线性代数习题4.1向量的内积与正交向量组
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向量的内积
取 1 1
2
2
[1,2 ] [1,1 ]
1
1 1 1
1 3
1 1 1
2 3
2 1 1
则向量组 1 ,2 就是与向量组1 ,2 等价的正交向量组。
设向量
3
x1 x2
与 1 ,2
都正交，即
x3
x1
x2
x3
0
4 2 2
0
3 x1 3 x2 3 x3 0
解此方程组得 3 1
4. 三角不等式：x y x y .
特别地，把长度为 1 的向量称为单位向量。
例如
01，
1
0 2 ，
1 1
0
1
2
1
3
3
都是3维单位向量。
3
对于任何向量 x 0 ，则 x0
1
x是单位向量，
x
这种把向量 x 化成单位向量的过程称为向量 x 的单位化
（或标准化）
根据向量长度的性质3，当
则称其为V 的一个规范正交基（或标准正交基）。
由定义不难得知， 向量组 1, 2 ,, r 为向量空间的一个规范正交基，当且仅当
1 当i j
[i , j ] 0 当i j
i, j 1, 2, , r.
1
0
0
例如
向量组
e1
0
，e2
1
，e3
0
与向量组
0
0
1
1ห้องสมุดไป่ตู้
1
0， 2
0
x1
定定义义4.42.2
设
n
维向量
x
x2
，则称非负实数
xn
线性代数-向量的内积
故k1[1,1] 0,由于1 r是正交向量组，故1 0.
即[1,1] 0,故k1 0.
例1 已知3维向量空间R3中两个向量 a1(1 1 1)T a2(1 2 1)T
正交 试求一个非零向量a3使a1 a2 a3两两正交
解：设a3(x1 x2 x3)T 则a3应满足a1Ta30 a2Ta30
§4.1向量的内积、长度及正交性
例3 ：齐次线性方程组的解集S{x| Ax0} 是一个向量空间(称为齐次线性方程组的解空间)
例4 ： 非齐次线性方程组的解集S{x| Axb} 不是向量空间 这是因为 当S为空集时 S不是向量空间
当S非空集时 若S 则A(2)2bb 知2S
规范正交基 :设n维向量a1 a2 ar是向量空间的一个基 如果a1 a2 ar两两正交 且都是单位向量 则称a1 a2 ar是V的一个规范正交基
• 一、向量的内积及其性质
§4.1
• 二、向量的长度及其性质
向
• 三、正交向量组
量
• 四、规范正交基及其求法
的
• 五、正交矩阵及其性质
内
• 复习小结
积
§4.1向量的内积、长度及正交性
本节概述
前面学习了向量的线性运算：加法和数乘， 但未涉及到向量的度量性质，如长度、距离等等。 从今天开始，我们就来学习一下这方面的概念。当 然学习这些概念也是为了进一步研究矩阵做准备的。
事实上 设a1e12e2 rer 则
eiTaieiTeii 即ieiTa [a ei]
施密特正交化方法 设a1 a2 ar是向量空间V中的一个基 取向量组
b1a1
b2
a2
[b1, [b1,
a2] b1]
b1
br
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
线性代数—向量的正交性
e2
1 0
,
e3
1 1
,
e4
1
1
0 0 0 1
是 R4 的一个基，但不是规范正交基．
求规范正交基的方法 基 正交基 规范正交基
第一步：正交化——施密特正交化过程 设 a1, a2, …, ar 是向量空间 V 的一个基，那么令
b1 a1
b2
a2
c2
a2
b1 , a2 b1 , b1
,
a3
1
，试用施密特正交化
1
1
0
过程把这组向量规范正交化．
解：第一步正交化，取
b1 a1
1 1 1
b2
a2
b1 , a2 b1 , b1
b1
3 1
4 6
21
5 3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
b1 , a3 b1 , b1
b1
b2 , a3 b2 , b2
向量的正交性
1、内积 正交向量集 2、最小二乘解 正交原理
1、内积 正交向量集
定义 对Rn空间的向量 a,b,
a1 b1
a
,
b
,
an bn
n
称数 aibi 为a,b的内积，即
i 1
n
a, b aibi aTb
i 1
常称定义了内积的向量空间或其子空间为内积空间，
带上述内积定义的向量空间Rn是内积空间或为欧几里得空间.
定义 两两正交的非零向量组成的向量组称为正交 向量组．
定理 若 a1, a2, …, ar 是一组两两正交的非零向量，则 a1, a2, …, ar 线性无关．
证明 设 k1a1 + k2a2 + … + kr ar = 0（零向量），那么 0 = <a1, 0> = <a1, k1a1 + k2a2 + … + kr ar> = k1 <a1, a1> + k2 <a1, a2> + … + kr <a1, ar> = k1 <a1, a1> + 0 + … + 0 = k1 ||a1||2
4-1向量的内积与正交
BB
1
2 0
0 1
1
2 0
0
1 2
则 B 是正交矩阵。
1 0 2
1 0 0
0 1 0 1 0
1 2
0
0 0 1
1
CC
0
0 0
1 0
1 0
0 0
1 0
2 0
0 0
0 0 E
1 0 1 1 0 1 0 0 2
则 C不 是正交矩阵。
19
性质3 设 A、B 都是正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。
9
例3 1 1,1,1,1T , 2 1,1,1,1T , 3 1,1,1,1T ,
求与 1,2 ,3 都正交的单位向量。
解 设所求向量为 X x1, x2, x3, x4 T
X X
, ,
1 2
0 0
X ,3 0
即
x1 x1
x2 x2
x3 x3
x4 x4
0 0
x1 x2 x3 x4 0
证 因为 A 、B都是正交矩阵，则 A A E BB E
ABAB B A AB B A A B E
则 AB 也是正交矩阵。 性质4 设 A 是正交矩阵，则 A1 与 A, A
也是正交矩阵。 性质5 设 A 是正交矩阵，则 A 1.
20
例6 A 为 n 阶正交阵，则
(1) A 1 或 1 (2) A 是正交矩阵
i j
0, i 1, i
j j
即 A 的 n 个列向量是单位正交向量组。
例5 观察下列矩阵是否为正交矩阵
1 A 0
0
0 1 0
0
1 2
0
B
1 2
《线性代数(修订版)》教学课件 4.1 向量的内积与线性变换
(1) α, β β,α;
(2) λα, β λα, β;
(3) α β,γ α,γ β,γ;
(4) 当α 0 时，α,α 0; 当α 0 时，α,α 0;
(5) （施瓦茨（Schwarz）不等式）
α, β2 α,α β, β,
等号成立的充要条件是 α, β 线性相关.
说明 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
一组两两正交的非零向量所组成的向量组 称为正交向量组．且若每个向量都是单位向量， 则称为规范正交向量组.
由定义，零向量跟任何向量都正交.
正交向量组的性质
定理 正交向量组必线性无关.
证明 设α1, α2 , , αr是一组两两正交的非零向量，
即要证明 α1, α2 , , αr线性无关.
设有常数λ1 , λ2 , , λr ,使
（1）不仅 β1, β2 , , βr与 α1 , α2 , , αr 等价， β1, β2 , , βr是正交向量组，线性无关；而且，对 任何 k(1 k r), 向量组 β1, β2 , , βk与α1 , α2 , , αk 等价，β1, β2 , , βk是正交向量组，线性无关.
（2）如果向量组α1 , α2 , , αr是齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系，则 β1, β2 , , βr 也是 Ax 0 的 基础解系. e1, e2 , , er 也是 Ax 0 的基础解系.
§ 4.1 向量的内积与线性变换
一、向量的内积、长度及夹角
定义 设有 n 维向量
a1
α
a2
,
an
b1
β
b2
,
bn
令实数 [α, β] = αT β = a1b1 a2b2 anbn ,
(2) λα, β λα, β;
(3) α β,γ α,γ β,γ;
(4) 当α 0 时，α,α 0; 当α 0 时，α,α 0;
(5) （施瓦茨（Schwarz）不等式）
α, β2 α,α β, β,
等号成立的充要条件是 α, β 线性相关.
说明 nn 4 维向量的内积是3维向量数量积
一组两两正交的非零向量所组成的向量组 称为正交向量组．且若每个向量都是单位向量， 则称为规范正交向量组.
由定义，零向量跟任何向量都正交.
正交向量组的性质
定理 正交向量组必线性无关.
证明 设α1, α2 , , αr是一组两两正交的非零向量，
即要证明 α1, α2 , , αr线性无关.
设有常数λ1 , λ2 , , λr ,使
（1）不仅 β1, β2 , , βr与 α1 , α2 , , αr 等价， β1, β2 , , βr是正交向量组，线性无关；而且，对 任何 k(1 k r), 向量组 β1, β2 , , βk与α1 , α2 , , αk 等价，β1, β2 , , βk是正交向量组，线性无关.
（2）如果向量组α1 , α2 , , αr是齐次线性方程组 Ax 0 的基础解系，则 β1, β2 , , βr 也是 Ax 0 的 基础解系. e1, e2 , , er 也是 Ax 0 的基础解系.
§ 4.1 向量的内积与线性变换
一、向量的内积、长度及夹角
定义 设有 n 维向量
a1
α
a2
,
an
b1
β
b2
,
bn
令实数 [α, β] = αT β = a1b1 a2b2 anbn ,
线性代数 向量的内积与施密特正交化方法(1)
实对称矩阵的相似对角化◼向量的内积与施密特正交化方法◼实对称矩阵的特征值与特征向量◼实对称矩阵的相似对角化➢向量的内积与施密特正交化方法主要内容◼向量的内积◼施密特正交化方法向量的内积◼向量内积的定义◼性质及应用举例在解析几何中知道，{},,i j k 123123,,a i a j a k b i b j b k αβ=++=++则α与β的数量积112233a b a b a b αβ⋅=++设三维向量空间中若的向量可定义数量积运算. 是三维向量空间中互相垂直的单位向量,向量的许多性质如长度、夹角、垂直关系都可由此来表示. 受此启发，可以在n维向量空间中引入类似运算，并由此描述向量之间的所谓“正交”关系.在本节中只限于在n维实向量空间上讨论.⚫向量的内积定义112(,,,)n a a a α=12(,,,)n b b b β=是实n 维向量空间R n 中任两向量，1122(,)n n a b a b a b αβ=+++1(,)n i i i a b αβαββαTT ====∑称实数为向量α与β的内积.(,)αβ设令1. 对称性=(,)(,)αββα3. 恒正性(,)0αα≥，2. 线性性+=+(,)(,)(,)αβγαγβγ=(,)(,)k k αβαβ当α≠0时, (,)0αα>⚫向量内积的性质易见向量的正交是三维空间中向量互相垂直关系的自然推广. 若，=(,)0αβ定义2称向量α与β正交.由定义，零向量与任何向量正交. 定义3(,)αα为α的长，设α是n 维向量，若|α|=1，称α为单位向量.记为|α|. 称易见|α|=0当且仅当α为零向量. k α=对于非零向量α ,1ααα︒=的长对任何α≠0，有|α|＞0，且有的单位化..k α(,)k k αα=2(,)k αα=α︒称为1ααα︒=称为单位化公式.α1 1.ααα︒==定义4若正交向量组中每个向量都是单位向量，设α1,α2,…,αs 是一组非零向量,若其中任两个向量都是正交的，则称其为一个正交向量组.仅由一个非零向量组成的向量组也称为正交向量组.则称其为标准正交组(或单位正交组).正交向量有下列性质:定理1(1)若β 与α1,α2,…,αm 的每一个向量正交, (2)若α1,α2,…,αm 是正交组,设α1,α2,…,αm 是R n 中的向量组，则β 必与α1,α2,…,αm 的任一线性组合正交.它们必线性无关. 则有任一线性组合,(1) 若，(i =1,2,…,m ).(,)=0i αβ证:0=1122(,)(,)m m k k k βγβααα=+++1122(,)(,)(,)m m k k k βαβαβα=+++故β与γ正交.由内积的线性性，γ= k 1α1+k 2α2+…+k m αm 是α1,α2,…,αm 的设(2) 设k 1α1+k 2α2+…+k m αm =0,两边作内积运算，得11121211(,)(,)(,)=(,0)=0m m k k k ααααααα+++由于α1,α2,…,αm 两两正交, 1(,)=0j αα，则当j ≠ 1 时, 即k 1|α1|2=0.111(,)=0.k αα于是得到由于α1是非零向量，因此k 1=0.故|α1|≠0，用α1与其用αi 替代α1重复以上论证,故α1,α2, …, αm 线性无关. 可得k i =0，证毕.i =2,…, m ，定理1表明，在R n中正交向量组至多这是因为在R n中至多有n个含有n个向量，线性无关的向量.⚫应用举例例11(1,2,1,1),α=−2(1,1,0,1),α=−3(1,1,3,2)α=−，则设是R 4 中正交123,,ααα但不是标准正交组.向量组，这是因为解12,12010αα=−++=（）13,12320αα=−+−+=（）23,11020αα=−−++=（）123,,ααα是正交组. 114117α=+++=211013α=+++=，3119415α=+++=故α1,α2,α3 都不是单位向量.故而把它们单位化，令1111211,,,77777βα−⎛⎫== ⎪⎝⎭221111,,0,3333βα⎛⎫−== ⎪⎝⎭3311132,,,1515151515βα⎛⎫−== ⎪⎝⎭则β1,β2,β3是标准正交组.。
向量的内积与正交
向量的内积与正交
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的正交 • 向量的内积与正交的应用 • 向量的点积与叉积 • 总结
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。 其结果是一个标量，表示两个向量之间的角度余弦值与两个向量模的乘积。
几何意义
叉积的几何意义是垂直于两向量所在平面的第三个向量，其模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
性质
叉积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。
点积与叉积的区别和联系
区别
点积和叉积在定义、几何意义和性质上都有所不同。点积是两向量的内积，结果 是一个标量；叉积是两向量的外积，结果是一个向量。
如果两个向量的方向垂直，则它们正交。
判断两个向量的模长是否 相等
如果两个向量的模长相等，则它们正交。
03
CHAPTER
向量的内积与正交的应用
向量内积在几何中的应用
判断两向量是否垂直
通过计算两向量的内积，若结果为0，则两向量垂直。
计算向量的长度
利用向量内积和向量的模长，可以计算出任意向量的长度。
计算向量的夹角
向量内积的计算方法
坐标表示法
若向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
目录
CONTENTS
• 向量的内积 • 向量的正交 • 向量的内积与正交的应用 • 向量的点积与叉积 • 总结
01
CHAPTER
向量的内积
向量内积的定义
定义
向量内积是两个向量之间的点乘运算，记作$mathbf{A} cdot mathbf{B}$。 其结果是一个标量，表示两个向量之间的角度余弦值与两个向量模的乘积。
几何意义
叉积的几何意义是垂直于两向量所在平面的第三个向量，其模长等于两向量构成的平行四边形的面积。
性质
叉积满足反交换律，即$mathbf{A} times mathbf{B} = -mathbf{B} times mathbf{A}$。
点积与叉积的区别和联系
区别
点积和叉积在定义、几何意义和性质上都有所不同。点积是两向量的内积，结果 是一个标量；叉积是两向量的外积，结果是一个向量。
如果两个向量的方向垂直，则它们正交。
判断两个向量的模长是否 相等
如果两个向量的模长相等，则它们正交。
03
CHAPTER
向量的内积与正交的应用
向量内积在几何中的应用
判断两向量是否垂直
通过计算两向量的内积，若结果为0，则两向量垂直。
计算向量的长度
利用向量内积和向量的模长，可以计算出任意向量的长度。
计算向量的夹角
向量内积的计算方法
坐标表示法
若向量$mathbf{A}$和$mathbf{B}$的坐标分别为$(a_1, a_2, ..., a_n)$和$(b_1, b_2, ..., b_n)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + ... + a_nb_n$。
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(i，j 1， 2，， . ，n)
，
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§4.1 向量的内积与正交向量组
作
习 题
业
P88 / 4.1,4.2
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，
, a1b1 a2 b2 an bn ak bk ,
称[ , ] 为向量 与 的内积.
k 1
n
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§4.1 向量的内积与正交向量组
说明
4 1 nn 维向量的内积是 3维向量数量积 的推广，但是没有3维向量直观的几何意义．
2内积是两个向量之间的一种运算，其结果 是一个实数，它也可以看着矩阵的乘积， 即有 T
,
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§4.1 向量的内积与正交向量组
内积的运算性质 （其中 , , R , k , l R)
n
(1)
(2)
.
, , ; , , ;
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§4.1 向量的内积与正交向量组
例1 已知三维向量空间中两个向量
1 1 1, 1 1 2 2 1
1 ,构成三维空间的一 正交，试求 使 3 2 , 3 个正交基. T 解 设 3 x1 , x2 , x3 0, 分别为1 , 2 正交
(i 1， 2，， . ，n)
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§4.1 向量的内积与正交向量组
1T T 2 T 3
( 1 2 n ) E
i T j ( ij )
.
，
同理可证上述结论对行向量也成立.
1, 当i j ij 0， 当i j
由于
[ei , e j ] 0, i j且i, j 1, 2,3, 4. [ei , e j ] 1, i j且i, j 1, 2,3, 4.
e1, e2 , e3 , e4构成四维实空间 R 4的一个规范正交基
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§4.1 向量的内积与正交向量组
T 2
AB 也为正交矩阵。
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பைடு நூலகம்结束
§4.1 向量的内积与正交向量组
（4）对任意 n维列向量 和 ,若 A为正交矩阵,则
[ A , A ] [ , ].
证 [ A , A ] ( A )T ( A ) T ( AT A) T [ , ]. 正交矩阵的充要条件如下. A 的行（列）向量是单 定理4.1.3 A为正交矩阵 位正交向量 证 设有 n n 实矩阵 A (1 2 n ), i . 为 第i 列，
1 , 2 ,..., S 可以相互线性表示，也就是说向量组 1 , 2 ,..., S与向量组 1 , 2 ,..., s 等价。
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T T sT 1 S S 1 2 2 s s T 1 T 2 T S 1 1 1 2 2 S 1 S 1 可以验证 1 , 2 ,..., s 是正交向量组，并且与
则有 [ 1 , 3 ] [ 2 , 3 ] 0
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§4.1 向量的内积与正交向量组
即 解之得
[ 1 , 3 ] x1 x 2 x 3 0 [ 2 , 3 ] x1 2 x 2 x 3 0
x1 x3 , x2 0.
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2 2 2 AT 2 2 2 2 2
2 2 2 2
AT A E,
§4.1 向量的内积与正交向量组
T T T A A I A A E 1 A A 1 证 因为
，
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§4.1 向量的内积与正交向量组
k k 将向量单位化的方法：
1
1
1
1
为单位向量。 单位化得
1 1 2 14 3
三、正交向量组 称 arccos
[ , ]
1 2 如： 3
T
T
§4.1 向量的内积与正交向量组
四、正交矩阵
T n A 定义4.1.6 如果 阶矩阵A满足 A E, 则称
A 为正交(矩)阵.
如： A 2 2 2 2
所以A 为正交阵. 上述从线性无关向量组 正交矩阵 A具有下列性质： 定理4.1.2 (1)若 A 为正交矩阵，则 A 1
, , , ;
(3)
0 有 [ , ] 0. （5） [ , k l ] k[ , ] l[ , ]
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(4)[ , ] 0, 且
§4.1 向量的内积与正交向量组
4 R 也为 的一个规范正交基
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§4.1 向量的内积与正交向量组
下面介绍向量组的正交化即施密特正交化法， 设 1 , 2 ,..., S 为线性无关的向量组。若令：
1 1
1 2 2 1
T 2 T 1
T T 3 1 3 2 3 3 T T 2 1 1 2 2
线性代数
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8 14 T T 0,2,1,3 3,5,1,1 1,1,1,1 4 14
T
[ 1 , a3 ] [ 2 , a3 ] 3 a3 1 2 [ 1 , b1 ] [ 2 , 2 ]
1,1,2,0
§4.1 向量的内积与正交向量组
第四章
矩阵的特征值与特征向量
§4.1 向量的内积与正交向量组
线性代数
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§4.1 向量的内积与正交向量组
一、向量的内积
定义4.1.1 设n维向量 (1 , 2 ,, an )T T n (b1 , b2 ,, bn ) R 记
二、向量的长度
1.定义4.1.2
的长度. 称 为向量
(a1 , a2 ,, an )T R n 2 2 ( , ) a12 a 2 an
向量的长度具有下述性质： (1) 0 0 0 (三角不等式). (2) k | k | (非负性)； (3) （正齐次性)； 注意：称长度为1的向量为单位向量.
18 2 cos 2 3 2 6
4
.
又如
线性代数
1 1 2 , 1 3 1
则
1 T 1 2 3 1 0 1
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x1 1 若令 x3 1, 则有 3 x2 0 x 1 3
由上可知 1 , 2 , 3 构成三维空间的一个正交基.
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§4.1 向量的内积与正交向量组
1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0 e1 , e2 , e3 , e . 4 1 2 1 2 0 0 1 2 1 2 0 0
T
1,1,0,4
T
11 4 1,1,1,1T 0,2,1,3T 1111
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线性代数
§4.1 向量的内积与正交向量组
再单位化， 得规范正交向量组如下
b1 1 1 1 1 1 T e1 1,1,1,1 , , , b1 2 2 2 2 2 T b2 1 2 1 3 T 0,2,1,3 0, e2 , , b2 14 14 14 14 T b3 1 1 1 2 T 1,1,2,0 , , ,0 e3 b3 6 6 6 6
同理可知
1 0 0 0 0 1 0 0 1 , 2 , 3 , 4 . 0 0 1 0 0 0 0 1
n , R , 0, 0 定义4.1.3 向量的的夹角: 设
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0 为 与 的夹角.当[ , ] 0 时，称
线性代数
§4.1 向量的内积与正交向量组
解
与 正交.记
1,2,2,3 与 3,1,5,1 j 例 求向量，
§4.1 向量的内积与正交向量组
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
a1 (1,1,1,1)T , a2 (1,1,0,4)T , a3 (3,5,1,1)T 正交规范化.
解 先正交化， 取
1 1 1,1,1,1
1 , a2 2 2 1 1 , b1