导数计算公式
导数七个公式
导数的基本公式包括：
1.常数函数的导数：y = c（c为常数），其导数y' = 0。
2.幂函数的导数：y = x^n，其导数y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数：y = a^x，其导数y' = a^x lna；当底数为自然数e时，即y
= e^x，其导数y' = e^x。
4.对数函数的导数：y = log_a x，其导数y' = 1/(xlna)（a > 0且a ≠ 1）；当底
数为自然数e时，即y = ln x，其导数y' = 1/x。
5.三角函数的导数：
•y = sin x，其导数y' = cos x。
•y = cos x，其导数y' = -sin x。
•y = tan x，其导数y' = (sec x)^2 = 1/(cos x)^2。
•y = cotx，其导数y' = -(csc x)^2 = -1/(sin x)^2。
6.反三角函数的导数：
•y = arcsin x，其导数y' = 1/√(1 - x^2)。
•y = arccos x，其导数y' = -1/√(1 - x^2)。
•y = arctan x，其导数y' = 1/(1 + x^2)。
•y = arccot x，其导数y' = -1/(1 + x^2)。
这些公式是导数计算的基础，通过它们可以推导出更复杂的函数的导数。
在解题时，首先确定函数的定义域，然后应用相应的导数公式进行计算，最后根据导数的符号判断函数的增减性，进而描绘函数的图像或求解其他问题。
求函数的导数公式
求函数的导数公式函数的导数公式是描述函数在某一点处斜率的一种数学工具，对于一般的函数f(x)，它的导数可以用下面的公式来表示：1.导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)]/h在这个公式中，f(x + h)表示以点(x + h, f(x + h))为端点的割线斜率，f(x)是函数f(x)在点x处的函数值，h表示x + h与x之差，即点(x + h, f(x + h))与点(x, f(x))之间的距离。
这个公式是导数定义的最基本形式，通常用于求解复杂函数的导数。
2.基本求导公式f'(x) = k，k为常数[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[f(g(x))]’ = f'(g(x))g'(x)f’(x)/g(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2[f(x)]^n = nf'(x)[f(x)]^(n-1)，n为正整数这里列举了一些常用的求导公式。
对于任何由基本函数组成的函数，都可以使用这些公式求其导数。
3.导数的运算法则导数具有很好的运算性质，常用的运算法则有：（1）线性性质：f(x) ±g(x)的导数为f'(x) ±g'(x)，kf(x)的导数为kf'(x)，k为常数。
（2）乘积法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（3）商数法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2。
（4）复合函数的求导法则：如果y = f(g(x)),那么y' = f'(g(x))g'(x)。
以上是函数导数的一些基本公式和运算法则。
一般常用求导公式
一般常用求导公式在微积分中，求导是一项重要的运算技巧。
为了便于计算和解决实际问题，人们总结出了一些常用的求导公式。
本文将介绍一般常用的求导公式，并通过例子来展示其具体应用。
一、常数函数求导公式对于常数函数y = C（C为常数），其导数为0。
这是因为常数函数的图像是一条水平直线，斜率为0。
二、幂函数求导公式1. 对于幂函数y = x^n （n为正整数），其导数为y' = nx^(n-1)。
例如，对于y = x^2，其导数为y' = 2x。
2. 对于幂函数y = a^x （a>0且a≠1），其导数为y' = a^x * ln(a)。
例如，对于y = e^x，其导数为y' = e^x。
三、指数函数求导公式对于指数函数y = a^x （a>0且a≠1），其导数为y' = a^x * ln(a)。
这点与幂函数的导数规律相同。
四、对数函数求导公式1. 对于自然对数函数y = ln(x)，其导数为y' = 1/x。
例如，对于y = ln(x^2)，其导数为y' = 1/(x^2) * 2x = 2/x。
2. 对于一般对数函数y = log_a(x) （a>0且a≠1），其导数为y' =1/(xln(a))。
例如，对于y = log_2(x)，其导数为y' = 1/(xln(2))。
五、三角函数求导公式1. 对于正弦函数y = sin(x)，其导数为y' = cos(x)。
例如，对于y =sin(2x)，其导数为y' = cos(2x)。
2. 对于余弦函数y = cos(x)，其导数为y' = -sin(x)。
例如，对于y = cos(2x)，其导数为y' = -sin(2x)。
3. 对于正切函数y = tan(x)，其导数为y' = sec^2(x)。
例如，对于y = tan(2x)，其导数为y' = sec^2(2x)。
导数公式导数运算法则
导数公式导数运算法则导数是微积分中的一个重要概念，用于描述函数在其中一点的变化速率。
导数的计算涉及到一系列的运算法则，这些法则可以帮助我们更快、更方便地求取函数的导数。
在以下讨论中，假设函数f(x)和g(x)是可导函数，c是常数。
一、四则运算法则1.加法法则：(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)这个法则表示如果一个函数是两个可导函数的和，那么它的导数等于这两个函数的导数之和。
2.减法法则：(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)同样地，如果一个函数是两个可导函数的差，那么它的导数等于这两个函数的导数之差。
3.乘法法则：(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)这个法则说明了如果一个函数是两个可导函数的乘积，那么它的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
4.除法法则：(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^2这个法则表示，如果一个函数是一个可导函数除以另一个可导函数，那么它的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分子函数乘以分母函数的导数，再除以分母函数的平方。
二、连锁法则1.复合函数的导数：如果y=f(u)和u=g(x)是可导函数，那么复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = dy/du * du/dx这个公式称为连锁法则，它表示了复合函数的导数与内部函数和外部函数的导数之间的关系。
三、常用函数的导数1.幂函数:d(x^n)/dx = nx^(n-1)这个法则表示了幂函数的导数，其中n是任意实数。
2.指数函数:d(e^x)/dx = e^x这个法则说明指数函数e^x的导数是它本身。
3.对数函数:d(ln(x))/dx = 1/x这个法则说明自然对数函数ln(x)的导数是1除以x。
求导基本公式表
导数是微积分学中的重要概念，它表示一个函数在某一点处的变化率。
导数公式是微积分学中的基本公式之一，用于计算函数的导数。
以下是导数的基本公式表：
1.函数y=kx的导数为y′=k，其中k为常数。
2.函数y=axn的导数为y′=naxn−1，其中a为常数，n为正整数。
3.函数y=loga(x)的导数为y′=x ln a1，其中a为常数且a>0且a=1。
4.函数y=ex的导数为y′=ex。
5.函数y=sin(x)的导数为y′=cos(x)。
6.函数y=cos(x)的导数为y′=−sin(x)。
7.函数y=tan(x)的导数为y′=(sec(x))2。
8.函数y=cot(x)的导数为y′=−(csc(x))2。
9.函数y=sec(x)的导数为y′=tan(x)sec(x)。
10.函数y=csc(x)的导数为y′=−cot(x)csc(x)。
这些公式可以在求解函数的导数时提供帮助。
但是需要注意，对于复杂的函数，可能需要使用更高级的导数公式才能求解其导数。
此外，导数的计算还涉及到一些基本的微积分知识和技巧，例如链式法则、乘法法则、指数函数求导法则等等，需要在学习微积分的过程中逐步掌握。
导数的计算方法总结
导数的计算方法总结导数是微积分中的重要概念，用于描述函数在某一点的变化率。
下面是导数的计算方法的总结：1. 通过定义计算导数：导数的定义是函数在某一点的极限，可以用以下公式表示：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h) f(x)] / h.其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数。
2. 基本导数法则：常数规则，如果f(x)是常数c，那么f'(x) = 0。
幂函数规则，如果f(x) = x^n，其中n是实数常数，那么f'(x) = nx^(n-1)。
和差法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(f+g)'(x) = f'(x) + g'(x)。
乘法法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，那么(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
商法则，如果f(x)和g(x)都是可导函数，且g(x)≠0，那么(f/g)'(x) = [f'(x)g(x) f(x)g'(x)] / [g(x)]^2。
3. 链式法则：链式法则适用于复合函数的导数计算。
如果y = f(g(x))，其中f和g都是可导函数，那么y对x的导数可以通过以下公式计算：dy/dx = f'(g(x)) g'(x)。
4. 高阶导数，导数的导数称为高阶导数。
一阶导数是函数的斜率，二阶导数是函数的曲率。
高阶导数可以通过连续应用导数的定义和法则来计算。
5. 隐函数求导，当函数无法直接表示为y = f(x)的形式时，可以使用隐函数求导方法来计算导数。
6. 参数方程求导，对于参数方程x = f(t)和y = g(t)，可以通过对x和y同时关于t求导来计算参数方程的导数。
以上是导数的计算方法的总结，这些方法可以帮助我们计算函数在特定点的导数，进而了解函数的变化趋势和性质。
16个基本导数公式
16个基本导数公式
1、恒等公式：若y=f(x)，则`dy/dx=f'(x)=1`
2、变量链法：若y=f(u)，u=g(x)，则
`dy/dx=dy/du*du/dx=f'(u)*g'(x)`
3、复合函数：若y=f(g(x))，则
`dy/dx=f'(g(x))*g'(x)`
4、指数函数：若y=a^x，a>0，a!= 1，则`dy/dx=a^x ln a`
5、对数函数：若y=ln x，则`dy/dx=1/x`
6、三角函数：若y=sinx，则`dy/dx=cosx`
7、反三角函数：若y=arcsinx，则`dy/dx=1/sqrt(1-x^2)`
8、双曲函数：若y=sinhx，则`dy/dx=coshx`
9、反双曲函数：若y=arccoshx，则
`dy/dx=1/sqrt(x^2-1)`
10、椭圆函数：若y=coshx，则`dy/dx=sinhx`
11、反椭圆函数：若y=arctanhx，则`dy/dx=1/(1-
x^2)`
12、幂函数：若y=x^n，n不等于 0，则
`dy/dx=nx^(n-1)`
13、指数型函数：若y=k(x-a)^n，n不等于 0，则`dy/dx=nk(x-a)^(n-1)`
14、指数形式函数：若y=ae^(bx+c)，则
`dy/dx=abe^(bx+c)`
15、对数型函数：若y=k(lnx+a)^n，n不等于 0，则`dy/dx=nk(lnx+a)^(n-1)/x`
16、对数形式函数：若y=ae^(bx)lnx+c，则
`dy/dx=ae^(bx)(b+1/x)`。
导数公式及运算法则
导数公式及运算法则
八个公式：
y=c(c为常数) y'=0；
y=x^n y'=nx^(n-1)；
y=a^x y'=a^xlna y=e^x y'=e^x；
y=logax y'=logae/x y=lnx y'=1/x ；
y=sinx y'=cosx ；y=cosx y'=-sinx ；
y=tanx y'=1/cos^2x ；
y=cotx y'=-1/sin^2x。
运算法则：
加（减）法则：[f(x)+g(x)]'=f(x)'+g(x)'
乘法法则：[f(x)*g(x)]'=f(x)'*g(x)+g(x)'*f(x)
除法法则：[f(x)/g(x)]'=[f(x)'*g(x)-g(x)'*f(x)]/g(x)^2
不是所有的函数都有导数，一个函数也不一定在所有的点上都有导数。
若某函数在某一点导数存在，则称其在这一点可导，否则称为不可导。
然而，可导的函数一定连续；不连续的函数一定不可导。
对于可导的函数f(x)，x↦f'(x)也是一个函数，称作f(x)的导函数（简称导数）。
寻找已知的函数在某点的导数或其导函数的过程称为求导。
实质上，求导就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则也来源于极限的四则运算法则。
反
之，已知导函数也可以反过来求原来的函数，即不定积分。
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导数公式一、基本初等函数的导数公式已知函数：(1)y ＝f (x )＝c ；(2)y ＝f (x )＝x ；(3)y ＝f (x )＝x 2；(4)y ＝f (x )＝1x；(5)y ＝f (x )＝x .问题：上述函数的导数是什么？ 提示：（1）∵Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝c －c Δx ＝0，∴y ′＝lim Δx →0Δy Δx ＝0. 2)(x )′＝1，(3)(x 2)′＝2x ，(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝－1x 2，(5)(x )′＝12x .函数(2)(3)(5)均可表示为y ＝x α(α∈Q *)的形式，其导数有何规律？提示：∵(2)(x )′＝1·x 1－1，(3)(x 2)′＝2·x 2－1，(5)(x )′＝(x12)′＝12x 112－＝12x，∴(x α)′＝αx α－1. 基本初等函数的导数公式二、导数运算法则已知f(x)＝x，g(x)＝1 x.问题1：f(x)，g(x)的导数分别是什么？问题2：试求Q(x)＝x＋1x，H(x)＝x－1x的导数．提示：∵Δy＝(x＋Δx)＋1x＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x＝Δx＋－Δxx(x＋Δx)，∴ΔyΔx＝1－1x(x＋Δx)，∴Q′(x)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1x(x＋Δx)＝1－1x2.同理H′(x)＝1＋1 x2.问题3：Q(x)，H(x)的导数与f(x)，g(x)的导数有何关系？提示：Q(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的和，H(x)的导数等于f(x)，g(x)导数的差．导数运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)2．[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)3.⎣⎢⎡⎦⎥⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)题型一 利用导数公式直接求导[例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝10x ；(2)y ＝lg x ；(3)x y 21log =；(4)y ＝4x 3；(5)12cos 2sin 2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x y .[解] (1)y ′＝(10x)′＝10xln 10；(2)y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(3)y ′＝1x ln 12＝－1x ln 2；(4)y ′＝(4x 3)′＝344x ；(5)∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 2＋cos x 22－1＝sin 2x 2＋2sin x 2cos x 2＋cos 2x 2－1＝sin x ，∴y ′＝(sinx )′＝cos x .练习 求下列函数的导数：(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ；(2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ；(3)y ＝lg 5；(4)y ＝3lg 3x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1.解：(1)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ln 1e ＝－1e x ＝－e －x；(2)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫110x ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫110xln110＝－ln 1010x ＝－10－xln 10；(3)∵y ＝lg 5是常数函数，∴y ′＝(lg 5)′＝0； (4)∵y ＝3lg 3x ＝lg x ，∴y ′＝(lg x )′＝1x ln 10；(5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .题型二 利用导数的运算法则求函数的导数 [例2] 求下列函数的导数：(1)y ＝x 3·e x ；(2)y ＝x －sin x 2cos x2；(3)y ＝x 2＋log 3x ；(4)y ＝e x ＋1e x －1.[解] (1)y ′＝(x 3)′e x ＋x 3(e x )′＝3x 2e x ＋x 3e x ＝x 2(3＋x )e x . (2)∵y ＝x －12sin x ，∴y ′＝x ′－12(sin x )′＝1－12cos x .(3)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′＝2x ＋1x ln 3. (4)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x(e x －1)2＝－2e x(e x －1)2.练习 求下列函数的导数：(1)y ＝cos x x ；(2)y ＝x sin x ＋x ；(3)y ＝1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ；(4)y ＝lg x －1x 2.解：(1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2＝－x ·sin x －cos x x 2＝－x sin x ＋cos x x2. (2)y ′＝(x sin x )′＋(x )′＝sin x ＋x cos x ＋12x.(3)∵y ＝(1＋x )21－x ＋(1－x )21－x ＝2＋2x 1－x ＝41－x －2，∴y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫41－x －2′＝－4(1－x )′(1－x )2＝4(1－x )2.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg x －1x 2′＝(lg x )′－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝1x ln 10＋2x 3.题型三 导数几何意义的应用[例3](1)曲线y＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为________．(2)在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋13上，且在第一象限，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为________．[解析] (1)y′＝－5e x，∴所求曲线的切线斜率k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，∴切线方程为y－(－2)＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.(2)设点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝3x2－10，所以3x20－10＝2，解得x0＝±2.又点P在第一象限，所以x0＝2，又点P在曲线C上，所以y＝23－10×2＋13＝1，所以点P的坐标为(2,1)．(1)5x＋y＋2＝0 0(2)(2,1)练习若曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，则a＋b＝________.解析：f′(x)＝－a sin x，g′(x)＝2x＋b，∵曲线f(x)＝a cos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，∴f(0)＝a＝g(0)＝1，且f′(0)＝0＝g′(0)＝b，∴a＋b＝1.答案：11.切线方程的求法[典例]已知a∈R，函数f(x)＝x3－3x2＋3ax－3a＋3，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．[解] 由已知得f′(x)＝3x2－6x＋3a，故f′(1)＝3－6＋3a＝3a－3，且f(1)＝1－3＋3a－3a＋3＝1.故所求切线方程为y－1＝(3a－3)(x－1)，即3(a－1)x－y＋4－3a＝0.一、已知斜率，求切线方程．此类问题可以设出切点，利用导数与已知直线的斜率关系来确定切点，进而求出切线方程．例：求与直线x＋4y＋1＝0垂直的曲线f(x)＝2x2－1的切线方程．解：所求切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以所求切线的斜率k＝4. 设切点坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝4x0＝4，即x0＝1.所以切点坐标为(1,1)．故所求切线方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.二、已知过曲线上一点，求切线方程．过曲线上一点的切线，该点不一定是切点，故应先设出切点，再利用该点在切线上来确定切点，进而求出切线方程．例：求过曲线f(x)＝x3－2x上的点(1，－1)的切线方程．解：设切点坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝3x2－2，所以f′(x0)＝3x20－2，且y0＝f(x0)＝x30－2x0.所以切线方程为y－y0＝(3x20－2)(x－x0)，即y－(x30－2x0)＝(3x20－2)(x－x0)．因为切线过点(1，－1)，故－1－(x30－2x0)＝(3x20－2)·(1－x0)即2x30－3x20＋1＝0，解得x0＝1或x0＝－1 2，故所求切线方程为x－y－2＝0或5x＋4y－1＝0.三、已知过曲线外一点，求切线方程．这一题型要设出切点，再利用斜率公式及导数的几何意义列方程求出切点，从而求出切线方程．例：已知函数f(x)＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程．解：由题意知点A(0,16)不在曲线f(x)＝x3－3x上，设切点坐标为M(x0，y)．则f ′(x 0)＝3x 20－3，故切线方程为y －y 0＝3(x 20－1)(x －x 0)． 又点A (0,16)在切线上，所以16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)，化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2，即切点为M (－2，－2)， 故切线方程为9x －y ＋16＝0. 课后练习1．给出下列结论：①(cos x )′＝sin x ； ②⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则y ′＝－1x ； ④⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝12x x .其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析： (cos x )′＝－sin x ，所以①错误；sin π3＝32，而⎝ ⎛⎭⎪⎫32′＝0，所以②错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2′＝0－(x 2)′x 4＝－2x x 4＝－2x －3，所以③错误； ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x ′＝－0－(x 12)′x ＝12x12－x ＝12x 32－＝12x x，所以④正确．答案：B2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( )A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2xB ．y ′＝cos 2x －sin 2xC ．y ′＝2cos x ·sin xD ．y ′＝cos x ·sin x解析： y ′＝(sin x ·cos x )′＝cos x ·cos x ＋sin x ·(－sin x )＝cos 2x－sin 2x .3．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________.解析：f (x )＝4x 2＋4ax ＋a 2，∵f ′(x )＝8x ＋4a ，∴f ′(2)＝16＋4a ＝20，∴a ＝1.答案：14．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a ＝________.解析：y ′＝4x 3＋2ax ，因为曲线在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，所以y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8，解得a ＝－6.答案：－6 5．求下列函数的导数： (1)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3；(2)y ＝1＋cos xx2； (3)y ＝(4x －x )(e x ＋1)．解：(1)∵y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.(2)y ′＝(1＋cos x )′·x 2－(1＋cos x )(x 2)′x 4＝－x sin x －2cos x －2x3. (3)法一：∵y ＝(4x －x )(e x ＋1)＝4x e x ＋4x －x e x －x ，∴y ′＝(4x e x ＋4x －x e x －x )′＝(4x )′e x ＋4x (e x )′＋(4x )′－[x ′e x ＋x (e x )′]－x ′＝e x 4x ln 4＋4x e x ＋4x ln 4－e x －x e x －1＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1. 法二：y ′＝(4x －x )′(e x ＋1)＋(4x －x )(e x ＋1)′＝(4x ln 4－1)(e x ＋1)＋(4x －x )e x ＝e x (4x ln 4＋4x －1－x )＋4x ln 4－1.。