中考数学专项训练(阴影部分的面积)

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2024河南中考数学复习与圆有关的计算(含阴影部分面积) 强化精练 (含答案)

2024河南中考数学复习与圆有关的计算(含阴影部分面积)强化精练基础题1.(2023兰州)如图①是一段弯管，弯管的部分外轮廓线如图②所示是一条圆弧AB ︵，圆弧的半径OA ＝20cm ，圆心角∠AOB ＝90°，则AB ︵＝()第1题图A.20πcmB.10πcmC.5πcmD.2πcm2.(2023新疆维吾尔自治区)如图，在⊙O 中，若∠ACB ＝30°，OA ＝6，则扇形OAB (阴影部分)的面积是()第2题图A.12πB.6πC.4πD.2π3.(2023鄂州)如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，∠ACB ＝30°，AB ＝4，点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点D ，则图中阴影部分的面积是()第3题图A.53－33πB.53－4πC.53－2πD.103－2π4.(2023连云港)如图，矩形ABCD 内接于⊙O ，分别以AB 、BC 、CD 、AD 为直径向外作半圆．若AB ＝4，BC ＝5，则阴影部分的面积是()第4题图A.414π－20B.412π－20C.20πD.205.(2023金华)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝6cm ，∠BAC ＝50°，以AB 为直径作半圆，交BC 于点D ，交AC 于点E ，则弧DE 的长为________cm.第5题图6.如图，在2×3的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点A ，B ，C ，D 都在格点上，线段CD 与AC ︵交于点E ，则图中AE ︵的长度为________．第6题图7.(2023重庆A 卷)如图，⊙O 是矩形ABCD 的外接圆，若AB ＝4，AD ＝3，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留π)第7题图8.(2023包头)如图，正方形ABCD的边长为2，对角线AC，BD相交于点O，以点B为圆心，对角线BD的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积为________．第8题图9.(万唯原创)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AC＝2，以点A为圆心，AC 长为半径作弧，分别交AB，BC于点D，E，则图中阴影部分的周长为________．第9题图10.(2023新乡一模)如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2.将△ABC绕着点A顺时针旋转90度到△AB1C1的位置，则边BC扫过区域的面积为________．第10题图11.(2023驻马店二模)如图，将扇形OAB沿OA方向平移得到对应扇形CDE，线段CE交AB︵于点F，当OC＝CF时平移停止．若∠O＝60°，OB＝3，则阴影部分的面积为________．第11题图拔高题12.(2023通辽)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝60°，OD平分∠AOB交AB︵于点D，点C是半径OB 上一动点，若OA ＝1，则阴影部分周长的最小值为()A.2＋π6B.2＋π3C.22＋π6 D.22＋π3第12题图13.如图，两个半径长均为2的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C 是AB ︵的中点，且扇形CFD 绕着点C 旋转，半径AE ，CF 交于点G ，半径BE ，CD 交于点H ，则图中阴影部分面积等于()第13题图A.π2－1B.π2－2C.π－1D.π－214.如图，AB 为⊙O 的直径，将BC ︵沿BC 翻折，翻折后的弧交AB 于点D.若BC ＝45，sin ∠ABC ＝55，则图中阴影部分的面积为()第14题图A.25πB.25πC.8D.1015.如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝22，对角线AC，BD交于点O，以A为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于点F，连接FO并延长交AB于点M，连接AF，则图中阴影部分的面积是______．(结果保留π)第15题图参考答案与解析1.B 【解析】∵圆弧的半径OA ＝20cm ，圆心角∠AOB ＝90°，∴ AB 的长＝90π×20180＝10π(cm).2.B 【解析】∵∠ACB ＝30°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝60°，∴S 扇形AOB ＝60×π×62360＝6π.3.C【解析】如解图，连接OD ，BD ，在Rt △ABC 中，tan 30°＝AB BC ，∴BC ＝AB tan 30°＝43，∵OC ＝OD ，∴∠OCD ＝∠ODC ＝30°，∴∠BOD ＝60°，∵BO ＝DO ，∴△BOD 是等边三角形，∴BD ＝BO ＝12BC ＝23，∠BDO ＝60°，∴∠BDC ＝90°，AD ＝BD ·tan 30°＝2.∴S 阴影部分＝S △ABD ＋S △BOD －S 扇形BOD ＝12×23×2＋34×(23)2－60π×（23）2360＝53－2π.第3题解图4.D 【解析】如解图，连接AC ，∵矩形ABCD 内接于⊙O ，AB ＝4，BC ＝5，∴AC 2＝AB 2＋BC 2，∴阴影部分的面积为S矩形ABCD ＋π×(AB 2)2＋π×(BC 2)2－π×(AC 2)2＝S 矩形ABCD ＋π×14(AB 2＋BC 2－AC 2)＝S 矩形ABCD ＝4×5＝20.第4题解图5.56π【解析】如解图，连接OE ，OD ，∵OD ＝OB ，∴∠B ＝∠ODB ，∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，∴∠C ＝∠ODB ，∴OD ∥AC ，∴∠EOD ＝∠AEO ，∵OE ＝OA ，∴∠OEA ＝∠BAC ＝50°，∴∠EOD ＝∠BAC ＝50°，∵OD ＝12AB ＝12×6＝3(cm)，∴ DE 的长为50π×3180＝56π(cm).6.54π【解析】如解图，连接AC ，AD ，设AC 交网格线于点O ，连接OE .∵AD 2＝22＋12＝5，AC 2＝22＋12＝5，CD 2＝12＋32＝10，∴AD ＝AC ，AD 2＋AC 2＝CD 2，∴△ACD 是等腰直角三角形，∴∠ACD ＝45°，∵∠ABC 是直角，∴AC 是⊙O 的直径，∴∠AOE ＝90°.∵AC ＝5，∴OE ＝OA ＝12AC ＝52，∴ AE 的长为90π×52180＝54π.第6题解图7.254π－12【解析】如解图，连接BD ，由题知∠BAD ＝90°，∴BD 是⊙O 的直径，∵AB ＝4，AD ＝3，∴BD ＝AD 2＋AB 2＝32＋42＝5，∴S 阴影＝S ⊙O －S 矩形ABCD ＝π×(52)2－3×4＝254π－12.第7题解图8.π【解析】∵正方形ABCD 对角线相交于点O ，∴AO ＝BO ，CO ＝DO ，∠AOD ＝∠BOC ，∴△AOD ≌△BOC ，∴阴影部分的面积＝扇形DBE 的面积，∵正方形的边长为2，∴由勾股定理得BD ＝22，∠DBC ＝45°，∴阴影部分的面积＝45360×π·(22)2＝π.9.π3＋23【解析】如解图，连接AE ，∵在Rt △ABC 中，∠B ＝30°，∴BC ＝2AC ＝4，AB ＝23.∵ DE 是以点A 为圆心，AC 长为半径的弧，∴AD ＝AE ＝AC ＝2，∴BD ＝AB －AD＝23－2，∠AEC ＝∠C ＝60°，∴△AEC 为等边三角形，∴AE ＝EC ＝2.，∴BE ＝2，∠BAE＝∠B ＝30°，∴ DE 的长为30π×2180＝π3，∴阴影部分的周长为2＋π3＋23－2＝π3＋23.10.π【解析】在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，由勾股定理得，AB ＝22＋22＝22，∵将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90度到△AB 1C 1的位置，∴∠CAC 1＝90°，∴阴影部分的面积S ＝S 扇形BAB 1＋S △B 1AC 1－S △ACB －S 扇形CAC 1＝S 扇形BAB 1－S 扇形CAC 1＝90π×（22）2360－90π×22360＝π.11.3π4－334【解析】如解图，连接OF ，过点C 作CH ⊥OF 于点H ，由平移性质知，CE ∥OB ，∴∠CFO ＝∠BOF ，∵CO ＝CF ，∴∠COF ＝∠CFO ，∴∠COF ＝∠BOF ＝12∠BOC ＝30°，在等腰△OCF 中，OH ＝12OF ＝12OB ＝32，∴CH ＝OH ·tan 30°＝32×33＝32，∴S 阴影＝S 扇形AOF －S △COF ＝30·π×32360－12×3×32＝3π4－334.第11题解图12.A 【解析】如解图，作D 点关于直线OB 的对称点E ，连接AE ，OE ，DE ，CE ，AE 与OB 的交点为C 点，则CD ＝CE ，OD ＝OE ，∠DOB ＝∠EOB ，∴AC ＋CD ＝AC ＋CE ≥AE ，当A ，C ，E 三点共线时，AC ＋CD 取得最小值，此时阴影部分周长最小，在扇形AOB 中，∠AOB ＝60°，OD 平分∠AOB 交 AB 于点D ，∴∠AOD ＝∠BOD ＝30°，由轴对称的性质，∠EOB ＝∠BOD ＝30°，OE ＝OD ，∴∠AOE ＝90°，∴△AOE 是等腰直角三角形，∵OA ＝1，∴AE ＝2， AD 的长＝30π×1180＝π6，∴阴影部分周长的最小值为2＋π6.第12题解图13.D 【解析】两扇形的面积和为180π·（2）2360＝π，如解图，过点C 作CM ⊥AE 于点M ，CN ⊥BE 于点N ，连接CE ，则四边形EMCN 是矩形，∵点C 是 AB 的中点，∴EC 平分∠AEB ，∴CM ＝CN ，∴矩形EMCN 是正方形，∵∠MCG ＋∠FCN ＝90°，∠NCH ＋∠FCN ＝90°，∴∠MCG ＝∠NCH ，在△CMG 与△CNH 中，MCG ＝∠NCH ，＝CN ，CMG ＝∠CNH ，∴△CMG ≌△CNH (ASA)，∴中间空白区域面积相当于对角线是2的正方形面积，∴空白区域的面积为12×2×2＝1，∴图中阴影部分的面积＝π－2.第13题解图14.C 【解析】如解图，连接AC ，CD ，过点C 作CH ⊥AB 于点H ，∵∠ABC ＝∠DBC ，∴ AC ＝ CD，∴AC ＝CD ，∵CH ⊥AD ，∴AH ＝HD ，∵BC ＝45，sin ∠ABC ＝55，∴CH ＝BC ·sin ∠ABC ＝4，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，∵sin ∠ABC ＝AC AB ＝55，∴设AC ＝5m ，AB ＝5m ，根据勾股定理，AC 2＋BC 2＝AB 2，∴5m 2＋80＝25m 2，∴m ＝2(负值已舍去)，∴AC ＝CD ＝25，∴AH ＝AC 2－CH 2＝（25）2－42＝2，∴AD ＝2AH ＝4，∴S 阴影＝S △ACD ＝12AD ·CH ＝12×4×4＝8.第14题解图15.π－22＋2【解析】在矩形ABCD 中，AD ＝2，AB ＝22，∴∠ADC ＝90°，AB ∥CD ，OB ＝OD ，∴∠ABD ＝∠CDB ，∵AF ＝AB ＝22，AF 2＝AD 2＋DF 2，∴(22)2＝22＋DF 2，∴DF ＝2，∴AD ＝DF ，∴∠DAF ＝∠DFA ＝45°，∴∠BAF ＝45°，在△BOM 和△DOF 中，MBO ＝∠FDO＝ODBOM ＝∠DOF ，∴△BOM ≌△DOF (ASA)，∴BM ＝DF ＝2，∴AM ＝22－2，∴图中45π×（22）2360－12×(22－2)×2＝π－22＋2.阴影部分的面积为：。

中考数学阴影部分面积-含答案

阴影部分面积未命名一、填空题1．如图，已知水平放置的圆柱形污水排水管道的截面半径12cmOB=，截面圆心O到污水面的距离6cmOC=，则截面上有污水部分的面积为________．【答案】48π【分析】连接OA，阴影部分的面积等于扇形AOB的面积与三角形AOB的面积差，计算圆心角∠AOB的大小即可．【详解】如图，连接OA，∵OB=12，OC=6，OC⊥AB，∴sin∠OBA=12OCOB=，AC=BC，∴∠OBA=30°，BC AB=2BC ∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∴∠AOB=120°，∴212012=360AOB S π⨯⨯扇形=48π，∴11=622AOB S AB OC ⨯=⨯△∴阴影部分的面积为-AOB AOB S S △扇形=48π故答案为：48π【点睛】本题考查了垂径定理，特殊角的三角函数，扇形的面积，三角形的面积，熟练进行图形面积分割，并运用相应的公式计算是解题的关键．2．如图，已知Rt ABC 中，6AB =，8BC =，分别以点A 、点C 为圆心，以2AC 长为半径画圆弧，则图中阴影部分的面积为____________．（结果保留π）【答案】2524.4π-【分析】先计算,,A C AC ∠+∠ 再由阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积减去一个圆心角为90,︒ 以12AC 为半径的扇形面积，再分别计算ABC 的面积，圆心角为90,︒ 以12AC 为半径的扇形面积，从而可得答案．【详解】解： Rt ABC 中，6AB =，8BC =，90,B ∠=︒90,10,A C AC ∴∠+∠=︒===115,6824,22ABC AC S ∴==⨯⨯= 又阴影部分的面积等于三角形ABC 的面积减去一个圆心角为90,︒ 以12AC 为半径的扇形面积，290525,3604S ππ⨯∴==扇形 2524.4S π∴=-阴影故答案为：2524.4π- 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算是解题的关键．3．如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC =A ，B ，C 为圆心，以12AB 的长为半径画弧分别与ABC 的边相交，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π）【答案】82π-【分析】三角形面积公式S=1AC AB 2⨯，扇形面积公式：S ＝2360n r π，阴影面积=三角形面积—180°扇形的面积，计算即可．【详解】∵等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，BC =∴AB=BC•sin45°==42， ∴S △ABC =144=82⨯⨯， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴1=4=2212AB ⨯，以2为半径，180°扇形是半圆=212=22ππ⨯，阴影面积=8-2π．故答案为：8-2π．【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，三角形面积，熟知扇形的面积公式的运用，解题的关键是阴影面积=等腰直角三角形的面积-以2为半径180°扇形面积．4．如图，在正方形ABCD 的边长为6,以D 为圆心，4为半径作圆弧．以C 为圆心，6为半径作圆弧．若图中阴影部分的面积分别为12S S 、时，则12S S -=_____________．(结果保留π)【答案】1336π-【分析】根据割补法可进行求解．【详解】解：由题意可得：设以以D 为圆心，4为半径作圆弧所在的扇形面积为S ，则有： 222906904636,==94360360ABCD DCB S S S ππππ⨯⨯====正方形扇形，， ∴12=1336ABCD DCB S S S S S π-=+--正方形扇形；故答案为1336π-．【点睛】本题主要考查扇形面积，熟练掌握扇形面积计算是解题的关键．5．如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，以点A 为圆心，AB 的长为半径画弧，刚好过点O ，以点D 为圆心，DO 的长为半径画弧，交AD 于点E ，若AC ＝2，则图中阴影部分的面积为_____．（结果保留π）【答案】4π 【分析】由图可知，阴影部分的面积是扇形ABO 和扇形DEO 的面积之和，然后根据题目中的数据，可以求得AB 、OA 、DE 的长，∠BAO 和∠EDO 的度数，从而可以解答本题．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵AB ＝AO ，∴△ABO 是等边三角形，∴∠BAO ＝60°，∴∠EDO ＝30°，∵AC ＝2，∴OA ＝OD ＝1，∴图中阴影部分的面积为：22601301+=3603604ππ⨯⨯⨯⨯π，故答案为：4π．【点睛】本题主要考查扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定，熟练掌握扇形面积、矩形的性质及等边三角形的性质与判定是解题的关键．6．如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，以AB 为直径的圆交BC 于点D ，求图中阴影部分的面积为_____．【答案】1【分析】连接AD ，由图中的图形关系看出阴影部分的面积可以简化成一个三角形的面积，然后通过已知条件求出面积．【详解】解：连接AD ，∵AB ＝BC ＝2，∠A ＝90°，∴∠C ＝∠B ＝45°，∴∠BAD ＝45°，∴BD ＝AD ，∴BD ＝AD∴由BD ，AD 组成的两个弓形面积相等，∴阴影部分的面积就等于△ABD 的面积，∴S △ABD ＝12AD•BD ＝121．故答案为：1．【点睛】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意作出辅助线，构造出等腰直角三角形是解答此题的关键．7．如图，在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，AB ＝2，点D 为AB 的中点，以点D 为圆心作圆，半圆恰好经过△ABC 的直角顶点C ，以点D 为顶点，作∠EDF ＝90°，与半圆交于点E 、F ，则图中阴影部分的面积是_______．【答案】142π- 【分析】连接CD ，作DM ⊥BC ，DN ⊥AC ，证明△DMG ≌△DNH ，则S 四边形DGCH ＝S 四边形DMCN ，求得扇形FDE 的面积，则阴影部分的面积即可求得．【详解】。

中考数学专题阴影部分的面积(无答案) 北师大版

专题阴影部分的面积1、如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边AD 、BC 的中点，点G 、H 在DC 边上，且GH =21DC ．若AB =10，BC =12,则图中阴影部分面积为．2、如图，正方形ABCD 的面积为1，M 是AB 的中点，则图中阴影部分的面积是（）3、如图，扇形OAB ，∠AOB=90 ，⊙P 与OA 、OB 分别相切于点F 、E ，并且与弧AB 切于点C ，则扇形OAB 的面积与⊙P 的面积比是．4、如图，四边形OABC 为菱形，点B 、C 在以点O 为圆心的⌒EF 上，若OA =1，∠1=∠2，则扇形OEF 的面积为（）4、、如图，AC 是汽车挡风玻璃前的刮雨刷．如果AO=65cm ，CO=15cm ，当AC 绕点O 旋转90°时，则刮雨刷AC 扫过的面积为_________cm2．5、如图，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙O 2的直径，弦MN ∥AB ，且MN 与⊙O 2相切于C 点，若⊙O 1的半径为2，则O 1B 、BN ⌒ 、NC 与CO 1⌒所围成的阴影部分的面积是．EF OA BC21（第15题）F6、将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，重叠部分（阴影）的量角器圆弧（ AB ）对应的中心角（∠AOB ）为120º，AO 的长为4cm ，则图中阴影部分的面积为（）A．16(3π+cm 2 B．8(3π+cm 2 C．16(3π+cm 2 D．8(3π+cm 27、如图，直径A B 为6的半径，绕A 点逆时针旋转60°，此时点B 到了点'B ，则图中阴影部分的面积是（A ）6π （B ）5π （C ）4π8、如图，在△ABC 中，AB = AC ，AB = 8，BC = 12，分别以AB 、AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（） A ．64π- B ．1632π- C ．16π-D ．16π-9、如图3，正方形ABCD 内接于⊙O ，直径MN ∥AD ，则阴影面积占圆面积：（） A ．12B ．14C ．16D ．18ABC第10题图O 1O 2第9题图CAB10、如图，正方形ABCD 边长为4，以BC 为直径的半圆O 交对角线BD 于E ．则直线CD 与⊙O 的位置关系是 ▲ ，阴影部分面积为(结果保留π) ▲ ．11、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=2分别以AC 、BC 为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）12、如图．矩形ABCD 中,AB=1，以AD 的长为半径的⊙A 交BC 边于点E ，则图中阴影部分的面积为 .15.如图，在半径为450的扇形AOB 内部作一个正方形CDEF ，使点C 在OA 上，点D 、E 在OB 上，点F 在 AB 上，则阴影部分的面积为（结果保留π） .16、如图，等腰Rt △ABC 的直角边长为4，以A 为圆心，直角边AB 为半径作弧BC 1，交斜边AC 于点C 1，AB B C ⊥11于点B 1，设弧BC 1，11B C ，B 1B 围成的阴影部分的面积为S 1，然后以A 为圆心，AB 1为半径作弧B 1C 2，交斜边AC 于点C 2，AB B C ⊥22于点B 2，设弧B 1C 2，22B C ，B 2B 1围成的阴影部分的面积为S 2，按此规律继续作下去，得到的阴影部分的面积S 3= .17、如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠DAB=45°，BC ∥AD ，CD ∥AB 。

专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法-2023年中考数学二轮复习核心考点拓展训练(解析版)

专题17 圆中阴影部分的面积七种计算方法（解析版）第一部分典例剖析+针对训练方法一公式法典例1 （2022•凉山州）家具厂利用如图所示直径为1米的圆形材料加工成一种扇形家具部件，已知扇形的圆心角∠BAC＝90°，则扇形部件的面积为（）A．12π米2B．14π米2C．18π米2D．116π米2思路引领：连结BC，AO，90°所对的弦是直径，根据⊙O的直径为1米，得到AO＝BO=12米，根据勾股定理得到AB的长，根据扇形面积公式即可得出答案．解：连结BC，AO，如图所示，∵∠BAC＝90°，∴BC是⊙O的直径，∵⊙O的直径为1米，∴AO＝BO=12（米），∴AB=AO2+BO2=22（米），∴扇形部件的面积=90360π×（22）2=π8（米2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，掌握设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形=n360πR2是解题的关键．针对训练1．（2021•卧龙区二模）如图，△ABC中，D为BC的中点，以点D为圆心，BD长为半径画弧，交边BC 于点B，交边AC于点E，若∠A＝60°，∠B＝100°，BC＝6，则扇形BDE的面积为．思路引领：求出扇形的圆心角以及半径即可解决问题．解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝180°﹣60°﹣100°＝20°，∵DE＝DC，∴∠C＝∠DEC＝20°，∴∠BDE＝∠C+∠DEC＝40°，∴S扇形DBE=40π×32360=π．故答案为：π．总结提升：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式．方法二和差法典例2（2022•荆州）如图，以边长为2的等边△ABC顶点A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，分别交AB，AC于D，E，则图中阴影部分的面积是（）A．3―π4B．23―πC．(6―π)33D．3―π2思路引领：作AF⊥BC，由勾股定理求出AF，然后根据S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE得出答案．解：由题意，以A为圆心、一定的长为半径画弧，恰好与BC边相切，设切点为F，连接AF，则AF⊥BC．在等边△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，∠BAC＝60°，∴CF＝BF＝1．在Rt△ACF中，AF=AB2―AF2=3，∴S阴影＝S△ABC﹣S扇形ADE=12×2×3―60π×(3)2360=3―π2，故选：D．总结提升：本题主要考查了等边三角形的性质，求扇形面积，理解切线的性质，将阴影部分的面积转化为三角形的面积﹣扇形的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•玉树市校级一模）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA＝2，过AB的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为点D，E，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1B．π﹣2C．π﹣4D．π2―1思路引领：连接OC，求出∠AOC＝∠BOC＝45°，求出∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，求出CD＝OD，CE＝OE，根据勾股定理求出CD＝OD＝OE＝CE=2，再求出阴影部分的面积即可．解：连接OC，∵OA＝2，∴OC＝0A＝2，∵∠AOB＝90°，C为AB的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∴∠DCO＝∠AOC＝∠ECO＝∠COE＝45°，∴CD＝OD，CE＝OE，∴2CD2＝22，2OE2＝22，即CD＝OD＝OE＝CE=2，∴阴影部分的面积S＝S扇形AOB﹣S△CDO﹣S△CEO=90π×22360―2×12×2×2=π﹣2，故选：B．总结提升：本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，圆心角、弧、弦之间的关系，扇形面积的计算等知识点，把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键，注意：如果扇形的圆心角为n°，半径为r，那么该扇形的面积为nπr2360．方法三等积变形法典例3（2020•朝阳）如图，点A，B，C是⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且∠ACB＝15°，过点O作OD ∥AB交⊙O于点D，连接AD，BD，已知⊙O半径为2，则图中阴影面积为．思路引领：由圆周角定理可得∠AOB的度数，由OD∥AB可得S△ABD＝S△ABO，进而可得S阴影＝S扇形AOB，然后根据扇形面积公式计算即可．解：∵∠ACB＝15°，∴∠AOB＝30°，∵OD∥AB，∴S△ABD＝S△ABO，∴S阴影＝S扇形AOB=30π×22360=π3．故答案为：π3．总结提升：本题考查了圆周角定理、扇形面积公式和同底等高的两个三角形的面积相等等知识，属于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键．针对训练1．（2022秋•天桥区期末）如图，菱形OABC的三个顶点A，B，C在⊙O上，对角线AC，OB交于点D，若⊙O的半径是23，则图中阴影部分的面积是（）A．2πB．6πC．33πD．3π思路引领：根据四边形OABC是菱形，得BC＝OC＝OB，即△COB是等边三角形，根据S△ADB＝S△OCD，所以图中阴影部分的面积＝S扇形COB．解：∵四边形OABC是菱形，∴BC＝OC＝OB，∴△COB是等边三角形，∴∠COB＝60°，∵S△ADB＝S△OCD，∴图中阴影部分的面积＝S扇形COB=60π×(23)2360=2π．故选：A．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算和菱形的性质，掌握扇形的面积公式是解题的关键．方法四化零为整法（整体法）典例4（2021•天桥区二模）如图，已知正六边形的边长为4，分别以正六边形的6个顶点为圆心作半径是2的圆，则图中阴影部分的面积为．思路引领：先求出六边形的内角和，再根据扇形的面积公式即可求出．解：∵六边形的内角和＝（6﹣2）×180°＝720°，∴阴影面积＝6×π×22―720π×22360=16π．故答案为：16π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积公式，学会把图中不规则图形的面积由几何关系转化为规则图形的面积．针对训练1．如图，分别以五边形的各个顶点为圆心，1cm长为半径作圆，则图中阴影部分的面积为　π　cm2．思路引领：根据多边形的外角和为360°可得阴影部分的面积为半径为1的圆的面积，再利用圆的面积计算公式可得答案．解：图中阴影部分的面积为π×12＝π．故答案为：π．总结提升：此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握多边形的外角和为360°．方法五割补法（拼接法）典例5（2022•铜仁市）如图，在边长为6的正方形ABCD中，以BC为直径画半圆，则阴影部分的面积是（）A．9B．6C．3D．12思路引领：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，证明BE＝CE，得到弓形BE的面积＝弓形CE的面积，则S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9．解：设AC与半圆交于点E，半圆的圆心为O，连接BE，OE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠OCE＝45°，∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE＝45°，∴∠EOC＝90°，∴OE垂直平分BC，∴BE＝CE，∴弓形BE的面积＝弓形CE的面积，∴S阴影=S△ABE=S△ABC―S△BCE=12×6×6―12×6×3=9，故选：A．总结提升：本题主要考查了求不规则图形的面积，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，圆的性质，熟知相关知识是解题的关键．针对训练1．（2021•郑州模拟）如图，在扇形CBA中，∠ACB＝90°，连接AB，以BC为直径作半圆，交AB于点D．若阴影部分的面积为（π﹣1），则阴影部分的周长为．思路引领：根据BC为直径可知∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22m，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差，据此求得直角三角形的边长，进而求得AB和CD的长，进一步求得阴影部分的周长．解：设BC的中点为O，连接OD，连接CD，∵以BC为直径作半圆，交AB于点D．∴CD⊥AB，∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AD＝BD，CD=12 AB，∴CD＝BD，∴CD=BD，∵AD＝BD，CO＝BO，∴OD∥AC，∴∠BOD＝90°，设AC＝BC＝m，则AB=2m，CD＝AD＝BD=22 m，∵阴影部分的面积为（π﹣1），∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=14π•m2―12×（22m）2＝π﹣1．∴14πm2―14m2＝π﹣1，∴14m2＝1，∴m＝2，∴AC＝BC＝2，AB＝22，OC＝OB＝1，∴AB的长为：90⋅π×2180=π，BD的长为：90⋅π×1180=12π，∴阴影部分的周长为：π+2×12π+22+2＝2π+22+2故答案为：2π+22+2．总结提升：本题考查了扇形的面积和弧长的计算，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．方法6 图形变化法（旋转、平移、翻折）典例6（2022•武威模拟）在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC 绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB'C'．则图中阴影部分的面积为．思路引领：解直角三角形得到AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，然后根据扇形的面积公式即可得到结论．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，∴AB=3BC=3，AC＝2BC＝2，∴图中阴影部分面积＝S扇形ACC′﹣S扇形ADB′﹣S△AB′C′=90⋅π⋅22360―60⋅π⋅(3)2360―12×1×3=π―32，故答案为：π―32；总结提升：本题主要考查了图形的旋转，扇形的面积公式，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解决问题的关键．针对训练1．（2022•西宁）如图，等边三角形ABC内接于⊙O，BC＝23，则图中阴影部分的面积是　4π3　．思路引领：根据内接于圆O的等边三角形的性质可得S△AOB＝S△AOC，∠AOC＝120°，将阴影部分的面积转化为扇形AOC的面积，利用扇形面积的公式计算可求解．解：∵△ABC为等边三角形，∴S△BOC＝S△AOC，∠AOC＝120°，在△OBC中，OB＝OC，∠BOC＝120°，BC＝23，∴OB＝OC＝2，∴S阴影＝S扇形AOC=120π×22360=4π3，故答案为：4π3．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，等边三角形的性质，掌握扇形面积公式是解题的关键．典例7（2022•九龙坡区自主招生）如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点，以C为圆心，4为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，2为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）思路引领：连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．解：连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为4，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝2，∴OB=OD，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD=90π×42360―12×4×4=4π﹣8．故答案为：4π﹣8．总结提升：本题主要考查了正方形的性质，扇形面积的计算．通过添加适当的辅助线将不规则的阴影部分的面积转化成规则图形的面积的差是解题的关键．针对训练1．（2021•重庆模拟）如图，在正方形ABCD中，扇形BAD的半径AB＝4，以AB为直径的圆与正方形的对角线BD相交于O，连接AO．则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）思路引领：理由圆周角定理得出AO⊥BD，利用正方形的性质性质和等腰直角三角形的性质得出OD＝OA ＝OB，结合转化思想得出阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC，进而得出答案．解：如图，∵AB是直径，∴∠AOB＝90°，∴AO⊥BD，∵AB＝AD＝4，∠BAD＝90°，∴OD＝OA＝OB，∴S弓形OA＝S弓形OB，∴阴影部分面积＝S扇形ABD﹣S△ADC=14π×42―12×4×4=4π﹣8，故答案为4π﹣8．总结提升：本题考查正方形的性质，扇形的面积等知识，解题的关键是学会把不规则图形转化为规则图形，属于中考常考题型．典例8（2019•招远市一模）如图，CD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8．点E为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE沿弦CE翻折，交CD于点F，图中阴影部分的面积＝．思路引领：根据AB⊥CD，垂足为G，OG：OC＝3：5，AB＝8，可以求得⊙O的半径；要求阴影部分的面积只要做出合适的辅助线，然后利用锐角三角函数、扇形的面积和三角形的面积即可解答本题．解：如图，连接AO，将阴影部分沿CE翻折，点F的对应点为M，过点M作MN⊥CD于点N，∵CD为⊙O的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG=12AB＝4，∵OG：OC＝3：5，AB⊥CD，垂足为G，∴设⊙O的半径为5k，则OG＝3k，∴（3k）2+42＝（5k）2，解得，k＝1或k＝﹣1（舍去），∴5k＝5，即⊙O的半径是5；∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM＝30°，S阴影＝S弓形CBM，连接OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点M作MN⊥CD于点N，∴MN＝MO•sin60°＝5×3 2，∴S阴影＝S扇形OMC﹣S△OMC=120×π×25360―2534=25π3―2534，即图中阴影部分的面积是：25π3―2534．总结提升：本题考查翻折变换、扇形的面积、垂径定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．针对训练1．（如图，将半径为4cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，折痕为AB，则图中阴影部分的面积为．思路引领：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，根据轴对称的性质可以得出CO＝CD，由三角函数值就可以求出∠AOB的度数，由扇形的面积﹣三角形AOB的面积就可以得出结论．解：作OC⊥AB于C，交AB于点D，连接AO，BO，AD，BD，∴∠ACO＝90°．∵△AOB与△ADB关于AB对称，∴△AOB≌△ADB∴AO＝AD，∠ACO＝∠ACD＝90°，∴CO＝CD．∵OD＝AO＝4，∴OC＝2．在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC＝23．∵cos∠AOC=COAO=12，∴∠AOC＝60°．∵AO＝BO，OC⊥AB，∴∠AOB＝2∠AOC＝120°．AB＝2AC＝43．∴S扇形AOBD=120π×16360=163π．∵S△AOB=43×22=43．阴影部分的面积为：（163π―43）cm2．故答案为：（163π―43）cm2．总结提升：本题考查了轴对称的性质的运用，勾股定理的运用，三角函数值的运用，扇形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，解答时运用轴对称的性质求解是关键．方法七重叠求余法例七（2022•鄂尔多斯二模）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是．思路引领：根据阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积，即可求解．解：阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积，则阴影部分的面积是：60π×62360=6π，故答案为：6π．总结提升：本题主要考查了扇形的面积的计算，正确理解阴影部分的面积＝以AB′为直径的半圆的面积+扇形ABB′的面积﹣以AB为直径的半圆的面积＝扇形ABB′的面积是解题的关键．针对训练1．（2022•市南区校级一模）如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝2，将三角形绕着BC的中点O逆时针旋转60°，点A的对应点为E，则图中阴影部分的面积为．思路引领：如图，连接OE，OA．根据S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE，求解即可．解：如图，连接OE，OA．由题意可知△BOF为等边三角形．∴OB＝OF＝BF＝1，∴S△BOF=3 4，在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠CAB＝30°，∴AB＝2BC＝4，AC＝DE＝23，∴S△EOF=12•OF•DE=3，∵OF＝OD，∴S△EOF＝S△DEO=3，∵∠AOE＝60°，AO=AC2+OC2=(23)2+12=13，∴S扇形EOA=60⋅π⋅(13)2360=13π6，由题意，△BPE为直角三角形，BE＝EF﹣BF＝4﹣1＝3，∴BP=12BE=32，PE=32―(32)2=332，∴S△PBE=12×32×332=938，∴S阴＝S扇形EOA+S△EOF﹣S△BOF﹣S△AOB﹣S△PBE=13π6+3―34―3―938=13π6―1138．解法二：可以根据S阴＝S△APE+（S扇形AOE﹣S△AOE）计算．总结提升：本题考查扇形的面积，旋转变换，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．第二部分专题提优训练一．选择题（共15小题）1．（2022•兰州）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为（）A．4.25πm2B．3.25πm2C．3πm2D．2.25πm2思路引领：根据S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC，计算即可．解：S阴＝S扇形DOA﹣S扇形BOC=120π×9360―120π×94360＝2.25πm2．故选：D．总结提升：本题考查的是扇形面积的计算，掌握扇形的面积公式S=nπR2360是解题的关键．2．（2022秋•西华县期末）如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，则图中阴影部分的面积是（）A．π﹣1B．π﹣2C．12π﹣1D．12π+1思路引领：已知BC为直径，则∠CDB＝90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD＝DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看作是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．解：在Rt△ACB中，AB=22+22=22，∵BC是半圆的直径，∴∠CDB＝90°，在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD＝BD=2，∴D为半圆的中点，∴S阴影部分＝S扇形ACB﹣S△ADC=12π×22―12×（2）2＝π﹣1．故选：A．总结提升：本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．3．（2022•泰安）如图，四边形ABCD中，∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，以点E为圆心，DE为半径，且DE＝6的圆交CD于点F，则阴影部分的面积为（）A．6π﹣93B．12π﹣93C．6π―932D．12π―932思路引领：根据平行线的性质，扇形的面积公式，三角形面积公式解答即可．解：过点E作EG⊥DF交DF于点G，∵∠A＝60°，AB∥CD，DE⊥AD交AB于点E，∴∠GDE＝∠DEA＝30°，∵DE＝EF，∴∠EDF＝∠EFD＝30°，∴∠DEF＝120°，∵∠GDE＝30°，DE＝6，∴GE＝3，DG＝33，∴DF＝63，阴影部分的面积=120π×36360―12×63×3＝12π﹣93，故选：B．总结提升：本题主要考查了扇形面积和平行线的性质，熟练掌握扇形面积公式是解决本题的关键．4．（2022•达州）如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边△ABC，分别以点A，B，C为圆心，以AB长为半径作BC，AC，AB，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为2π，则此曲边三角形的面积为（）A．2π﹣23B．2π―3C．2πD．π―3思路引领：此三角形是由三段弧组成，如果周长为2π，则其中的一段弧长为2π3，所以根据弧长公式可得60πr 180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2．那么曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积．解：设等边三角形ABC的边长为r，∴60πr180=2π3，解得r＝2，即正三角形的边长为2，∴这个曲边三角形的面积＝2×3×12+（60π×4360―3）×3＝2π﹣23，故选：A．总结提升：本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积就＝三角形的面积+三个弓形的面积，然后再根据所给的曲边三角形的周长求出三角形的边长，从而求值．5．现在很多家庭都使用折叠型餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边AB和CD 平行且相等（如图②），小华用皮尺量出BD＝1米，BC＝0.5米，则阴影部分的面积为（）A．（π12―38）平方米B．（π6―38）平方米C．（π12―34）平方米D．（π6―34）平方米思路引领：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，进而得出CD，EO的长以及∠COD的度数，进而由S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD得出弓形CD的面积，进一步即可求得阴影部分的面积．解：设圆心为O，连接CO，过点O作OE⊥CD于点E，由题意可得出：∠BCD＝90°，∴BD是⊙O的直径，∵BD＝1米，BC＝0.5米，∴BC=12BD，CD=BD2―CD2=32米，∴∠BDC＝30°，∴OE=12OD=14米，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠BDC＝30°，∴∠COD＝120°，∴S弓形CD面积＝S扇形COD﹣S△COD=120π×(12)2360―12×14×32，＝（π12―316）平方米，∴阴影部分的面积为：2×（π12―316）＝（π6―38）平方米．∴故选：B．总结提升：此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．6．（2022•鞍山）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC=3，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交CD于点E，连接BE，则扇形BAE的面积为（）A．π3B．3π5C．2π3D．3π4思路引领：解直角三角形求出∠CBE＝30°，推出∠ABE＝60°，再利用扇形的面积公式求解．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∵BA＝BE＝2，BC=3，∴cos∠CBE=CBBE=32，∴∠CBE＝30°，∴∠ABE＝90°﹣30°＝60°，∴S扇形BAE=60⋅π⋅22360=2π3，故选：C．总结提升：本题考查扇形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是求出∠CBE的度数．7．（2022•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，将弦AC绕点A顺时针旋转30°得到AD，此时点C的对应点D 落在AB上，延长CD，交⊙O于点E，若CE＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．2πB．22C．2π﹣4D．2π﹣22思路引领：连接OE，OC，BC，推出△EOC是等腰直角三角形，根据扇形面积减三角形面积计算即可．解：连接OE，OC，BC，由旋转知AC＝AD，∠CAD＝30°，∴∠BOC＝60°，∠ACE＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∴∠BCE＝90°﹣∠ACE＝15°，∴∠BOE＝2∠BCE＝30°，∴∠EOC＝90°，即△EOC为等腰直角三角形，∵CE＝4，∴OE＝OC＝22，∴S阴影＝S扇形OEC﹣S△OEC=90π×(22)2360―12×22×22=2π﹣4，故选：C．总结提升：本题主要考查旋转的性质及扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积的计算是解题的关键．8．（2022•毕节市）如图，一件扇形艺术品完全打开后，AB，AC夹角为120°，AB的长为45cm，扇面BD 的长为30cm，则扇面的面积是（）A．375πcm2B．450πcm2C．600πcm2D．750πcm2思路引领：先求出AD的长，再根据扇形的面积公式求出扇形BAC和扇形DAE的面积即可．解：∵AB的长是45cm，扇面BD的长为30cm，∴AD＝AB﹣BD＝15cm，∵∠BAC＝120°，∴扇面的面积S＝S扇形BAC﹣S扇形DAE=120π×452360―120π×152360＝600π（cm2），故选：C．总结提升：本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：圆心角为n°，半径为r的扇形的面积S=nπr2 360．9．（2022•山西）如图，扇形纸片AOB的半径为3，沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，图中阴影部分的面积为（）A．3π﹣33B．3π―932C．2π﹣33D．6π―932思路引领：根据折叠的想找得到AC＝AO，BC＝BO，推出四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，根据等边三角形的性质得到∠CAO＝∠AOC＝60°，求得∠AOB＝120°，根据菱形和扇形的面积公式即可得到结论．解：沿AB折叠扇形纸片，点O恰好落在AB上的点C处，∴AC＝AO，BC＝BO，∵AO＝BO，∴四边形AOBC是菱形，连接OC交AB于D，∵OC＝OA，∴△AOC是等边三角形，∴∠CAO＝∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°，∵AC＝3，∴OC＝3，AD=32AC=332，∴AB＝2AD＝33，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S菱形AOBC=120π×32360―12×3×33=3π―932，故选：B．总结提升：本题考查了扇形面积的计算，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10．（2022•连云港）如图，有一个半径为2的圆形时钟，其中每个相邻刻度间的弧长均相等，过9点和11点的位置作一条线段，则钟面中阴影部分的面积为（）A．23π―32B．23π―3C．43π﹣23D．43π―3思路引领：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，根据等边三角形的判定得出△AOB为等边三角形，再根据扇形面积公式求出S扇形AOB=23π，再根据三角形面积公式求出S△AOB=3，进而求出阴影部分的面积．解：连接OA、OB，过点O作OC⊥AB，由题意可知：∠AOB＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，∴AB＝AO＝BO＝2∴S扇形AOB=60π×22360=23π，∵OC⊥AB，∴∠OCA＝90°，AC＝1，∴OC=3，∴S△AOB=12×2×3=3，∴阴影部分的面积为：23π―3；故选：B．总结提升：本题考查有关扇形面积、弧长的计算，熟练应用面积公式，其中作出辅助线是解题关键．二．填空题11．（2020•巩义市二模）如图，点A、B、C在半径为8的⊙O上，过点B作BD∥AC，交OA延长线于点D．连接BC，且∠BCA＝∠OAC＝30°，则图中阴影部分的面积为　．思路引领：连接OB，交CA于E，根据圆周角定理得到∠BOA＝60°，根据平行线的性质得到∠D＝∠OAC ＝30°，即可得出∠OBD＝90°，解直角三角形求出BD，分别求出△BOD的面积和扇形AOB的面积，即可得出答案．解：连接OB，交CA于E，∵∠C＝30°，∠C=12∠BOA，∴∠BOA＝60°，∵BD∥AC，∴∠D＝∠OAC＝30°，∴∠OBD＝90°，∴BD=3OB＝83，∴S阴影＝S△BDO﹣S扇形AOB=12×8×83―60π×82360=323―32π3，故答案为323―32π3．总结提升：本题考查了平行线的性质，圆周角定理，扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形等知识点的综合运用，题目比较好，难度适中．12．（2021•宛城区一模）如图所示，在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA＝2，长为2的线段CD的两个端点分别在线段OA、OB上滑动，E为CD的中点，点F在AB上，连接EF、BE．若AF的长是π3，则线段EF的最小值是，此时图中阴影部分的面积是．思路引领：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．根据弧长求得∠AOF＝30°，jk证明△OBF是等边三角形，利用直角三角形斜边中线的性质求出OE，EF≥OF﹣OE＝1，推出当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，求出BT，然后根据S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT求得阴影的面积．解：如图，连接OF，OE，BF，取OF的中点T，连接BT．∵AF的长是π3，OA＝2，∴π3=nπ×2180，∴n＝30，∴∠AOF＝30°，∵∠AOB＝90°，∴∠BOF＝60°，∵CE＝DE，∴OE=12CD=12×2=1，∵OF＝2，∴EF≥OF﹣OE＝1，∴当O，E，F共线时，EF的值最小，此时点E与点T重合，∴此时EF＝1，∵OF＝OB，∠BOF＝60°，∴△BOF是等边三角形，∵OT＝TF，∴BT⊥OF，∴BE＝BT=32OB=3，∴此时S阴影＝S扇形BOF﹣S△BOT=60π×22360―12×3×1=23π―32．故答案为：1，23π―32．总结提升：本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，明确当O，E，F共线时，EF的值最小是解题的关键．13．（2022•贵港）如图，在▱ABCD中，AD=23AB，∠BAD＝45°，以点A为圆心、AD为半径画弧交AB于点E，连接CE，若AB＝32，则图中阴影部分的面积是　．思路引领：过点D作DF⊥AB于点F，根据等腰直角三角形的性质求得DF，从而求得EB，最后由S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC结合扇形面积公式、平行四边形面积公式、三角形面积公式解题即可．解：过点D作DF⊥AB于点F，∵AD=23AB，∠BAD＝45°，AB＝32，∴AD=23×32=22，∴DF＝AD sin45°＝22×22=2，∵AE＝AD＝22，∴EB＝AB−AE=2，∴S阴影＝S▱ABCD−S扇形ADE−S△EBC＝32×2―45π×(22)2360―12×2×2＝52―π，故答案为：52―π．总结提升：本题考查等腰直角三角形、平行四边形的性质、扇形的面积公式等知识，是重要考点，准确添加辅助线是解题关键．14．（2020春•亭湖区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，∠BCD＝30°，OA＝6，则阴影部分的面积是　．思路引领：根据扇形的面积公式计算即可．解：∵∠BOD＝2∠DCB，∠DCB＝30°，∴∠BOD＝60°，∴S扇形OBD=60⋅π⋅62360=6π，故答案为6π．总结提升：本题考查扇形的面积，圆周角定理等知识，解题的关键是计算扇形的面积公式，属于中考常考题型．15．（2022•黔西南州）如图，边长为4的正方形ABCD的对角线交于点O，以OC为半径的扇形的圆心角∠FOH＝90°．则图中阴影部分面积是．思路引领：证明△OBE≌△OCG（SAS），推出S△OBE＝S△OCG，推出S四边形OECG＝S△OBC＝4，再根据S 阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG，求解即可．解：如图，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，∠OBE＝∠OCG＝45°，S△OBC=14S四边形ABCD＝4，∵∠BOC＝∠EOG＝90°，∴∠BOE＝∠COG，在△BOE和△COG中，∠BOE=∠COGOB=OC∠OBE=∠OCG，∴△OBE≌△OCG（SAS），∴S△OBE＝S△OCG，∴S四边形OECG＝S△OBC＝4，∵△OBC是等腰直角三角形，BC＝4，∴OB＝OC＝22，∴S阴＝S扇形OFH﹣S四边形OECG=90π⋅(22)2360―4＝2π﹣4，故答案为：2π﹣4．总结提升：本题考查扇形的面积，全等三角形的判定和性质，正方形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．16．（2020•康巴什一模）如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1，边B1C1与CD交于点O，则图中阴影部分的面积为．思路引领：先根据正方形的边长，求得CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，进而得到S△OB1C=12（2―1）2，再根据S△AB1C1=12，以及扇形的面积公式即可得出图中阴影部分的面积．解：连接DC1，∵∠CAC1＝∠DCA＝∠COB1＝∠DOC1＝45°，∴∠AC1B1＝45°，∵∠ADC＝90°，∴A，D，C1在一条直线上，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=2，∠OCB1＝45°，∴CB1＝OB1∵AB1＝1，∴CB1＝OB1＝AC﹣AB1=2―1，∴S△OB1C=12•OB1•CB1=12（2―1）2，∵S△AB1C1=12AB1•B1C1=12×1×1=12，∴图中阴影部分的面积=45⋅π⋅(2)2360―12（2―1）2―12=π4―2+2．故答案为π4―2+2．总结提升：本题考查了旋转的性质，正方形性质、勾股定理以及扇形面积的计算等知识点的综合应用，主要考查学生运用性质进行计算的能力．解题时注意：旋转前、后的图形全等．17．（2021秋•招远市期末）如图，在扇形OAB中，点C在AB上，∠AOB＝90°，∠ABC＝30°，AD⊥BC 于点D，连接AC，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为　．思路引领：连接OC，作CM⊥OB于M，根据等腰直角三角形的性质得出∠ABO＝∠OAB＝45°，AB＝42，进而得出∠OCB＝OBC＝75°，即可得到∠BOC＝30°，解直角三角形求得AD、BD、CM，然后根据S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）计算即可求得．解：连接OC，作CM⊥OB于M，∵∠AOB＝90°，OA＝OB＝2，∴∠ABO＝∠OAB＝45°，AB=42，∵∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，∴AD=12AB=22，BD=32AB=26，∵∠ABO＝45°，∠ABC＝30°，∴∠OBC＝75°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝75°，∴∠BOC＝30°，∴∠AOC＝60°，CM=12OC=12×4=2，∴S阴影＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAB+（S扇形OBC﹣S△BOC）＝S△ABD+S△AOB﹣S扇形OAC﹣S△BOC=12×22×26+12×4×4―12×4×2―60π×42360=4+43―8π3．故答案为：4+43―8π3．总结提升：此题考查了运用切割法求图形的面积．解决本题的关键是把所求的面积转化为容易算出的面积的和或差的形式．。

2015年中考数学填空题专练4求阴影部分的面积

2015年中考数学填空题专练
专题四阴影部分的面积
典例剖析
例7如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=6，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为．
例8如图，△OAB中，OA=OB=4，∠A=30°，AB与⊙O相切于点C，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）
针对训练
1．如图，半圆O的直径为6cm，∠BAC=30°，则阴影部分的面积是．
2．如图，在边长为4的正方形ABCD中，以AB为直径的半圆与对角线AC交于点E，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）
3．如图，正方形ABCD边长为4，以BC为直径的半圆O交对角线BD于E．阴影部分面积为（结果保留π）．
4. 如图，正方形ABCD中，扇形BAC与扇形CBD的弧交于点E，AB=2cm．则图中阴影部分面积为．
5. 如图，在平行四边形ABCD中，BD⊥AD，以BD为直径作圆，交于AB于E，交CD于F，若BD=12，AD：AB=1：2，则图中阴影部分的面积为．
6.如图所示，正方形ABCD的边长为1，点E为AB的中点，以E为圆心，1为半径作圆，分别交AD，BC于M，N两点，与DC切于点P，则图中阴影部分面积是．
7．如图，四边形ABCD是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形BEF的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是．。

专题03 阴影部分面积的计算-备战2022年中考数学母题题源解密(全国通用)(原卷版)

专题03 阴影部分面积的计算考向1 静态背景下与扇形有关的阴影部分面积的计算【母题来源】2021年中考山东枣庄卷【母题题文】如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C 为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π【答案】C【试题解析】连接BD，EF，如图，∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．∵点E，F分别为BC，AD的中点，∴FD＝FO＝EO＝EB＝1，∴，OB＝OD．∴弓形OB＝弓形OD．∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBDπ﹣2．故选：C．【命题意图】考查基本的计算能力，注重割补法和转化思想的应用。

【命题方向】以选填为主，主要安排在选填的压轴位置，技巧性较强。

【得分要点】求阴影部分面积的常用方法:(1)公式法:若所求阴影部分是规则图形,如扇形、特殊四边形、三角形等,可直接利用公式计算;(2)和差法:若所求阴影部分是不规则图形,可将图形适当分割,将不规则的阴影部分面积转化为几个规则图形面积的和或差;(3)等积转化法:当直接求面积较麻烦或根本求不出来时,可通过等面积转化(利用图形的平移、旋转、对称变换前后面积不变的性质或同底等高的两个三角形面积相等)为公式法或和差法创造条件;(4)一般地,图形中若出现弧线,则先找到这条弧所在圆的圆心,将其补全为扇形,再利用图形间的关系进行求解. 考向2 动态背景下与扇形有关的阴影部分面积的计算【母题来源】2021年中考内蒙古兴安盟卷【母题题文】（2021•兴安盟）如图，两个半径长均为的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上，扇形CFD 的圆心C是的中点，且扇形CFD绕着点C旋转，半径AE、CF交于点G，半径BE、CD交于点H，则图中阴影面积等于（）A．B．C．π﹣1 D．π﹣2【答案】D【试题解析】两扇形的面积和为：π，过点C作CM⊥AE，作CN⊥BE，垂足分别为M、N，则四边形EMCN是矩形，∵点C是的中点，∴EC平分∠AEB，∴CM＝CN，∴矩形EMCN是正方形，∵∠MCG+∠FCN＝90°，∠NCH+∠FCN＝90°，∴∠MCG＝∠NCH，在△CMG与△CNH中，，∴△CMG≌△CNH（ASA），∴中间空白区域面积相当于对角线是的正方形面积，∴空白区域的面积为：1，∴图中阴影部分的面积＝两个扇形面积和﹣2个空白区域面积的和＝π﹣2．故选：D．【命题意图】考查了扇形的面积，正方形面积公式，构造辅助线运用转化思想解答关键．【命题方向】以选填为主，多为选填的压轴位置，试题区分度较高.【得分要点】动态背景下阴影部分面积的主要以平移、折叠、旋转变换为背景，结合勾股定理以及锐角三角函数知识求出扇形的半径和圆心角，进而得出扇形的面积，在解答过程中要注意合理添加辅助线，将不规则图形的面积通过割补或转化进行计算.1．（2021•东胜区二模）如图，已知所在圆的半径为4，弦AB长为，点C是上靠近点B的四等分点，将绕点A逆时针旋转120°后得到，则在该旋转过程中，线段CB扫过的面积是（）A．B．C．πD．2．（2021•峨山县模拟）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠ABC＝120°，以A为圆心，AB为半径画圆弧，交AC于点E，过点E作EF∥AB交AD于点F，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．3．（2021•驻马店二模）如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，连接OC、AD，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．4．（2021•河南模拟）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA上一个动点，连接BC，以BC为对称轴折叠△OBC得到△DBC，点O的对应点为点D，当点D落在弧AB上时，若OA＝2，则阴影部分的面积为（）A．B．C．D．5．（2021•新洲区模拟）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，把以AB为直径的半圆O绕点B顺时针旋转至如图位置（点A落在CD上的点A′处），则半圆O扫过的面积（图中阴影部分）是（）A．3πB．πC．D．6．（2021•姜堰区一模）如图，OA是⊙O的半径，弦BC⊥OA，垂足为M，连接OB、AC，如果OB∥AC，OB＝2，那么图中阴影部分的面积是（）A．B．C．πD．2π7．（2021•江岸区模拟）有一张矩形纸片ABCD，已知AB＝2，AD＝4，上面有一个以AD为直径的半圆，如图甲，将它沿DE折叠，使A点落在BC上，如图乙，这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（）A．π﹣2B．πC．πD．8．（2021•山西模拟）如图所示的是小慧设计的一个美丽的图案，该图案是由两个圆心相同，半径分别为9cm 和3cm的圆构成的，那么该图案中阴影部分的面积为（）cm2A．72πB．60πC．48 D．36π9．（2021•硚口区模拟）如图，AB和CD是⊙O的两条互相垂直的弦，若AD＝4，BC＝2，则阴影部分的面积是（）A．2π﹣1 B．π﹣4 C．5π﹣4 D．5π﹣810．（2021•湘潭模拟）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝4，C是⊙O上一点，将沿直线AC翻折，若翻折后的圆弧恰好经过点O，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．11．（2021•紫金县模拟）如图，正方形ABCD边AB＝1，和都是以1为半径的圆弧，阴影两部分的面积分别记为S1和S2，则S1﹣S2等于（）A． 1 B．1C． 1 D．112．（2021•漳平市模拟）如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点C为圆心，OA的长为直径作半圆交CE于点D，若OA＝4，则图中阴影部分的面积为（）A．3πB．3π﹣2C．2D．13．（2021•卧龙区一模）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，以点B为圆心，BA长为半径画弧，恰好过顶点D和顶点C，点E，F分别是弧AC上的两点，若∠EBF＝60°，则图中阴影部分的面积为．14．（2021•澄海区模拟）如图，已知Rt△ACB≌Rt△BDE，∠ACB＝∠BDE＝90°，∠CAB＝30°，点C在线段BD上，BC＝2，将△BDE绕点B按顺时针方向旋转30°，使得BE与BA重合，则线段DE经旋转运动所形成的平面图形（即阴影部分）的面积为．15．（2021•峡江县模拟）如图，扇形AOB的圆心角为直角，边长为1的正方形ODCF的顶点F，D，C分别在OA，OB，上，过点B作BE⊥FC，交FC的延长线于点E，则图中阴影部分的面积等于．16．（2021•中原区校级四模）如图，AC的半圆O的一条弦，将弧AC沿弦AC为折线折叠后过圆心O，图中阴影部分的面积为，则⊙O的半径为．17．（2021•江北区校级模拟）如图，半径为4的扇形AOB的圆心角为90°，点D为半径OA的中点，CD⊥OA交于点C，连接AC、CO，以点O为圆心OD为半径画弧分别交OC、OB于点F、E，则图中阴影部分的面积为．18．（2021•德城区二模）如图，等边△ABC中，BC＝6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH AC，AO AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为．19．（2021•福州模拟）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，分别以点A，B为圆心，AC，BC的长为半径画弧，交AB于点D，E，则图中阴影部分的面积是．20．（2021•成都模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A在y轴的正半轴上，B（﹣5，0），C（5，0），点D（11，0），将△ACD绕点A顺时针旋转60°得到△ABE，则的长度为，图中阴影部分面积为．。

中考数学专题复习和训练--求阴影部分的面积

合 .在解此类问题时，要注意观察和分析图形，会分析和组合图形，常常借助
阴影部分（不规则图形）转化为规则的易求的图形求解
.
转化化归思想，将
典例精析：
例 1.如图 , AB 是⊙ O 的直径，弦 CD AB, C 30 ,CD 2 3 ,则 S 阴影 =
A.
B. 2
2 C. 3
3
分析：本题的阴影部分是不规则的，要可以转化到规则的阴影部分，比
形中心的对角线长为 2，间隔一个顶点的对角线长为 3 ，则 CE 4 ；若 △AEC 和 △BEC 都以 CE 为求其面积的底边 ,则它们相应的高怎样化归在直角三角形中来求出呢？解：（由同学们自我完成解答过程）
师生互动练习：
1.如图已知网格中每个小正方形的边长为 2，图中阴影部分的
每个端点位置情况计算图中的阴影部分的面积之和为
小圆⊙ O′向右平移至大圆⊙ O 使圆心重合（见图① 的第二个图），这样来求圆环的面积更容易O；
图② 虽然是半圆也可以采用相同的方法求阴影部分半圆环的面积
.
A
B
A
C B
O O'
O
O' O
O
A
B
A
B
C
图① 三 .补转化为一个整体：
图②
如图第一个图是以等腰 Rt△AOB 的直角顶点 O 为圆心画出的直角扇形 OAB 和以 OA 、 OB 为
如转化为扇形 AOD 的面积来求；利用垂径定理和三角函数计算可以得出
C
EC ED,EO EA ,由此可以证明⊿ AEC ≌⊿ DEO ; 所以阴影部分等于
扇形 AOD 的面积，利用扇形面积的计算公式求出结果为
2 . 选D

中考数学专题训练之二--求阴影部分的面积 (含答案)

求阴影部分的面积1．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O′，B′，连接BB′，则图中阴影部分的面积是（）A ．B ．2﹣C ．2﹣D ．4﹣2．如图，在矩形ABCD 中AB=，BC=1，将矩形ABCD 绕顶点B 旋转得到矩形A'BC'D ，点A 恰好落在矩形ABCD 的边CD 上，则AD 扫过的部分（即阴影部分）面积为（）A ．B ．2﹣C ．D ．3．如图，线段AB=2，分别以A 、B 为圆心，以AB 的长为半径作弧，两弧交于C 、D 两点，则阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．4．如图所示，有一个半径为2的扇形，∠AOB=90°，其中OC 平分∠AOB ，BE ⊥OC ，CD ⊥AO ，则图中阴影面积为（） A ．π﹣1 B ．π﹣2 C ．﹣2D ．﹣15 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，将Rt △ABC 绕点A 按逆时针方向旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为BD ︵，则图中阴影部分的面积是( )A. π6B. π3C. 1＋π6 D. 16. 如图，在半径为2 cm 的⊙O 中，点C 、点D 是AB ︵的三等分点，点E 是直径AB 的延长线上一点，连接CE 、DE ，则图中阴影部分的面积是( )A. 3 cm 2B. 2π3 cm 2C.2π3－ 3 cm 2D.2π3＋ 3 cm 2 7. 如图，正方形ABCD 的面积为12，点M 是AB 的中点，连接AC 、DM 、CM ，则图中阴影部分的面积是( )A. 6B. 4.8C. 4D. 38.如图，在Rt △AOB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝3，OB ＝2，将Rt △AOB 绕点O 顺时针旋转90°后得Rt △FOE ，将线段EF 绕点E 逆时针旋转90°后得线段ED ，分别以O ，E 为圆心，OA ，ED 长为半径画AF ︵和DF ︵，连接AD ，则图中阴影部分面积是( )A. πB. 54π C. 3＋π D. 8－π9. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB=120°，半径OC 交弦AB 于点D ，且OC ⊥AO ，若OA=积为____________10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为．11.如图，在扇形AOB 中，∠AOB=90°，以点A 为圆心， OA 的长为半径作⌒OC 交⌒AB 于点C. 若OA=2，则阴影部分的面积为___________.12．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝900，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交⌒AB于点E ．以点O 为圆心，OC 的长为半径作⌒CD 交OB 于点D ．若OA ＝2，则阴影部分的面积为.B13．如图，在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，其中点C 的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 _____ ．14、如图，抛物线的顶点为(2,2),P -与y 轴交于点(0,3)A ，若平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点'(2,2)P -，点A 的对应点为'A ，则抛物线上PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为15．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8．把△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转90°得到△A′B′C′，A′C′交AB 于点E ．若AD=BE ，则△A′DE 的面积是．16．如图，在扇形OAB 中，∠AOB=90°，点C 为OB 的中点，CD ⊥OB 交弧AB 于点D ．若OA=2，则阴影部分的面积为．17．如图，四边形ABCD 是一个矩形，E 、F 、G 、H 分别是边AD 、BC 上的三等分点，请你根据图中的数据求阴影部分的面积为 cm 2．18.如图，正方形ABCD 的边长为6，分别以A ，B 为圆心，6为半径画BD ︵，AC ︵，则图中阴影部分的面积为__________．19.如图，四边形ABCD是菱形，点O是两条对角线的交点，过点O的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为________．20.如图，平行四边形ABCD中，AB＝AC＝4，AB⊥AC，O是对角线的交点，若⊙O过A、C两点，则图中阴影部分的面积之和为________．21. 如图，半圆O的直径AE＝4，点B，C，D均在半圆上，若AB＝BC，CD＝DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为________．22.如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为BC，AD，CE的中点，且S△ABC＝4 cm2，则阴影部分的面积为________．23 如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、点B，且AC＝2，则图中阴影部分的面积为________(结果保留π)．24.如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，把该矩形绕点A顺时针旋转α度得矩形AB′C′D′，点C′落在AB的延长线上，则图中阴影部分的面积是________．25. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则图中阴影部分的面积为________．26.如图，在矩形ABCD中，点O在BC边上，OB＝2OC＝2，以O为圆心，OB的长为半径画弧，这条弧恰好经过点D，则图中阴影部分的面积为________．27.如图，四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，AB＝2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是________．28. 如图，在▱ABCD 中，E 、F 分别是AB 、DC 边上的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于点Q ，若S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，则图中阴影部分的面积为________cm 2.29. 如图，正方形ABCD 的边长为1，分别以点A 、D 为圆心，1为半径画弧BD 、AC ，两弧相交于点F ，则图中阴影部分的面积为________．30. 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折得△AB1E ，则△AB 1E 与四边形AECD 重叠部分的面积是________．31. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6 cm ，BC ＝8cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接BF 、DE ，则图中阴影部分的面积是________ cm 2.求阴影部分的面积答案1 解：连接OO′，BO′，∵将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°， ∴∠OAO′=60°，∴△OAO′是等边三角形， ∴∠AOO′=60°，∵∠AOB=120°， ∴∠O′OB=60°，∴△OO′B 是等边三角形， ∴∠AO′B=120°， ∵∠AO′B′=120°， ∴∠B′O′B=120°， ∴∠O′B′B=∠O′BB′=30°，∴图中阴影部分的面积=S △B′O′B ﹣（S 扇形O′OB ﹣S △OO′B ）=×1×2﹣（﹣×2×）=2﹣．故选C ． 2 A ． 3 A ． 4 B5．B 【解读】在Rt △ABC 中，∵AC ＝BC ＝2，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝2，∴S 阴影＝S 扇形DAB ＝30π×22360＝ π3.6．B 【解读】如解图，连接OC 、OD 、CD ，∵点C 、点D是AB ︵的三等分点，∴∠DOB ＝∠COD ＝60°，又∵CO ＝OD ，∴CO ＝OD ＝CD ，∴∠DOB ＝∠CDO ＝60°，∴CD ∥AB ，∴S △CED ＝S △COD ，∴S 阴影＝S 扇形COD ＝60π×22360＝2π3 cm 2.7．C 【解读】如解图，设DM 与AC 交于点E ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AM ∥CD ，AB ＝CD ，∴△AME ∽△CDE ，∵点M 是AB 的中点，∴AM CD ＝12，∴AE CE ＝EM DE ＝AM CD ＝12，∵S 正方形ABCD ＝12，∴S △ABC ＝12S正方形ABCD ＝6，∴S △ACM ＝12S △ABC ＝3，∴S △AEM ＝13S △ACM ＝1，S △CEM ＝23S △ACM ＝2，∴S △AED ＝2S △AEM ＝2，∴S 阴影＝S △CEM ＋S △AED ＝2＋2＝4，故选C.8．D 【解读】如解图，过点D 作DH ⊥AE 于点H ，∵∠AOB＝90°，OA ＝3，OB ＝2，∴AB ＝OA 2＋OB 2＝13，由旋转的性质可知，OF ＝OA ＝3，OE ＝OB ＝2，DE ＝EF ＝AB ＝13，∴AE ＝OA ＋OE ＝5，易证△DHE ≌△BOA ，∴DH ＝OB ＝2，∴S 阴影＝S △ADE ＋S △EOF ＋S 扇形AOF －S 扇形DEF ＝12AE ·DH ＋12OE ·OF ＋90π×OA 2360－90π×DE 2360＝12×5×2＋12×2×3＋90×π×32360－90×π×（13）2360＝8－π.10 解：△ABC 绕AC 的中点D 逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB 上，CA′⊥AB ，DB′==，A′B′==2，∴S 阴=﹣1×2÷2﹣（2﹣）×÷2=π﹣．故答案为π﹣． 1133π-121223π+13 解：连接BD′，过D′作D′H ⊥AB ，∵在菱形ABCD 中，AB=1，∠DAB=60°，把菱形ABCD 绕点A 顺时针旋转30°得到菱形AB′C′D′，∴D′H=，∴S △ABD′=1×=，∴图中阴影部分的面积为+﹣，故答案为：+﹣．14 阴影部分''PAA P 可认为是一个平行四边形，'PP ==过A 作'AB PP ⊥,则sin 45322AB OA =︒=⨯=∴阴影部分''PAA P 的面积为'12S PP AB =⨯==15 解：Rt △ABC 中，由勾股定理求AB==10，由旋转的性质，设AD=A′D=BE=x ，则DE=10﹣2x ， ∵△ABC 绕AB 边上的点D 顺时针旋转90°得到△A′B′C′， ∴∠A′=∠A ，∠A′DE=∠C=90°， ∴△A′DE ∽△ACB ，∴=，即=，解得x=3，∴S △A′DE =DE×A′D=×（10﹣2×3）×3=6，故答案为：6．16π﹣．17 解：根据题意得，AE ＝EF ＝FD ＝10cm ，DC ＝HF ＝20cm ， ∴S 扇形FAH ＝S 扇形DEC ，∴S 阴影部分＝S 矩形ABCD ﹣S 曲边ABH ﹣S 扇形DEC ＝S 矩形ABCD ﹣（S 矩形ABHF ﹣S 扇形FAH ）﹣S扇形DEC＝S 矩形FHCD ，∵S 矩形FHCD ＝HF •FD ＝20cm ×10cm ＝200cm 2， ∴S 阴影部分＝200cm 2；故答案为200．18 3π-19． ∵菱形的两条对角线的长分别为10和6，∴菱形的面积＝12×10×6＝30，∵点O 是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积＝12×30＝15. 20．4 解：如解图，设BD 与⊙O 交于点E 和F 两点．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，∵⊙O 过A ，C 两点，∴扇形AOE 与扇形FOC 关于点O 成中心对称，∴S 扇形AOE ＝S 扇形FOC ，∴S 阴影＝S △AOB ＝12×12AC ·AB ＝12×12×4×4＝4. 21．π【解读】如解图，连接OC ，在半圆O 中，AB ＝BC ，CD ＝DE ，∴AB ︵＝BC ︵，CD ︵＝DE ︵，∴∠AOB ＝∠BOC ，∠COD ＝∠DOE ，∴S 阴影＝S 扇形OAB ＋S 扇形ODE ＝12S 扇形AOC ＋12S 扇形COE ＝12S 半圆AOE ＝12×π×222＝π，∴阴影部分的面积为π.22．1 cm 2【解读】∵点E 是AD 的中点，∴S △ABE ＝12S △ABD ，S △ACE ＝12S △ADC ，∴S △ABE ＋S △ACE ＝12S △ABC ＝12×4＝2 cm 2，∴S △BCE ＝12S △ABC ＝12×4＝2 cm 2，∵点F 是CE 的中点，∴S △BEF ＝12S △BCE ＝12×2＝1 cm 2.23．2－π2【解读】∵BC ＝AC ＝2，∠C ＝90°，∴AB ＝22，∵点D 为AB 的中点，∴AD ＝BD ＝2，∴S 阴影＝S △ABC －S 扇形EAD －S 扇形FBD ＝12×2×2－45π×（2）2360×2＝2－π2.24.32－π4【解读】根据已知可得∠ABC ＝90°，∵在Rt △ABC 中，tan ∠CAB ＝13＝33，∠CAB ＝30°，∴∠BAB′＝30°，∴S 阴影＝S △AB′C′－S扇形BAB′＝12AB′·B′C′－30π·（3）2360＝12×3×1－π4＝32－π4.25．183【解读】∵MC ＝6，NC ＝23，∠C ＝90°，∴S △CMN ＝63，由折叠性质得△CMN ≌△DMN ，∴△CMN 与△DMN 对应高相等，∵MN ∥AB ，∴△CMN ∽△CAB 且相似比为1∶2，∴两者的面积比为1∶4，从而得S △CMN ∶S四边形MABN＝1∶3，∴S 阴影＝S 四边形MABN ＝18 3.26.2π3－3【解读】设弧与AD 交于点E ，如解图，连接OE ，过点O 作OP ⊥AD 于点P ，由题意得，OB ＝OE ＝OD ，∴OD ＝2OC ＝2，∴∠ODC ＝30°，则∠ODE ＝60°，∴△ODE 为等边三角形，∴S △ODE ＝12×2×3＝3，则S 阴影＝S 扇形EOD －S △ODE ＝60×π×22360－3＝2π3－ 3. 27.2π3－3【解读】如解图，连接BD ，设BE 交 AD 于点G ，BF 交CD 于点H ，∵在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝2，∴BD ＝BC ＝2，由题意知扇形圆心角为60°，∴∠DBG ＝∠CBH ，∠GDB ＝∠C ，∴△DGB ≌△CHB ，∴S 阴影＝S 扇形EBF － S △DBC＝60×π×22360－12×2×3＝2π3－ 3.28．41 【解读】如解图，连接EF ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴S △EFC ＝S △BCF ，∴S △EFQ ＝S △BCQ ，同理，S △EFD ＝S △ADF ，∴S △EFP ＝S △ADP ，∵S △APD ＝16cm 2，S △BQC ＝25cm 2，∴S 阴影＝S △EFP ＋S △EFQ ＝16＋25＝41 cm 2.29.32－π6【解读】如解图，过点F 作FE ⊥AD 于点E ，连接AF 、DF ，∵正方形ABCD 的边长为1，∴AE ＝12AD ＝12AF ＝12，∴∠AFE ＝∠BAF ＝30°，∴∠F AE ＝60°，EF ＝32，∴△ADF 为等边三角形，∴∠ADF ＝60°，∴S 弓形AF ＝S 扇形ADF －S △ADF ＝60π×12360－12×1×32＝π6－34，∴S 阴影＝2(S 扇形BAF －S 弓形AF )＝2×(30π×12360－π6＋34)＝32－π6. 30．22－2 【解读】如解图，设CD 与AB 1交于点O ，∵在边长为2的菱形ABCD 中，∠B ＝45°，AE 为BC 边上的高，∴AE ＝BE ＝2，由折叠性质易得△ABB 1为等腰直角三角形，∴S △ABB1＝12BA ·AB 1＝2，S △AB1E ＝1，CB 1＝2BE －BC ＝22－2，∵AB ∥CD ，∴∠OCB 1＝∠B ＝45°，又∵∠B 1＝∠B ＝45°，∴CO ＝OB 1＝2－2，∴S △COB 1＝12CO ·OB 1＝3－22，11∴S 重叠＝S △AB1E －S △COB 1＝1－(3－22)＝22－2.31．32 【解读】如解图，连接BD ，EF ，设BF 与ED 相交于点G .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C ＝90°，AB ＝CD ＝6 cm ，AD ＝BC ＝8 cm ，∴S △ABD ＝S △BCD ＝12S 矩形ABCD ＝12×6×8＝24 cm 2，∵E 、F 分别是BC 、CD 的中点，∴EF ∥BD ，EF ＝12BD ，∴△GEF ∽△GDB ，∴DG ＝2GE ，∵S △BDE ＝12S △BCD ，∴S △BDG ＝23S △BDE ＝13S △BCD ＝13×24＝8 cm 2，∴S 阴影＝S △ABD ＋S △BDG ＝24＋8＝32 cm 2.。

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一．压轴题专项训练
25．阅读材料：
（1）对于任意两个数a b 、的大小比较，有下面的方法：
当0a b ->时，一定有a b >；当0a b -=时，一定有a b =；
当0a b -<时，一定有a b <．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a b 、的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵22()()a b a b a b -=+-，0a b +> ∴（22a b -）与（a b -）的符号相同当22a b -＞0时，a b -＞0，得a b >；当22a b -=0时，a b -=0，得a b =
当22a b -＜0时，a b -＜0，得a b <
解决问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明
同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W 1，李明同学的用纸总面积为W 2．回答下列问题： ① W 1= （用x 、y 的式子表示），W 2= （用x 、y 的式子表示） ② 请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ．B 两镇供气，已知A 、B 到
l 的距离分别是3km 、4km （即AC =3km ，BE =4km ），AB =x km ，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP ⊥l 于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度1a AB AP =+．方案二：如图3所示，点A ′与点A 关于l 对称，A ′B 与l 相交于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度．
① 在方案一中，a 1= km （用含x 的式子表示）；
② 在方案二中，a 2= km 用含x 的式子表示）；
③ 请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
26.如图1，抛物线213442
y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．
（1）求点A 、B 、C 的坐标；
（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；
（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
二．求阴影部分面积
在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影部分图形的面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措.本文将分类例谈这类问题的解法，供同学们学习参考：
一.直接法
当已知图形为我们熟知的基本图形时，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些
线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算。

例1.如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=3，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于P，则图中的阴影部分的面积为（）
A 2
3
π B
3
4
π C
3
4
π D
3
π
图1 图2
二．.和差法.
即是把阴影部分的面积转化为若干个图形面积的和、差来计算。

例2，如图2，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心，AB为半径画BD，又分别以BC 和CD为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为_______.
【评注】：本题是将组合图形分解为基本几何图形，并利用“连接相加，包含相减”的规律进行计算的。

三.。

割补法
即是把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积。

例3，如图3(1)，在以AB为直径的半圆上，过点B做半圆的切线BC，已知AB=BC=a，连结AC，交半圆于D，则阴影部分图形的面积是______.
⇒
(1) (2)
图
四.整体法.
当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整体，然后利用相关图形的面积公式整体求出.
例4.如图4,,,,,A B C D E 相互外离,它们的半径都是1,顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是( )
A.π
B.1.5π
C.2π
D.2.5π
图4 图5
五.等积变形法
把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积。

例5.如图5，C 、D 是半圆周上的三等份点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积。

六.平移法
即是先把分散的图形平移在一起，然后再计算其面积。

例6.如图6，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______.
（1）（2）
图6
七.代数法.
当利用以上方法求解都较困难时,可将题设中几何图形条件转化为代数条件,然后列方程求解.
例7.如图7,正方形的边长为a ,分别以四个顶点为圆心,以边长a 为半径画弧,求四条弧围成的阴影部分的面积
解:根据图形的对称性,正方形被细分为三类图形,分别设它们的面积为,,x y z ,则有:
244x y z S a ++==正方形 …..(1) 2324x y z S a π++==
扇形 (2)
而2x y z ++相当于半径为a ,含120弧的弓形面积,所以: 223234
x y z a a π
++=- …(3) 联立(1)、（2）、（3），组成方程组，解之得：2(13)3x a π=+
- 即 2(13)3S a π=+-阴影.
练习：（1）1、如图1，将半径为2cm 的⊙O 分割成十个区域，其中弦AB 、CD 关于点O 对
称，EF 、GH 关于点O 对称，连接PM ，则图中阴影部分的面积是_____cm 2（结果
用π表示）．
2、如图2，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，
则图中阴影部分的面积为_______．
3、如图3，在Rt △ABC 中，已知∠BCA =90°，∠BAC =30°，AB =6cm ，把△ABC 以点B
为中心旋转，使点C 旋转到AB 边的延长线上的点C ′处，那么AC 边扫过的图形（图
中阴影部分）的面积是_______cm 2（不取近似值）．
练习（2）
1、如图6，AB 是⊙O 的直径，C 、D 是AB 上的三等分点，如果⊙O 的半径为1，P 是线段
AB 上的任意一点，则图中阴影部分的面积为（）
A ．3π
B ．6π
C ．2π
D ．23
π 2、如图1，A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，点B 是切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求图中阴影部分的面积。

3.如图5，在两个半圆中，大圆的弦MN 与小圆相切于点D ，MN ∥AB ，MN ＝a ，ON 、CD 分别是两圆的半径，求阴影部分的面积。

1.依题意有半圆的面积=0.5π×22=2πcm2，故图中阴影部分的面积是2πcm2．
2.∵大圆的面积=π×22=4π，∴阴影部分面积= 1/2 ×4π=2π．
3.12π-3π=9π
1.A
2.解：OB是半径，AB是切线，则∠ABO=90°，∴sinA==，
∴∠A=30°，∠OBC=∠BOA=60°，∴△OBC是等边三角形，因此S阴影=S扇形
CBO=．
2.阴影部分的面积=S⊙C-S⊙O=a2．π8。