九年级数学中考专题(空间与图形)-第五讲《三角形(一)》课件(北师大版)
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北师大版九年级下册1.4解直角三角形课件
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
我们已知三角形的三边， 需要求角.直角三角形三边与 它的角有什么关系呢？它们通 过什么可以联系起来？
A
？
b5
C
c？
15 ？
a
B
讲授新课
例1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所 对的边分别为a，b，c，且a= 15 ，b= 5 ，求这个三角 形的其他元素.
解：在Rt△ABC中， ∠C=90°， A
∠B=25° ，∴ ∠A=65°.
？
sin B = b ，b = 30，
c
c
=
b sin B
=
sin3205°
71.
b 30 C
c？
25°
a？ B
tan
B
=
b ，b a
=
30， a
=
b tan
Bபைடு நூலகம்
=
tan3025°
64.
讲授新课
思考4：例2中已知元素是一锐角与一直角边，如 果已知的是一锐角与斜边，能解直角三角形吗？
思考5：已知元素是两锐角，能解直角三角形吗？ A
65°
c？ b？
25°
C
a？ B
小结：解直角三角形最少需除直角外的两个元 素，且这两个元素中至少有一条边.
巩固练习
➢ 随堂练习 在Rt△ABC中， ∠C=90°， ∠A，∠B，∠C所
对的边分别为a，b，c，根据下列条件求出直角三角形 的其他元素（结果精确到1°）:
北师大版初三数学9年级下册 第1章(直角三角形的边角关系)1.6 三角函数的应用 课件(20张)
课堂操练
4.如图所示，一艘船向正北航行，在 A 处看到灯塔 S 在船的北偏东 30°的 方向上，航行 12 海里到达 B 点，在 B 处看到灯塔 S 在船的北偏东 60°的 方向上，此船继续沿正北方向航行过程中距灯塔 S 的最近距离是______海 里．（不作近似计算）
课堂操练
5.如图所示，一艘船由 A 港沿北偏东 60°方向航行 20 km 至 B 港，然后 再沿北偏西 30°方向航行 20 km 至C 港． （1）求 A，C 两港之间的距离（结果保留根号）； （2）确定 C 港在 A 港什么方向（求出方位角）？
，cos 42°≈ ，tan 42°≈ ）
中考在线
解析：过C作CE⊥AB于E，DF⊥AB交AB的延长线于F，则CE∥DF，
∵AB∥CD，∴四边形CDFE是矩形， ∴EF＝CD＝120，DF＝CE， 在Rt△BDF中，∵∠BDF＝32°，BD＝80， ∴DF＝cos32°·BD＝80× ≈68，
中考在线
合作探究
探究：如图所示，小明想测量塔 CD 的高度，他在 A 处仰望塔顶，测得仰 角为 30°，再往塔的方向前进 50 m 到 B 处，测得仰角为 60°，那么该塔 有多高？(小明的身高忽略不计，结果精确到 1 m)
合作探究
思考：（1）在该图形中，30°角位于 Rt△____ 中，60°角位于 Rt△____ 中 ，线段_____ 同时位于两个直角三角形中． （2）在 Rt△BCD 中，用 BC 边表示 CD 边为：CD＝______；在 Rt△ACD 中，用 AC 边表示 CD 边为 ：CD＝______． （3）根据题意，你可以列出一个怎样的等式：______． （4）通过计算可知，该塔的高度约为________米．（结果精确到整数位）
北师大版九年级数学下册 (三角函数的应用)直角三角形的边角关系课件
则火箭在这n秒中上升的高度是 (20 3-20)
员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之
间的距离是________．
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝
90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，
AB
1000
∴BC =
=
= 1000 3 ( m) .
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知
求此时小明一家离岸边的距离是多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 64°≈0.9,
cos 64°≈0.4,tan 64°≈2.1,sin 44°≈0.7,cos 44°≈0.7,tan 44°≈1.0)
解:过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x.
在Rt△ACD中,AD=CD·tan 64°≈2.1x.
偏东60°方向,则这一段河的宽度为 ( B )
A.60( 3+1)米
C.(90-30 3)米
B.30( 3+1)米
D.30( 3-1)米
3.周末,小明一家去东昌湖划船,当船划到湖中C点处时,湖边的路灯A位于点C的北偏西
64°方向上,路灯B位于点C的北偏东44°方向上.已知每两个路灯之间的距离是50米,
在Rt△BCD中,BD=CD·tan 44°≈x.
由题知AB=AD+BD,即2.1x+x=50×2,解得x≈32.
答:此时小明一家离岸边的距离约是32米.
知识点2 仰角、俯角问题
4.(邵阳中考)如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地
面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°,n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,
员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之
间的距离是________．
解析：由题意可知，在Rt△ABC中，∠B＝
90°，∠C＝∠CAD＝30°，AB＝1000m，
AB
1000
∴BC =
=
= 1000 3 ( m) .
tan C tan 30
解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知
求此时小明一家离岸边的距离是多少米?(结果精确到1米,参考数据:sin 64°≈0.9,
cos 64°≈0.4,tan 64°≈2.1,sin 44°≈0.7,cos 44°≈0.7,tan 44°≈1.0)
解:过点C作CD⊥AB于点D,设CD=x.
在Rt△ACD中,AD=CD·tan 64°≈2.1x.
偏东60°方向,则这一段河的宽度为 ( B )
A.60( 3+1)米
C.(90-30 3)米
B.30( 3+1)米
D.30( 3-1)米
3.周末,小明一家去东昌湖划船,当船划到湖中C点处时,湖边的路灯A位于点C的北偏西
64°方向上,路灯B位于点C的北偏东44°方向上.已知每两个路灯之间的距离是50米,
在Rt△BCD中,BD=CD·tan 44°≈x.
由题知AB=AD+BD,即2.1x+x=50×2,解得x≈32.
答:此时小明一家离岸边的距离约是32米.
知识点2 仰角、俯角问题
4.(邵阳中考)如图所示,运载火箭从地面L处垂直向上发射,当火箭到达A点时,从位于地
面R处的雷达测得AR的距离是40 km,仰角是30°,n秒后,火箭到达B点,此时仰角是45°,
北师大版九年级数学上册探索三角形相似的条件第1课时课件
及其判定定理1
知识梳理
课时学业质量评价
3. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝6， D 为 AB 上一点，
且 AD ＝2，若在 AC 边上取点 E ，使△ ADE 与△ ABC 类似，则 AE 的长
为
或
.
1
2
3
4
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
知识梳理
2. 定理：两角分别
、三边
相等
成比例
知识梳理
课时学业质量评价
的两个三角形叫做类似三角形.
的两个三角形类似.
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
1. 下列命题中，是真命题的是(
知识梳理
B
)
A. 两个等腰三角形类似
B. 有一个角都是120°的两个等腰三角形类似
C. 两个直角三角形类似
D. 有一个角都是30°的两个等腰三角形类似
课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，连接 DE ， F 为线
段 DE 上一点，且∠ AFE ＝∠ B . 求证：△ ADF ∽△ DEC .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC .
∴∠ C ＋∠ B ＝180°，∠ ADF ＝∠ DEC .
典例精讲
例1 如图4，D，E分别是△ABC 的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.
解：∵ DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形类似）.
知识梳理
课时学业质量评价
3. 如图，在△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC ＝8， BC ＝6， D 为 AB 上一点，
且 AD ＝2，若在 AC 边上取点 E ，使△ ADE 与△ ABC 类似，则 AE 的长
为
或
.
1
2
3
4
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
知识梳理
2. 定理：两角分别
、三边
相等
成比例
知识梳理
课时学业质量评价
的两个三角形叫做类似三角形.
的两个三角形类似.
第1课时 类似三角形的定义
及其判定定理1
1. 下列命题中，是真命题的是(
知识梳理
B
)
A. 两个等腰三角形类似
B. 有一个角都是120°的两个等腰三角形类似
C. 两个直角三角形类似
D. 有一个角都是30°的两个等腰三角形类似
课时学业质量评价
4. 如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 边上一点，连接 DE ， F 为线
段 DE 上一点，且∠ AFE ＝∠ B . 求证：△ ADF ∽△ DEC .
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB ∥ CD ， AD ∥ BC .
∴∠ C ＋∠ B ＝180°，∠ ADF ＝∠ DEC .
典例精讲
例1 如图4，D，E分别是△ABC 的边AB，AC上的点，
DE∥BC，AB=7，AD=5，DE=10，求BC 的长.
解：∵ DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C.
∴△ADE∽△ABC
（两角分别相等的两个三角形类似）.
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系PPT(第1课时)
第十三页，共十七页。
课堂小测
1.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航 行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距
离（即AB的长）.
第十四页，共十七页。
课堂小测
解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km， ∴AD= O1A=2km． 在Rt△AB2D中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
B
所以，这船继续向东航行是安全的.
第九页，共十七页。
A 55°
C
D东
25°
新知探究
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮
所在的B处距离灯塔P有多远（cos25° ≈0.91 , sin34°
北
B
70
西
东
°O
60° C
25° A
南
（3） 南偏西25°：
射线OA
北偏西70°： 射线OB 南偏东60°：
射线OC
第六页，共十七页。
新知探究
方向角问题的实际应用题解法： 直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发
现直角三角形，用三角函数等知识解决问题.
第七页，共十七页。
新课导入
与方向角有关的实际问题
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系 PPT(第1课时)
科 目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第一章 直角三角形的边角关系
课堂小测
1.如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航 行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，求该船航行的距
离（即AB的长）.
第十四页，共十七页。
课堂小测
解：如图，过点A作AD⊥OB于D．
在Rt△AOD中，∵∠ADO=90°，∠AOD=30°，OA=4km， ∴AD= O1A=2km． 在Rt△AB2D中，∵∠ADB=90°，∠B=∠CAB-∠AOB=75°-30°=45°，
B
所以，这船继续向东航行是安全的.
第九页，共十七页。
A 55°
C
D东
25°
新知探究
如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，
到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮
所在的B处距离灯塔P有多远（cos25° ≈0.91 , sin34°
北
B
70
西
东
°O
60° C
25° A
南
（3） 南偏西25°：
射线OA
北偏西70°： 射线OB 南偏东60°：
射线OC
第六页，共十七页。
新知探究
方向角问题的实际应用题解法： 直接或间接把问题放在直角三角形中，解题时应善于发
现直角三角形，用三角函数等知识解决问题.
第七页，共十七页。
新课导入
与方向角有关的实际问题
北师大版九年级数学下册《三角函数的应用》直角三角形的边角关系 PPT(第1课时)
科 目：数学
适用版本：北师大版
适用范围：【教师教学】
第一章 直角三角形的边角关系
北师大版初中九年级下册数学课件第一章直角三角形的边角关系5三角函数的应用PPT模板
CD
解：根据题意可知：BAD 55，CAD 25
tan 550 BD , tan 250 CD ,
x
x
BD x tan 550 ,
CD x tan 250.
B
x tan 550 x0 tan 550 tan 250
20 1.4281 0.4663
α┌
D
C
β
A
翻 折
B
α
D
┌ C
β
A
【课堂小结】
E
B
B
β αA
D
┌
α
CD
β
A
B
B
D aαA β
┌ C
α
D
β
A
翻 折
B
α
D
β
A
【布置作业】
必做：1.课本：P19 想一想 2.课本：P21 习题1.6 4
选做：三角函数在建筑设计、航海、国防、天气预报等方面都有广 泛的应用，请查阅资料，了解“三角学”的发展史及应用.
课堂检测
【快速反应】
为了测量河流某一段的宽度，在河北岸选了一点P，在河南岸选 相距200米的A、B两点，分别测得∠PAB=42°,∠PBA=65°.要求这段河 的宽度，若设河宽PC为x米，可列方程_________________.
x
【典型例题】 ——建筑应用
某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾角由原来的 400减至350,已知原楼梯的长度为4m,调整后的楼梯会加长 多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01m).
仰角、俯角：当从低处观测高处的目标时，视线与水平线所
1
成的锐角称为仰角；当从高处观测低处的目标时，视线与水
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质课件1 (共22张PPT)
←→ BACK
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
北师大版初三数学9年级下册 第1章(直角三角形的边角关系)1.4 解直角三角形 课件 (共14张)
挑战一下
如图,根据图中已知数据,求△ABC其余各边的长, 各角的度数和△ABC的面积.
强调：我们本章研究的
主角是直角三角形，对
ห้องสมุดไป่ตู้
于锐角、钝角三角形不
A
能直接运用解直角三角 2cm
的知识去解答，需作辅 助线，使之构成直角三
B
450 ┐ D
300
C
角形再作答。
随堂练习 （P17）
提示：arctan2=63°26΄6˝,arctan(0.5)=26°33΄54˝
探究二
例2 0,
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=2你了5°发什,b现么=3
解这个直角三角形 (精确到0.1，sin25°≈
0.4226,cos25°≈0.9063,tan25°≈0.466
3)
小结
Ａ
b
Ｃ
在直角三角形中，已
c
知一锐角和一边（一
Ｂ 锐角和一直角边或者
a
一锐角和斜边）都可
以求余下的3个元素。
想一想
在直角三角形中，如果已 知的两个元素是两个锐角， 能否求余下的三个元素？ 为什么？
你发现 了什么
从探究一、探究二中我们可以发现：
在直角三角形的6个元素中,除直角外,如果
知道两个元素,(其中至少有一个是边)就可 以求出其余3个元素。
试问： 在锐角、钝角三角形中告诉两边或者 一边一角能否求其他边和角呢？
3 3
45°
2 2 2 2
1
60°
3 2
1 2
3
点拔： 三关系 依据 解直角三角形
解直角三角形
毕节市赫章县哲庄镇娃多小学 成恒能
议一议（小组合作与探究） 直角三角形中除直角以外还有5个元素，那么 至少知道几个元素，就可以求出其他的元素？
北师大版初三数学9年级下册 第1章 1.1.1 锐角三角函数(第1课时) 课件(共24张PPT)
课堂练习
1.一个直角三角形中，如果各边的长度都扩大为原来 的2倍，那么它的两个锐角的正切值( )
A．都没有变化
B．都扩大为原来的2倍
C．都缩小为原来的一半 D．不能确定是否发生变化
2.以下对坡度的描述正确的是(
)
A．坡度是指倾斜角的度数
B．坡度是指斜坡的铅直高度与水平宽度的比
C．坡度是指斜坡的水平宽度与铅直高度的比
2. 当倾斜角确定时，其对边与邻边之比随之确定，这一比
值只与倾斜角的大小有关，而与物体的长度无关．
例题讲解 例3 如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
解：甲梯中，tan
4 8
1 2
.
乙梯中， tan
因为tanα＞tanβ，所以甲梯更陡.
5
5
.
132 52 12
总结：(1)倾斜程度，其本意指倾斜角的大小，一般来说，倾 斜角较大的物体，就说它放得更“陡”． (2)利用物体与地面夹角的正切值来判断物体的倾斜程度，因为 夹角的正切值越大，则夹角越大，物体放置得越“陡”．
探究新知 知识点一 正切
梯子AB和CD哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种 判断办法？
倾斜角越大——梯子越陡
A
E
B
C
F
D
问题2 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 当铅直高度一样，水平宽度越小，梯子越陡 当水平宽度一样，铅直高度越大，梯子越陡
乙 甲
问题3 如图，梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？
┌ A ∠A的邻边b C
谢谢聆听
其实就是坡角的正切．
例题讲解 例4 如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度为1∶3，坝高 BC＝2米，则斜坡AB的长是( )
北师大版九年级数学上4.4探索三角形相似的条件(一)教学课件 (共16张PPT)
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
判一判
判断下列说法是否正确？并说明理由.
√ 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（ ）
2.有一个角相等的两个等腰三角形相似.
（×）
D
A
平行顶角型
D
E
B
C
（1）
B
C
（2）
A
A
E
E
D
B
（3）பைடு நூலகம்
CB
（4）
C
非平行共角型
D
E A
非平行顶角型
B
（5） C
问题解决
为了测量一个大峡谷的宽
度，地质勘探人员在对面的岩
石上观察到一个特别明显的标
志点O，再在他们所在的这一
侧选点A、B、D，使得AB┴AO，
DB┴AB，然后确定DO和AB的
O
交点C.测得AC=120m，
B
C
这样的两个三角形相似吗？请说明理由.
（2）改变а、β的度数（取自己喜欢的值），再试一试.
相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵_∠__A_＝__∠__A__′，__∠__B__＝__∠__B_′_，
∴_△__A__B_C_∽__△__A__′B__′C_′___.
A A′
B
C B′
CB=60m，BD=50m.
B 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
C
A
D
1.本节课你有什么收获？ 你还有什么疑惑？ 2.三个角分别相等的两个三角形一定相似吗？ 3.你能说出相似三角形与全等三角形的联系 和
•
判一判
判断下列说法是否正确？并说明理由.
√ 1.有一个锐角对应相等的两个直角三角形相似.（ ）
2.有一个角相等的两个等腰三角形相似.
（×）
D
A
平行顶角型
D
E
B
C
（1）
B
C
（2）
A
A
E
E
D
B
（3）பைடு நூலகம்
CB
（4）
C
非平行共角型
D
E A
非平行顶角型
B
（5） C
问题解决
为了测量一个大峡谷的宽
度，地质勘探人员在对面的岩
石上观察到一个特别明显的标
志点O，再在他们所在的这一
侧选点A、B、D，使得AB┴AO，
DB┴AB，然后确定DO和AB的
O
交点C.测得AC=120m，
B
C
这样的两个三角形相似吗？请说明理由.
（2）改变а、β的度数（取自己喜欢的值），再试一试.
相似
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
符号语言： ∵_∠__A_＝__∠__A__′，__∠__B__＝__∠__B_′_，
∴_△__A__B_C_∽__△__A__′B__′C_′___.
A A′
B
C B′
CB=60m，BD=50m.
B 你能帮助他们算出峡谷的宽AO吗？
C
A
D
1.本节课你有什么收获？ 你还有什么疑惑？ 2.三个角分别相等的两个三角形一定相似吗？ 3.你能说出相似三角形与全等三角形的联系 和
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二.知识要点
4.三边之间的关系: ①两边之和大于第三边； ②两边之差小于第三边; ③两边之差<第三边<两边之和. 5.三角之间的关系 : ①三角形三内角的和等于180°; ②三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和； ③直角三角形两锐角互余.
三.典型例题
例1 已知一个三角形中两条边的长分别是a、 b，且a>b，那么这个三角形的周长的取值范 围是（ ） A. 3a L 3b B. 2(a b) L 2a C.2a b L 2b a D. 3a b L a 2b
五.参考答案
一、填空题： 1、-9<a<-7；2、2；3、120°；4、30°或 120°；5、∠DCB；6、50°；7、8cm； 8、60°；9、130°；10、偶数.
五.参考答案
二、选择题：CBCBCB 三、解答题： 1.6种（4、8、8；4、8、10；8、8、10； 8、8、12；8、10、12、4、10、12）
8.纸片△ABC中，∠A＝65°，∠B＝75°，将纸 片的一角折叠，使点C落在△ABC内（如图）， 若∠1＝20°，则∠2的度数为 . 9.在△ABC中，∠A＝50°， A 高BE、CF交于点O，则 ∠BOC＝ . 1 10.若△ABC的三边分别 C 为a、b、c，要使整式 2 B m (a b c)(a b c) 0 ， 8题图 则整数应为 .
四.能力训练
二、选择题： 1.若△ABC的三边之长都是整数，周长小于10，则这样的三 角形共有（ ） A、6个 B、7个 C、8个 D、9个 2.在△ABC中，AB＝AC，D在AC上，且BD＝BC＝AD，则 ∠A的度数为（ ） A、30° B、36° C、45° D、72° 3.等腰三角形一腰上的中线分周长为15和12两部分，则此三 角形底边之长为（ ） A、7 B、11 C、7或11 D、不能确定
三.典型例题
例4 如图，已知P是等边△ABC的BC边上任意一 点，过P点分别作AB、AC的垂线PE、PD，垂足 为E、D.问：△AED的周长与四边形EBCD的周 A 长之间的关系？
分析： E D （1）DE是△AED与四边形 EBCD的公共边，只须证明 AD＋AE＝BE＋BC＋CD B P C （2）既有等边三角形的条件， 就有60。的角可以利用；又有垂线，可造成含 30°角的直角三角形，故本题可借助特殊三角形的 边角关系来证明.
三.典型例题
解：在等边△ABC中，∠B＝∠C＝600 又∵PE⊥AB于E，PD⊥AC于D ∴∠BPE＝∠CPD＝30° 不妨设等边△ABC的边长为1，BE＝x，CD＝y， 1 那么，BP＝2x，PC＝2y，x+y= 2 ，而AE＝1-x， 3 AD＝1-y ∴AE＋AD＝ 2- (x+y)= 2 3 又∵ BE＋CD＋BC＝(x+y)+1= 2 ∴AD＋AE＝BE＋BC＋CD 从而AD＋AE＋DE＝BE＋BC＋CD＋DE 即△D的周长等于四边形EBCD的周长.
三.典型例题
分析：涉及构成三角形三边关系问题时，一定要同时考虑 第三边大于两边之差且小于两边之和. 答案：B 变式与思考：在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边 的取值范围是（ ） A.1＜AB＜29 B.4＜AB＜24 C.5＜AB＜19 D.9＜AB＜19 分析：在解三角形的有关中线问题时，如果不能直接求解， 则常将中线延长一倍，借助全等三角形知识求解，这也是 一种常见的作辅助线的方法. 答案：D
A
1 2
1 ∠ACB 2
1 ∴∠D＋∠E＝ （∠ABC＋∠ACB）＝53° 2
∴∠DAE＝1800－（∠D＋∠E）＝1270
D
B
C
E
三.典型例题
例3 如图，已知点A在直线外，点B、C在直线上. （1）点P是△ABC内任一点，求证：∠P＞∠A； （2）试判断在△ABC外，又和点A在直线的同侧，是 否存在一点Q，使∠BQC＞∠A，并证明你的结论.
四.能力训练
一、填空题： 1.三角形的三边为1，1-a，9，则a的取值范围是 . 2.已知三角形两边的长分别为1和2，如果第三边的长也是整 数，那么第三边的长为____. 3.在△ABC中，若∠C＝2（∠A＋∠B），则∠C＝ 度. 4.如果△ABC的一个外角等于150°，且∠B＝∠C，则∠A ＝ . 5.如果△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，则与 ∠A相等的角是 .
四.能力训练
4.如图，已知OA＝a，P是射线ON上一动点（即P可在射线 ON上运动），∠AON＝600，填空： （1）当OP＝ 时，△AOP为等边三角形； （2）当OP＝ 时，△AOP为直角三角形； （3）当OP满足 时，△AOP为锐角三角形； （4）当OP满足 时，△AOP为钝角三角形.
A 60° O 4题图 P N
五.参考答案
2.可以，设延伸部分为a，则长为2+a，3+a，5+a 的三条线段中，5+a最长， ∵ (2+a)+(3+a)-(5+a)>0, ∴只要a>0，长为2+a，3+a，5+a 的三条线段可 以组成三角形 设长为5+a的线段所对的角为α，则α为△ABC 的最大角. 又由 (2 a)2 (3 a)2 (5 a)2 a2 12 当 a 2 12 0 即 a 2 3 时，△ABC为直角三 角形.
三.典型例题
例2 如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，∠ACB＝ 61°，延长BC至E，使CE＝AC，延长CB至D，使DB＝ AB，求∠DAE的度数.
分析：用三角形内角和定理和外角定理， 等腰三角形性质，求出∠D＋∠E的度数， 即可求得∠DAE的度数. 解：∵AB＝DB，AC＝CE ∴∠D＝ ∠ABC，∠E＝
A P
B
C l
三.典型例题
A m B n C l
解： （1）连结AP，易证明∠P＞∠A； （2）存在，怎样的角与∠A相等呢？利用同弧上 的圆周角相等，可考虑构造△ABC的外接⊙O，易 知弦BC所对且顶点在弧AB，和弧AC上的圆周角都 与∠A相等，因此点Q应在弓形AB和AC内，利用圆 的有关性质易证明.
四.能力训练
三、解答题： 1.有5根木条，其长度分别为4，8，8，10，12，用其中三根 可以组成几种不同形状的三角形？ 2.长为2，3，5的线段，分别延伸相同长度的线段后，能否 组成三角形？若能，它能构成直角三角形吗？为什么？ 3.如图，在△ABC中，∠A＝960，延长BC到D，∠ABC与 ∠ACD的平分线相交于A1， A1 ∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于 A A2 A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD 的平分线相交于A5，则∠ A5的大 小是多少？ B C 3题图 D
五.参考答案
3.3° a 4.（1）a；（2）2a或 ；
a （3） ＜OP＜2a； 2 a （4）0＜OP＜ 或OP＞2a. 2
2
； 杏耀： ；
着说了壹句.“„„”严青碧等人,都翻了翻白眼.呐还真是敢夸泊口啊！道师境の巅峰?那不是距离道尪境都只有壹步之遥了吗?绿野郡城の郡尪,也就是道尪境巅峰の修行者而已.而郡尪大人多大年纪了?高凤才多大年纪?“那鞠言,你又是哪个境界?”严青碧轻蔑の撇了撇嘴,看向鞠言问. 她倒要看看,呐两个人能吹多大の牛皮.“俺の武道道行,比凤儿高出不少.”鞠言淡淡の语气笑着说.鞠言是圣道境,也是目前天元大陆上,唯壹の圣道境修行者.鞠言没有直说出来,说出来恐怕严青碧等人也不信任.严桩皱了皱眉,眼申中,有些异样の申色.显然,他也觉得鞠言是在信口开河. 之前他对鞠言还是比较满意の,不管鞠言哪个身份背鞠,有没有显赫の家世,那都不是关键.叠要の是,高凤看上了鞠言,呐也就足够了.可是现在,呐个叫鞠言の年轻人,居然如此胡言乱语大放厥词.严桩不自禁の考虑,鞠言の品性是不是有问题了.听到鞠言の话,严青碧和严宽,都忍不住嗤笑 了起来.“老爷！”呐事候,翟管家从外面快步走了进来.“翟管家,哪个事?”严桩看向翟管家.“老爷,郡尪大人来了！”翟管家表情枯怪说道.刚才护卫与他说郡尪大人登门,他还有些不信任,在确认之后,才琛吸了壹口气平复心绪,过来禀报严桩.“郡尪?”“俺们绿野郡城の郡尪大 人?”严桩壹愣,表情吃惊.严桩の绿野商会虽然规模已经不算小了,在绿野郡城之内,严桩也算有头有脸の人物.但即便如此,他与郡尪大人之间,也是差了好几个档次.平事他想见郡尪,那难度也是很大の,就算他去郡尪府求见,能不能见到郡尪,还得看郡尪有没有事间,看郡尪有没有见他の 心情.可今天是怎么回事?郡尪大人,居然登门了！高慧也当场愣住,不敢置信の眼申看着严桩.而严青碧和严宽两人,则是在愣申后,露出振奋激动の申色.“快请！”严桩立刻就叫喊出声,旋即话锋壹转,“不！俺要亲自去迎接.”“还有你们,都跟俺壹起来.郡尪大人是尊贵の客人,俺们不 能失了礼数！”严桩对在座の其他人说道.鞠言与高凤对视了壹眼,都笑了笑.此事,鞠言能猜到绿野郡郡尪为何来严家,应该是知道自身到了呐里.说起来,绿野郡郡尪过来,鞠言肯定是不用去迎接の.不过,鞠言也懒得与严桩等人解释哪个,就壹起过去,也没哪个大碍.壹行人,浩荡の走出房 间,向着正门而去.严家宅院并不大,片刻事间,鞠言等人就到了门前.严桩突然加快脚步,飞快の走出院门.他到了院门外,再次の被场面给震撼住了.门外最前面の,确实就是绿野郡郡尪大人.而在郡尪之后,还有壹二拾人.第捌贰肆章不够意思严桩自然认得郡尪身后の众人.所以,此事他全 部懵掉了,呐些人全部都是绿野郡城大家族の族长级人物,哪壹个地位身份都远在他之上.呐些大人物,来他严家做哪个?高慧等人,随后也都出了宅院の正门,他们同样也都目瞪口呆.“好大の场面！”鞠言看到呐些人,微微蹙眉.他原本以为,只有绿野郡郡尪壹个人过来了,最多带着郡尪府 总管之类の人.却没想到,在郡尪之后,还跟着那么壹大队人.看呐些人の装束和身上の气息,应该都是绿野郡城内の大人物.稍微转念,鞠言大概就判断出呐些人の身份.“见过郡尪大人！”“见过诸位族长！”严桩惊醒过来后,连忙躬身见礼.此事,严桩心中也