南京大学和数学分析考研考试及解答

南京大学2002年数学分析考研试题

一 求下列极限。

（1）(1)cos

2

lim

(sin sin )ln(1)

2

x x x x x

x x →∞

+--+；

（2）设()ln()f x x a x =+-，(,)x a ∈-∞，

（i ）()f x 在(,)a -∞上的最大值；

（ii ）设1ln x a =，21ln()x a x =-，1()n n x f x +=，(2,3,)n =，求lim n n x →∞

。

二 设1

()sin ln f x x x

=-

，试证明()f x 在[2,)+∞内有无穷多个零点。 三 设()f x 在0x =的某个邻域内连续，且(0)0f =，0()

lim

21cos x f x x

→=-， （1）求(0)f '； （2）求2

()

lim

x f x x →； （3）证明()f x 在点0x =处取得最小值。

四 设()f x 在0x =的某个邻域内具有二阶连续导数，且0

()

lim

0x f x x

→=，试证明： （1）(0)(0)0f f '==；

（2）级数

1

1

()n f n

∞

=∑

绝对收敛。 五 计算下列积分 （1

）求

x ；

（2）S

I zxdydz xydzdx yzdxdy =

++⎰⎰，其中S 是圆柱面22

1x y +=，三个坐标平面及旋转抛物面2

2

2z x y =--所围立体的第一象限部分的外侧曲面。

六 设()[,]f x C a b ∈，()f x 在(,)a b 内可导，()f x 不恒等于常数，且()()f a f b =， 试证明：在(,)a b 内至少存在一点ξ，使()0f ξ'>。

七 在变力F yzi zxj xyk =++的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面

222

2221x y z a b c

++=, 第一象限的点(,,)M ξηζ,问(,,)ξηζ取何值时，F 所做的功W 最大，并求W 的最大值。 八 （1）证明：(1)n x

x

e n

--≤，(,0)n N x n *∈≤≤；

（2）求20lim

(1)n

n n x x dx n

→∞-⎰。 南京大学2002年数学分析考研试题解答

一 （1）解 0

(1)cos

2

lim

(sin sin )ln(1)

2

x x x x x

x x →+--+

2

01

(1)cos

1

2

lim

sin sin 2ln(1)x x x

x x x x x x x →+-=-+

ln(1)01

(ln(1))sin 1222lim

2x x x x x e x x x

+→+++⋅

+= 1

ln(1)0sin 12lim[(ln(1))]12x x x x x e x x x +→=+++

+ 124=+

94

=. （2）解 （i ）11()1a x

f x a x a x

--'=-=--, 当1x a <-时，()0f x '>，()f x 在(,1]a -∞-上单增， 当1a x a -<<时，()0f x '<，

()f x 在[1,)a a -上单减，

所以()f x 在1x a =-处达到最大值，(1)1f a a -=-； （ii ）当1a >时，10ln ln(11)1x a a a <==+-<-，

11a x a <-<，

210ln()ln 1x a x a a <=-<<-， 32()(1)1x f x f a a =<-=-，

1n x a <-，1n a x <-，

1ln()n n n n x x a x x +=+->，{}n x 单调递增有上界，设lim n n x A →∞

=，则有

ln()A A a A =+-，1a A -=，1A a =-， lim 1n n x a →∞

=-；

当1a =时，0n x =，lim 0n n x →∞

=；

当01a <<时，1ln 0x a =<，1ln ln(11)1x a a a ==+-<-，

11a x <-，

二 证明 因为1(2)102

ln(2)

2

f n n π

ππ

π+

=-

>+，

1

(2)102ln(2)2

f n n ππππ-=--<-，(1,2,)n =，

显然()f x 在[2,)+∞上连续，由连续函数的介值定理知，存在(2,2)22

n n n π

π

ξππ∈-+使得

()0n f ξ= (1,2,)n =，

即得()f x 在[2,)+∞上有无穷多个零点。

三 解 （1）2

200()()2lim lim 1cos 1cos x x f x f x x x x x →→==--，

因为2

0lim

21cos x x x →=-，所以20()lim 1x f x x →=， 200()()

lim

lim()0x x f x f x x x x

→→=⋅=，

00()(0)()lim lim 00x x f x f f x x x →→-==-， 于是(0)0f '=；

（3）由20()lim

1x f x x →=知，存在0δ>，当0x δ<<时，2()1

2

f x x >，()(0)f x f >， 即知()f x 中在0x =处取得极小值。sup ()x M f x δ

≤''=

四 、证明 （1）由0

()

lim ()lim

0x x f x f x x x

→→=⋅=，知(0)0f =，