直线系与对称问题
与直线有关的对称问题
与直线有关的对称问题山东 杨道叶一、知识精析1．关于直线对称的点若两点111(,)P x y 与222(,)P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称，则线段12PP的中点在对称轴l 上，而且连结1P 、2P 的直线垂直于对称轴l ，由方程组 12121212022x x y y A B C y y Bx x A⎧++⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨-⎪=⎪-⎩可得到点1P 关于l 对称的点2P 的坐标222(,)P x y （其中120,A x x ≠≠）。
2．关于直线对称的两条直线此类问题一般转化为关于直线的对称点来解决。
若已知直线1l 与对称轴l 相交，则交点必在与1l 对称的直线2l 上，然后再求出1l 上任一个已知点1P 关于对称轴l 对称的点2P ，那么经过交点及点2P 的直线就是2l ；若已知直线1l 与对称轴l 平行，则与1l 对称的直线和1l 到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离，即可求出1l 的对称直线。
3．点关于特殊直线对称点的坐标例1 求与点(3,5)P 关于直线l ：320x y -+=对称的点/P 的坐标。
分析：设点/P 的坐标为00(,)x y ，则直线l 为/PP 的垂直平分线，所以/PP l ⊥，/PP 的中点M 在l 上，列出关于0x ，0y 的方程组，求解即可。
解析：设/00(,)P x y ，则/0053PP y k x -=-，/PP 的中点0035,22x y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭。
∴0000511333532022y x x y -⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪-⨯+=⎪⎩，解得0051x y =⎧⎨=-⎩， ∴点/P 的坐标为()5,1-。
评注：另解为：先求出过点(3,5)P 与l 垂直的直线/PP 的方程，解/PP 与直线l 的方程组成的方程组，求得交点M 的坐标，再运用中点坐标公式求出点/P 的坐标。
例2 求直线a ：240x y +-=关于直线l ：3410x y +-=对称的直线b 的方程。
关于直线的对称点万能公式,线与线的对称公式二
关于直线的对称点万能公式，线与线的对称公式二点有关直线对称的求法？1、设出所求点的坐标A（a,b）,按照所设的点A(a,b)和已知点B(c,d),可以表示出对称点的坐标C(a+c/2,b+d/2),且此对称点在直线上.故此，将此点代入直线,此为一个式子。
再按照点AB组成的直线和刚才知直线相垂直,列出两直线的斜率之积为-1,可得第二个式子。
按照这两个式子,可以得出a,b,即所求点的坐标。
2、联立二元一次方程(1)、(2)，得二元一次方程组，解得a、b值，即所求对称点A的坐标(a，b)。
举例子：已知点B的坐标为（-2，1），求它有关直线y=-x+1的对称点坐标？设所求对称点A的坐标为（a，b)，则A和点B（-2，1）的中点C坐标为（(a-2)/2，(b+1)/2)，且C在直线y=-x+1上。
把C点坐标代入已知直线方程得，b+1/2=-(a-2/2)+1，可得：a+b=3 (1)因为A、B两点有关已知直线y=-x+1对称，故此，直线AB与已知直线垂直。
又因为已知直线的斜率为-1，故此，直线AB的斜率为1AB斜率：b-1/a+2=1 (2)函数有关点对称公式大总结？直线有关点对称的公式：点（a，b）有关直线y=kx+m（k=1或-1）的对称点为：（b/k-m/k，ka+m），其实是将表达式中的x，y的值互换，因为直线方程y=kx+m中有x=y/k-m/k且y=kx+m，这样的方式只适用于k=1或-1。
还可以推广为曲线f （x，y）=0有关直线y=kx+m的对称曲线为f（y/k-m/k，kx+m）=0。
点有关任意直线对称公式推导？针对存在K的直线，任一侧存在一点M(X1,Y1)。
此点有关这条直线的对称点N(X2,Y2)坐标满足（±2B·|K|·|AX1+BY1+C|/(A²+B²)+X1，±2A·|1/K|·|AX1+BY1+C|/(A²+B²)+Y1)。
直线对称问题学生
直线系与对称问题（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为 ；关于y 轴的对称点的坐标为 ； 关于y x =的对称点的坐标为 ； 关于y x =-的对称点的坐标为 . 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上.()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：① 到角相等； ② 在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程； ③ 轨迹法(相关点法)； ④ 待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）（二）典例分析：例1 （1）求点)2,1(A 关于直线02=++y x 的对称点（2）求)4,3(A 关于直线32+=x y 的对称点（3）一张坐标纸，对折后，点A(0，4)与点B （8，0）重叠，若点C(6，8)与D（m ，n ）重叠，求m+n ；例2：试求直线01:1=-+y x l 关于直线033:2=--y x l 对称的直线l 的方程。
高考数学对称问题知识总结
高考数学对称问题知识总结对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化。
下面店铺给大家带来高考数学对称问题知识，希望对你有帮助。
高考数学对称问题知识一、点关于已知点或已知直线对称点问题1、设点P(x，y)关于点(a，b)对称点为P′(x′，y′)，x′=2a-x由中点坐标公式可得：y′=2b-y2、点P(x，y)关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为x′=x-(Ax+By+C)P′(x′，y′)则y′=y-(AX+BY+C)事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2C解此方程组可得结论。
(-)=-1(B≠0)特别地，点P(x，y)关于1、x轴和y轴的对称点分别为(x，-y)和(-x，y)2、直线x=a和y=a的对标点分别为(2a-x，y)和(x，2a-y)3、直线y=x和y=-x的对称点分别为(y，x)和(-y，-x)例1光线从A(3，4)发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B(1，5)，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。
解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点A′(5，0)，B关于y轴对称点B′为(-1，5)，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0`C(0，)`直线BC的方程为：5x-6y+25=0二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题求已知曲线F(x，y)=0关于已知点或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F(x，y)=O上任意一点(x，y)关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F(x，y)=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。
1、曲线F(x，y)=0关于点(a，b)的对称曲线的方程是F(2a-x，2b-y)=02、曲线F(x，y)=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F(x-(Ax+By+C)，y-(Ax+By+C))=0特别地，曲线F(x，y)=0关于(1)x轴和y轴对称的曲线方程分别是F(x，-y)和F(-x，y)=0(2)关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F(2a-x，y)=0和F(x，2a-y)=0(3)关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F(y，x)=0和F(-y，-x)=0除此以外还有以下两个结论：对函数y=f(x)的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作关于y轴的对称图象得到y=f(|x|)的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=|f(x)|的图象。
直线系与对称问题
直线系与对称问题（一） 主要知识及方法：1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --.2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,22a x b y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即001y b a x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --，其中0022Ax By C D A B ++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x A D y B D --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，… 4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=.5.直线系方程：()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠）()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2l ）。
直线中的四类对称问题及讲解
直线中的几类对称问题对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题. 对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解. 熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1 求点A （2，4）关于点B （3，5）对称的点C 的坐标.分析 易知B 是线段AC 的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.解 由题意知，B 是线段AC 的中点，设点C （x ，y ），由中点坐标公式有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=245223x x ，解得⎩⎨⎧==64y x ，故C （4，6）. 点评 解决点关于点的对称问题，我们借助中点坐标公式进行求解. 另外此题可以利用中点的性质AB=BC ，以及A ，B ，C 三点共线的性质去列方程来求解.二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2 求点A （1，3）关于直线l ：x+2y-3=0的对称点A ′的坐标.分析 因为A ，A ′关于直线对称，所以直线l 是线段AA ′的垂直平分线. 这就找到了解题的突破口.解 据分析，直线l 与直线AA ′垂直，并且平分线段AA ′，设A ′的坐标为（x ，y ），则AA ′的中点B 的坐标为.13,23,21•x y •k •y ••x A A --=⎪⎭⎫ ⎝⎛++' 由题意可知，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∙--=-+⨯++121130323221x y y x ， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=5153y x . 故所求点A ′的坐标为.51,53•••⎪⎭⎫ ⎝⎛--三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的. 我们往往利用平行直线系去求解.例3 求直线2x+11y+16=0关于点P （0，1）对称的直线方程.分析 本题可以利用两直线平行，以及点P 到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P 的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.解法一 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0. 由点到直线距离公式，得2222112|11|112|1611|++=++c ，即|11+c|=27，得c=16（即为已知直线，舍去）或c= -38. 故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.解法二 在直线2x+11y+16=0上取两点A （-8，0），则点A （-8，0）关于P （0，1）的对称点的B （8，2）. 由中心对称性质知，所求对称直线与已知直线平行，故可设对称直线方程为2x+11y+c=0.将B （8，2）代入，解得c=-38.故所求对称直线方程为2x+11y-38=0.点评 解法一利用所求的对称直线与已知直线平行，再由点（对称中心）到此两直线距离相等，而求出c ，使问题解决；解法二是转化为点关于点对称问题，利用中点坐标公式，求出对称点坐标，再利用直线系方程，写出直线方程.四、直线关于直线的对称问题直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交. 对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”，或是转化为点关于直线对称问题.例4 求直线l 1：x-y-1=0关于直线l 2：x-y+1=0对称的直线l 的方程.分析 转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.解 设直线l 的方程为x-y+c=0，在直线l 1：x-y-1=0上取点M （1，0），则易求得M 关于直线l 2：x-y+1=0的对称点N （-1，2），将N 的坐标代入方程x-y+c=0，解得c=3，故所求直线l 的方程为x-y+3=0.点评 此题也可以先利用平行直线系方程写出直线l 的形式，然后再在直线l 2上任取一点，在根据该点到互相对称的两直线的距离相等去待定相关常数.例5 试求直线l 1：x-y-2=0关于直线l 2：3x-y+3=0对称的直线l 的方程.直线l 的方程为7x+y+22=0.方法提示：本题可以先求l 1，l 2的交点A ，再在直线l 1上取异于点A 的任意点B ，再求点B 关于点A 的对称点B ′，最后由A ，B ′两点写出直线l 的方程.。
直线中的对称问题6种考法
直线中的对称问题一、点关于点的对称问题1、实质：该点是两对称点连线段的中点2、方法：利用中点坐标公式平面内点()00,y x A 关于()b a P ,对称点坐标为()002,2y b x a --，平面内点()11,y x A ，()22,y x A '关于点⎪⎭⎫⎝⎛++2,22121y y x x P 对称二、直线关于点的对称问题 1、实质：两直线平行2、法一：转化为“点关于点”的对称问题（在l 上找两个特殊点（通常取直线与坐标轴的交点），求出各自关于A 对称的点，然后求出直线方程）法二：利用平行性质解（求一个对称点，且斜率相等或设平行直线系，利用点到直线距离相等） 三、点关于直线的对称问题1、实质：轴（直线）是对称点连线段的中垂线2、（1）当直线斜率存在时：方法：利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点()00,x y 关于直线0++=Ax By C 的对称点(),x y ''，则'0'0''01022⎧-⎛⎫-=- ⎪⎪-⎪⎝⎭⎨++⎪++=⎪⎩y y A x x B x x y y A B c （2）当直线斜率不存在时：点()00,x y 关于m x =的对称点为()002,-m x y 2、常见的点关于直线的对称点（1）点()00,x y 关于x 轴的对称点为()00,x y -； （2）点()00,x y 关于y 轴的对称点为()00,x y -； （3）点()00,x y 关于直线y x =的对称点为()00,y x ； （4）点()00,x y 关于直线y x =-的对称点为()00,y x --；（5）点()00,x y 关于直线x m =的对称点为()002,m x y -； （6）点()00,x y 关于直线y n =的对称点为()00,2x n y -；（7）点()00,x y 关于直线0x y m -+=的对称点为()00,,y m x m -+； （8）点()00,x y 关于直线0x y m +-=的对称点为()00,,y m x m ---+； 四、直线关于直线的对称问题1、当1l 与l 相交时：此问题可转化为“点关于直线”的对称问题；求直线1:0l ax by c ++=，关于直线2:0l dx ey f ++=（两直线不平行）的对称直线3l 第一步：联立12l l ，算出交点00()P x y ，第二步：在1l 上任找一点（非交点）11()Q x y ，，求出关于直线对称的点22()Q x y '， 第三步：利用两点式写出3l 方程2、当1l 与l 平行时：对称直线与已知直线平行.两条对称直线到已知直线的距离相等，利用平行线间距离公式建立方程即可解得。
直线系方程与对称
6、当a 0，方程 x2 y2 ax - ay 0所表示的图形
关于
A、x 轴对称
B、关于y轴对称
C、直线x - y 0对称 D、直线x y 0对称
基础练习
7、从点 P（- 2，3）发出的光线射到直线 y x 2
上，反射后过点 Q（- 3，2），则反射光线所在
的直线方程为
A、x 2 y -1 0
知识要点
⑶过直线 l1，l2 交点的直线系： 设 l1：A1x B1 y C1 0，l2：A2 x + B2 y + C2 =0
则：A1x B1 y C1 （A2 x B2 y C2） 0 (
R) 表示一束过 l1与 l2交点的直线系 (不包括 l2） 作用: ①设出过两相交直线的交点的直线方程
知识要点
⑵轴对称
• 定义：设平面上有直线 l：Ax By C 0 和两 点 P (x，y），P（' x'，y'）若满足下列两条件：
① PP' l ② ( x + x' ，y + y' ) 满足 l 的方程， 22
则称点 P、P' 关于直线 l 对称，l 为对称轴。若 一图形与另一图形任意一对对应点满足这种关 系，那么这两图形关于 l 对称。有的图形本身就 是一轴对称图形，如抛物线，圆等
对称，则圆C 的方程是
A、(x 1）2 y2 1
B、x2 y2 1
C、x2 （y 1）2 1
D、x2 （y -1）2 1
10、将一张坐标纸折叠一次，使得点 (0，2)与点
（ 2，0) 重合，且点 (2003，2004) 与点 (m，n）
重合，则 n m
；
基础练习
直线关于x轴和y轴对称的规律
直线关于x轴和y轴对称的规律一、概述在数学中，直线是一个非常重要的概念，直线的性质和规律对于解题和建模都具有重要的作用。
其中，关于直线在x轴和y轴上的对称性质是非常有意义的。
接下来，我们将探讨直线在x轴和y轴上的对称规律，揭示其中的数学奥秘。
二、直线关于x轴对称的规律1.定义当一条直线与x轴的交点的y坐标为正数时，此时，直线关于x轴对称，即直线在x轴的上方和下方对称。
2.数学表达式设直线的解析式为y=ax+b，其中a和b为常数。
若直线上的任意一点P的坐标为(x,y)，则P关于x轴对称点P'的坐标为(x,-y)。
3.示例以直线y=2x+3为例，设直线上一点为A(1,5)，则关于x轴的对称点为A'(1,-5)。
在坐标系中，直线上任意一点与其关于x轴的对称点关于x轴对称。
三、直线关于y轴对称的规律1.定义当一条直线与y轴的交点的x坐标为正数时，此时，直线关于y轴对称，即直线在y轴的左侧和右侧对称。
2.数学表达式设直线的解析式为y=ax+b，其中a和b为常数。
若直线上的任意一点P的坐标为(x,y)，则P关于y轴对称点P'的坐标为(-x,y)。
3.示例以直线y=3x-4为例，设直线上一点为B(2,2)，则关于y轴的对称点为B'(-2,2)。
在坐标系中，直线上任意一点与其关于y轴的对称点关于y轴对称。
四、直线关于原点对称的规律1.定义当一条直线通过原点(0,0)时，此时，直线关于原点对称，即直线在第一象限和第三象限对称。
2.数学表达式若一条直线通过原点(0,0)，则直线的解析式具有特殊形式，即y=ax。
这样的直线与x轴和y轴均有对称性。
3.示例以直线y=4x为例，此直线通过原点(0,0)，在坐标系中，此直线在第一象限和第三象限关于原点对称。
五、总结直线在x轴和y轴上的对称规律是数学中基础而重要的知识点。
通过了解和掌握直线关于x轴和y轴对称的规律，我们可以轻松地通过对称性质解决数学问题和分析直线的性质。
高中数学同步课件 培优课 直线系方程与对称问题
√C.(－3，1)
D.(－2，1)
直线 l 的方程可化为 解得xy＝＝1－，3，
m(x＋2y＋1)－x－3y＝0，令x－＋x2－y＋3y1＝＝0，0，
∴直线 l 恒过定点(－3，1).
1 234
2.点(3，9)关于直线x＋3y－10＝0对称的点的坐标是
√A.(－1，－3)
C.(－1，3)
B.(17，－9) D.(－17，9)
第一章 §1 直线与直线的方程
课标要求
1.熟悉常见的直线系方程，能运用直线系方程简化运算； 2.掌握对称原理，能解决常见的对称问题.
内容索引
一、直线系方程的应用 二、几类常见的对称问题 三、利用对称解决最值问题
课堂达标
课时精练
一
直线系方程的应用
例1
求证：无论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一个定 点，并求出这个定点的坐标.
思维升华
2.在直线l上求一点P，使点P到两定点的距离之差的绝对值最大 (1)当两定点A，B在直线l的同侧时(A，B连线与l不平行)，连接BA并延 长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最大，最大 值 为 |AB|. 如 图 ③ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|AB| ＝ ||PB|－|PA||. (2)当两定点A，B在直线l的异侧时，作点A关于直线l的对称点A′，连接 BA′并延长，交直线l于点P.此时，点P到两定点的距离之差的绝对值最 大 ， 最 大 值 为 |A′B|. 如 图 ④ ， 在 直 线 l 上 任 取 一 点 P′ ， 则 有 ||P′B| － |P′A||≤|A′B|＝||PB|－|PA||.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.(05年广东高考) 在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的长为2, 宽为1,AB与AD边分别在x轴,y轴的正半轴上, A点与坐标轴的原点重合,将矩形折叠,使A点落在 线段DC上,若折痕所在直线的斜率为k,试写出折痕 所在的直线方程
例 5.已知直线 l 过点 P(2,3),且和两条平行直线 l1:3x+4y-7=0 与 l2:3x+4y+8=0 分别交于 A,B 两点,且|AB|= 3 2 ,求 l 的方程.
5、常用的对称关系
点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点 为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b),关于直线y=x 的对称点为(b,a)，关于直线y= -x的对称点(-b,-a),， 关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线 y= -x+m的对称点(m-b,m-a).只要斜率为±1都可 以直接代换！
二.对称问题的相关结论:
1. 点 关 于 点 对 称 : 点 (x,y) 关 于 点 (a,b) 的 对 称 点 为 (2a-x,2b-y)
2.点关于直线对称: (1)点关于特殊直线的对称点: 2 2 (2)点 P(x0,y0)关于 l:Ax+By+C=0(A +B ≠0)的对称点 坐标(x1,y1)的求法: Ax0 x1 B y0 y1 C 0
(4)一条光线从点 M(5,3）射出,与 x 轴的正方向成 角, 遇 x 轴后反射,若 tan 3 ,则反射光线所在的直线 3x+y-12=0 方程为____________.
例 2.已知直线 l:(a-1)x+y+(a+1)=0 及定点 A(3,4). 问当 a 为何值时, (1)直线 l 过点 A; (2)点 A 到直线 l 的距离最大.
3.交点直线系: 2 2 设 直 线 l1:A1x+B1y+C1=0,A1 +B1 ≠ 0,l2:A2x+B2y+C2=0, 2 2 A2 +B2 ≠0,则过直线 l1,l2 的交点的直线 l3 方程可设 为:(A1x+B1y+C1 )+λ(A2x+B2y+C2 )=0,其中λ为实数, 不含直线 l2 .
分析:(1)点 A 关于 x 轴的对称点(-3,-3)在反射光线 m 上; 2 2 (2)由反射光线 m 所在直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,可求 出反射光线 m 所在直线的的斜率,从而写出方程; (3)由 m 所在的直线与 x 轴的交战点及点 A 求出的光线 l 直线的方程.
l:4x+3y+3=0 l:3x+4y-3=0 m:4x-3y+3=0 m:3x-4y-3=0
一. 直线系的相关结论: 1.平行直线系: 2 2 设直线 l1:Ax+By+C=0(A +B ≠0),则平行于直线 l1 的 直线 l2 的方程可设为: Ax+By+m=0,其中 m≠C。 2.垂直直线系: 2 2 设直线 l1:Ax+By+C=0(A +B ≠0),则垂直于直线 l1 的直 线 l2 的方程可设为: Bx-Ay+m=0 。
例2：光线从点A（-3，4）发出，经过x轴反 射，再经过y轴反射，光线经过点B（-2，6）， 求射入y轴后的反射线的方程。 练习：变式3：一条光线经过P(2,3)点，射在直 线 l ：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1) （1）求入射光线所在的直线方程 （2）求这条光线从P到Q的长度。 【思维点拨】：由物理中光学知识，入射光线 和反射光线关于法线对称转化为对称问题。
例 1.填空:(1)点 A(4,5)关于直线 l 的对称点为 B(-2,7), 3x-y+3=0 则 l 的方程为_____________ .
y2=16-4x (2)曲线 y =4x 关于直线 x=2 对称的曲线方程是_____________
2
.
(3)过 l1:3x－5y－10=0 和 l2:x+y+1=0 的交点,且平行于 8x+16y+21=0 l3:x+2y－5=0 的直线方程为______________.
{
2 2 y1 y0 A ( ) 1 x1 x0 B
二.对称问题的相关结论: 3.直线关于点对称: 2 2 设直线 l:Ax+By+C=0(A +B ≠0)与点 P(x0 ,y0 ),则直线 l1 关于点 P 的对称直线方程为:A(2x0 –x)+B(2y0 –y)+C=0
4.直线关于直线对称: 2 2 2 2 设直线 l1:A1x+B1y+C1=0(A1 +B1 ≠0),l2: A2x+B2y+C2=0(A2 +B2 ≠0), 则直线 l1 关于 l2 的对称直线方程的求法:在直线 l1 上任取两个 不同点 A,B,求出这两点关于的对称点坐标,再用两点式方程 )a ; (2) a 2 3
例 3.已知直线 l 和直线 m 的方程分别为 2x－y+1=0,3x－y=0, 求直线 m 关于直线 l 的对称直线 m′的方程。
法1:在直线3x-y=0上任取两点A(0,0),B(1,3), 求出A,B两点关于直线2x-y+1=0的对称点C,D,再求 直线CD的方程即可.
法 3:利用直线的夹角公式求直线 l 的的斜率 0 由(2)知: 直线 l 与两平行直线所成的锐角为 45 ,由 夹角公式即可求出直线 l 的斜率.
法 1:求直线 l 的的斜率 x-7y+19=0或7x+y-17=0 对直线 l 的斜率 k 分情况讨论后求交点坐标,再求 k;
法 2:利用倾斜角的关系求直线 l 的的斜率 易知两平行直线间的距离为 3,由|AB|的长度可求得直线 l 与两平行直线所成的锐角为 450 ;设直线 l1 的倾斜角为α, 0 0 则结合图形可得直线 l 的倾斜角为α-45 或α-135 为,从 而可求斜率;
13x-9y+14=0
法2:设所求直线上点(x,y)关于关于直线3x-y=0的 对称点坐标为(a,b),则点(a,b)在直线2x-y+1=0上. 用x,y的代数式表示a,b,代入2a-b+1=0化简即可.
例 4.自点 A(-3,3)发出的光线 l 射到 x 轴上被 x 轴反射, 2 2 其反射光线 m 所在直线与圆 x +y -4x-4y+7=0 相切,求光线 l 与 m 所在的直线的方程.
例3已知点M（3，5），在直线：x 2 y 2 0 和y轴上各找一点P和Q，使 MPQ的周长最小。
y M2
Q P O
M
M1
X
【评述】：注意平面几 何的知识在解析几何中 的灵活运用。
练习 (变式4) ：直线 2 x 3 y 6 0 交x、y轴 于A、B两点，试在直线 y x 上求一点P1， 使 最小，在y=x上求一点P2， 使 P2 A P2 B 最大，求出两最值及 P P2 的 1 值。
P A PB 1 1
【思维点拨】：利用三角形两边之和大于第三 边或两边之差小于第三边，解决在直线上求一 点到两定点距离之和最小或到两定点距离之差 为最大的问题。
1.在 ABC中, A(2,1), B的平分线所在的直线方程为 x-2y+5=0,C的平分线方程为x+y-1=0,求点B,C的坐标