数学系第一学期数学分析试卷(B)(黄清to虞旦盛)

杭州师范大学理学院2008-2009学年第一学期期末考试
《数学分析》试卷（B ）
一、是非题（共30分，每题3分）
1．无穷大量与有界变量的乘积是无穷大量。

（ ）
2．设E 是有界数集，{}
.inf E x x ∈=α 若,'αα> 则'α不是E 的下界。

（ ）
3．{}n x 是无穷大量，则{}n x 无界。

（ ） 4．当∞→x 时， ⎪⎭⎫
⎝⎛
-x 11ln ∽121--x。

（ ） 5．0=x 是[]x
x x y sin 1sin +=
的不连续点。

（ ）
6．若{}n x 单调且有收敛的子列，则n n x ∞
→lim 存在。

（ ）
7．以[]b a C ,表示[]b a ,上连续函数的全体，[]b a B ,表示[]b a ,上有界函数的全体，则[][]b a C b a B ,,⊂。

（ ） 8．若()x f 在[]b a ,上满足李普西兹条件，即存在常数0>L 使得：对任意[]b a x x ,,21∈成立()()2121x x L x f x f -≤-，则()x f 在[]b a ,上一致连续。

（ ）
9．若()x f 在()δ,0x O 内连续，且在0x (充分接近于0x 的)两侧导函数异号，则0x 是()x f 的极值点。

（ ）
10.闭区间集合[]{}n n b a ,满足：,11n n n n b b a a ≤<≤++ ,,2,1 =n 则n n a ∞
→lim 和 n n b ∞
→lim 都
存在。

（ ）
二、填空题（共15分，每小题3分）
11．若()x f y =在点0x 可微，则它在0x 的微分==0
x x dy。

12.()()2
1-=x x x f 的不可导点为 。

数学分析试题（第1页，共4页）
13.()=-→x x x 2
tan
1lim 1
π。

14.=⎪⎭
⎫
⎝⎛-++∞→x
x x x 22lim 。

15.x cos 在0=x 的泰勒公式是 。

三、计算题（共15分，每小题3分） 16.()()()
,ln 22x v x u y += 求'y 。

17.,1arccos 2x y -= 求'y 。

18. 设()()
,cos 1sin ⎩⎨⎧-=-=t a y t t a x 求dx dy。

19．设()x f y =是由方程()0sin 2=+-y x y 所确定的隐函数，求dy 。

20. 已知,1
x
y = 求y d n 。

四．解答题(共14分，每小题7分) 21.求2
12x
x
y +=的极值。

22．设()⎪⎩
⎪⎨⎧=≠=,0,0,
0,1c o s x x x
x x f α
则当α满足什么条件时，()x f 在0=x 点(i)连续; (ii)可导; (iii)导函数连续？
五．求不定积分(共12分，每小题4分) 23. ⎰
++2
2
11tan x
xdx x
24. ⎰
+,cos sin 2
222x
B x A dx
.0,≠B A
25. ⎰
xdx x cos 2
六．证明题(共14分，每小题7分)
26.证明：,2
arccos arcsin π
=
+x x ().11≤≤-x
27．设
()x f 在[]b a ,上连续，,1b x x a n <<<< 证明：存在()b a ,∈ξ 使得
()()()()
n
x f x f x f f n +++=
21ξ。

数学分析试题（第4页，共4页）。