辽宁省大连市高三第一次模拟考试-数学理

辽宁省大连市高三第一次模拟考试数 学(本试卷满分150分，考试时间120分钟)参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ). 如果事件A ，B 相互独立，那么P (A ·B )＝P (A )·P (B ). 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n (k )＝C k n p k (1－p )n －k.球的表面积公式S ＝4πR 2(其中R 表示球的半径).球的体积公式V ＝43πR 3(其中R 表示球的半径).第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设复数z ＝3＋i 2，那么1z等于( )A.12＋32iB.32＋12iC.32－12iD.12－32i 2.已知函数f (x )＝ax 2－x －c ，且f (x )>0的解集为(－2,1)，则函数y ＝f (－x )的图象为( )3.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0－x 2，x <0)的反函数是( )A.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ≥0－x ，x <0) B.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x ≥0－x ，x <0)C.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x2，x ≥0－－x ，x <0) D.y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥0－－x ，x <0)4.若lim x →2 x 2＋ax －2x 2－4＝34，则实数a 的值为( )A.－1B.1C.0D.±15.在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则a 9－13a 11的值为( )A.14B.15C.16D.176.设函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)－1(ω>0)的导数f ′(x )的最大值为3，则f (x )的图象的一条对称轴的方程是( )A.x ＝π9B.x ＝π6C.x ＝π3D.x ＝π27.有限集合S 中元素个数记作card(S )，设A 、B 都为有限集合，则“A ⊆B ”是“card(A )≤card(B )”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件8.设F 为椭圆x 225＋y 216＝1的左焦点，A 、B 、C 为该椭圆上三点，若F A ＋FB ＋FC ＝0，则|F A |＋|FB |＋|FC |的值为( )A.245B.485C.385D.5859.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成一个120°的二面角，点C 到达点C 1，这时异面直线AD 与BC 1所成角的余弦值是( )A.－34B.－34C.34D.3410.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则x ＝S 2n ＋S 22n ，y ＝S n (S 2n ＋S 3n )的大小关系是( ) A.x >y B.x ＝y C.x <y D.不能确定11.如图，正四面体A －BCD 的棱长为a ，点E 、F 分别是棱BD 、BC 的中点，则平面AEF 截该正四面体的内切球所得截面的面积为( )A.πa 224B.πa 288C.πa 248D.πa 23312.已知定圆O 1、O 2的半径分别为r 1、r 2，圆心距|O 1O 2|＝2，动圆C 与圆O 1、O 2都相切，圆心C 的轨迹为如图所示的两条双曲线，两条双曲线的离心率分别为e 1、e 2，则e 1＋e 2e 1e 2的值为( ) A.r 1＋r 2B.r 1和r 2中的较大者C.r 1和r 2中的较小者D.|r 1－r 2|第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.从A 、B 、C 、D 、E 五种不同的种子中，选出三种种子分别在三块不同的土地上试种.若A 必须试种，则试种的方法总数为 .14.若在二项式(x ＋1)n (n >3且n ∈N *)的展开式中任取一项，该项的系数为奇数的概率是1，则在二项式(x ＋1)n －1的展开式中任取一项，该项的系数为奇数的概率是p ，为偶数的概率是q ，那么p －q ＝ .15.若数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n ＋13(n ∈N *)，则a n ＝ .16.设函数f (x )＝log 12x ，给出下列四个命题：①函数f (|x |)为偶函数；②若|f (a )|＝|f (b )|其中a >0，b >0，a ≠b ，则ab ＝1；③函数f (－x 2＋2x )在(1,2)上为单调增函数；④若0<a <1，则|f (1＋a )|<|f (1－a )|.则正确命题的序号是 (把正确命题的序号都写上).三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos(－x )[sin(π－x )＋sin(3π2＋x )]＋1，x ∈R.(Ⅰ)求函数f (x )的单调减区间；(Ⅱ)求函数f (x )在区间[π8，3π4]上的最小值和最大值.18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，AA 1＝2AB ，∠BAC ＝90°. (Ⅰ)在侧棱BB 1上找一点D ，使得BC 1⊥AD ，并说明理由； (Ⅱ)若点D 满足条件(Ⅰ)，求二面角A －DC 1－C 的大小.19.(本小题满分12分)据某地气象部分统计，该地区每年最低气温在－2℃以下的概率为 13，设ξ为该地区从2005年到2010年最低气温在－2℃以下的年数. (Ⅰ)求ξ的期望和方差；(Ⅱ)求该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在－2℃以下的概率；(Ⅲ)求ξ＝3，且在2007年首次遇到最低气温在－2℃以下的概率.20.(本小题满分12分)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2－2x .(Ⅰ)过点(0，－1)作曲线y ＝f (x )的切线，求切线方程；(Ⅱ)若m >1，且过点(m ，n )只能作出曲线y ＝f (x )的一条切线.求证：n >m －1或n <f (m ).21.(本小题满分12分) 已知曲线C ：4x 2－y |y |＝1.(Ⅰ)若直线l ：y ＝2x ＋m 与曲线C 只有一个公共点，求实数m 的取值范围；(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA ·OB <13(其中O为原点)，求实数k 的取值范围.22.(本小题满分14分)已知c 为正实数，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1c ＋a n(n ∈N *).(Ⅰ)证明：1c ＋1≤a n ≤1(n ∈N *)(Ⅱ)t 是满足t ＝1c ＋t的正实数，记b n ＝|a n －t |(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n .证明：S n ≤|t n －1|(n ∈N *)(Ⅲ)若c ＝32，记d n ＝1a n ＋2(n ∈N *)，求数列{d n }的前n 项和T n .辽宁省大连市高三第一次模拟考试1.C 【解析】据已知得：1z ＝23＋i＝2(3－i)4＝3－i 2，故选C.2.D 【解析】据题意知1，－2是不等式对应的方程ax 2－x －c ＝0的两根，故有ax 2－x －c ＝a (x ＋2)(x －1)，即ax 2－x －c ＝ax 2＋ax －2a 对应系数相等得：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1c ＝2a ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1c ＝－2，即f (x )＝－x 2－x ＋2，因此f (－x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x ＋1)(x －2)，对照各选项只有D 符合.3.C 【解析】本题考查分段函数反函数的求法.当x ≥0时，由y ＝2x 得y ≥0且x ＝y2，故在此段上的反函数为f －1(x )＝x 2(x ≥0)，当x <0时，得y ＝－x 2且x ＝－－y ，故在此段上的反函数为 f －1(x )＝－－x (x <0)，因此原分段函数的反函数为f－1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2(x ≥0)－－x (x <0)).4.A 【解析】由于已知函数在x ＝2处存在极限，故必有x 2＋ax －2＝(x －2)(x ＋α)，即lim x →2 x 2＋ax －2x 2－4＝lim x →2 (x －2)(x ＋α)x 2－4＝lim x →2 x ＋αx ＋2＝2＋α4＝34⇒α＝1，因此x 2＋ax －2＝(x －2)(x ＋1)，展开利用对应系数相等得：a ＝－1.5.C 【解析】利用基本量法解答本题.设等差数列首项为a 1，公差为d ，据已知得：5a 8＝120⇒a 8＝24，故a 9－13a 11＝a 1＋8d －13(a 1＋10d )＝23a 1＋143d＝23(a 1＋7d )＝23a 8＝23×24＝16，故选C. 6.A 【解析】据已知得： f ′(x )＝ωcos(ωx ＋π6)≤ω＝3，因此f (x )＝sin(3x ＋π6)－1，由于－2≤f (x )≤0且f (π9)＝sin(3×π9＋π6)－1＝0，据对称轴的意义可知x ＝π9是函数图象的一条对称轴. 7.A 【解析】由集合概念易知当集合A 是集合B 的子集时，集合A 中元素的个数小于或等于集合B 中元素的个数，若集合A 中元素的个数小于或等于集合B 中元素的个数，则两集合的关系不确定，故选A.8.B 【解析】本题考查椭圆焦半径公式的应用.设椭圆上的三点A ，B ，C 坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，(x C ，y C )，由F A ＋FB ＋FC ＝(x A ＋3，y A )＋(x B ＋3，y B )＋(x C ＋3，y C ) ＝(x A ＋x B ＋x C ＋9，y A ＋y B ＋y C )＝(0,0)，故有x A ＋x B ＋x C ＋9＝0，即x A ＋x B ＋x C ＝－9， 由椭圆焦半径公式得：|F A |＋|FB |＋|FC |＝e (x A ＋x B ＋x C )＋3a ＝35×(－9)＋3×5＝485. 9.D 【解析】如图取BD 的中点E ，连接AE ，C 1E ，则易证∠AEC 1为二面角A －BD －C 1的平面角，在三角形AEC 1中，由AE ＝EC 1＝22a ，∠AEC 1＝120°得：AC 1＝62a ，由平面向量得：AC 1＝AD ＋DB ＋BC 1，故|AC 1|2＝(AD ＋DB ＋BC 1)2＝2a 2cos 〈AD ，BC 1〉＝(62a )2 ⇒cos 〈AD ，BC 1〉＝34，故两异面直线所成角的余弦值为34.10.B 【解析】当等比数列公比q ＝1时，x ＝S 2n ＋S 22n ＝5n 2a 21， y ＝S n (S 2n ＋S 3n )＝5n 2a 21，此时x ＝y ，当q ≠1时，由等比数列性质：S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n成等比数列，即(S 2n －S n )2＝S n ×(S 3n －S 2n )，整理即得： S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )，即x ＝y ，故选B.11.D 【解析】如图作出正四体的高AN 交底面三角形CD 边上的高于N ，BN 交EF 于点M ，则易证平面AEF 与平面AMN 互相垂直，且交线为AM ，球心在AN 上，利用面面垂直的性质过点O 作OP 垂直AM 于点E ，则OP 即为球心到被平面AEF 截内切球所得截面的距离，球心到截面距离确定后，截面圆的半径即可确定，从而截面圆面积可求.12.B 【解析】本题考查双曲线定义的应用；由已知若动圆与两定圆都相外切或都相内切时，动圆圆心C 满足：||CO 1|－|CO 2||＝|r 1－r 2|，即此时动圆圆心C 的轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线，其中2a ＝|r 1－r 2|，2c ＝|O 1O 2|，此时e 1＝2|r 1－r 2|，若动圆圆心与两定圆一圆相外切，另一圆相内切时， 动圆圆心C 满足：||CO 1|－|CO 2||＝|r 1＋r 2|，即此时动圆圆心C 的轨迹是以O 1，O 2为焦点的双曲线，其中2a ＝|r 1＋r 2|,2c ＝|O 1O 2|，此时e 1＝2|r 1＋r 2|，因此e 1＋e 2e 1·e 2＝1e 2＋1e 1＝|r 1＋r 2|2＋|r 1－r 2|2＝⎩⎪⎨⎪⎧r 1(r 1≥r 2)r 2(r 2<r 2)，故选B. 13.36 【解析】据题意先从B ，C ，D ，E 选2种种子和A 种种子共3种在三块不同的地上试种，故共有C 24A 33＝36种不同的试种方法.14.1n【解析】据题意可知n 为奇数，故在(x ＋1)n －1展开式中的n 项系数中，其中系数为奇数的项共有n ＋12项，其概率为p ＝n ＋12n ，同理q ＝n －12n ，故p －q ＝n ＋12n －n －12n ＝1n.15.a n＝⎩⎪⎨⎪⎧ 23(n ＝1)13n(n ≥2)) 【解析】注意适当赋值解答.据题意由a 1＋3a 2＋…＋3n －1a n ＝n ＋13，得当n ≥2时有：a 2＋3a 2＋…＋3n －2a n －1＝n 3，两式相减得：3n －1a n ＝13⇒a n ＝13n (n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝23，故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧23(n ＝1)13n(n ≥2)).【易错警示】本题易忽视数列定义域n 的限制条件n ≥2时才有a 1＋3a 2＋…＋3n －2a n －1＝n 3，而错将通项公式误写为：a n ＝13n . 16.①②③④ 【解析】①由偶函数的定义可知命题正确；②由|f (a )|＝|f (b )|⇔|log 12a |＝|log 12b |，两边平方得：(log 12a )2－(log 12b )2＝(log 12a ＋log 12b )(log 12a －log 12b )＝log 12ab ×log 12a b＝0，由于a ≠b ，故log 12ab ＝0⇒ab ＝1，故②正确；③由于f (－x 2＋2x )的定义域为(0,2)，由复合函数的单调性原则只需确定u (x )＝－x 2＋2x 在(0,2)上的单调递减区间即为函数f (－x 2＋2x )的递增区间，易知u (x )＝－x 2＋2x 在(0,2)上的单调递减区间为(1,2)，即原函数的递增区间为(1,2)，故③正确；④由于0<a <1时，1＋a >1,1－a <1，故 |log 12(1＋a )|＝－log 12(1＋a )，|log 12(1－a )|＝－log 12(1－a )，故 |log 12(1－a )|－|log 12(1＋a )|＝log 12(1－a )＋log 12(1＋a ) ＝log 12(1－a 2)，由于0<1－a 2<1，故|log 12(1－a )|－|log 12(1＋a )|＝log 12(1－a 2)<0⇒|log 12(1－a )|<|log 12(1＋a )|，故④正确.17.解：(Ⅰ)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＋1＝sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π4) (3分)∴函数f (x )的单调减区间满足2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋32π，k ∈Z即k π＋38π≤x ≤k π＋78π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调减区间为[k π＋38π，k π＋78π]，k ∈Z (6分)(Ⅱ)当x ∈[π8，3π4]时，2x －π4∈[0，5π4]， (8分)∴当2x －π4＝5π4，即x ＝3π4时，函数取最小值为2sin 5π4＝－1， (10分)当2x －π4＝π2，即x ＝3π8时，函数取最大值为2sin π2＝ 2. (12分)18.解：(Ⅰ)D 点满足4BD ＝BB 1 (1分) 证明如下：连接BA 1∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱 ∴面A 1B 1C 1⊥面ABB 1A 1 又∵∠BAC ＝90°，∴C 1A 1⊥A 1B 1∴C 1A 1⊥面ABB 1A 1'∴C 1A 1⊥BA 1 (2分)由AA 1＝2AB,4BD ＝BB 1得AB BD ＝AA 1AB＝2∴△A 1AB ∽△ABD ，∴AD ⊥A 1B 又∵A 1B ∩A 1C 1＝A 1∴AD ⊥面A 1BC 1'∴BC 1⊥AD (4分) 由以上证明可知D 点唯一存在. (注)也可以用三垂线定理证明.(Ⅱ)(方法一)过A 作AO ⊥BC 于O ，∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AO ⊥面BCC 1B 1， (5分)设AB ＝a ，可得AO ＝22a ， (6分)过O 作OE ⊥DC 1于E ，连接AE ，由三垂线定理可得∠AEO 为二面角A －DC 1－C 的平面角， (8分) 连接OC 1、OD ，∵S △ODC 1＝S 矩形BCC 1B 1－S △BOD －S △DB 1C 1－S △OCC 1＝22a －28a －324a －22a ＝528a＝12×DC 1×OE ＝174a ×OE ∴OE ＝53434a (10分)∴tan ∠AEO ＝AO OE ＝175，∴二面角A －DC 1－C 的大小为arctan 175. (12分)(方法二)过A 作AO ⊥BC 于O ， ∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱， ∴AO ⊥面BCC 1B 1， (5分)设AB ＝a ，可得AO ＝22a (6分)过A 作AE ⊥DC 1于E ，连接EO ，由三垂线定理逆定理可得∠AEO 为二面角A －DC 1－C 的平面角，(8分)在△ADC 1中，AD ＝5a 2，AC 1＝5a ，DC 1＝17a2，∴cos A ＝54＋5－1745＝25，∴sin A ＝215，∴AE ＝52×5×215172a ＝2117a ， (10分)∴sin ∠AEO ＝AO AE ＝71442，∴二面角A －DC 1－C 的大小为arcsin 71442. (12分)19.解：(Ⅰ)将每年的气温情况看做一次试验，则遇到最低气温在－2℃以下的概率为13，且每次实验结果是相互独立的，故ξ～B (6，13) (2分)所以Eξ＝6×13＝2，Dξ＝6×13×23＝43(4分)(Ⅱ)该地区从2005年到2010年至少遇到一次最低气温在－2℃以下的事件A 的对立事件为：6年都不遇到最低气温在－2℃以下，所以P (A )＝1－P (ξ＝0)＝1－(23)6＝665729(8分)(Ⅲ)设ξ＝3，且在2007年首次遇到最低气温在－2℃以下的事件为B ，则P (B )＝(23)2×13×C 23×(13)2×23＝8243(12分)20.解：(Ⅰ)曲线y ＝f (x )在(a ， f (a ))处的切线方程为： y ＝f ′(a )(x －a )＋f (a )即y ＝(－3a 2＋6a －2)(x －a )－a 3＋3a 2－2a (2分)∵(0，－1)在切线上，∴2a 3－3a 2＋1＝0，解得a ＝1或a ＝－12，∴过点(0，－1)作曲线y ＝f (x )的切线方程为y ＝x －1和y ＝－234x －1 (4分)(Ⅱ)∵(a ， f (a ))处的切线y ＝(－3a 2＋6a －2)(x －a )－a 3＋3a 2－2a 过(m ，n )点， 代入化简可得：2a 3－(3m ＋3)a 2＋6ma －2m －n ＝0构造三次函数g (a )＝2a 3－(3m ＋3)a 2＋6ma －2m －n (6分) ∴g ′(a )＝6a 2－6(m ＋1)a ＋6m ＝6(a －1)(a －m ) (7分)∴g (a )＝0只有一个根，要使g (a )＝0只有一个根， 由g (a )单调性以及在R 上的三次函数值域为R ，只需要g (a )的极大值m －n －1<0即n >m －1，或者g (a )的极小值－m 3＋3m 2－2m －n >0即n <f (m ). (12分)21.解：(Ⅰ)曲线为双曲线4x 2－y 2＝1的上半部分(含与x 轴交点)和椭圆4x 2＋y 2＝1的下半部分构成，图象如图所示， (2分)双曲线渐近线为y ＝±2x ，直线y ＝2x ＋m 与双曲线的一条渐近线平行，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋m 4x 2－y 2＝1得4mx ＋m 2＋1＝0，可得m ≠0时，直线与完整的双曲线只能有一个交点；联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m 4x 2＋y 2＝1得8x 2＋4mx ＋m 2－1＝0，由Δ＝0解得m ＝－2时直线与椭圆下半部分相切； (4分) 综上可得：当m ≥1时，直线与双曲线有一个交点； 当0≤m <1时，直线只与椭圆有一个交点；当－1<m <0时，直线与双曲线和椭圆各有一个交点； 当－2<m ≤－1时，直线与椭圆有二个交点； 当m ＝－2时，直线只与椭圆有一个交点；所以实数m 的取值范围为m ＝－2或m ≥0 (6分)(Ⅱ)直线l ：y ＝kx ＋1与曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，由题可得只能交双曲线上半部分于A 和B 两点 (8分)联立l ：y ＝kx ＋1与4x 2－y 2＝1可得：(4－k 2)x 2－2kx －2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题可得－2<k <2， (10分)又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝1，由OA ·OB <13可得x 1x 2＋y 1y 2<13，解得k 2>1， 所以－2<k <－1或1<k <2. (12分)22.证明：(Ⅰ)①当n ＝1时，∵c >0，a 1＝1，∴1c ＋1≤a 1≤1， (2分) ②假设n ＝k 时，有1c ＋1≤a k≤1， 则1c ＋1＋c ≤a k ＋c ≤1＋c ，∴1c ＋1≤1a k ＋c ≤c ＋1c 2＋c ＋1≤1， 即n ＝k ＋1时不等式也成立.∴1c ＋1≤a n ≤1，(n ∈N *) (4分) (Ⅱ)由t ＝1c ＋t，c >0，可得t ≠1， 由a n ＋1＝1c ＋a n ，t ＝1c ＋t得 a n ＋1－t ＝1c ＋a n －1c ＋t ＝t －a n (c ＋a n )(c ＋t )，(n ∈N *) (5分) ∴|a n ＋1－t |＝|a n －t |(c ＋a n )(c ＋t )＝ta n ＋1|a n －t |≤t |a n －t | ≤t 2|a n －1－t |≤…≤t n |1－t |，(n ∈N *)又|a 1－t |＝|1－t |，∴|a n －t |≤t n －1|1－t |，(n ∈N *)， (7分)∴S n ≤|1－t |(1＋t ＋t 2＋…＋t n －1)＝|t n －1|. (8分)(Ⅲ)∵c ＝32，∴a n ＋1＝132＋a n， ∴a n ＋1＋2＝132＋a n ＋2＝2(a n ＋2)32＋a n， ∴1a n ＋1＋2＝－14(a n ＋2)＋12， (10分) ∴d n ＋1＝－d n 4＋12，(n ∈N *)， ∴d n ＋1－25＝－14(d n －25)(n ∈N *)， ∴{d n －25}是首项为d 1－25＝－115， 公比为－14的等比数列， (12分) ∴d n －25＝－115(－14)n －1， 即d n ＝25－115(－14)n －1(n ∈N *) ∴T n ＝2n 5－475＋475(－14)n .(n ∈N *) (14分) 综评：试题难度较大，首先选择题和填空题本身就有一定难度，选择题从第8题开始就加大难度，这对考生的速度和准确率就是一个考验，相对来说解答题难度较为平淡，总之本份试题给考生一个信号：就是在复习过程中要提高复习的效率和解题的速度，要知道没有效率的复习是无效的复习.。