中考数学专项训练(阴影部分的面积)

一．压轴题专项训练

25．阅读材料：

（1）对于任意两个数a b 、的大小比较，有下面的方法：

当0a b ->时，一定有a b >； 当0a b -=时，一定有a b =；

当0a b -<时，一定有a b <．

反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．

（2）对于比较两个正数a b 、的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：

∵22()()a b a b a b -=+-，0a b +> ∴（22a b -）与（a b -）的符号相同 当22a b -＞0时，a b -＞0，得a b >； 当22a b -=0时，a b -=0，得a b =

当22a b -＜0时，a b -＜0，得a b <

解决问题：

（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明

同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W 1，李明同学的用纸总面积为W 2．回答下列问题： ① W 1= （用x 、y 的式子表示），W 2= （用x 、y 的式子表示） ② 请你分析谁用的纸面积最大．

（2）如图1所示，要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A ．B 两镇供气，已知A 、B 到

l 的距离分别是3km 、4km （即AC =3km ，BE =4km ），AB =x km ，现设计两种方案：

方案一：如图2所示，AP ⊥l 于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度1a AB AP =+． 方案二：如图3所示，点A ′与点A 关于l 对称，A ′B 与l 相交于点P ，泵站修建在点P 处，该方案中管道长度．

① 在方案一中，a 1= km （用含x 的式子表示）；

② 在方案二中，a 2= km 用含x 的式子表示）；

③ 请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．

26.如图1，抛物线213442

y x x =--与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ．

（1）求点A 、B 、C 的坐标；

（2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由；

（3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

二．求阴影部分面积

在近年的中考或各类数学竞赛中，频频出现求阴影部分图形的面积的题目，而其阴影部分图形大多又是不规则的，部分同学乍遇这类题目则显得不知所措.本文将分类例谈这类问题的解法，供同学们学习参考：

一.直接法

当已知图形为我们熟知的基本图形时，先求出涉及适合该图形的面积计算公式中某些

线段、角的大小，然后直接代入公式进行计算。

例1.如图1，矩形ABCD中，AB=1，AD=3，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于P，则图中的阴影部分的面积为（）

A 2

3

π B

3

4

π C

3

4

π D

3

π

图1 图2

二．.和差法.

即是把阴影部分的面积转化为若干个图形面积的和、差来计算。

例2，如图2，正方形ABCD的边长为a，以A为圆心，AB为半径画BD，又分别以BC 和CD为直径画半圆，则图中的阴影部分的面积为_______.

【评注】：本题是将组合图形分解为基本几何图形，并利用“连接相加，包含相减”的规律进行计算的。

三.。割补法

即是把阴影部分的图形通过割补，拼成规则图形，然后再求面积。

例3，如图3(1)，在以AB为直径的半圆上，过点B做半圆的切线BC，已知AB=BC=a，连结AC，交半圆于D，则阴影部分图形的面积是______.

⇒

(1) (2)

图

四.整体法.

当阴影部分图形为分散的个体时，可针对其结构特征，视各阴影部分图形为一个整体，然后利用相关图形的面积公式整体求出.

例4.如图4,,,,,A B C D E 相互外离,它们的半径都是1,顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是( )

A.π

B.1.5π

C.2π

D.2.5π

图4 图5

五.等积变形法

把所求阴影部分的图形适当进行等积变形，即是找出与它面积相等的特殊图形，从而求出阴影部分图形的面积。

例5.如图5，C 、D 是半圆周上的三等份点，圆的半径为R ，求阴影部分的面积。

六.平移法

即是先把分散的图形平移在一起，然后再计算其面积。

例6.如图6，矩形内有两个相邻的正方形，面积分别为4和2，那么阴影部分的面积为______.

（1） （2）

图6

七.代数法.

当利用以上方法求解都较困难时,可将题设中几何图形条件转化为代数条件,然后列方程求解.

例7.如图7,正方形的边长为a ,分别以四个顶点为圆心,以边长a 为半径画弧,求四条弧围成的阴影部分的面积

解:根据图形的对称性,正方形被细分为三类图形,分别设它们的面积为,,x y z ,则有:

244x y z S a ++==正方形 …..(1) 2324x y z S a π++==

扇形 (2)

而2x y z ++相当于半径为a ,含120弧的弓形面积,所以: 223234

x y z a a π

++=- …(3) 联立(1)、（2）、（3），组成方程组，解之得：2(13)3x a π=+

- 即 2(13)3S a π=+-阴影.