空间解析几何(练习题参考答案)

1. 过点Ｍo （１,1-，１)且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程.3９．02=+-z y3． 在平面02=--z y x 上找一点p ,使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等.7.)51,1,57(.５.已知：→→-AB prj D C B A CD，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= ( ）Ａ.4 B ．1 C.21D ．2 ７.设平面方程为0=-y x ,则其位置( ）Ａ．平行于x 轴 B.平行于y 轴 Ｃ．平行于z 轴 Ｄ.过z 轴.8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系( ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D.重合 9．直线37423zy x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系( ) Ａ.平行 Ｂ.垂直 C ．斜交 D.直线在平面内 1０．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（ )Ａ.5 B ．61 C.51 D.81 5.Ｄ 7．D ８.B 9．A 10．A.3．当m=_____________时，k j i 532+-与k j m i 23-+互相垂直．4．设kj i a ++=2,kj i b 22+-=,kj i c 243+-=，则)(b a prj c += .4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 1０．曲面方程为:44222=++z y x ,它是由曲线___＿____绕____＿_______＿旋转而成的.3.34-=m ；4.2919 9.332212--=+=-x y x ; 1０.曲线1422=+z y 绕z 轴旋转而成．１．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=c b a ，则=⨯⨯c b a )(（ ) A ．８ Ｂ．10 C.{}1,1,0-- D.{}21,1,23．若==-+=b a b k j i a ，则，14//236（ ) A ．)4612(k j i -+± Ｂ．)612(j i +± C.)412(k i -± D.)46(k j -± ４．若ϕ的夹角与，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （ ） A.6π B.2π Ｃ．3π D ．4π6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角( ) A ．2π Ｂ.6π Ｃ.3π D.4π 8.设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线,则M O 到ｌ的距离为（ )A.223 B.553 Ｃ.453 D ．229.直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x ( ） A.３0o B.6０ｏＣ.９0o D ．65arcsin1.Ｄ 3.A 4.Ｃ 6．Ｃ 8.A 9．Ｄ7．求与平面4362=+-z y x 平行平面,使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点.３．确定k 值,使三个平面:328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．5.求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．７．与平面0522=+++z y x ,且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_＿______＿＿__＿＿_______.８．动点到点(0,0,5)的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________.9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为＿__＿_____＿_＿_＿__．1０．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z yx z 在y ｚ 面上的投影方程____＿_____＿＿＿_.1．设k j i a 32+-=，j i b +=2，k j i c ++-=,则c b a 与+是否平行＿_＿__＿___＿．1．不平行７．33222±=++z y x ； ８．25102-=-z x ;9．双叶双曲面； 10．⎩⎨⎧==+--++02342222x z y z yz y练习题选参考答案1.两非零向量→a 、→b 垂直，则有0=⋅→→b a 或0Pr =→→a j b;平行则有0=⨯→→b a 或→→=ba λ或两向量对应坐标成比例。

2．若→→→→++=k j i a 863，2=→b ,则与→a ,x 轴均垂直的向量⎭⎬⎫⎩⎨⎧±=→56580 ，，b 。

3．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+4)2(4)2(2222y x z x 在yoz 面上的投影曲线方程为：⎪⎩⎪⎨⎧=+-±=+±044422x y z ，投影柱面方程为:44422+-±=+±y z 。

4.xoz 面上的曲线19422=-z x 分别绕x 轴和z 轴旋转所成旋转曲面方程为:1994222=--z y x ,1944222=-+z y x 。

５．已知{}4,0,3-=→a ,{}14,2,5--=→b ，则两向量所成夹角的角平分线上的单位向量为000a bc a b →→→→→+⎧==⎨⎩+。

6．以点Ａ)0,0,2(，Ｂ)0,3,0(，Ｃ)6,0,0(,D )8,3,2(为顶点的四面体的体积V ＝14830602032)61=--=⋅⨯→→→AD AC AB （。

二 计算1．求点Ｐ)2,6,3(-关于直线L ：⎩⎨⎧=+--=-+042201z y x z y 的对称点坐标。

解：直线Ｌ的方向向量k j i kj i n n s 2212211021-+=--=⨯=→→→, 取直线上的定点），，011(-，将其化为参数式:⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+-=t z t y t x 2211 过点P 与直线L 垂直的平面为：0)2(2)6(2)3(=+--+-z y x ,01922=--+z y x ,将直线的参数式代入垂面方程有2=t ，从而点P 在直线L 上的投影坐标(直线与垂面的交点）为），，451(-, 设点P 关于直线L 的对称点坐标为)z y x ，，（，则有：422526123-=+-=+=+zy x ，，，解之:641-==-=z y x ，， 2．设直线L 过点M )1,3,2(-且其与ｙ轴相交,与直线01121:1zy x L =-=+垂直,求该直线方程。

解:设L 与y 轴的交点为N （0，t ，0）,其与直线1L 垂直,则101-=⇒=⋅→→t s MN ,从而由两点式有直线L 的方程为:L:114322--=--=+z y x 3．求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-z y x π上的投影直线方程。

解：直线L 与平面π的交点为），，012(,直线L 上的点），，（101在平面π上的投影为），，（02121,则L 在π上的投影直线方程为:01132z y x =-=-4．求两平面0622:1=+-+z y x π,0884:2=-+-z y x π所成二面角的角平分面方程。

解：法一,设),,(z y x P 为所求平面上任意一点,则由题意有：2222228)1(4884)2(21622+-+-+-=-+++-+z y x z y x 消去绝对值得 )884()6222(3-+-±=+-+z y x z y 即026147010257=-+-=+++z y x z y x 和法二，所求平面过两平面1π与2π的交线，故可设其方程为:0)622(884=+-++-+-z y x z y x λ在该平面上任取一点, 如令4430--===λλz y x 可得, 然后由点)443,0,0(--λλ到两平面的距离相等可解得3±=λ,从而得到所求平面方程。

5．设有直线L 1和Ｌ2 的方程分别为: L 1：891202+=-=+z y x ,L 2:1242611+=+=-z y x （1）证明L 1 与L 2异面; (2）求两直线之间的距离；(3）求与两直线距离相等的平面方程； （4）求与两直线都垂直相交的直线方程。

解:直线L 1 ,L 2上分别有定点Ｐ1（－２，２，-9)，Ｐ２（1，－６,－4）,其方向向量分别为{}8,1,01=→s ,{}12,2,12=→s（1）由于0815831221810)(2121≠-=-=⋅⨯→→→P P s s ，所以两直线异面。

（2)由于k j i kj i s s -+-==⨯→→84122181021故过2L 与1L 平行的平面方程为04884=-+-z y x 则两直线的距离转化为求点P １到该平面的距离：91)8(448)9(128)2(4222=+-+--⨯+⨯--⨯=d(3）由题意，所求平面过线段21P P 的中点)213,2,21(---P ,其法向量为k j i s s -+-=⨯→→8421，故所求平面方程为设),,(z y x P 021584=-+-z y x 。

（4)设公垂线为L ，其方向向量k j i s s s -+-=⨯=→→→8421,则：1L L 与相交所成平面1π的法向量k j i kj i s s 432651848101-+=--=⨯→→，1π的方程为03043265=+-+z y x ，1π与2L 的交点(即公垂线与2L 的交点）)8,4.2(-Q2L L 与相交所成平面2π的法向量k j i kj i s s 16479818412212+--=--=⨯→→，2π的方程为0120164798=+-+z y x ， 2π与1L 的交点(即公垂线与1L 的交点))7,4.2(-P , 所以，公垂线方程为178442-=--=+z y x 注:实际只需求一个交点即可，这里只是为了理解将两个交点都求出,这样亦可以得到（2)的另一解法。

５. 求点)5,1,2(P 在直线:L13111-=-=-zy x 上的投影. 解:过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏,则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ,即03=-+z y x ．将已知直线的参数方程⎪⎩⎪⎨⎧-=+=+=tz t y tx 311代入03=-+z y x ,可得114-=t ，因此点)5,1,2(P 在直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点)114,111,117(-. ６. 求直线:L ⎩⎨⎧=---=+-083032z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线的方程．解:设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ,即08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，其中λ为待定常数，要使该平面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得34-=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，可得32756=-+z y x ,因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为⎩⎨⎧=+-=-+1232756z y x z y x .7.确定λ的值,使直线:L ⎩⎨⎧=-+=-+02012z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，并求直线L 与平面∏之间的距离.解：直线L 的方向向量n k j i kj i --==2101012,要使直线L 与平面∏平行,只要0=⋅s n (其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量）,即0121=+-λ,解得1=λ． 令10=x ,代入直线L 的方程可得10-=y ,10=z ,直线L 与平面∏之间的距离33)1(11|)1(11111|222=-++-⨯+⨯-⨯=d .8.求通过直线⎩⎨⎧=-++=-+-02201:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面,其中一个平面平行于直线111121-=-+=-z y x . 解:设平面束方程为)22(1=-+++-+-z y x z y x λ,即012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ. 设平行于直线111121-=-+=-z y x 的平面为1∏,由0)1()1(2)12(=++--+λλλ,可知1-=λ，令10=x ,代入直线L 的方程,可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即012=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由0)1(2)12(=-++λλ，可得41=λ，平面2∏的方程为04543)1(23=+--z y x ,即06536=-+-z y x . （4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos （a 、b 为常数）在xOy 平面上投影曲线是(⎩⎨⎧==+0222z a y x ). （5）xOy 平面上曲线16422=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是 （16)(4222=+-z y x ).(7)方程y z x =-22所表示的曲面名称为(双曲抛物面）.（８)与两直线⎪⎩⎪⎨⎧+=+-==tz t y x 122及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.(１0)与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ,试在x 轴上求一点C ,使得ABC ∆的面积最小. 解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=AB ,)0,1,1(--=x AC,k j x i x jiAC AB +-+=---=⨯)1(221101,故ABC ∆的面积为1)]1(2[221||2122+-+=⨯=x AC AB S ，显然，当1=x 时，ABC ∆的面积最小，为25，所求点为)0,0,1(. ６．求直线11111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程．解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏,所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：k j i kj in 232111210--=--=,则过点),,(101的平面0∏的方程为:0)1(23)1(=----z y x ,即0123=+--z y x . 所以投影线为⎩⎨⎧=+--=-+-0123012z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：⎪⎩⎪⎨⎧--==)12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12(21[)2(--+=+xx z y ，即0416*******=+---z y x x .8.已知两条直线的方程是142211:1--=+=-z y x L ,10122:2zy x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程.解:因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i kj i 432102121--=-． 因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ,即08432=+--z y x .9. 在过直线⎩⎨⎧=++=+++0201z y x z y x 的所有平面中,求和原点距离最大的平面．解:设平面束方程为)2(1=++++++z y x z y x λ,即01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为 31)32(61)1()1()12(|10)1(0)1(0)12(|2222++=++++++⨯++⨯++⨯+=λλλλλλλd要使平面与原点的距离最大，只要32-=λ，即该平面方程为03=---z y x . 1１． 求直线321z y x =-=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 解:由于空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=+=+)()()(2222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可. 此直线的参数方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==t z t y t x 32,故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为⎩⎨⎧=-+=+tz t t y x 3)2()(2222，消去参数t ，旋转曲面的方程为22295z y x =+． 12． 画出下列各曲面所围立体的图形： (１）0,0,0,12643====++z y x z y x . (2)2,222=+=z y x z . (３)22224,y x z y x z --=+=. （４）2222,2y x z y x z +=--=.(5）222y x z +=，22x z -=.(6)2x y =，0=z ,y z =，1=y .3. 平面0:11111=+++D z C y B x A π 与平面0:22222=+++D z C y B x A π 互相垂直---- 的充要条件是 ( ）.Ａ. 212121C C B B A A == B. 0212121=++C C B B A AＣ． 021212121=+++D D C C B B A A D. 以上都不对.４. 1111111:n z z m y y l x x l -=-=-与2222222:n z z m y y l x x l -=-=-是异面直线，则必有 ( ). Ａ.0212121=++n n m m l l Ｂ. 0212121≠++n n m m l lＣ． 0212121222111=---z z y y x x n m l n m l Ｄ. 0212121222111≠---z z y y x x n m l n m l ．。