒成立；②当542a -≥，即3a ≤-时，()g t 在[)2,4上单调递减，只需()4320g a =+≥，解得23a ≥-与3a ≤-矛盾.③当5242a -<<，即31a -<<时，()g t 在52,2a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5,42a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以由()2min561024a a a g t g --+-⎛⎫⎡⎤==> ⎪⎣⎦⎝⎭，解得33a -<<+又31a -<<，所以31a -<<综合①②③得a 的取值范围是()3-+∞.方法二：因为()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立.即()2156t a t t ->-+-，又113t ≤-<，所以得2561t t a t -+->-在[)2,4t ∈恒成立令1u t =-，则[)1,3u ∈，且1t u =+，所以()()22151656231u u t t u t u u -+++--+-⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭，由基本不等式可知2u u +≥=（当且仅当[)1,3u =时，等号成立.）即min2u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2max max 562331t t u t u ⎡⎤⎡⎤-+-⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以a的取值范围是()3-+∞.点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.。
复旦大学自主招生试题数学
复旦大学自主招生数学1、当a和b取遍所有实数时，函数f a，b=a+5−3cos+a−2sin所能取到的最小值（）2、记2012！=1×2×3×⋯×2012从1到2012之间所有整数的连乘积，则2012！的值的尾部（从个位往前计数）连续的0的个数是（）3、已知数列a n满足：3a n+1+a n=4n≥1，且a1=9，其前n项和为S n，则满足不等式S n−n−6<1125的最小整数n是（）4、在如果所示三棱柱中，点A、BB1的中点M以及B1C1的中点N所决定的平面把三棱柱切割成体积不相同的两部分，则小部分的体积和大部分的体积之比为（）5、方程x−=1有（）解6、方程3x2−e x=0的实根是（）7、设f x=x8−x5+x2−x+1，则f x有性质（）8、证明2是一个无理数9、若对一切实数x都有x−5+x−7>a，则实数a的取值范围是（）10、设某个多边形Σ的顶点在复平面中均是形式为1+z+z2+⋯+z k−1的点，其中z≤1，则点z=0有性质（）多边形Σ上的点。
11、如图，半径为r的四分之一的圆ABC上，分别以AB和AC为直径作两个半圆，分别标有a的阴影部分面积和标有b的阴影部分面积，则这两部分面积a和b的大小关系是？12、设x，y，z>0满足xyz+y+z=12，则log4x+log2y+log2z的最大值为（）13、设实数r>1，如果复平面上的动点z满足z=r，则动点ω=z+1z的轨迹是（）焦距的椭圆。
14、对函数f：0，1→0，1，定义f1x=f x，L，f n x=f f n−1x，n=1，2，3，⋯，满足f n x=x的点x∈0，1称为f的一个n周期点，现设f x=2x，0≤x≤122−2x，12≤x≤1，问f的一个n周期点的个数是（）15、已知数列a n 满足：a 1=22的等比数列，则k=1na k =（）16、设集合X 是实数集R 的子集，如果点x 0∈R 满足：对任意a >0，都存在，使得0<x −x 0<ax 0为集合X 的聚点，则下列集合：①∈Z ，n ≥0，②R \0,∈Z ，n ≠0,④Z 中，以0为聚点的集合有（）17、在一个底面半径为12，高为1的圆柱内放入一个直径为1的实心球后，在圆柱内空余的地方放入和实心球、圆柱侧面及两个底面之一都相切的小球，最多可以放入这样的小球个数是（）18、经过坐标变换x ‘=x cos θ+y sin θy ’=−x sin θ+y cos θ将二次曲线3x 2−23xy +5y 2−6=0转化为形如x ‘2a 2±y ’2b 2=1的标准方程，求θ并判断二次曲线的类型（）19、已知常数k 1，k 2满足0<k 1<k 2，k 1k 2=1.设C 1与C 2分别是以y =±k 1x −1+1和y =±k 2x −1+1为渐近线且通过原点的双曲线，则C 1与C 2的离心率之比等于（）20、设非零向量a=a1，a2，a3，b =b1，b2，b3，c=c1，c2，c3为共面向量，x=x1，x2，x3是未知向量，则满足a∙x=0，b ∙x=0，c∙x=0的向量x的个数为（）21、将同时满足不等式x−ky−2≤0，2x+3y−6≥0，x+6y−10≤0k>0的点x，y组成的集合D称为可行域，将函数y+1x称为目标函数，所谓规划问题就是求解可行域中的点x，y使目标函数达到在可行域上的最小值。
2019届复旦附中初升高自招数学试卷
2019年复旦附中自招数学试卷（一）1. 两个非零实数a 、b 满足ab a b =-，求a b ab b a +-的值.2. 已知|211||3||8|m m m -=-+-，求m 的取值范围.3. 若关于x 的不等式020192018ax ≤+≤的整数解为1、2、3、…、2018，求a 的范围.4. 已知ABC 、A BC ''边长均为2，点D 在线段BC '上，求AD CD +的最小值.5. 已知x 、y 为实数，求2254824x y xy x +-++的最小值.6. 在ABC 中，2B C ∠=∠，AD 为A ∠的角平分线，若2AB BD BD AB-=，求tan C ∠的值.（二）1. 等腰梯形ABCD 中，13AB CD ==，6AD =，16BC =，CE ⊥AB .（1）求CE 的长；（2）求BCE 内切圆的半径.2. 定义当0x x =时，0y x =，则称00(,)x x 为不动点.（1）若5x a y x b +=+有两个不动点(6,6)、(6,6)--，求a 、b 的值； （2）若5x a y x b+=+有关于原点对称的不动点，求a 、b 满足的条件.3. 已知()S n 为n 的各位数字之和，例(2019)201912S =+++=.（1）当19502019n ≤≤时，找出所有满足[()]4S S n =的n ；（2）当n 为正整数时，找出所有满足()[()]2019n S n S S n ++=的n .（三）1. 平行四边形两条邻边为7和8，两条对角线为m 、n ，求22m n +的值.2. 已知正整数x 、y 满足2127xy x y ++=，求x y +的值.3. 斐波那契数列为{1,1,2,3,5,8,}n a =⋅⋅⋅，记数列n b 为n a 中每一项除以4的余数，问{}n b 中第2019次出现1时的序数（即第几个数）.参考答案（一） 1. 222()22a b a b a b ab ab b a a b a b a b+-+-=-==--- 2. 结合绝对值意义或者图像，3m ≤或8m ≥3. 由101a <-≤，201920182019a ≤-<可得，201912018a -≤<- 4. 4AD CD AD A D AA ''+=+≥=，即最小值为45. 配方，224()(1)33x y x -+++≥，即最小值为36.求出1AB BD=，由正弦定理，sin()sin 223sin sin()22C AB ADB C BD BAD ππ-∠==∠-，结合诱导公式、三倍角公式、化切，可求得tan 12C =，由二倍角公式可求tan 1C = （二） 1.（1）锐角三角比，19213；（2）在13、12、5的三角形中求得内切圆半径2r '=，结合相 似比，213321613r r =⇒=，即所求内切圆半径为3213 2.（1）36a =，5b =；（2）0a ≥且25a ≠，5b =3.（1）找规律，()22S n =或()4S n =，符合的有1957、1966、1975、1984、1993、2002、2011；（2）先确定范围，()28S n ≤，[()]10S S n ≤，∴1981n ≥，再分析讨论，符合的有1987、1990、1993、2005、2008、2011（三）1. 由余弦定理，22226m n +=2. 127121x y x -=≥+，可得42x ≤，结合正整数的条件，分析可得，有(1,42)、(2,25)、(7,8)这些解（x 、y 可换），∴x y +的值为43、27、153. 分析可得，{}n b 周期为6，且前六项为1、1、2、3、1、0，每个周期出现3次“1”，20193673÷=，即第2019次出现1时，在第673个周期内最后一个“1”，即序数为672654037⨯+=。
上海市复旦大学附属中学2018_2019学年高一数学下学期期末考试试题(含解析)
是符合题目要求的.
13.对于函数 f(x)=2sinxcosx，下列选项中正确的是( )
A. f(x)在（ ， ）上是递增的
42 C. f(x)的最小正周期为 2
【答案】B
B. f(x)的图象关于原点对称 D. f(x)的最大值为 2
【解析】
【详解】解:
,是周期为 的奇函数,
对于 A,
在
上是递减的,错误;
【解析】
【分析】
先将 x 的表示形式求解出来，然后根据范围求出 x 的可取值.
【详解】因为 cos(x ) 1 ，所以 x 2k , k Z ，又因为 x [0, ] ，所以 k 0 ，
32
33
此时
x
0或
2 3
，则可得集合：{0, 2 } . 3
【点睛】本题考查根据三角函数值求解给定区间中变量的值，难度较易.
考点：函数
的对称性、周期性，属于中档题.
11.由正整数组成的数列an ，bn 分别为递增的等差数列、等比数列， a1 b1 1 ，记
cn an bn ，若存在正整数 k （ k 2 ）满足 ck1 100 ， ck1 1000 ，则 ck __________．
【答案】262
【解析】
上海市复旦大学附属中学 2018-2019 学年高一数学下学期期末考试试
题（含解析）
一、填空题（本大题共有 12 题，满分 54 分，将答案填在答题纸上）
1.计算 lim 2n 3 __________． n 3n 1 2
【答案】
3
【解析】
【分析】
采用分离常数法对所给极限式变形，可得到极限值.
解得 d
k 0 不符，当
q
3 9 时，解得 d
2018年上海中学自招数学试卷
2018年上海中学自招数学试卷一. 填空题1. 已知111a b a b +=+，则b a a b +=2. 有 个实数x ，可以使得120x -为整数3. 如图，ABC 中，AB AC =，CD BF =，BD CE =，用含A ∠的式子表示EDF ∠，则EDF ∠=4. 在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-(0)m >与x 轴交于A 、B 两点，若A 、B 两点到原点的距离分别为OA 、OB ，且满足1123OB OA -=，则m = 5. 定圆A 的半径为72，动圆B 的半径为r ，72r <且r 是一个整数，动圆B 保持内切于圆 A 且沿着圆A 的圆周滚动一圈，若动圆B 开始滚动时的切点与结束时的切点是同一点，则r 共有 个可能的值6. 学生若干人租游船若干只，如果每船坐4人，就余下20人，如果每船坐8人，那么就有 一船不空也不满，则学生共有 人7. 对于各数互不相等的正整数组12(,,,)n a a a ⋅⋅⋅（n 是不小于2的正整数），如果在i j <时有i j a a >，则称i a 与j a 是该数组的一个“逆序”，例如数组(2,4,3,1)中有逆序“2，1”、“4，3”、“4，1”、“3，1”，其逆序数为4，现若各数互不相同的正整数组123(,,,a a a 456,,)a a a 的逆序数为2，则654321(,,,,,)a a a a a a 的逆序数为8. 若n 为正整数，则使得关于x 的不等式11102119n x n <<+有唯一的整数解的n 的最大值为二. 选择题9. 已知212x ax +-能分解成两个整系数的一次因式的积，则符合条件的整数a 的个数为（ ）A. 3B. 4C. 6D. 810. 如图，D 、E 分别为ABC 的底边所在直线上的两点，DB EC =，过A 作直线l ，作DM ∥BA 交l 于M ，作EN ∥CA 交l 于N ，设ABM 面积为1S ，ACN 面积为2S ，则 （ ）A. 12S S >B. 12S S =C. 12S S <D. 无法确定11. 设1p 、2p 、1q 、2q 为实数，则12122()p p q q =+，若方程甲：2110x p x q ++=，乙：2220x p x q ++=，则（ ）A. 甲必有实根，乙也必有实根B. 甲没有实根，乙也没有实根C. 甲、乙至少有一个有实根D. 甲、乙是否总有一个有实根不能确定12. 设222212310071352013a =+++⋅⋅⋅+，222212310073572015b =+++⋅⋅⋅+，则以下四个选项中最 接近a b -的整数为（ ）A. 252B. 504C. 1007D. 2013三. 解答题13. 直角三角形ABC 和直角三角形ADC 有公共斜边AC （B 、D 位于AC 的两侧），M 、N 分别是AC 、BD 中点，且M 、N 不重合.（1）线段MN 与BD 是否垂直？证明你的结论；（2）若30BAC ︒∠=，45CAD ︒∠=，4AC =，求MN 的长.14. 是否存在m 个不全相等的正数1a 、2a 、⋅⋅⋅、m a (7)m ≥，使得它们能全部被摆放在一个圆周上，每个数都等于其相邻两数的乘积？若存在，求出所有这样的m 值；若不存在，说明理由.参考答案一. 填空题1. 1-2. 113. 1902A ︒-∠4. 25. 116. 447. 138. 220二. 填空题9. C 10. B 11. C 12. B二. 解答题13.（1）垂直；（262-. 14. 6m k =，2k ≥，k 为正整数.。
复旦附中九年级中考自招数学试卷(含解析)
的取值范围是______________．
【答】 a 2 ．
A
D
【解析】以 AD 中点为圆心 a 为半径作圆应与 BC 有交点， 2
a 1 a 2． 2
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD，
则 BD DC ______________．
17. 设 x 是实数，不大于 x 的最大整数叫做 x 的整数部分，记作x ，如1.2 1， 3 3 ，
1.3 2 ，
（1） S
1
1
10 11 12 1112 12
10 11 1112
1
，求90S ；
2016 2017 12
2016 2017 （2）解关于ຫໍສະໝຸດ x的方程：x2
A
D
B
C
7. 已知锐角 ABC 的三边长恰为三个连续正整数，AB BC CA ，若 BC 边上的高为 AD， 则 BD DC ______________． A
B
DC
8. 已知实数 m，n（其中 m n 1 ）分别满足：19m2 99m 1 0 ， n2 99n 19 0 ，则 mn 4m 1 ______________． n
A
D
A
D
B
B
B
E
C
B
EH
C
【答】 3 或 3 ． 2
【解析】设 BE x ，过 B 作 BH BC 于 H ，
（1） BEC 90 ， AEB 45 ， x AB 3 ，
（2） BCE 90 ， B 在 CD 上， H 与 C 重合，
由 BB AE ， BB 2 x 3 ， BH BB 3
上海复旦附中2018-2019年自招真题数学试卷（含答案）
上海复旦附中2018-2019年自招真题数学试卷（含答案）复旦附中自招题1. 已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值是（） A .恒正 B .恒负 C .可正可负 D .非负解：选B222222444222a c c b b a c b a ---++2222224)(c b c b a ---=)2)(2(222222bc c b a bc c b a ---+--=])(][)([2222c b a c b a +---=))()()((c b a c b a c b a c b a --+++--+=∵a 、b 、c 是一个三角形的三边，∴0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++c b a ，0<--c b a ，∴0))()()((<--+++--+c b a c b a c b a c b a2. 设m ，n 是正整数，满足mn n m >+，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1；② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④m ，n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（）A .① B .② C .③D .④解：选D由mn n m >+得()()111<--n m若m ，n 均大于1，则,11,11≥-≥-n m ()()111≥--n m ，矛盾，∴m ，n 至少有一个等于1。
3. 已知关于x 的方程a x a x +=+2有一个根为1，则实数a 的值为（）A .251+-B .251--C .251±- D .以上答案都不正确解：选A将1=x 代入，得12+=+a a ，两边平方，得012=++a a ，251±-=a ，当251--=a 时，1=x 不是原方程的根，舍∴251+-=a4. 已知a ，b ，c 是不完全相等的任意实数，若c b a x +-=2，cb a y 2-+=，c b a z ++-=2，则关于x ，y ，z 的值，下列说法正确的是（）A .都大于0B .至少有一个大于0C .都小于0D .至多有一个大于0 解：选B0=++z y x ，若x ，y ，z 均小于0，则0<++z y x ，矛盾；故至少有一个大于0。
2018-2019学年上海市复旦附中高三(上)期中数学试卷
2018-2019学年上海市复旦附中高三（上）期中数学试卷试题数：21.满分：01.（填空题.4分）n→∞(1+12019n)2019=___ ．2.（填空题.4分）若复数z满足z•（1+i）=（1-i）2（i为虚数单位）.则|z|=___ ．3.（填空题.4分）已知向量a⃗ =（-2.1）. b⃗⃗ =（3.-1）. c⃗ =（2.y）.且（a⃗ - b⃗⃗）⊥ c⃗ .则y=___ ．4.（填空题.4分）若集合A={x|y=lg（x- 12）}.B={y|y=arcsinx}.则A∩B=___．5.（填空题.4分）在(x−2x2)6的二项展开式中.x3的系数是___ ．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别是a.b.c.若a=3.b= √6，A=π3.则角C的大小为___ ．7.（填空题.4分）若圆锥侧面积为20π.且母线与底面所成角正切为34.则该圆锥的体积为___ ．8.（填空题.4分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n.首项a1=1.a2=a- 32 .且n→∞S n =a.则a=___ ．9.（填空题.4分）某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考.已知每门学科考A+得70分.考A得67分.考B+得64分.该生每门学科均不低于64分.则其总分至少为207分的概率为___ ．10.（填空题.4分）已知a.b∈R.且4≤a2+b2≤25.则a2+b2+ab的取值范围是___ ．11.（填空题.6分）已知函数f（x）=a sinx+bcos x+c的图象经过A（0.5）.B（π2.5）两点.当x∈[0. π2]时.|f（x）|≤10.则实数c的取值范围是___ ．12.（填空题.6分）定义在[0.+∞）上的函数f（x）满足：① 当x∈[1.2）时. f(x)=1 2sin(2πx+π2)；② 对任意x∈[0.+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1.x2.x3.…x n.….若a∈(12，1) .则x1+x2+…+x2n=___ ．13.（单选题.5分）若平面中两条直线l1.l2的方向向量分别是a⃗ . b⃗⃗ .则l1 || l2是a⃗ || b⃗⃗的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件14.（单选题.5分）若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f-1（x）.那么必在函数y=f-1（x+1）图象上的点是（）A.（-f（t-1）.-t）B.（-f（t+1）.-t）C.（-f（t）-1.-t）D.（-f（t）+1.-t）15.（单选题.5分）已知数列{a n}的通项公式为a n= 1n(n+1)（n∈N*.其前n项和S n= 910.则双曲线x2 n+1 - y2n=1的渐近线方程为（）A. y=±2√23xB. y=±3√24xC. y=±3√1010xD. y=±√103x16.（单选题.5分）已知定义在[0.+∞）上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+x.且当x∈[0.2）时.f（x）=x-8.则f（93）=（）A.2019B.2109C.2190D.290117.（问答题.14分）已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1.且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{b n}满足b n=2a n+（-1）n a n.T n为数列{b n}的前n项和.求T2n．18.（问答题.14分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2 √3 cos2x- √3 .x∈R．（1）求函数y=f（-3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（2）已知△ABC中的三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若锐角A满足f（A2 - π6）= √3 .且a=7.sinB+sinC= 13√314.求b.c的长．19.（问答题.14分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额.拟在2013年度进行一系列促销活动.经过市场调查和测算.饮料的年销售量x 万件与年促销费t 万元间满足x= 3t+1t+1 .已知2013年生产饮料的设备折旧、维修等固定费用为3万元.每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用.若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和.则该年生产的饮料正好能销售完．（1）将2013年的利润y （万元）表示为促销费t （万元）的函数； （2）该企业2013年的年促销费投入多少万元时.企业的年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费.生产成本=固定费用+生产费用）20.（问答题.16分）设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意n∈N *.点 (n ，S nn ) 都在函数 f (x )=x +a n2x的图象上． （1）求a 1.a 2.a 3.归纳数列{a n }的通项公式（不必证明）．（2）将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项、5项循环地分为（a 1）.（a 2.a 3）.（a 4.a 5.a 6）.（a 7.a 8.a 9.a 10）.（a 11.a 12.a 13.a 14.a 15）.（a 16）.（a 17.a 18）.（a 19.a 20.a 21）.….分别计算各个括号内各数之和.设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }.求b 6+b 100的值． （3）设A n 为数列 {a n −1a n} 的前n 项积.若不等式 A n √a n +1＜f (a )−a n +32a对一切n∈N *都成立.其中a ＞0.求a 的取值范围．21.（问答题.18分）已知函数h （x ）= mx+n 3x 2+27 为奇函数.k （x ）=（ 13 ）|x-m|.其中m 、n∈R ． （1）若函数h （x ）的图象过点A （1.1）.求实数m 和n 的值；（2）若m=3.试判断函数f （x ）= 1ℎ(x ) + 1k (x ) 在x∈[3.+∞）上的单调性并证明； （3）设函数 g (x )={ℎ(x )，x ≥39k (x )，x ＜3若对每一个不小于3的实数x 1.都恰有一个小于3的实数x 2.使得g （x 1）=g （x 2）成立.求实数m 的取值范围．2018-2019学年上海市复旦附中高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：01.（填空题.4分）n→∞(1+12019n )2019=___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：利用数列的极限的运算法则.化简求解即可．【解答】：解：n→∞(1+12019n )2019 = lim n→∞(1+C 20191•12019n+C 20192(12019n)2+⋯+C 20192019(12019n )2019) =1．故答案为：1．【点评】：本题考查数列的极限的运算法则的应用.考查计算能力．2.（填空题.4分）若复数z 满足z•（1+i ）=（1-i ）2（i 为虚数单位）.则|z|=___ ． 【正确答案】：[1] √2【解析】：把已知等式变形.再由复数代数形式的乘除运算化简.利用复数模的计算公式求解．【解答】：解：由z•（1+i ）=（1-i ）2=-2i. 得z=−2i1+i=−2i (1−i )(1+i )(1−i )=−1−i .∴|z|= √2 ． 故答案为： √2 ．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数模的求法.是基础的计算题． 3.（填空题.4分）已知向量 a ⃗ =（-2.1）. b ⃗⃗ =（3.-1）. c ⃗ =（2.y ）.且（ a ⃗ - b ⃗⃗ ）⊥ c ⃗ .则y=___ ． 【正确答案】：[1]5【解析】：可求出 a ⃗−b ⃗⃗=(−5，2) .根据 (a ⃗−b ⃗⃗)⊥c ⃗ 即可得出 (a ⃗−b ⃗⃗)•c ⃗=0 .进行数量积的坐标运算即可求出y ．【解答】：解：a⃗−b⃗⃗=(−5，2)；∵ (a⃗−b⃗⃗)⊥c⃗；∴ (a⃗−b⃗⃗)•c⃗=−10+2y=0；∴y=5．故答案为：5．【点评】：考查向量坐标的减法和数量积运算.以及向量垂直的充要条件．4.（填空题.4分）若集合A={x|y=lg（x- 12）}.B={y|y=arcsinx}.则A∩B=___ ．【正确答案】：[1]（12，π2]【解析】：先求出集合A.B.由此能求出A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=lg（x- 12）}={x|x＞12}.B={y|y=arcsinx}={x|- π2≤x≤ π2}.∴A∩B={x| 12＜x≤π2）=（12，π2]．故答案为：（12，π2]．【点评】：本题考查交集的求法.考查交集定义等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．5.（填空题.4分）在(x−2x2)6的二项展开式中.x3的系数是___ ．【正确答案】：[1]-12【解析】：在二项展开式的通项公式中.令x的幂指数等于3.求出r的值.即可得到x3的系数．【解答】：解：在(x−2x2)6的二项展开式中.它的通项公式为 T r+1= C6r•（-2）r•x6-3r.令6-3r=3.求得r=1.故x3的系数为C61•（-2）=-12.故答案为：-12．【点评】：本题主要考查二项式定理的应用.二项展开式的通项公式.二项式系数的性质.属于基础题．6.（填空题.4分）在△ABC中.角A.B.C所对的边分别是a.b.c.若a=3.b= √6，A=π3.则角C的大小为___ ．【正确答案】：[1] 5π12【解析】：先由正弦定理求出sinB.然后通过a＞b判断出B为锐角.求出B.最后利用三角形内角和为π.求出C．【解答】：解：在三角形ABC中.由正弦定理得：asinA = bsinB.即3sinπ3= √6sinB.解得：sinB= √22.又b＜a.∴B＜A.∴B= π4 .∴C=π- π3- π4= 5π12.故答案为：5π12【点评】：本题考查了正弦定理．属基础题．7.（填空题.4分）若圆锥侧面积为20π.且母线与底面所成角正切为34.则该圆锥的体积为___ ．【正确答案】：[1]16π【解析】：根据圆锥的侧面积和圆锥的母线长求得圆锥的弧长.利用圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长求得圆锥的底面半径即可．【解答】：解：∵设圆锥的母线长是l.底面半径为r.母线与底面所成角正切为34 .即余弦为45．可得rl = 45①∵侧面积是20π.∴πrl=20π. ②由① ② 解得：l=5.r=4.故圆锥的高h= √l2−r2 = √25−16 =3.则该圆锥的体积为：13×πr2×3=16π.故答案为：16π．【点评】：本题考查了圆锥的有关计算.解题的关键是正确的进行圆锥与扇形的转化．8.（填空题.4分）若无穷等比数列{a n}的前n项和为S n.首项a1=1.a2=a- 32 .且n→∞S n =a.则a=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：由已知得11−(a−1.5)=a.由此能求出a．【解答】：解：∵无穷等比数列{a n}的前n项和为S n.首项为1.公比为a-1.5.∴S n= 1−(a−1．5)n1−(a−1.5).∵n→∞S n =a.∴ 11−(a−1.5)=a.解得a=2．故答案为：2．【点评】：本题考查等比数列的公比的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意等比数列的性质的合理运用．9.（填空题.4分）某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考.已知每门学科考A+得70分.考A得67分.考B+得64分.该生每门学科均不低于64分.则其总分至少为207分的概率为___ ．【正确答案】：[1] 427【解析】：先求出基本事件总数n=3×3×3=27.其总分至少为207分包含的基本事件个数m= C33+C32C11 =4.由此能求出其总分至少为207分的概率．【解答】：解：某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考.每门学科考A+得70分.考A得67分.考B+得64分.该生每门学科均不低于64分.基本事件总数n=3×3×3=27.其总分至少为207分包含的基本事件个数：m= C33+C32C11 =4.∴则其总分至少为207分的概率p= mn =427．故答案为：427．【点评】：本题考查概率的求法.考查古典概型、排列组合等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．10.（填空题.4分）已知a.b∈R.且4≤a2+b2≤25.则a2+b2+ab的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][2. 752]【解析】：由题意可令a=rcosα.b=rsinα（2≤r≤5）.代入a2+b2+ab.结合三角函数的性质可求．【解答】：解：∵4≤a2+b2≤25.令a=rcosα.b=rsinα（2≤r≤5）.则a2+b2+ab=（rcosα）2+（rsinα）2+r2cosαsinα=r2（1+sinαcosα）=r2（1+ 12sin2α）.∵ 1 2≤1+ 12sin2α≤ 32.∴2≤ 12r2≤ r2（1+ 12sin2α）≤3r22≤752.故答案为：[2. 752]．【点评】：本题以不等式为载体.主要考查了不等式的性质及三角函数性质的简单应用．11.（填空题.6分）已知函数f（x）=a sinx+bcos x+c的图象经过A（0.5）.B（π2.5）两点.当x∈[0. π2]时.|f（x）|≤10.则实数c的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][20-5 √2 .20+15 √2 ]【解析】：先求出a=b=5-c.再化简函数f（x）=（5-c）√2 sin（x+ π4）+c.由x的范围和正弦函数的图象与性质.求出f（x）的最值.由条件和恒成立列出不等式.求出实数a的取值范围．【解答】：解：∵已知函数f（x）=a sinx+bcos x+c的图象经过A（0.5）.B（π2.5）两点.∴{0+b+c=5a+0+c=5.∴a=b=5-c．∴函数f（x）=a sinx+bcos x+c=（5-c）（sinx+cosx）+c=（5-c）√2 sin（x+ π4）+c.当x∈[0. π2 ]时.x+ π4∈[ π4. 3π4].sin（x+ π4）∈[ √22.1].∴ √2 sin（x+ π4）∈[.1 √2 ].当sin（x+ π4）=1时.f（x）= √2（5-c）+c；当sin（x+ π4）= √22时.f（x）=5．∵当x∈[0. π2]时.|f（x）|≤10恒成立.∴| √2（5-c）+c|≤10.∴-10≤（1- √2）c+5 √2≤10.求得-5 √2≤c≤20+15 √2 .则实数c的取值范围是[-5 √2 .20+15 √2 ].故答案为：[-5 √2 .20+15 √2 ]．【点评】：本题考查正弦函数的图象与性质.三角恒等变换中的公式.函数的单调性.以及恒成立与存在性问题的转化.考查转化思想.换元法、分离常数法.化简、变形能力.属于难题．12.（填空题.6分）定义在[0.+∞）上的函数f（x）满足：① 当x∈[1.2）时. f(x)=1 2sin(2πx+π2)；② 对任意x∈[0.+∞）都有f（2x）=2f（x）．设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1.x2.x3.…x n.….若a∈(12，1) .则x1+x2+…+x2n=___ ．【正确答案】：[1]6×（2n-1）【解析】：① 当x∈[1.2）时. f(x)=12sin(2πx+π2)；② 对任意x∈[0.+∞）都有f（2x）=2f（x）．x∈[2.4）时. 12x∈[1.2）．可得f（x）=2f（12x）=sin (πx+π2) .…….画出图象.设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1.x2.x3.…x n.….同理.则a∈(12，1) .F （x）=f（x）-a在区间（2.3）和（3.4）上各有1个零点.分别为x1.x2.且满足x1+x2=2×3=6.依此类推：x3+x4=2×6=12.x5+x6=2×12=24….x2n-1+x2n=2×3×2n-1．再利用等比数列的求和公式即可得出．【解答】：解：① 当x∈[1.2）时. f(x)=12sin(2πx+π2)；② 对任意x∈[0.+∞）都有f（2x）=2f（x）．x∈[2.4）时. 12x∈[1.2）．∴f（x）=2f（12x）=sin (πx+π2) .…….画出图象.设关于x的函数F（x）=f（x）-a的零点从小到大依次为x1.x2.x3.…x n.….同理.则a∈(12，1) .F（x）=f（x）-a在区间（2.3）和（3.4）上各有1个零点. 分别为x1.x2.且满足x1+x2=2×3=6.依此类推：x3+x4=2×6=12.x5+x6=2×12=24….x2n-1+x2n=2×3×2n-1．∴当a∈(12，1) .时.x1+x2+…+x2n-1+x2n=6×（1+2+22+…+2n-1）=6× 1−2n=6×（2n-1）.1−2故答案为：6×（2n-1）．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质、等比数列的通项公式与求和公式.考查了数形结合方法、推理能力与计算能力.属于中档题．13.（单选题.5分）若平面中两条直线l1.l2的方向向量分别是a⃗ . b⃗⃗ .则l1 || l2是a⃗ || b⃗⃗的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：A【解析】：平面中两条直线l1.l2的方向向量分别是a⃗ . b⃗⃗ .可得l1 || l2⇒ a⃗ || b⃗⃗ .反之不成立.可能重合．【解答】：解：平面中两条直线l1.l2的方向向量分别是a⃗ . b⃗⃗ .则l1 || l2⇒ a⃗ || b⃗⃗ .反之不成立.可能重合．∴l1 || l2是a⃗ || b⃗⃗的充分不必要条件．故选：A．【点评】：本题考查了线面位置关系、平面向量的性质、简易逻辑的判定方法.考查了推理能力与计算能力.属于基础题．14.（单选题.5分）若定义域为R的奇函数y=f（x）有反函数y=f-1（x）.那么必在函数y=f-1（x+1）图象上的点是（）A.（-f（t-1）.-t）B.（-f（t+1）.-t）C.（-f（t）-1.-t）D.（-f（t）+1.-t）【正确答案】：C【解析】：由f（-t）=-f（t）得f-1（-f（t））=-t.再由函数图象的平移规律得出答案．【解答】：解；∵f（x）定义在R上的奇函数.∴f（-t）=-f（t）.∴f-1（-f（t））=-t.即（-f（t）.-t）在y=f-1（x）的图象上.∵y=f-1（x+1）图象是由y=f-1（x）的图象向左平移1个单位得到的.∴（-f（t）-1.-t）在y=f-1（x+1）图象上．故选：C．【点评】：本题考查了奇函数、反函数的性质及函数图象变换.利用互为反函数的函数图象关系是关键．15.（单选题.5分）已知数列{a n}的通项公式为a n= 1n(n+1)（n∈N*.其前n项和S n= 910.则双曲线x2 n+1 - y2n=1的渐近线方程为（）A. y=±2√23xB. y=±3√24xC. y=±3√1010xD. y=±√103x【正确答案】：C【解析】：根据数列{a n}的通项利用裂项求和算出S n.代入题中解出n=9.可得双曲线的方程为x2 10−y29=1 .再用双曲线的渐近线方程的公式即可算出该双曲线的渐近线方程．【解答】：解：∵数列{a n}的通项公式为a n=1n(n+1)(n∈N∗) .∴ a n=1n −1n+1.可得S n=(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)+(1n−1n+1)=910即1- 1n+1 = 910.解之得n=9．∴双曲线的方程为x210−y29=1 .得a= √10 .b=3因此该双曲线的渐近线方程为y= ±ba x .即y=±3√1010x．故选：C．【点评】：本题给出数列的前n项和.求项数n并求与之有关的双曲线渐近线方程．着重考查了数列的通项与求和、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识.属于中档题．16.（单选题.5分）已知定义在[0.+∞）上的函数f（x）满足f（x+2）=f（x）+x.且当x∈[0.2）时.f（x）=x-8.则f（93）=（）A.2019B.2109C.2190D.2901【正确答案】：B【解析】：有f（x+2）=f（x）+x得f（x+2）-f（x）=x.利用累加法进行求解即可得到结论．【解答】：解：由f（x+2）=f（x）+x得f（x+2）-f（x）=x.则f（3）-f（1）=1.f（5）-f（3）=3.f（7）-f（5）=5.….f（93）-f（91）=91.=2116.两边同时相加得f（93）-f（1）=1+3+5+…+91= (1+91)×462∴f（93）=f（1）+2116.∵当x∈[0.2）时.f（x）=x-8.∴f（1）=-7.则f（93）=f（1）+2116=-7+2116=2109.故选：B．【点评】：本题主要考查函数值的计算.根据条件.利用累加法进行求解是解决本题的关键．17.（问答题.14分）已知递增的等差数列{a n}的首项a1=1.且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）设数列{b n}满足b n=2a n+（-1）n a n.T n为数列{b n}的前n项和.求T2n．【正确答案】：【解析】：（1）由已知列式求得公差.代入等差数列的通项公式得答案；（2）把数列{a n}的通项公式代入b n=2a n+（-1）n a n.分组后利用等差数列与等比数列前n项和公式求解．【解答】：解：（1）由题意可得.d＞0.a1=1.且a1a4=a22 .即a1(a1+3d)=(a1+d)2 .解得d=1．∴a n=a1+（n-1）d=n；（2）b n=2a n+（-1）n a n=2n+（-1）n n．则T2n=(21+22+⋯+22n)+ [-1+2-3+4-…-（2n-1）+2n]= 2(1−22n)1−2+n =22n+1+n-2．【点评】：本题考查等差数列的通项公式.考查等比数列的性质.训练了等差数列与等比数列前n项和的求法.是中档题．18.（问答题.14分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2 √3 cos2x- √3 .x∈R．（1）求函数y=f（-3x）+1的最小正周期和单调递减区间；（2）已知△ABC中的三个内角A.B.C所对的边分别为a.b.c.若锐角A满足f（A2 - π6）= √3 .且a=7.sinB+sinC= 13√314.求b.c的长．【正确答案】：【解析】：（1）利用三角恒等变换化简f（x）.求出y=f（-3x）+1的解析式.再求y的最小正周期和单调减区间；（2）根据题意求出A的值.再利用正弦定理和余弦定理求出b、c的值．【解答】：解：（1）∵ f(x)=2sinxcosx+√3(2cos2x−1)=sin2x+ √3 cos2x=2sin（2x+ π3）；…（2分）∴y=f（-3x）+1=2sin（-6x+ π3）+1=-2sin（6x- π3）+1；∴y=f（-3x）+1的最小正周期为T=2π6=π3；…（3分）由2kπ−π2≤6x−π3≤2kπ+π2得：1 3kπ−π36≤x≤13kπ+5π36.k∈Z.∴y=f（-3x）+1的单调递减区间是[1 3kπ−π36，13kπ+5π36] .k∈Z；…（6分）（2）∵ f(A2−π6)=√3 .∴ 2sin(A−π3+π3)=√3 .∴ sinA=√32.…（7分）∵ 0＜A＜π2 .∴ A=π3；由正弦定理得：sinB+sinC=b+casinA .即13√314=b+c7×√32.∴b+c=13；…（9分）由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA得：a2=（b+c）2-2bc-2bccosA.即49=169-3bc.∴bc=40；…（11分）解得b=5.c=8或b=8或c=5．…（12分）【点评】：本题考查了正弦定理和余弦定理的应用问题.也考查了三角恒等变换的应用问题.是综合性题目．19.（问答题.14分）某饮料生产企业为了占有更多的市场份额.拟在2013年度进行一系列促销活动.经过市场调查和测算.饮料的年销售量x万件与年促销费t万元间满足x= 3t+1t+1.已知2013年生产饮料的设备折旧、维修等固定费用为3万元.每生产1万件饮料需再投入32万元的生产费用.若将每件饮料的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和.则该年生产的饮料正好能销售完．（1）将2013年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数；（2）该企业2013年的年促销费投入多少万元时.企业的年利润最大？（注：利润=销售收入-生产成本-促销费.生产成本=固定费用+生产费用）【正确答案】：【解析】：（1）确定饮料的售价.即可通过x 表示出年利润y.化简代入整理即可求出y 万元表示为促销费t 万元的函数；（2）根据已知代入（1）的函数.分别进行化简.利用关于t 的方程必须有两正根建立关系式.可求出最值.即促销费投入多少万元时.企业的年利润最大．【解答】：解：（1）当年销量为x 万件时.成本为3+32x （万元）． 饮料的售价为3+32x x ×150%+ 12 × tx（万元/万件） 所以年利润y=（3+32x x ×150%+ 12 × tx）x-（3+32x+t ）（万元） 把x= 3t+1t+1 代入整理得到y=−t 2+98t+352t+2.其中t≥0．（2）y= −t 2+98t+352t+2 .去分母整理得到：t 2+2（y-49）t+2y-35=0．该关于t 的方程在[0.+∞）上有解． 当2y-35≤0.即y≤17.5时.必有一解． 当2y-35＞0时.该关于t 的方程必须有两正根所以 {4(y −49)2−4(2y −35)≥0−2(y −49)＞02y −35＞0解得：17.5＜y≤42．综上.年利润最大为42万元.此时促销费t=7（万元）． 所以当促销费定在7万元时.企业的年利润最大．【点评】：本小题主要考查函数模型的选择与应用、方程根的分布等基础知识.考查学生分析问题和解决问题的能力.强调对知识的理解和熟练运用.属于中档题．20.（问答题.16分）设数列{a n }的前n 项和为S n .对任意n∈N *.点 (n ，Snn ) 都在函数 f (x )=x +a n2x的图象上． （1）求a 1.a 2.a 3.归纳数列{a n }的通项公式（不必证明）．（2）将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项、5项循环地分为（a 1）.（a 2.a 3）.（a 4.a 5.a 6）.（a 7.a 8.a 9.a 10）.（a 11.a 12.a 13.a 14.a 15）.（a 16）.（a 17.a 18）.（a 19.a 20.a 21）.….分别计算各个括号内各数之和.设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为{b n }.求b 6+b 100的值． （3）设A n 为数列 {a n −1a n} 的前n 项积.若不等式 A n √a n +1＜f (a )−a n +32a对一切n∈N *都成立.其中a ＞0.求a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求得S n =n 2+ 12 a n .分别令n=1.2.3.进而归纳出数列{a n }的通项公式；（2）写出几个循环数.可得每一次循环记为一组.由每一个循环含有5个括号.故b 100是第20组中第5个括号内的数之和.每一个循环中含有15个数.20个循环具有300个数.计算可得所求和；（3）由题意可得原不等式即为（1- 1a 1 ）（1- 1a 2 ）…（1- 1a n） √2n +1 ＜a- 32a对一切n∈N *都成立.设g （n ）=（1- 1a 1 ）（1- 1a 2 ）…（1- 1a n） √2n +1 .则只需g （n ）max ＜a- 32a.判断数列g （n ）的单调性.可得最大值.解不等式即可得到所求a 的范围．【解答】：解：（1）由点 (n ，S n n ) 都在函数 f (x )=x +an2x 的图象上. 可得 S n n =n+ a n 2n .即S n =n 2+ 12 a n .当n=1时.a 1=1+ 12a 1.即a 1=2. n=2时.a 1+a 2=4+ 12 a 2.可得a 2=4. n=3时.a 1+a 2+a 3=9+ 12 a 3.可得a 3=6. 由此猜想a n =2n.n∈N*； （2）由a n =2n.n∈N*.将数列{a n }依次按1项、2项、3项、4项、5项循环地分为（2）.（4.6）.（8.10.12）.（14.16.18.20）.（22.24.26.28.30）；（32）.（34.36）.（38.40.42）.….每一次循环记为一组.由每一个循环含有5个括号. 故b 100是第20组中第5个括号内的数之和. 每一个循环中含有15个数.20个循环具有300个数.b 100=（2+4+…+600）-（2+4+…+590）=592+594+596+598+600=2980. 又b 6=32.则b 100+b 6=3012； （3）由a n −1a n =1- 1a n.故A n =（1- 1a 1）（1- 1a 2）…（1- 1a n）.则A n √a n +1 =（1- 1a 1）（1- 1a 2）…（1- 1a n） √2n +1 .又f （a ）-a n +32a =a+ a n 2a - a n +32a =a- 32a. A n √a n +1＜f (a )−a n +32a对一切n∈N *都成立.即为（1- 1a 1）（1- 1a 2）…（1- 1a n） √2n +1 ＜a- 32a对一切n∈N *都成立. 设g （n ）=（1- 1a 1）（1- 1a 2）…（1- 1a n） √2n +1 .则只需g （n ）max ＜a- 32a .由g (n+1)g (n ) =（1- 1a n+1 ）• √2n+3√2n+1= √4n 2+8n+3√4n 2+8n+4 1.即g （n+1）＜g （n ）.可得g （n ）递减.即有g （n ）的最大值为g （1）= √32 . 由a- 32a＞ √32.又a ＞0.可得a ＞ √3 . 可得a 的取值范围是（ √3 .+∞）．【点评】：本题考查数列的通项公式的求法.注意运用归纳法.考查新数列的构造和求和.注意分析规律.考查数列不等式恒成立问题解法.注意运用数列的单调性和转化思想.考查化简整理的运算能力.属于难题．21.（问答题.18分）已知函数h （x ）= mx+n3x 2+27 为奇函数.k （x ）=（ 13 ）|x-m|.其中m 、n∈R ． （1）若函数h （x ）的图象过点A （1.1）.求实数m 和n 的值； （2）若m=3.试判断函数f （x ）= 1ℎ(x ) + 1k (x )在x∈[3.+∞）上的单调性并证明；（3）设函数 g (x )={ℎ(x )，x ≥39k (x )，x ＜3若对每一个不小于3的实数x 1.都恰有一个小于3的实数x 2.使得g （x 1）=g （x 2）成立.求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）运用奇函数的定义可得n=0.再由h （x ）图象经过点（1.1）.解方程可得m ； （2）f （x ）=x+ 9x +3x-3在[3.+∞）递增．运用单调性的定义.结合因式分解和指数函数的单调性.即可得证；（3）求得当x≥3时.g （x ）=h （x ）=mx 3x 2+27 = m3x+27x；当x ＜3时.g （x ）=9k （x ）=9•（ 13）|x-m|．分别讨论m≤0.0＜m ＜3.m≥3.运用基本不等式和单调性.求得m 的范围．【解答】：解：（1）函数h （x ）= mx+n3x 2+27 为奇函数. 可得h （-x ）=-h （x ）.即 −mx+n 3x 2+27 =- mx+n3x 2+27 .则n=0. 由h （x ）的图象过A （1.1）.可得h （1）=1.即 m+n30=1. 解得m=30.n=0；（2）m=3.可得f （x ）=x+ 9x +3x-3.f （x ）在[3.+∞）递增． 理由：设3≤x 1＜x 2.则f （x 1）-f （x 2）=x 1+ 9x 1+3x 1-3-x 2- 9x 2-3x 2-3=（x 2-x 1）•9−x 1x 2x 1x 2+3x 1-3-3x 2-3. 由3≤x 1＜x 2.可得x 2-x 1＞0.x 1x 2＞9.3x 1-3-3x 2-3＜0. 则f （x 1）-f （x 2）＜0.即f （x 1）＜f （x 2）. 可得f （x ）在[3.+∞）递增；（3）当x≥3时.g （x ）=h （x ）= mx3x 2+27 =m 3x+27x；当x ＜3时.g （x ）=9k （x ）=9•（ 13 ）|x-m|． ① m≤0时.∀x 1≥3时.g （x 1）=h （x 1）=m3x 1+27x 1≤0；∀x 2＜3时.g （x 2）=9k （x 2）=9•（ 13 ）|x 2-m|．＞0不满足条件.舍去； ② 当0＜m ＜3时.∀x 1≥3时.g （x 1）=h （x 1）=m3x 1+27x 1∈（0. m18 ].∀x 2＜3时.|x 2-m|≥0.g （x 2）=9k （x 2）=9•（ 13 ）|x 2-m|∈（0.9]. 由题意可得（0. m 18 ]⊆（0.9].可得 m18 ≤9.即m≤162； 综上可得0＜m ＜3；③ 当m≥3时.∀x 1≥3时.g （x 1）=h （x 1）=m3x 1+27x 1∈（0. m18 ].∀x 2＜3时.|x 2-m|＞m-3≥0.g （x 2）=9k （x 2）=9•（ 13 ）|x 2-m|∈（0.9•（ 13 ）m-3）. 由题意可得（0. m18 ]⊆（0.9•（ 13 ）m-3）.可得 m 18＜35-m .可令H （x ）=35-x - x 18.则H （x ）在R 上递减.H （6）=0. m18 ＜35-m .可得m ＜6.即3≤m ＜6. 综上可得0＜m ＜6．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和运用.考查分类讨论思想方法和化简整理的运算能力.属于难题．。
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复旦附中自招题1. 已知a 、b 、c 是一个三角形的三边，则222222444222a c c b b a c b a ---++的值是（ ）A .恒正B .恒负C .可正可负D .非负解：选B222222444222a c c b b a c b a ---++2222224)(c b c b a ---=)2)(2(222222bc c b a bc c b a ---+--=])(][)([2222c b a c b a +---=))()()((c b a c b a c b a c b a --+++--+= ∵a 、b 、c 是一个三角形的三边，∴0>-+c b a ，0>+-c b a ，0>++c b a ，0<--c b a ， ∴0))()()((<--+++--+c b a c b a c b a c b a2. 设m ，n 是正整数，满足mn n m >+，给出以下四个结论：① m ，n 都不等于1；② m ，n 都不等于2；③ m ，n 都大于1；④m ，n 至少有一个等于1，其中正确的结论是（ ）A .①B .②C .③D .④解：选D由mn n m >+得()()111<--n m若m ，n 均大于1，则,11,11≥-≥-n m ()()111≥--n m ，矛盾， ∴m ，n 至少有一个等于1。
3. 已知关于x 的方程a x a x +=+2有一个根为1，则实数a 的值为（ ）A .251+- B .251-- C .251±- D .以上答案都不正确 解：选A将1=x 代入，得12+=+a a ，两边平方，得012=++a a ，251±-=a ， 当251--=a 时，1=x 不是原方程的根，舍 ∴251+-=a 4. 已知a ，b ，c 是不完全相等的任意实数，若c b a x +-=2，c b a y 2-+=，c b a z ++-=2，则关于x ，y ，z 的值，下列说法正确的是（ ）A .都大于0B .至少有一个大于0C .都小于0D .至多有一个大于0解：选B0=++z y x ，若x ，y ，z 均小于0，则0<++z y x ，矛盾； 故至少有一个大于0。
5. 已知a ，b ，c 不全为无理数，则关于三个数b a +，c b +，a c +，下列说法错误的是（ ）A .可能均为有理数B .可能均为无理数C .可能恰有一个为有理数D .可能恰有两个为有理数解：选D若c b a ,,均为有理数，A 正确； 若2=a ，3=b ，0=c ，B 正确； 若2=a ，2-=b ，0=c ，C 正确;6. 关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=--+-+=--0)12()2(0)2)((22y x y x y x y x 的实数解有（ ） A .1组 B .2组 C .3组 D .4组解：选A由①得0=-y x 或02=-y x ， 由②得02=-+y x 且012=--y x ， ∴只有⎩⎨⎧==11y x 一组解。
7. 为了得到函数23x y =的图像，可以将函数1632+--=x x y 的图像（ ）A .先关于x 轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位B .先关于x 轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位C .先关于y 轴对称，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位D .先关于y 轴对称，再向右平移1个单位，最后向下平移4个单位解：选A由于两个函数二次项系数为相反数，故先关于x 轴对称，得到1632-+=x x y ，即()4132-+=x y ，再向右平移1个单位，最后向上平移4个单位，得到23x y =。
8. 若关于x 的方程a b x =--2有四个实数解，则化简bba ab a b a b a b a ++--+++的结果是（ ） A .2- B .0 C .2 D .4x解：选C画出b x y --=2和a y =的函数图像， ∵有四个交点，∴ b a <<0， ∴21111=++-=++--+++bba ab a b a b a b a 方法二：∵a b x =--2，∴a b x =--2或a b x -=--2， ∴b a x +=-2或a b x -=-2， ∵原方程有四个实数解，∴0>a ，0>+b a ，0>-a b ， ∴0>b ，∴原式21111=++-=9. 如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是（ ）A .10≤≤mB .43≥m C .143≤<m D .143≤≤m 解：选C设022=+-m x x 的两根为1x ，2x ，则⎪⎩⎪⎨⎧≥∆<->+0112121x x x x 解得143≤<m 。
10. 用同样大小的一种正多边形平铺整个平面（没有重叠），有几种正多边形可以铺满整个平面而不留缝隙？（ ）.A 2 种 .B 3种 .C 4种 .D 5种解：选B关键是看正多边形的内角和，如果围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角之和恰是一个周角，则可以铺满整个平面而不留缝隙，只有正三角形、正四边形和正六边形可以。
11. 已知对于满足：3<-b a ，4<-c b 的实数c b a ,,，均有k c b a <--2恒成立，则实数k 的最小值为 （ ）.A 7 .B 8 .C 9 .D 10解：选D7<-+-<-+-=-c b b a c b b a c a102<-+-<--c a b a c b a ，所以k 最小是1012. 设1)(234+-+-=x x x x x f ，则关于)(x f 的性质，正确的一项为 （ ）.A 对任意实数x ，)(x f 总是大于0 .B 对任意实数x ，)(x f 总是小于0 .C 当0>x 时，0)(≤x f .D 以上均不对解：选A222234)1()1(1)(x x x x x x x x x f +++-=+-+-=恒大于013. 已知实数c b a ,,满足0>>b a ，且0=++c b a ，抛物线02=++=c bx ax y 在x 轴上截得线段长度为l ，则l 的取值范围为 （ ）.A 10<<l .B 20<<l .C 32<<l .D 43<<l 解：选C22212212144)(aacb x x x x x x -=-+=- ∵ 0>a ，)(c a b +-= ∴aca c a a acb a ac b -=-=-=-144222∵ )(b a c +-= ∴ aba c +=-21，∴ 3221<-<x x 14. 已知实数y 、x 满足：062,033=-+=--y y y x 。
则2y yx-的值为（ ）。
0.A 21.B 1.C 23.D解：选D2y y x-23232633==-++=-=y yy y y yy x . 15. 已知二次函数222-+=ax x y .当自变量x 的取值范围为11≤≤-x ，y 的取值既有正值又有负值。
则实数a 的取值范围为（ ）.21.≥a A 21-.≤a B 21.≥a C 或21-≤a .D 以上答案都不正确解：选D显然，二次函数与x 轴有两个交点，令交点横坐标为2,1x x ，21x x <。
由韦达定理得221-=x x 若1121≤<≤-x x ，则121≤x x 与221-=x x 矛盾，∴0)1()1(<-⋅f f ，∴0221)(221(<-+--）a a ， ∴21>a 或21-<a 经检验当21±=a 时，不符合题意。
16. 已知c b a 、、是互不相等的实数，三个方程02=++b ax x ①；02=++c bx x ②；02=++a cx x ③，①②有公共根p ，②③有公共根q ，③①有公共根r ，则=abc （ ）.1.A 3.-B 1.-C2.D解：将pqr 带入三个方程得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=--=--=c a b a r c b c a q ba b c p ，又由韦达定理得⎪⎩⎪⎨⎧===a qr c pq b pr∴1)(2==pqr abc ，选A17. 甲、乙、丙、丁四个人参加一个比赛，有两个人获奖。
在比赛结果揭晓之前，四个人做了如下猜测 甲：两名获奖者在乙、丙、丁中. 乙：我没有获奖，丙获奖了. 丙：甲、乙两个人中有且只有一个人获奖. 丁：乙说得对.已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，则两名获奖者为（ ）..A 甲 丁 .B 乙 丙 .C 乙 丁 .D 以上都不正确解：选D显然乙、丁同对错① 当甲丙对，乙丁错时，乙丙或乙丁获奖 ② 当甲丙错，乙丁对时，无符合情况18. 如图梯形ABCD 中，CD AB ∥,对角线AC 与BD 交于点K ,点L 为BD 的中点。
已知AKB △、ALD △的面积分别为1218、，则ALC △的面积为（ ）.2118KLAC7.A 9.B 11.C 13.D解：由L 为BD 中点可得21==ALD ALB S S △△，∴3=ALK S △ ∴24=ABl S △,由蝴蝶定理得KAD S △=24=KBC S △∴432418====CBK ABK CLK ALK S S KC AK S S △△△△，∴4=CLK S △ ∴7=ALC S △，选A19. 甲用1000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票转卖给已，获利%10，而后乙又将这手股票反卖给甲，但乙损失了%10，最后甲按乙卖给甲的价格的九折将这手股票卖给了乙，甲在上述股票交易中（ ）.A 甲刚好盈亏平衡 .B 甲盈利1元 .C 甲盈利9元 .D 甲亏本1.1元解：选B甲第一次卖给乙赚了100%101000=⨯元，乙用1100元买入股票， 乙卖给甲乙亏了110%101100=⨯元，甲用990元买入股票，甲第二次卖给乙亏了99%10990=⨯元，故甲总共盈利199100=-元。
20. 对于三个一元二次方程：()()02=-+-+c b x b a x 、()()02=-+-+a c c b x 、()()02=-+-+b a a c x （其中c b a ,,为实数），下列说法错误的是（ ）.A 存在实数c b a ,,，使得恰有一个方程没有实数根 .B 存在实数c b a ,,，使得恰有两个方程没有实数根 .C 存在实数c b a ,,，使得三个方程都没有实数根 .D 存在实数c b a ,,，使得三个方程都有实数根解：选C设三个方程判别式为321,,∆∆∆，则()()b a b a ---=∆421，()()a c c b ---=∆422，()()b a a c ---=∆423，()()()0222321≥-+-+-=∆+∆+∆a c c b b a故三个方程中至少有一个方程有实根。