二次函数第二课时
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二次函数第二课时
冲上新顶峰
4、已知函数y=(m+2)x㎡+m-4是关于的二次函数求： 、已知函数 是关于的二次函数求： （1）满足条件的 的值 ）满足条件的m的值 为何值时， （2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最 ） 为何值时 抛物线有最低点？ 低点。在此条件下， 为何值时 为何值时， 随 的增大 低点。在此条件下，当x为何值时，y随x的增大 增大？ 增大？ 为何值时， （3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？ ） 为何值时 函数有最大值？最大值是多少？ 在此条件下， 为何值时 为何值时， 随的 增大而减小？ 随的x增大而减小 在此条件下，当x为何值时，y随的 增大而减小？
向上并且向上无限伸展
向下并且向下无限伸展 向下并且向下无限伸展
动画演示 当x=0时，最小值为 。 当x=0时，最大值为 。 时 最小值为0。 时 最大值为0。
y= x
2
当a>0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 减小。 减小。 当a>0时，在对称轴的 时 右侧， 随着 随着x的增大而 右侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当a<0时，在对称轴的 时 左侧， 随着 随着x的增大而 左侧，y随着 的增大而 增大。 增大。 当x=-2时，y=4 时 时 当x=1时，y=1 当x=-1时，y=1 时 当x=2时，y=4 时
y = x2
观察右图， 观察右图， 并完成填空。 并完成填空。
y = −x2
抛物线 顶点坐标 对称轴 位置 开口方向 增减性 极值
y=ax2(a﹥0 )
（0，0） ， ） y轴或直线（x=0) 轴或直线（ 轴或直线
y=ax2(a﹤0)
（0，0） ， ） y轴或直线（x=0) 轴或直线（ 轴或直线
2.2二次函数的图像和性质(第二课时) 课件 2022—2023学年北师大版数学九年级下册
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （1）抛物线y=x2+1、y=x2-1的 开口方向、对称 轴、顶点各是什么？
抛物线 y=X2+1
y=x2-1
开口方向 对称轴 顶点坐标
向上
y轴
(0，1)
向上
y轴
(0，-1)
y y=x2+1
10
8
6
4
2 y=x2-1
-5 -2
5
x
讨论 （2）抛物线y=x2+1、y=x2-1与y=x2 有什么位置关系？
就得到抛物线y=ax2+k； 把抛物线y=ax2向下平移k个单位，
下
就得到抛物线y=ax2-k
减
在同一直角坐标系中，
y
画出下列二次函数的图象：
2
y=-0.5x2， y=-0.5x2+2 ,
1
y=-0.5x2-2
-5 -4 -3 -2 -1-1 o 1 2 3 4 5 x
观察三条抛物线的相互关系， 并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点。
x 2和y=2x 2 的(图1)像列表
(2) 描点
当a＜0时，它 的图象又如 何呢？
10 9
y
y
2x2
8
7
y 1 x2 2
(3) 连线
6
函数
y=
1 2
x
2,
y=2x
2
5 4
的图像与函数 y=x 2(图中
3 2
虚线图形)的图像相比，有
1
什么共同点和不同点?
-5-4-3-2-1 o1 2 3 4 5 x
二次函数复习第2课时PPT课件
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
21x-1
y
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、 o
B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
A
Bx
△=22-4×(-8)=36>0
x2-2x-8=0 解方程得:x1=4, x2=-2
P
∴AB=4-(-2)=6 而P点坐标是(1,-9) ∴S△ABC=27
-1
o1 x
7.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图
所示，关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0
的一个解x1=3，另一个解x2=__-_1__.
8.已知二次函数的图象的顶点坐标为(-2，-3)，且图象过
点(-3，-2)，则此二次函数的解析式y=x2+4x+1 ;设此
二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，则
b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点
b2-4ac>0
与x轴有一个交点
b2-4ac=0
与x轴无交点
b2-4ac<0
（5）a+b+c的符号：因为x=1时，y=a+b+c,
所以a+b+c的符号由x=1时，对应的y值决定。
当x=1时，y>0, 则a+b+c>0
当x=1时，y<0，则a+b+c<0
A. b2-4ac>0 B. abc>0
y
C. a+b+c=0 D. a-b+c<0
4.方程x2-3x=0的两根是x1=0，x2=3,抛物线
最新人教版初中九年级下册数学【二次函数 第二课时】教学课件
二次函数（第二课时）
初中数学
学习目标
1 会用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建 立知识之间的联系；
2 会利用函数图象解决问题，进一步体会数形结合思想； 3 灵活运用函数与方程的有关知识解决问题，提高分析
和解决问题的能力．
初中数学
用函数观点看一元二次方程、不等式
一元二次方程 令y=0 二次函数 令y>0 一元二次不等式
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
形
求抛物线y=ax2+bx+c与与直x轴线y=m 交点的横坐标.
形
在直线y=m
求抛物线y=ax2+bx+c与直上线方y的=m点交点
的横坐标范围.
初中二数次学函数与一元二次方程之间的关系
解一元二次方程aaxx2+2+bbxx++cc==mm(xa+≠0n)（m ≠0 ） 数
当二次函数y=ax2+bx+c的 函数值与一次函数y=mx+n的函数值相等 时，求自变量x的函值数. 值y=m
3 关于x的方程ax2+bx+c=3 (a≠0)的解 为 x=-2或0 .
4 若 关于x的方程ax2+bx+c=k (a≠0)有两个 不 相等的实数根，则k的取值范围为 k<4 .
初中数学
例题讲解
例2.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-1，
与x 轴的一个交点为 （1,0），与 y轴的交点为 （0,3）.
（1）关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解 为 x=-3或1 .
初中数学
学习目标
1 会用函数观点看一元二次方程和一元二次不等式，建 立知识之间的联系；
2 会利用函数图象解决问题，进一步体会数形结合思想； 3 灵活运用函数与方程的有关知识解决问题，提高分析
和解决问题的能力．
初中数学
用函数观点看一元二次方程、不等式
一元二次方程 令y=0 二次函数 令y>0 一元二次不等式
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
形
求抛物线y=ax2+bx+c与与直x轴线y=m 交点的横坐标.
形
在直线y=m
求抛物线y=ax2+bx+c与直上线方y的=m点交点
的横坐标范围.
初中二数次学函数与一元二次方程之间的关系
解一元二次方程aaxx2+2+bbxx++cc==mm(xa+≠0n)（m ≠0 ） 数
当二次函数y=ax2+bx+c的 函数值与一次函数y=mx+n的函数值相等 时，求自变量x的函值数. 值y=m
3 关于x的方程ax2+bx+c=3 (a≠0)的解 为 x=-2或0 .
4 若 关于x的方程ax2+bx+c=k (a≠0)有两个 不 相等的实数根，则k的取值范围为 k<4 .
初中数学
例题讲解
例2.二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=-1，
与x 轴的一个交点为 （1,0），与 y轴的交点为 （0,3）.
（1）关于x的方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的解 为 x=-3或1 .
二次函数图像和性质第二课时
求解二次函数参数a,b,c和变换
参数a
- a的正负性决定了抛物线的开 口方向；
- a的值越大，抛物线越窄，变 化越剧烈；
- a的值越小，抛物线越平缓， 变化越缓和。
参数b,c
- b表示对称轴位置，c表示纵向 位移；
- b,c的正负性和大小决定了抛 物线的位置和位置的变化。
变换操作
- 平移：改变b,c的值，使抛物 线沿坐标轴平移；
2
货币政策
利用二次函数模型研究通货膨胀、货币供给和利率等经济指标的关系。
3
投资和金融
使用二次函数拟合和预测各种金融数据，如收益率、股票价格、区块链价格等。
二次函数技巧和常用小技巧
判断开口方向
- 系数a为正，开口向上； - 系数a为负，开口向下。
判断位置关系
- 当一个二次函数图像位于另 一个二次函数图像上方时， 两者的交点为前者二次函数 的根。
二次函数在信息学中的应用
图像处理
- 图像矫正模型: y = ax² + bx + c - 非线性滤波器: y = $(1 + ax + bx²) / (1 + cx + dx²)$
信号处理
- 带通滤波器: y = ax² / (1 + bx + cx²) - 频率合成模型: y = a cos(2πfx)
求解零点的特殊技巧
- 配方法：将二次函数式通分， 并将 ax² + bx + c = a(x + b/2a)² + (c - b²/4a) 化为一次 项加完全平方项的形式；
- 模拟除法法：模拟二次函数 根式的格式，用正负分别代 入函数式得到两个零点。
二次函数综合练习及答案解析
二次函数的图像与性质第二课时说课课件
讲授新课：逐步深入，化解难点
引入二次函数的定义和一般形式，解释 二次函数系数对图像的影响。
通过图像展示二次函数的开口方向、对 称轴和顶点等性质，帮助学生形成直观
认识。
详细讲解二次函数的最大值和最小值问 题，引导学生理解最值的求解方法和实
际意义。
巩固练习：针对训练，提高能力
提供多种类型的练习题，包括求解析 式、判断图像形状、求最值等，让学 生全面巩固所学知识。
课后拓展延伸建议
深入研究
选择一个具体的二次函数 ，深入研究其图像和性质 ，并撰写研究报告；
拓展应用
尝试将二次函数应用于实 际问题中，例如解决最优 化问题；
自主探索
探索二次函数与其他数学 知识点的联系，例如与三 角函数、数列等的结合。
个性化辅导策略
针对学生的不同兴趣点，提供与二次函数相关的趣味 数学题目或数学史话等阅读材料，激发学生的学习兴 趣；
知识点梳理与分析
知识点2
二次函数的图像特征
分析
学生需要掌握二次函数的图像是一条抛物线，理解抛物线的开口方向、顶点、对称轴等基本概念，并能够根据函 数的表达式绘制出相应的图像。
知识点梳理与分析
知识点3
二次函数的性质
分析
学生需要深入理解二次函数的性质，包括开口方向（由$a$的正负决定）、顶点坐标（可以通过公式 $-frac{b}{2a},f(-frac{b}{2a})$求得）、对称轴（$x=-frac{b}{2a}$）等。同时，要了解这些性质在实 际问题中的应用。
定期查看学生作业，了解学生对知 识点的掌握情况。
小组讨论表现
评估学生在小组讨论中的贡献，包 括提出问题和解答问题的能力。
结果性评价方法
单元测试
二次函数(第二课时)
0
，
0 时，y<0.
6、若抛物线 y 6 x 上点P的坐标为 (2，a)，则抛物线上与P点对称的点 P’的坐标为 。
2
7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的 是 y ( ) (A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b y x2 的函数值相等; o x (B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应. (C) 对任一个实数y,有两个x和它对应. (D) 对任意实数x,都有y＞0.
yx
抛物线 y x 与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x 2 的顶点
2
抛物线与对称轴 有交点吗？
它是抛物线 y x 的最低点．
2
1 2 例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 2 x 和y=2x2的图象 解: (1) 列表 x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(3)y=(2x-1)2-4x2.
用描点法画二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … 列表时应注意 y … 9 4 1 什么问题？ 0 1 4 9 … y 描点法 (2) 描点 你还记得用描 10
列表 描点
9 8 2 y = x 7 描点时应以哪些数 6 5 值作为点的坐标？ 4 3 2 1
对称轴： y 轴
1 2 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大 y x 2
y 轴右侧，y随x增大而减小
不同点: 开口大小不同; a越小，
y x2 抛物线的开口越小．
-5
y 2 x 2
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
8 6
高中数学课件-二次函数的第二课时
(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2=m2－4m+8=(m－2)2+4. 所以当m=2时，|x1－x2|最小，最小值是2.
能力训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下
列各不等式中成立的个数是__①__④___⑤_____
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b2-4ac > 0
2
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y =1 x2 经一系列变换得到
2 的，具体地说：先将y = 1 x2 的图像向左移动4个单位，再向下移
动2个单位得到
f (x)
1
2
(x
4)
2
2
的图像
2
（2）函数与x轴的交点是： (－6，0)和( －2，0)
函数与y轴的交点：
（0，6）
（3）函数图像的对称性质：
b
2
x
b 2a
时，ymax
4ac 4a
b2
y y
x
x
（二）研究二次函数的一般方法: （1）配方 （2）求函数的图象与x轴的交点 （3）列表描点作图 （4）函数图象的对称性质 （5）函数的增减性，最值
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
2 解：（1）配方得 f (x) 1 (x 4)2 2
例3. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个 交点； （2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。
解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；
能力训练
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则在下
列各不等式中成立的个数是__①__④___⑤_____
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤Δ=b2-4ac > 0
2
所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y =1 x2 经一系列变换得到
2 的，具体地说：先将y = 1 x2 的图像向左移动4个单位，再向下移
动2个单位得到
f (x)
1
2
(x
4)
2
2
的图像
2
（2）函数与x轴的交点是： (－6，0)和( －2，0)
函数与y轴的交点：
（0，6）
（3）函数图像的对称性质：
b
2
x
b 2a
时，ymax
4ac 4a
b2
y y
x
x
（二）研究二次函数的一般方法: （1）配方 （2）求函数的图象与x轴的交点 （3）列表描点作图 （4）函数图象的对称性质 （5）函数的增减性，最值
例1.研究函数 f (x) 1 x2 4x 6 的图像与性质.
2 解：（1）配方得 f (x) 1 (x 4)2 2
例3. 已知二次函数y=x2－mx+m－2， （1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个 交点； （2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。
解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0， 所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；
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探究4、观察图形，Y随X的变化如何变化？
8
y
6
y=2x2
x
当a＞0时， 对称轴的左恻:y随x的增大而减 小； 对称轴的右恻:y随x的增大而增 大。
4
2
-2
o
5
-4
-6
-8
y=-2x2
当a＜0时，
对称轴的左恻:y随x的 增大而增 大； 对称轴的右恻:y随x的增大而减 小。
6请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。
已知函数y=－2x2,对于一切x的值，总有函数值y_______
探究１：二次函数的图象
1：画出 y= x2 的图象。
解： （1）列表
x y … … -3 9 -2 4 -1 1 0 0
以0为中 心选取7个X 值列表
1 1 2 4 3 9 … …
（2）描点 （3）连线
10 Y 8 6 4 2
轴对称 图形
2
x2 的对应值分别为 y1 ，y 2 ， （2）当 a 0 时，设自变量 x1， 当 x1 x2 0 时，必有 y1 y2 吗？为什么？
小结： １．函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数． ２．二次函数y=ax2的图象性质与特点：
（1） 顶点都在原点;对称轴是y轴 （２）当a>0时，开口向上；当a<0时，开口 向下． （３）当a＞0时， 在对称轴的左恻:y随x的增大而减小； 在对称轴的右恻:y随x的增大而增大。 当a<0时， 在对称轴的左恻:y随x的 增大而增大； 在对称轴的右恻:y随x的增大而减小。
试一试：
1、函数y=2x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
2、函数y=-3x2的图象的开口 ，对称轴 是 ，顶点是 ；在对称轴的左 侧，y随x的增大而 y随x的增大而 ； ，在对称轴的右侧，
3、观察函数y=x2的图象，则下列判断中正确的是 （ A ） A 若a,b互为相反数，则x=a与x=b的函数值相等。 B 对于同一个自变量x，有两个函数值与它对应。
O
y=-2 B y x
A
例3、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程 组
y=4x2 y=3x+1
O x
回顾练习及提高： ，对称轴是 ， 图像在 x 轴的 （顶点除外），开口方向向 ，当 x 时，y 随着 x 的增大而减小，当 时，y 随着 x 的增大而增大。
2、已知函数
y m 1x
m 2m2
2
m 2x
是二次函数，且开口向上。
求m的值及二次函数的解析式，并回答y随x的变化 规律
例2、函数y=ax2(a≠0)与直线y=2x-3交于点(1,b).求：
(1)a与b的值；
先代入直线，得到交点再代入二次函数
(2)求抛物线y=ax2的解析式，并求顶点坐标和对称轴； (3)x取何值时，二次函数y=ax2的 y随x增大而增大？ (4)求抛物线与直线y=-2的两交点与顶点构成的三角形 的面积。
-5
-
0
5
x y
… …
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
X
… …
2：请同学们画出 y=-x2 的图象。
x y … … -3 -9 -2 -4 -1 -1 0 0 1 -1 2 -4 3 -9 … …
8
y
64Biblioteka 23. 探究２:观察y=x2,y=-x2的图象,它们整体上给你
-2
o
x
5
一种什么感觉?
2 y 3 x 2、抛物线 ，当 x 时， y 随着 x 的增大而 减小，当 x 时，函数 y 有最 值，此时 y ＝ 。
2 y x 1、二次函数 的顶点坐标是
3、根据二次函数 y ax 的图像的性质，回答下列问题： （1）如果点P(m, n) 在抛物线y ax2 上，那么点Q(m, n)也在 这条抛物线上吗？为什么？
-4
-6
答:这两个图象都是以y轴为对称轴的轴对称图形。
两个图象关于x轴对称。
-8
定义:函数y=x2,y=-x2的图象是一条关于y轴对称的曲线,这条 曲线叫做抛物线. y轴是对称轴,对称轴与抛物线的交点是抛物线的顶点.
探究３,观察y=x2,y=-x2的图象,说出它们的开口方向和顶点坐 标及其规律. y
8
1.
抛物线y=x2的图象开口向上, 抛物线y=-x2的图象开口向下.
6
4
2
2. 图象的顶点都在原点. y=x2的顶点是图象的最低点, y=-x2的顶点是图象的最高点.
-2
o
5
X
-4
-6
-8
结论：二次函数 y=ax2 的图象与性质
1. 顶点都在原点; 2. 当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下． 3.还可以发现，｜a｜越大，则开口越小； ｜a｜越小，则开口越大
C 对任一个实数y，有两个x和它对应。
D 对任意实数x，都有y＞0
y
o
x
例1、已知y =(m+1)x
图象开口向下
是二次函数且其
（1）求m的值和函数解析式。 （2）x在何范围内，y随x的增大而增大 ? y
y随x的增大而减小?
o x
练习一
1、已知y=（k+2）x
k2+k-4
是二次函数， ；
且当x>0时，y随X增大而增大，则k=
o x
a<o
(3)、增减性
当a＞0时， 在对称轴的左恻(x<0): y随x的增大而减小； 在对称轴的右恻(x>0): y随x的增大而增大。
a＞0
∴ 当 x=0 时, y最小值=o.
当a<0时 在对称轴的左恻(x<0): y随x的增大而增大。 在对称轴的右恻(x>0): y随x的增大而减小。
a<0
∴ 当 x=0 时, y最大值=o.
y=ax2 顶点
对称轴
开口 图象
左侧 x
6 2
右侧 y x y
a＞0
(0,0)最 低点
y轴
10
向上
增 大
减 增 增 小 大 大
a＜0
(0,0) 最高点
向下
y轴
增 大
增 增 减 大 大 小
二次函数y=ax2的图象的性质
(1)、顶点是原点，对称轴是y轴。
y
a>0
即:直线:x=0, (2)、开口方向： 当a大于0时，开口向上； 当a小 于0时，开口向下。
二次函数的定义：
函数y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0) 叫做x的二次函数
思考：你认为判断二次函数的关键是什么？
判断一个函数是否是二次函数的关键是： 看二次项的系数是否为0．
练习： 若函数y=(m2+3m-4)x2+(m+2)x+3m是x的二次函数，则m______
已知函数y=2x2,对于一切x的值，总有函数值y_______