3.1表示一组数据离散程度的指标
沪科版数学八年级下册21.2 极差、方差与标准差教案
21.2 极差、方差与标准差1、表示一组数据离散程度的指标教学目标1、理解极差、方差与标准差的概念及作用。
2、灵活运用极差、方差与标准差来处理数据。
3、培养学生的探索知识的能力，体验用极差、方差与标准差来分析数据，然后作出决策。
教学过程一、复习1．某学校初三一班甲、乙两名同学参加最近5次数学测试的成绩(单位：分)!统计如下：甲：65 94 95 98 98乙：62 71 98 99 100(1)分别写出甲、乙成绩的平均分和中位数。
(2)写出甲、乙两名同学所有测试成绩的众数。
2．用平均数、中位数或众数代表数有什么不同？(平均数、中位数、众数是不同角度描述了一组数据的集中趋势；平均数代表这组数据的平均水平；一组数据中，个别数据差异较大，用中位数代表这组数据的集中趋势；当一组数据中不少数据多次重复出现时，常用众数来描述这组数据的集中趋势。
)3．问题1：如图，显示的是上海2101年2月下旬和2102年同期的每日最相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同。
我们是否可以由此认为 2102年2月下旬的气温比2101年高呢?小组交流后，发表看法。
(2)比较两段时间气温的高低，求平均气温是一种常用的方法。
请计算其平均数。
(3)经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2101年和2102年上海地区的平均气温相等，都是12℃。
这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异呢?那如何对这两段时间的气温进行比较呢?学习了本节的极差、方差与标准差，它们是表示一组数据离散程度的指标，这个问题迎刃而解。
二、新课1．极差根据两段时间的气温情况绘成折线图。
观察它们有差别吗?小组讨论、交流看法。
(通过观察，可以发现：图(a)中折线波动的范围比较大)从6℃到22℃，图(b)中折线波动的范围则比较小——从9℃到16℃。
)思考：什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小?引导学生得出极差：我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差(mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数,它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的,标准差未必相同。
标准差(Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量.标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度.测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位. 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1，X2,X3,.。
.。
.Xn(皆为实数），其平均值为μ,公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0, 5，9, 14} 和{5, 6，8，9｝其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较）,则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确.标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细,代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差(mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数,它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的,标准差未必相同。
标准差(Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量.标准差定义为方差的算术平方根,反映组内个体间的离散程度.测量到分布程度的结果,原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位. 一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1，X2,X3,.。
.。
.Xn(皆为实数），其平均值为μ,公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说,标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差,代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差,代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0, 5，9, 14} 和{5, 6，8，9｝其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色:如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较）,则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确.标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细,代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如,A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45,B组的分数为73、72、71、69、68、67。
离散程度衡量指标
离散程度衡量指标离散程度衡量指标是用来评估一组数据或变量的分散程度的指标。
在统计学和数据分析中，离散程度是一个非常重要的概念，可以帮助我们理解数据的分布情况、变量之间的关系以及数据的可信度。
在本文中，我将从简单的离散程度衡量指标开始介绍，然后逐渐深入探讨更复杂的指标和概念。
通过阅读本文，你将对离散程度的概念和衡量指标有一个清晰的了解，并能够灵活运用它们进行数据分析和实践。
1. 范围和极差范围是最简单的离散程度衡量指标，它表示一组数据中最大值和最小值之间的差距。
范围越大，代表数据的离散程度越高。
2. 方差和标准差方差是衡量数据分散程度的常用指标，它表示数据与其均值之间的差距的平方的平均值。
标准差是方差的平方根，代表数据的离散程度相对于其均值的大小。
方差和标准差越大，代表数据的离散程度越高。
3. 均方差均方差是衡量预测值与实际观测值之间的差距的指标。
在统计学中，我们常常需要使用模型进行数据预测，而均方差可以帮助我们评估预测的准确程度。
均方差越大，代表预测值与实际观测值之间的差距越大，说明数据的离散程度越高。
4. 四分位数和箱线图四分位数是将数据按照大小划分为四等分的指标，可以帮助我们了解数据的分布情况。
箱线图是基于四分位数的可视化工具，可以将数据的离散程度直观地展示出来。
箱线图的上下边界代表数据的上下四分位数，中位线代表数据的中位数，离群点代表数据中的异常值。
如果箱线图的箱子较长，离散程度较小；如果箱线图的箱子较短，离散程度较大。
5. 离散系数离散系数是衡量数据离散程度的相对指标，它是标准差与均值之比。
离散系数越大，代表数据的离散程度越高。
6. 相对离散度相对离散度是衡量两个随机变量之间相对离散程度的指标。
它可以帮助我们理解两个变量之间的关系以及数据的可信度。
相对离散度越大，代表两个变量之间的离散程度越高。
通过对这些离散程度衡量指标的介绍，我们可以发现离散程度的概念和应用是十分广泛的。
无论是在统计学、机器学习还是数据分析领域，离散程度都是一个重要的概念。
评价数据离散程度的指标
标准差标准差（Standard Deviation），也称均方差（mean square error），是各数据偏离平均数的距离的平均数，它是离均差平方和平均后的方根，用σ表示。
标准差是方差的算术平方根。
标准差能反映一个数据集的离散程度。
平均数相同的，标准差未必相同。
标准差（Standard Deviation），在概率统计中最常使用作为统计分布程度（statistical dispersion）上的测量。
标准差定义为方差的算术平方根，反映组内个体间的离散程度。
测量到分布程度的结果，原则上具有两种性质：为非负数值，与测量资料具有相同单位。
一个总量的标准差或一个随机变量的标准差，及一个子集合样品数的标准差之间，有所差别。
标准计算公式假设有一组数值X1,X2,X3,......Xn（皆为实数），其平均值为μ，公式如图1.图1标准差也被称为标准偏差，或者实验标准差，公式如图2。
图2简单来说，标准差是一组数据平均值分散程度的一种度量。
一个较大的标准差，代表大部分数值和其平均值之间差异较大；一个较小的标准差，代表这些数值较接近平均值。
例如，两组数的集合{0, 5, 9, 14} 和{5, 6, 8, 9} 其平均值都是7，但第二个集合具有较小的标准差。
标准差可以当作不确定性的一种测量。
例如在物理科学中，做重复性测量时，测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度。
当要决定测量值是否符合预测值，测量值的标准差占有决定性重要角色：如果测量平均值与预测值相差太远（同时与标准差数值做比较），则认为测量值与预测值互相矛盾。
这很容易理解，因为如果测量值都落在一定数值范围之外，可以合理推论预测值是否正确。
标准差应用于投资上，可作为量度回报稳定性的指标。
标准差数值越大，代表回报远离过去平均数值，回报较不稳定故风险越高。
相反，标准差数值越细，代表回报较为稳定，风险亦较小。
例如，A、B两组各有6位学生参加同一次语文测验，A组的分数为95、85、75、65、55、45，B组的分数为73、72、71、69、68、67。
卫生统计学3——离散程度描述指标
2
x
2
( x ) / n
2
n 1
上式中的分子部分称为离均差平方和， 它描述了每个x相对于 x 分布的集中程度， 若数据x分布相对于 x 很集中，则分子部 分很小；分子部分很大时，则意味着数据 分布分散。 ( x x ) 2 0 ，所以样本 因为对所有x,均有 含量n越大，分子越大。为消除n大小不同 的影响，将离均差平方和除以（n-1)即得方 差。
为消除n大小不同的影响将离均差平方和除以n1即得方故方差既描述了所有数据的离散程度又可用于不同样本含量数据离散程度的比较
第三节
描述离散趋势的统计指标
描述定量资料的分布特征仅有平均指标是不 够的，还需要有描述离散程度的指标。假如 一班的5名同学成绩 60，70，80，90，100 平均80分 R=40 二班的5名同学成绩 70，75，80，85，90 平均80分 R=20 三班的5名同学成绩 65，75，80，85，95 平均80分 R=30
描述离散程度的指标有多种：极差、方差、标 准差、四分位间距、变异系数。 一、极差和四分位间距 1、极差（Range,全距） R=max-min 缺点是：只反映最大和最小值的变异，不 够全面；容易受n大小的影响，不稳定。
2、四分位间距(quartile range,Q)
（1）百分位数：表示一组观察值按
方差为一描述离散程度的指标，既有优点 也有缺点，如5名儿童的体重方差
n 1 (26 30 ) 2 (28 30 ) 2 (34 30 ) 2 10 (k g) 2 5 1 s2 ( x x )2
2、标准差(standard deviation，s ) 是描述 正态分布的定量变量离散程度的指标。标 准差越大，说明个体变异越大。 为克服方差的单位是平方，与均数不符的缺 点，将S2开方即为标准差S
数据离散程度的指标
数据的离散程度表示一组数据离散程度的指标（1）知识技能目标1.了解极差的意义，会计算一组数据的极差．2.会根据所给数据绘制相应的折线图．3.会根据所给折线图求出极差．过程性目标1.感受自主探索的乐趣．2.初步体验科学研究中观察和分析的方法.教学过程一、创设情境小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，不会做就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的数学成绩分别是75、78、77、76．初一暑假时，小明参加了科技活动小组，在活动中，小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，遇到问题时从多方面去思考，深入钻研．因此小明的数学成绩进步很快，初二的一学年中，小明在四次考试的数学成绩是80、85、92、95．看完这则小通讯，请谈谈你的看法．你以为在这些数据中最能反映学习态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少?(学生充分讨论,允许有多种答案.)的确，相比较而言最能反映学习兴趣重要性的是初一时的75分和初二时的95分，两者相差达20分.这个20分在数学上就称为极差.二、探究归纳那么,到底何为极差?我们来看下面这个问题：表20.2.1显示的是上海2001年2月下旬和2002年同期的每日最高气温：试对这两段时间的气温进行比较．(由表20.2.1所给数据可知，2002年和2001年2月下旬的气温相比，有4天的温度相对高些，有3天的温度相对低些，还有1天的温度相同．)我们可以由此认为2002年2月下旬的气温比2001年高吗？两段时间的平均气温分别是多少？(经计算可以看出，对于2月下旬的这段时间而言，2001年和2002年上海地区的平均气温相等，都是12℃．)这是不是说，两个时段的气温情况没有什么差异呢？请同学们根据上表提供的数据,绘制出相应的折线图．(完成后与下图作比较)观察一下，它们有差别吗？把你观察得到的结果写在下面的横线上：_________________________________________________________________．通过观察，我们可以发现：图(a)中折线波动的范围比较大----从6℃到22℃，图(b)中折线波动的范围则比较小----从9℃到16℃．思考什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围．用这种方法得到的差称为极差(range)．极差＝最大值－最小值．三、实践应用例1 观察图20.2.1，分别说出两段时间内气温的极差．解由图可知，图(a)中最高气温与最低气温之间差距很大，相差16℃，也就是极差为16℃；图(b)中所有气温的极差为7℃，所以从图中看，整段时间内气温变化的范围不太大．例2 你的家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少岁？例3 自动化生产线上，两台数控机床同时生产直径为40.00毫米的零件，为了检验产品质量,从产品中各抽出10件进行测量，结果如下(单位：毫米)．(2) 就所生产的10个零件的直径变化范围,你认为哪个机床生产的质量好?(2) 因为甲的极差为0.12，乙的极差为0.22，所以甲机床生产的质量较好．四、交流反思1.了解极差的意义．2.知道极差的计算方法．3.会绘制和观察折线图,能应用极差对简单问题做出判断．五、检测反馈1.试计算下列两组数据的极差：A组：0, 10, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5；B组：4, 6, 3, 7, 2, 8, 1, 9, 5, 5．2.下表是掷两颗骰子的实验中得到的数据：分别计算前10个频率值的极差和后10个频率值的极差，你以为哪一段的频率表现得更为稳定？3.将例3中的数据绘成相应的折线图．若直接给出这张折线图，你能在观察计算后回答例3中的两个问题吗?。
数学：21.3.1表示一组数据离散程度的指标
-3
0
3
1
-1
65 0 65 0
通过计算，依据最后求和的结果可以比较两 组数据围绕其平均值的波动情况吗? 不能 如果不行，请你提出一个可行的方案，在表 21.3.4的红色格子中写上新的计算方案，并 将计算结果填入表中．
1 小明 每次测试成绩
2
3
4
5
求平方和
2
13
14
13
12
13
每次成绩－ 平均成绩 小兵 每次测试成绩
1、样本3，4，2，1，5,6,的平均数为3.5, 中位数为 3.5 ；极差为 5 ；
2、样本a+3，a+4，a+2，a+1，a+5的 a+3 平均数为 a+3 ____,中位数为______, 极差为 4 ___.
小明和小兵两人参加体育项目训练， 近期的五次测试成绩如表21.3.2所示. 谁的成绩较为稳定？为什么？ 表 21.3.2
区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的 差来反映数据的变化范围，主要反映一组数据中 两个极端值之间的差异情况，对其他的数据的波 动不敏感. 方差主要反映整组数据的波动情况，是反映一组 数据与其平均值离散程度的一个重要指标，每个 数年据的变化都将影响方差的结果，是一个对整 组数据波动情况更敏感的指标. 在实际使用时，往往计算一组数据的方差，来衡 量一组数据的波动大小. 标准差实际是方差的一个变形，只是方差的单位 是原数据单位的平方，而标准差的单位与原数据 单位相同.
0
10
1
13
0
16
-1
14
0
12
每次成绩－ 平均成绩
-3
0
3
1
-1
描述一组正态分布资料离散程度大小的最佳指标
描述一组正态分布资料离散程度大小的最佳指标
描述一组正态分布资料离散程度大小的最佳指标通常是标准差（Standard Deviation）。
标准差是统计学中一种用来衡量数据集合中数据分散程度的量度。
标准差的计算方法：
首先，计算数据集中每个数据点与均值的差值。
然后，将每个差值取平方。
将平方后的差值求和。
将总和除以数据点的数量。
最后，取平方根得到标准差。
标准差的解释：
标准差的值越大，表示数据点相对于平均值的偏离程度越大，即数据的离散程度越大。
反之，标准差越小，数据点相对于平均值的偏离程度越小，数据的离散程度越小。
标准差的特点和应用：
在正态分布情况下，约有68%的数据点位于平均值加减一个标准差的范围内；约有95%的数据点位于平均值加减两个标准差的范围内；约有99.7%的数据点位于平均值加减三个标准差的范围内。
因此，标准差提供了对数据分布情况的直观认识。
标准差在统计学和科学研究中被广泛应用，可用于描述数据集的离散程度、比较不同数据集的变化程度以及判断数据的稳定性等。
总之，标准差是描述正态分布资料离散程度大小的最佳指标之一，它提供了对数据分布和变化程度的直观认识，是统计学中重要的量化指标之一。
1。
均方差公式是什么均方差的意义
均方差公式是什么均方差的意义均方差（mean squared deviation）是统计学中常用的一种度量数据分散程度的指标。
它表示一组数据与其均值之间的差异程度，从而揭示数据的离散程度。
均方差可以通过计算每个数据点与均值的差的平方，并取平均值得到。
均方差=(∑(Xi-X̄)²)/n其中，Xi代表数据集中的每个数据点，X̄代表数据的均值，n代表数据点个数。
均方差的意义：1.表示数据的离散程度：均方差是衡量数据分散程度的指标。
如果均方差较小，代表数据点较为集中，说明数据点相对集中在均值周围；如果均方差较大，代表数据点较为分散，数据点与均值之间的差异较大。
2.用于比较不同数据集：均方差可以用于比较不同数据集之间的离散程度。
如果两组数据的均方差相近或者相等，则说明两组数据的分散程度相近；如果均方差不相同，则较大的均方差表示数据分散程度较大，较小的均方差表示数据分散程度较小。
3.应用于回归分析：在回归分析中，均方差可以用来评估回归直线或曲线的拟合程度。
拟合程度越好，均方差值越小。
因此，通过计算均方差，可以判断回归模型的有效性，并进行模型的选择。
4.用于评估预测准确性：均方差也可用于评估模型或方法的预测准确性。
在预测的情况下，通过计算预测值与真实值之间的均方差，可以得知预测值与真实值之间的差异程度，从而评估预测的准确性。
需要注意的是，均方差有一个单位的问题。
由于计算过程中进行了平方运算，所以均方差的单位是原数据的单位的平方。
因此，在进行比较时，需要注意数据的单位是否相同，或者进行适当地单位转换。
总结起来，均方差是一种常用的度量数据分散程度的指标，可以用来评估数据的离散程度、比较不同数据集之间的差异、评估回归模型的拟合程度以及评估预测的准确性。
它在统计学和数据分析中具有重要的意义。
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21.3.1表示一组数据离散程度的指标
教学目标：
1．理解极差，方差、标准差的意义；
2. 会计算一组数据的极差，方差和标准差
3．能利用极差，方差和标准差解决一些简单的实际问题
教学重点：
计算一组数据的极差，方差和标准差
教学难点：
利用极差，方差和标准差解决实际问题
教学过程
（一）新授
创设意境
小明初一时对数学不感兴趣，遇到问题不爱动脑筋，作业能做就做，不会做就不做，因此他的数学成绩不太好，初一的一学年中四次考试的数学成绩分别是75、78、77、76．初一暑假时，小明参加了科技活动小组，在活动中，小明体会到学好数学的重要性，逐渐对数学产生了兴趣，遇到问题时从多方面去思考，深入钻研．因此小明的数学成绩进步很快，初二的一学年中，小明在四次考试的数学成绩是80、85、92、95．
看完这则小通讯，请谈谈你的看法．你以为在这些数据中最能反映学习态度重要性的是哪一对数据?两者相差多少?
相比较而言最能反映学习兴趣重要性的是初一时的75分和初二时的95分，两者相差达20分.
这个20分在数学上就称为极差.
问题1
2002年同期的上海的气温的极差又是多少？
结论: 2001年的2月下旬的气温变化幅度大于2002年同期的变化幅度. 经计算可以看出,对于2月下旬的这段时间而言, 2001年和2002年上海地区的平均气温相等,都是12。
C.这是不是说,两个时段的气温情况没有差异呢?
5
10152025
思考：
什么样的指标可以反映一组数据变化范围的大小？
我们可以用一组数据中的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围.用这种方法得到的差称为极差(range)
极差＝最大值－最小值．
在生活中,我们常常会和极差打交道.班级里个子最高的学生比个子最矮的学生高多少?家庭中年纪最大的长辈比年纪最小的孩子大多少?这些都是求极差的例子.
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量,但只能反映数据的波动范围,不能衡量每个数据的变化情况,而且受极端值的影响较大.
思考
此图反映的是一年中北京和新加坡气温变化情况．根据你的观察，为什么说新加坡是“四季温差不大”，而北京是“四季分明”呢？
问题2．
我们来看这么一个问题：小明和小兵两人参加体育项目训练，近期的五次测试成绩如下表所示．
谁的成绩较为稳定？为什么？能通过计算回答吗?
由计算可知，两人测试成绩的平均值都是13分．但相比之下，小明的成绩大部分集中在13分附近，而小兵的成绩与其平均值的离散程度较大．通常，如果一组数据与其平均值的离散程度较小，我们就说它比较稳定．请同学们根据
上表提供的数据画出折线图(与下图作比较)．
请同学们进一步思考，什么样的数能反映一组数据与其平均值的离散程度？从表和图中可以看到，小兵的测试成绩与平均值的偏差较大，而小明的较小．那么如何加以说明呢？可以直接将各数据与平均值的差进行累加吗？在下表中写出你的计算结果并进行小结，可以用它来比较两组数据围绕其平均值的波动情况(离散程度)吗？(给同学们足够的时间计算和讨论)
对于每次成绩－平均成绩求和的结果为零（请同学们说说为什么？）．那么，你能提出一个可行的方案吗？请在下表的红色格子中写上新的计算方案，并将计算结果填入表中．
(部分学生可能提出求差后求绝对值再求和的方法等，要多肯定和比较，引导学生共同导出方差的计算公式)
考虑实际情况，如果一共进行了7次测试，小明因故缺席两次，怎样比较谁的成绩更稳定?请将你的方法与数据填入下表中．
(通过两张表格的对比让学生进一步明白：为什么要用“每次成绩”和“平均成绩”相减；为什么要“平方”；为什么求“平均数”比“求和”好．)
我们可以用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的结果表示一组数据偏离平均值的情况．这个结果通常称为方差（variance ）．公式为
方差越大,说明这组数据偏离平均值的情况越严重,即离散程度较大,数据也越不稳定． 我们通常用S 2表示一组数据的方差，用表示一组数据的平均数，x 1、x 2、… 表示各个数据．上面问题中方差的计算式就是 从方差的计算过程，可以看出S 2 的数量单位与原数据的不一致，因此在实际应用时常常将求出的方差再开平方，这就是标准差（standard deviation ），用符号表示为．
发现：
方差越小，波动越小.方差越大，波动越大.
（二）例题解析
例 请计算刚才问题中小明和小兵五次测试成绩的极差、方差和标准差． 解 小明和小兵五次测试成绩的极差分别为14-12=2和16-10=6．
小明和小兵五次测试成绩的方差分别为
(其中小明和小兵5次测试成绩的平均数都为
13) 经过比较可知，小明的测试成绩较为稳定．
（三 ）小结
1. 了解极差，方差和标准差的意义．
2. 知道极差，方差和标准差的计算方法．
3. 会利用极差，方差和标准差的计算结果来分析一组数据的离散程度 21222...)))(((12x x x x x x n n s ⎡⎤=++---⎢⎥⎣⎦。